【文档说明】北京市铁路第二中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题 Word版含解析.docx，共(23)页，1.198 MB，由小赞的店铺上传

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北京市铁路第二中学2024-2025学年第一学期高三数学期中考试试卷2024.11（试卷满分150分；考试时长120分钟）一､选择题（共10个题，每题4分，计40分）1.设全集U=R，集合|2Axx=，|1Bxx=，则集合()UAB=ð（）A.(),2−B.)2,

+C.()1,2D.()),12,−+【答案】D【解析】【分析】根据集合的补集、并集运算求解即可.【详解】因为全集U=R，集合|2Axx=，|1Bxx=，所以|2UAxx=ð，()UAB

=ð()),12,−+.故选：D2.函数f(x)＝x1x−是（）A.奇函数，且值域为（0，+∞）B.奇函数，且值域RC.偶函数，且值域为（0，+∞）D.偶函数，且值域为R【答案】B【解析】【分析】

由奇偶性定义，求出函数f(x)为奇函数，再求出函数的导数，分析其单调性可得在区间（﹣∞，0）和（0，+∞）上都是增函数，且f（1）＝f（﹣1）＝0；作出函数的草图，分析其值域，即可得答案.【详解】根据题意，函数f(x)＝x1x−，其定义域为{x|x≠0}，有f（﹣x）＝（

﹣x）﹣（1x−）＝﹣（x1x−）＝﹣f(x)，即函数f(x)为奇函数，为其导数f′(x)＝121x+，在区间（﹣∞，0）和（0，+∞）上都是增函数，且f（1）＝f（﹣1）＝0；其图象大致如图：其值域为R；故选：B.【点睛】本题考查函数奇偶性的

判断，值域的求解，属于基础题3.已知三条不同的直线,,lmn和两个不同的平面,，下列四个命题中正确的为（）A.若,mn∥∥，则mn∥B.若,lmm∥，则l∥C.若,∥∥ll，则∥D.若,ll⊥∥，则

⊥【答案】D【解析】【分析】求得,mn位置关系判断选项A；求得,l位置关系判断选项B；求得,位置关系判断选项C，D.【详解】选项A：若,mn∥∥，则mn∥或,mn异面或,mn相交.判断错误；选项B：若,lmm∥，则l∥

或l.判断错误；选项C：若,∥∥ll，则∥或,相交.判断错误；选项D：若l∥，则必有,lll∥，又l⊥，则l⊥，则⊥.判断正确.故选：D4.已知函数()πsin26fx

x=−，则下列四个结论中正确的是（）A.函数()fx的图象关于5π,012中心对称B.函数()fx的图象关于直线π8x=−对称C.函数()fx在区间()π,π−内有4个零点D.函数()fx在

区间π,02−上单调递增【答案】C【解析】【分析】利用正弦型函数的对称性可判断A，C选项的正误；在区间()π,π−上解方程()0fx=，可判断B选项的正误；利用正弦型函数的单调性可判断D选项的正

误.【详解】A选项，5π5ππ2π3sin2sin01212632f=−==，A错误；B选项，ππππsin2sin188612f=−=，B错误；C选项，当()π,πx−时，13ππ11π2666x−−，当π22π,π,0,π6

x−=−−时，πsin206x−=，解得11π12x=−或5π12x=−或π12x=或7π12x=，故函数()fx在区间()π,π−内有4个零点，C正确；D选项，由πππ2π22π262kxk−+−+，Zk，解得ππππ,Z63kxkk−++，所以()fx单调递增区间

为ππ[π,π]63kk−++，Zk，令0k=，得,63−，1k=−，得7π2π,63−−，所以()fx在区间π,02−上不是单调递增的，D错误．故选：C．5.已知1x−，那

么在下列不等式中，不成立的是A.210x−B.12xx+−C.sin0xx−D.cos0xx+【答案】D【解析】【分析】利用作差法可判断A、B选项的正误，利用正弦、余弦值的有界性可判断C、D选项的正误.综合可得出结论.【详解】

