【文档说明】北京市铁路第二中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题 Word版.docx，共(6)页，371.537 KB，由小赞的店铺上传

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北京市铁路第二中学2024-2025学年第一学期高三数学期中考试试卷2024.11（试卷满分150分；考试时长120分钟）一､选择题（共10个题，每题4分，计40分）1.设全集U=R，集合|2Ax

x=，|1Bxx=，则集合()UAB=ð（）A.(),2−B.)2,+C.()1,2D.()),12,−+2.函数f(x)＝x1x−是（）A.奇函数，且值域为（0，+∞）B.奇函数，且值域为RC.偶函数，且值域（0，+∞）D.偶函数，且值域为R3

.已知三条不同的直线,,lmn和两个不同的平面,，下列四个命题中正确的为（）A.若,mn∥∥，则mn∥B.若,lmm∥，则l∥C.若,∥∥ll，则∥D.若,ll⊥∥，则⊥4

.已知函数()πsin26fxx=−，则下列四个结论中正确的是（）A.函数()fx的图象关于5π,012中心对称B.函数()fx的图象关于直线π8x=−对称C.函数()fx在区间()π,π−内有4个零点为D.函数()fx在区间π,02−上单调递增5.已知1x−

，那么在下列不等式中，不成立的是A.210x−B.12xx+−C.sin0xx−D.cos0xx+6.设向量,ab→→满足1ab→→==，12ab→→=，则()axbxR→→+的最小值为（）A.52B.32C.1D.27.已知过点P(2,2)的直线与圆22(1)5xy−+=相切,且

与直线10axy−+=垂直,则a=（）A.12−B.1C.2D.128.设na为等比数列，则“对于任意的*2,mmmaa+N”是“na为递增数列”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C充分必要条件D.既不充分也不必要条件9.中国茶文化博大精深．茶水口感与茶叶类型和

水温度有关．经验表明，某种绿茶用85℃的水泡制，再等到茶水温度降至60℃时饮用，可以产生最佳口感．已知室内的温度为25℃，设茶水温度从85℃开始，经过x分钟后的温度为y℃．y与x的函数关系式近似表示为600.92

325xy=+，那么在25℃室温下，由此估计，刚泡好的茶水大约需要放置多少分钟才能达到最佳口感（参考数据：ln0.9230.08,ln12ln70.54−−）（）A.8B.7C.6D.510.如图，在棱长为1的正方体1

111ABCDABCD−中，点P是对角线1AC上的动点（点P与1,AC不重合）．则下面结论中错误的是A.存在点P，使得平面1ADP∥平面11BCD.的B.存在点P，使得1AC⊥平面1ADPC.12,SS分别是△1ADP在平面1111DCBA，平面11BBCC上的正投影图形的面积，对

任意点P，12SSD.对任意点P，△1ADP的面积都不等于26二､填空题（共6个题，每题4分，计24分）11.若直线1l:28axy+=与直线2l:(1)40xay+++=平行,则a=__________.12.在622xx+

的展开式中，常数项为__________.（用数字作答）13.在等差数列{an}中，若a1+a2＝16，a5＝1，则a1＝_____；使得数列{an}前n项的和Sn取到最大值的n＝_____.14.在矩形ABCD中，若1AB=，13BEBC=，且ABAEADAE=，则AD的值为______，A

EAC的值为______.15.颗粒物过滤效率是衡量口罩防护效果的一个重要指标，计算公式为outinout100%CCC−=，其中outC表示单位体积环境大气中含有的颗粒物数量（单位：ind./L），inC表示经口罩过滤

后，单位体积气体中含有的颗粒物数量（单位：ind./L）．某研究小组在相同的条件下，对两种不同类型口罩的颗粒物过滤效率分别进行了4次测试，测试结果如图所示．图中点ijA的横坐标表示第i种口罩第j次测试时outC的值，纵坐标表示第i种口罩第j次测试时inC的值()1,2,1,2,3,4ij==．该研

