【文档说明】江西省宜春市上高二中2024届高三上学期第三次月考试题+数学+含答案.docx，共(5)页，636.955 KB，由小赞的店铺上传

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2024届高三年级第三次月考数学试卷10.29一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合{|2,}Axaxx=Z，{1,0,1,2}B=−，若AB中恰有两个元素，则实数a的取值范围为（）

A．[1,0)−B．[1,0]−C．[0,1)D．[0,1]2．已知平面向量a，b，c满足()2,1=a，()1,2=b，且⊥ac．若32=bc，则||=c（）A．10B．25C．52D．353．已知不重合的平面，及不重合的直线m，n，则（）．A．

若m∥，∥，则m∥B．若mn⊥，m⊥，n⊥，则⊥C．若mn∥，m∥，m∥，则∥D．若m∥，∥，n，则mn∥4．把1，2，3，4，5这5个数排成一列，则满足先增后减（例如：1，3，5，4，2）的数列的个数是（）．A．6B．10C．1

4D．205．若(0,)2π，22πcos()2cos4coscos55π−+=，则等于（）A．2π5B．3π10C．π5D．π106.有一个棱柱形状的石料，底面是边长为6的等边三角形，该石料侧

棱垂直于底面，若可以将该石料打磨成四个半径为3的石球，则至少需要打磨掉的石料废料的体积为（）A.21643π−B.216163π−C.270163π−D.27043π−7.现有甲、乙两组数据，每组数据均由六个数组成，其中甲组数据的平均数为3，方差为5，乙组数据的平均数为5，方差为3．若将这

两组数据混合成一组，则新的一组数据的方差为（）A.3.5B.4C.4.5D.58.已知椭圆M：2213xy+=的上顶点为A，过点A且不与y轴重合的直线l与M的另一个交点为()11,Bxy（其中1>0x），过B作l的垂线，交y轴于点C．若23BC=，则l的斜

率k=（）A.23−B.3−C.33−D.32−二、多项选择题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每个给出的四个选项中,有多项是满足要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)9．已知正四棱锥PABCD−的所有棱长

相等，M，N分别是棱PD，BC的中点，则（）A．MNPB∥B．MN∥面PABC．MNPA⊥D．MN⊥面PAD10.已知函数()()()sinsin7fxxx=+−+为奇函数，则参数的可能值为（）A

.8B.4C.38D.211.已知等比数则na的公比为()0qq，前n项积为nT，若768TTT，则（）A.01qB.1qC.13141TTD.14151TT12．非常数函数()fx及其导函数()fx的定义域均为R，若()12fx−为奇函数，()2

1fx−为偶函数，则（）．A．()00f=B．()()20212023ff−=−C．()()2127fxfx−=+D．()()20212023ff−=−三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知直线()2100,0axbyab+

−=过定点()2,1,则12ab+的最小值为__________．14．已知点()2,0A−，()0,2B，动点M满足0AMMB=，则点M到直线2yx=+的距离可以是__________．（写出一个符合题意的整数值）15.袋中有形状大小相同的球5个，其中红色3个，黄色2个，现

从中随机连续摸球，每次摸1个，当有两种颜色的球被摸到时停止摸球，记随机变量为此时已摸球的次数，则()E=__________.16.若曲线()0ayxx=与曲线2lnyx=存在公切线，则a的取值范围为__________．四、

解答题(共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17.（本题10分）已知数列{}na的各项均不为0，其前n项和nS满足141nnnaaS+=−，*nN，且11a=．（1）求{}na的通项公式；（2）求数列11{}nn

naSS++的前n项和nT．18．（本题12分）△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知3A=，且△ABC的周长为6．（1）证明：()124bcbc+=+；（2）求△ABC面积的最大值19.（本题12分）如图，在三棱柱111ABCABC−中，1BC⊥

平面ABC，点D为棱AC的中点，DA=2DB=．（1）求证：1ABCC⊥；（2）若2BC=，求直线1BB与平面1BDC所成角的正弦的最大值．20.（本题12分）一对夫妻计划进行为期60天自驾游．已知两人均能驾驶

车辆,且约定:①在任意一天的旅途中,全天只由其中一人驾车,另一人休息;②若前一天由丈夫驾车,则下一天继续由丈夫驾车的概率为14,由妻子驾车的概率为34;③妻子不能连续两天驾车．已知第一天夫妻双方驾车的概率均为12．（1）在刚开始的三天中,妻子驾车天

数的概率分布列和数学期望;（2）设在第n天时,由丈夫驾车的概率为np,求数列np的通项公式．21.（本题12分）已知双曲线C：()222210,0xyabab−=的焦距为8．过左焦点F的直线与C的左

半支交于A，B两点，过A，B作直线l：=1x−的垂线，垂足分别为M，N，且当AB垂直于x轴时，12MN=．（1）C的标准方程；（2）设点()231,0P−，判断是否存在0t，使得11PMtPNt+−−为定值？若存在，求t的值；若不存在，说明理由．22.（本题12分）已知函数()(

)11lnfxaxaxx=+−+，aR．（1）讨论函数()fx的单调性；（2）若关于x的方程()1lnxfxxexx=−+有两个不相等的实数根1x，2x，（ⅰ）求实数a的取值范围；（ⅱ）求证：1221122xxeeaxxxx+．的2024届高三第二次月考数学答案题123456789101

112答AABCDBDCBCACACBCD13.642+14.1（或0）15.5216.2[,0)e−17．【解析】（1）因为141nnnaaS+=−，所以12141nnnaaS+++=−．两式相减，得()1214nnnnaaaa+++