1x−Q，则()()21110xxx−=−+，()22112120xxxxxxx+++++==，又sinx、cos1,1x−，sin0xx−，cos0xx+.可得：ABC成立，D不成立.故选：D.【点睛】本题考查不等式正误的判断，一般利用

作差法来进行判断，同时也要注意正弦、余弦有界性的应用，考查推理能力，属于中等题.6.设向量,ab→→满足1ab→→==，12ab→→=，则()axbxR→→+的最小值为（）A.52B.32C.1D.2【答案】B【解析】【分析】两边平方，得出2axb→→+关于x的二

次函数，从而得出最小值.【详解】解：222222132124axbaxabxbxxx→→→→→→+=++=++=++∴当12x=−时，axb→→+取得最小值3342=.故选：B【点睛】本题考查向量的模的求解方法，利用二次函数求最值，考查运算能力，是中档题..7.已

知过点P(2,2)的直线与圆22(1)5xy−+=相切,且与直线10axy−+=垂直,则a=（）A.12−B.1C.2D.12【答案】C【解析】【详解】试题分析：设过点(2,2)P的直线的斜率为k，则直线方程(22)ykx−=−，即

220kxyk−+−=，由于和圆相切，故2|22|51kkk+−=+，得12k=−，由于直线220kxyk−+−=与直线10axy−+=，因此112a−=−，解得2a=，故答案为C.考点：1、直线与圆的位置关系；2、两条直线垂直的应用.8.设na为等比数列，则“对于任意的*2,mmmaa+

N”是“na为递增数列”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据充分、必要条件、等比数列的单调性等知识进行分析，从而确定正确答案.【详解】充分性：设等比数列na的公比为,0q

q，若()22210mmmmmaaaaaq++−=−，情形一：当10a时，由()2110aq−得210q−，解得1q−或1q，若1q−，则120aaq=，此时()2210aq−与已知矛盾；若1q

，则0na，此时na为递增数列；情形二：当10a，由()2110aq−得210q−，解得10q−或01q，若10q−，则210aaq=，此时()2210aq−与已知矛盾；若01q，则0na，此时na为递增数列；必要性：反之，若na为递增数列，则

21mmmaaa++，所以“对于任意的*2,mmmaa+N”是“na为递增数列”的充分必要条件.故选：C.9.中国茶文化博大精深．茶水口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种绿茶用85℃的水泡制，再等到茶水温度降至60℃时饮用，可以产生最佳口感．已知室内的温度为25℃，设茶水温

度从85℃开始，经过x分钟后的温度为y℃．y与x的函数关系式近似表示为600.92325xy=+，那么在25℃室温下，由此估计，刚泡好的茶水大约需要放置多少分钟才能达到最佳口感（参考数据：ln0.9230.08,ln12ln70.54−−）（）A.8B.7C.6D.5【答案】

B【解析】【分析】根据题意代入数据，列出等量关系式，利用对数的运算性质化简即可求得.【详解】由题意降至60℃时口感最佳，即60y=，带入函数关系式即得60600.92325x=+，即70.92312x=，两边同时取对数，得ln0.923ln7ln12x=−，所以ln7ln120.547ln0.

9230.08x−=.故选：B10.如图，在棱长为1的正方体1111ABCDABCD−中，点P是对角线1AC上的动点（点P与1,AC不重合）．则下面结论中错误的是A.存在点P，使得平面1ADP∥平面11BCDB.存在点P，使得1AC⊥平面1ADPC.12,SS分别

是△1ADP在平面1111DCBA，平面11BBCC上的正投影图形的面积，对任意点P，12SSD.对任意点P，△1ADP的面积都不等于26【答案】C【解析】【分析】根据空间中点、线、面位置关系，逐项判断即可得出结果.【详解】对于A，因为平

面1BDA平面11BCD，所以，当直线1AC交平面1BDA于点P时，有1ADP平面11BCD，所以，A正确．对于B，可证明1AC⊥平面1BDA，所以，当直线1AC交平面1BDA于点P时，有1AC⊥平面1DPA，B正确；对于C，因为设1APxAC=，（其中01x），则△1ADP在平面1111D