究小组得到以下结论：①在第1种口罩的4次测试中，第4次测试时的颗粒物过滤效率最高;②在第2种口罩的4次测试中，第3次测试时的颗粒物过滤效率最高;③在每次测试中，第1种口罩的颗粒物过滤效率都比第2种口罩的颗粒物过滤效率高;④在第3次和第4次测试

中，第1种口罩的颗粒物过滤效率都比第2种口罩的颗粒物过滤效率低．其中，所有正确结论的序号是__________．16.设函数()()1,0,22,0.xaaxaxxfxx−−+=+给出下列四

个结论：①对0a，tR，使得()fxt=无解；②对0t，aR，使得()fxt=有两解；③当0a时，0t，使得()fxt=有解；④当2a时，tR，使得()fxt=有三解.其中，所有正确结论的序号是______.三､解

答题（共6个大题，共计86分）17.在ABCV中，2c=，30C=，在从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使其能够确定唯一的三角形，求：（1）a的值；（2）ABCV的面积.条件①：23ba=；条件②：45A=；条件③：23b=.注：如果选择多个条件分别解答，

按第一个解答计分.18.如图，在三棱锥VABC−中，平面VAC⊥平面ABC，△ABC和△VAC均是等腰直角三角形，ABBC=，2ACCV==，M，N分别为VA，VB的中点.（Ⅰ）求证：//AB平面CMN；（Ⅱ）求证：ABVC⊥；（Ⅲ）求直线VB

与平面ABC所成角的正弦值.19.近年来，随着5G网络、人工智能等技术的发展，无人驾驶技术也日趋成熟．为了尽快在实际生活中应用无人驾驶技术，国内各大汽车研发企业都在积极进行无人驾驶汽车的道路安全行驶测试．某机构调查了部分企业参与测试的若干辆无人驾驶汽车，按照每辆车的行驶里程（单位：万

公里）将这些汽车分为4组：)5,6，)6,7，)7,8，8,9并整理得到如下的频率分布直方图：（I）求a的值；（Ⅱ）该机构用分层抽样的方法，从上述4组无人驾驶汽车中随机抽取了10辆作为样本．从样本中行驶里程不小于7万公里的无人驾驶汽车中随机抽取2辆，其中有X辆汽车行驶里程不小于8

万公里，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）设该机构调查所有无人驾驶汽车的行驶里程的平均数为0．若用分层抽样的方法从上述4组无人驾驶汽车中随机抽取10辆作为样本，其行驶里程的平均数为1;若用简单随机抽样的方法从上述

无人驾驶汽车中随机抽取10辆作为样本，其行驶里程的平均数为2．有同学认为0102−−，你认为正确吗？说明理由．20已知函数()xfxeax=−.（aR）（Ⅰ）求函数()fx的单调区间；（Ⅱ）若3a=，()fx的图象与y轴交于点A，求()yfx=在点A处

的切线方程；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，证明：当0x时，2()31fxxx−+恒成立．21.已知函数()()2sincosfxxxxaxaR=−−.（1）若曲线()yfx=在点()()0,0f处的切线的斜率为1.

（ⅰ）求a的值；（ⅱ）证明：函数()fx在区间()0,内有唯一极值点；（2）当1a时，证明：对任意()0,x，()0fx.22.已知数列na是由正整数组成的无穷数列.若存在常数*kN，使得212nnnaaka−+=对任意的*Nn成立，则称数列na具有性质()Ψk.（1）分别

判断下列数列na是否具有性质()Ψ2；（直接写出结论）的.①1na=；②2nna=.（2）若数列na满足()11,2,3,nnaan+=，求证：“数列na具有性质()Ψ2”是“数列na为常数列”的充分必要条件；（3）已知数列na中11a=，且()11,2,3,nna

an+=.若数列na具有性质()Ψ4，求数列na的通项公式.