−=．因为10na+，所以24nnaa+−=．所以21na−是以1为首项，4为公差的等差数列，2na是以3为首项，4为公差的等差数列．所以211(1)443nann−=+−=−，23(1)441nann=+−=−．故21nan=−．（2）因为1111111nnnnn

nnnnaSSSSSSSS+++++−==−，所以122311111111111nnnnTSSSSSSSS++=−+−++−=−．因为2(121)2nnnSn+−==，所以211(1)nTn=−+．18.（1）在△ABC中，由余弦定理可得：2222cosabcbcA=+−，即2222()3

abcbcbcbc=+−=+−，又因为6abc++=，所以22[6()]()3bcbcbc−+=+−，整理可得：124()bcbc−+=−，所以()124bcbc+=+得证.（2）由（1）可知：()124bcbc+=+，所以

1242bcbc+，当且仅当bc=时取等号，所以6bc或2bc，因为6bc+，所以2bc，则4bc，所以13sin4324ABCSbcA==，故△ABC面积的最大值为3.19．【解析】（1）因为点D为棱A

C的中点，DADB=，所以BCAB⊥．1分因为1BC⊥平面ABC，AB平面ABC，所以1BCAB⊥．又因为1BCBCC=，1,BCBC平面11BCCB，所以AB⊥平面11BCCB．3分因为1CC平面11B

CCB，所以1ABCC⊥．4分（2）设1(0)CBtt=．以CA为x轴，1CB为z轴，过点C与CA垂直的直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则1(0,0,0),(4,0,0),(2,0,0),(1,3,0),(0,0,)C

ADBBt．5分所以1(1,3,),(1,3,0),(1,3,0)BBtBCBD=−−=−−=−，6分设平面1BDC的法向量为(,,)nxyz=，所以130,2230.nBDxynBCxytz=−==−−+=令3

xt=，则yt=，43z=．所以(3,,43)ntt=．8分所以1122122233cos,48||444816BBtBBBBtttt===++++nnn10分333342238316−==++„（当且仅当2248tt=，即423t=时，等号成立）．所以直线1BB

与平面1BDC所成角的正弦的最大值为334−．12分20.解:设妻子驾车天数为X,则X的可能取值为:0,1,2,由题意可知:()1111024432PX===,()111311319111242424432PX==++=,()13321248PX===,所以X的分布列如下表所示

:X012P132193238所以()1193431232328302EX+==+;【小问2详解】假设第n1−()2n天,丈夫驾车的概率为1np−,则妻子驾车的概率为11np−−,此时第n天时,由丈夫驾车的概率为111311414nnnnpppp−−−=+

−−=,即1443nnpp−−=,则有1434477nnpp−−=−−,所以1437447nnpp−−=−−,因为1414172714p−=−=−,所以47np−是以114−为首项,34−为公比的等比数列,即14137144nnp−

−=−−,故*1413,7144Nnnnp−=−−21,由题可知，焦距28c=，所以4c=，当AB垂直于x轴时，2212bMNABa===，又22216cab=+=，联立2222

1216baab=+=，解得2a=或8a=−（舍），所以212b=则C的标准方程为221412xy−=；【小问2详解】如图，①当直线斜率不存在时，此时()()4,6,4,6AB−−−，则()()1,6,1

,6MN−−−，所以()2223643PMPN=+==，要使得11PMtPNt+−−为定值，则43t；②当直线斜率存在时，设直线AB方程为()4ykx=+，()()1122,,,AxyBxy，则()

()121,,1,MyNy−−，由于,AB均在左半支，所以3bka=，且120,0xx，所以()2241412ykxxy=+−=，消去y得()22223816120kxkxk−−−−=，则212221228316123

kxxkkxxk+=−+=−−所以()22221111231233PMyyxx=+=+==−，同理()2222233PNyx=+=−，则()()1221212123211113333xxtPMtPNtxtxtxxtxxt−+−+=+=−−−−−−+++()()

22222222222832243634836834333633kttktkktktkttkk−−−−−==−−−−+−++−−，要使得11PMtPNt+−−为定值，则满足()()22243633643tttt−−=−−−，解得3t=，此时11239PMtPNt+=−−，

经检验，此结果也符合斜率不存在的情况综上，存在3t=使得11PMtPNt+−−为定值.22．解：（1）因为()()11lnfxaxaxx=+−+，所以()()()211xaxfxx+−=，①当0a时，()0fx，所以函数()fx在()0,+上单调递减；②当0a时，

由()0fx得1xa，所以函数()fx在1,a+上单调递增，在10,a上单调递减．综上：当0a时，函数()fx在()0,+上单调递减；当0a时，函数()fx在1,a+上单调递增，在10,a上单调递减．（4分）（2）（ⅰ）方程

()1lnxfxxexx=−+可化为lnxxeaxax=+，即()lnlnxxeaxx+=+．令()lntxxx=+．因为函数()tx在()0,+上单调递增，结合题意，关于t的方程teat=（*）有两个不等的实根．又因为0t=不是方程（*）的实根

，所以方程（*）可化为teat=．令()tegtt=，则()()21tetgtt−=．易得函数()gt在(),0−和()0,1上单调递减，在()1,+上单调递增．结合函数的图象可知，实数a的取值范围是(),e+．（8分）（ⅱ）要证12211

22xxeeaxxxx+，只需证122tteea+．因为teat=，所以只需证122tt+．由（ⅰ）知，不妨设1201tt．因为teat=，所以lnlntat=+，即1122lnlnlnlntattat=+=+，2211lntttt−=．所以只需证2122

112lntttttt+−，即只需证212211121lntttttt+−．令()211tttt=，只需证()21ln1ttt−+．令()()21ln1thttt−=−+，1t，则()()()()222114011t

httttt−=−=++，所以()ht在()1,+上单调递增，故()()10hth=，即()0ht在()1,+上恒成立．所以原不等式得证．（12分）获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com