CBA的正投影面积为11111122xSADxAB==；又△1ADP在平面11BBCC上的正投影图形的面积与在平面11AADD的正投影图形面积相等，所以211111D222SAxADx=−=−，若12SS=，则122xx=−，解得1x=或13x=，因为01x，

所以13x=，故存在点P，使得12SS=；C错误；对于D，由于1DA固定不变，只要找1AC上的点到1DA的距离最短即可，取1DA中点O，连结OPOA、，在正方体中，易证1DA⊥平面1ACD，1BA⊥平

面11ACB，因此，11DAAC⊥，11BAAC⊥，所以可得1AC⊥平面1BDA，因此，1ACOP⊥；又1DA⊥平面1ACD，所以1DAOP⊥，所以OP为直线1AC与1DA的公垂线，此时△1ADP的面积

最小；因为在正方体中，易知11333APAC==，又11222AOAD==，所以2266OPAOAP=−=，因此，11132266ADPSADOP==；所以对任意点P，△1ADP的面积都不等于26,D正确.故选C【点睛】本题主要考查空间中点线面位置关

系，熟记位置关系，以及线面垂直、面面平行的判定等即可，属于常考题型.二､填空题（共6个题，每题4分，计24分）11.若直线1l:28axy+=与直线2l:(1)40xay+++=平行,则a=__________.【答案】1【解析】【分析】根据两直线平行的性质，

(1)20aa+−=即可求解，同时要排除重合的情况.【详解】因为直线1l:28axy+=与直线2l:()140xay+++=平行，所以(1)20aa+−=，解得1a=或2a=−，当2a=−时，1l与2l重合，故答案为：

1.【点睛】本题考查了两条直线平行的位置关系的判定，属于中档题.解题时注意平行关系,要防止两条直线重合.12.在622xx+的展开式中，常数项为__________.（用数字作答）【答案】60【解析】【

分析】根据二项式定理的通项公式，利用x项的指数为0即为常数项.【详解】由622xx+的展开式的通项为66316622CC2kkkkkkkTxxx−−+==，令630k−=，2k=，则22036C260Tx

==，即在622xx+的展开式中，常数项为60，故答案为：60.13.在等差数列{an}中，若a1+a2＝16，a5＝1，则a1＝_____；使得数列{an}前n项的和Sn取到最大值的n＝_____.【答案】

①.9②.5.【解析】【分析】设等差数列{an}的公差为d，由a1+a2＝16，a5＝1，可得2a1+d＝16，a1+4d＝1，解得：a1，d，可得an，令an≥0，解得n即可得出.【详解】解：设等差数列{an}的公差为d，∵a1+a2＝16，a5＝1，∴2a1+d

＝16，a1+4d＝1，解得：a1＝9，d＝﹣2.∴an＝9﹣2（n﹣1）＝11﹣2n.令an＝11﹣2n≥0，解得n112=512+.∴使得数列{an}前n项的和Sn取到最大值的n＝5.故答案为：9；5.

【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列前n项的和的最值，考查学生的计算能力，是中档题.14.在矩形ABCD中，若1AB=，13BEBC=，且ABAEADAE=，则AD的值为______，AEAC的值为______.【答案】①.3②.2【解析】

【分析】建立平面直角坐标系，设ADa=，利用坐标法求出ABAE、ADAE，即可求出a的值，最后利用坐标法求出平面向量数量积.【详解】如图建立平面直角坐标系，设ADa=，则()0,0A，()10B,，()0,Da，()1,Ca，因为13BEBC=，所以1,3aE，所以(

)1,0AB=，1,3aAE=，()0,ADa=，所以1ABAE=，23aAEAD=，因为ABAEADAE=，所以213a=，解得3a=或3a=−（舍去），所以()1,3AC=，31,3AE=

，所以311323ACAE=+=.故答案为：3；215.颗粒物过滤效率是衡量口罩防护效果的一个重要指标，计算公式为outinout100%CCC−=，其中outC表示单位体积环境大气中含有的颗粒

物数量（单位：ind./L），inC表示经口罩过滤后，单位体积气体中含有的颗粒物数量（单位：ind./L）．某研究小组在相同的条件下，对两种不同类型口罩的颗粒物过滤效率分别进行了4次测试，测试结果如图所示．图中点ijA的横坐

标表示第i种口罩第j次测试时outC的值，纵坐标表示第i种口罩第j次测试时inC的值()1,2,1,2,3,4ij==．该研究小组得到以下结论：①在第1种口罩的4次测试中，第4次测试时的颗粒物过滤效率最高;②在第2种口罩的4

次测试中，第3次测试时的颗粒物过滤效率最高;③在每次测试中，第1种口罩的颗粒物过滤效率都比第2种口罩的颗粒物过滤效率高;④在第3次和第4次测试中，第1种口罩的颗粒物过滤效率都比第2种口罩的颗粒物过滤效率低．其中，所有正确结论的序号是__________．【答案

】②④【解析】【分析】先根据题意分析得直线ijOA的斜率inoutCkC=越大，颗粒物过滤效率越小，再看图逐一分析结论即可.【详解】依题意，outininoutout100%1100%CCCCC−==

−，知直线ijOA的斜率inoutCkC=越大，颗粒物过滤效率越小.看图分析如下：在第1种口罩的4次测试中，四条直线1(1,2,3,4)jOAj=中，直线14OA斜率最大，故最小，第4次测试时的颗粒物过滤效率最低，则①错误；在第2种口罩的4次测试中，四条直线2(1,

2,3,4)jOAj=中，直线23OA斜率最小，故最大，第3次测试时的颗粒物过滤效率最高，则②正确；在第1次和第2次测试中，直线2jOA斜率大于1jOA斜率，(1,2)j=，即第1种口罩的颗粒物过滤效率高，在第3次和第4次测试中，1jOA斜率大于直线2jOA，斜率(1

,2)j=，即第2种口罩的颗粒物过滤效率高，故③错误，④正确.故答案为：②④.16.设函数()()1,0,22,0.xaaxaxxfxx−−+=+给出下列四个结论：①对0a，tR，使得()fxt=无解；②对0t，aR，使得()fxt=有两解；③当0a时，0t

，使得()fxt=有解；④当2a时，tR，使得()fxt=有三解.其中，所有正确结论的序号是______.【答案】③④【解析】【分析】取3a=，由一次函数的单调性和基本不等式，可得函数𝑓(𝑥)的值域，可判断①的正误；当0t时，可以否定②；考虑0a时，求得函数𝑓(𝑥)的值域，

即可判断③；当2a时，结合一次函数的单调性和基本不等式，以及函数𝑓(𝑥)的图象，即可判断④.综合可得出结论.【详解】对于①，可取3a=，则()()3331,0,22,0.xxxxfxx−−+=+，当0x时，()()()31,3fxx=+−；当0x时，()3333

222222xxxxfx−−−−=+=，当且仅当3x=时，取得等号，故3a=时，𝑓(𝑥)的值域为R，∴tR，()fxt=都有解，故①错误；对于②，当0t时，由于对于任意()0,220xxxfx−=+,()fxt=无解；0x时，()()1fxaxt=+=，对任意的a,至多有一

个实数根，故②错误；对于③，当0a时，0x时，()()1fxax=+单调递减，可得()fxa；又0x时，0xa−，即有21xa−.可得222xaax−−+，则𝑓(𝑥)的值域为(),+a，∴0t，()fxt=都有解，故③正确

；对于④，当2a时，0x时，()()1fxax=+递增，可得()fxa；当0x时，()222xaaxfx−−=+，当且仅当xa=时，取得等号，由图象可得，当2ta时，()fxt=有三解，故④正确.故答案为：③④.【点睛】本题考查分段函数的应用，主要考查方程根的个数问题，注意运

用反例法判断命题不正确，考查推理能力，属于中等题.三､解答题（共6个大题，共计86分）17.在ABCV中，2c=，30C=，在从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使其能够确定唯一的三角形，求：（1）a的值；（2）ABCV的面积.条件①：23ba=；条件②：4

5A=；条件③：23b=.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）选择条件①4a=；选择条件②22a=；选择条件③不合题意.（2）选择条件①23ABCS=；选择条件②31ABCS=+.【解析】【分析】（1）选条件①时，直接利用余弦定理的

应用求出a的值；选条件②时，利用正弦定理的应用求出a的值；选条件③时，由于出现与已知条件中三角形有一解相矛盾，故舍去.（2）选条件①时，利用勾股定理证明ABCV为直角三角形，可求出三角形的面积；选条件②时，利用三角函数的关系式求出sinB，应用三角形面积公式的求出结

果．【小问1详解】（1）选择条件①，23ba=，由于30C=，2c=，所以222223423cos22322aaabcCabaa+−+−===，解得4a=；选择条件②，45A=，由于30C=，2c=，由正弦定理sinsincaCA=，sin22sincAaC==.选择条

件③，23b=，由正弦定理sinsincbCB=，得2sisn3inBbCc==，此时60B=或120B=，三角形不唯一，不合题意．【小问2详解】选择条件①，23ba=，由4a=，则23b=，满足222abc=+

，故ABCV为直角三角形，所以3122ABCSbc==；选择条件②，45A=，在ABCV中，()62sinsinsincoscossin4BACACAC+=+=+=，所以1162sin22231224ABCSacB+===+.18.如图，在三棱锥VABC−中，平

面VAC⊥平面ABC，△ABC和△VAC均是等腰直角三角形，ABBC=，2ACCV==，M，N分别为VA，VB的中点.（Ⅰ）求证：//AB平面CMN；（Ⅱ）求证：ABVC⊥；（Ⅲ）求直线VB与平面ABC所成角的正弦值.【

答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）63.【解析】【分析】（Ⅰ）由线面平行的判断定理，即可证明；（Ⅱ）首先由面面垂直的性质定理，转化为线面垂直，即VC⊥平面ABC，即可证明线线垂直；（Ⅲ）根据（Ⅱ）的结果，VBC

即是所求线面角，VBC△内计算正弦值.【详解】证明：（Ⅰ）在△VAB中，M，N分别为VA，VB的中点，所以MN为中位线.所以//MNAB.又因为AB平面CMN，MN平面CMN，所以//AB平面CMN（Ⅱ）在等腰直角三角形△VAC中，ACCV=，所以VCAC⊥.因为平面VAC⊥平面AB

C，平面VAC平面ABCAC=，VC平面VAC，所以VC⊥平面ABC.又因为AB平面ABC，所以ABVC⊥.（Ⅲ）由（Ⅱ）知，VC⊥平面ABC，直线VB与平面ABC所成角为VBC，因为ABCV是等腰直角三角形，2AC=，所以2ABBC==,所以

()22226VB=+=所以26sin36VCVBCVB===19.近年来，随着5G网络、人工智能等技术发展，无人驾驶技术也日趋成熟．为了尽快在实际生活中应用无人驾驶技术，国内各大汽车研发企业都在积极进行无人驾驶汽车的道路安全行驶测试．某机构调查了部分企业参与测试的若干辆无人驾驶

汽车，按照每辆车的行驶里程（单位：万公里）将这些汽车分为4组：)5,6，)6,7，)7,8，8,9并整理得到如下的频率分布直方图：（I）求a的值；（Ⅱ）该机构用分层抽样的方法，从上述4组无人驾驶汽车中随机抽取了10辆作为

样本．从样本中行驶里程不小于7万公里的无人驾驶汽车中随机抽取2辆，其中有X辆汽车行驶里程不小于8万公里，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）设该机构调查的所有无人驾驶汽车的行驶里程的平均数为0．若用分层抽样的方

法从上述4组无人驾驶汽车中随机抽取10辆作为样本，其行驶里程的平均数为1;若用简单随机抽样的方法从上述无人驾驶汽车中随机抽取10辆作为样本，其行驶里程的平均数为2．有同学认为0102−−，你认为正确吗？说明理

由．【答案】（I）0.3；（Ⅱ）分布列见解析，67；（Ⅲ）不正确，理由见解析.【解析】【分析】的（I）根据频率分布直方图概率之和等于1，即可求得a的值（Ⅱ）按照分层抽样比分别求出行驶里程在)7,8和)8,9的无人驾

驶汽车数量，X的所有可能取值为0,1,2，求出相应的概率即可列出分布列，求出数学期望.（Ⅲ）由于样本具有随机性，故1，2是随机变量，受抽样结果的影响，这种说法不正确.【详解】（I）由题意可知:()10.10.20.41a+++=，所以0.3a=；（Ⅱ）4组无人驾驶汽车的数量比为1:

2:4:3，若使用分层抽样抽取10辆汽车，则行驶里程在)7,8这一组的无人驾驶汽车有410410=辆，则行驶里程在)8,9这一组的无人驾驶汽车有310310=辆，有题意可知：X的所有可能取值为0,1,2()2427207C

PXC===，()114327417CCPXC===，()2327127CPXC===，所以X的分布列为X012P274717所以X的数学期望为()24160127777EX=++=.（Ⅲ）这种说法不

正确，理由如下：由于样本具有随机性，故1，2是随机变量，受抽样结果的影响.因此有可能1更接近0，也有可能2更接近0，所以0102−−不恒成立，所以这种说法不正确.【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查离散型随机变量的

分布列和期望，属于中档题.20.已知函数()xfxeax=−.（aR）（Ⅰ）求函数()fx的单调区间；（Ⅱ）若3a=，()fx的图象与y轴交于点A，求()yfx=在点A处的切线方程；（Ⅲ）在（Ⅱ）的

条件下，证明：当0x时，2()31fxxx−+恒成立．【答案】（Ⅰ）0a时，()fx单调增区间为R，无单调减区间，0a时，()fx单调增区间为()ln,a+，单调减区间为(),lna−.（Ⅱ）21yx=−+（Ⅲ）证明见解析【解析】【分析】（Ⅰ）对()fx

求导，得到()fx，对a按照0a和0a进行分类讨论，研究()fx的正负，从而得到()fx的单调区间；（Ⅱ）将0x=代入()fx，得到切线斜率，点斜式写出切线方程；（Ⅲ）令()2()(31)gxfxxx=−−+，得到()2xgxex

=−，令()()hxgx=，得到()e2xhx=−，从而得到()()ln20hxh，得到()gx在(),−+上单调递增，即()()01010gxg=−−=，从而使得原命题得证.【详解】解：（Ⅰ）()xfxea=−，当0a

时，()0fx恒成立，所以()fx在R上单调递增，当0a时，令()0fx=，解得lnxa=.当x变化时，()fx，()fx的变化情况如下表：x(,ln)a−lna(ln,)a+()fx–

0+()fx减极小值增所以0a时，()fx在(),lna−上单调递减，在()ln,a+上单调递增.综上所述，0a时，()fx单调增区间为R，无单调减区间，0a时，()fx单调增区间为()ln,a+，单调减区间为(),lna−.（

Ⅱ）3a=时，()3xfxex=−令0x=，得1y=，则()0,1A，因为()e3xfx=−，所以()0132f=−=−，所以在A点处的切线方程为12(0)yx−=−−，即21yx=−+.（Ⅲ）证明：令()2

2()(3+1)=e1xgxfxxxx=−−−−，则()2xgxex=−.令()e2xhxx=−，则()e2xhx=−，当0ln2x时，()0hx，()hx单调递减，当ln2x时，()0hx，()hx单调递增；所以()()ln2ln2e2ln222ln20hxh=−=−，即

()0gx恒成立.所以()gx在(),−+上单调递增，所以()()01010gxg=−−=，所以2e10xx−−，即当0x时，()231fxxx−+恒成立．【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间，根据导数的几何意义求函数图像在一点的切线，利用导数研究不等式恒成立问题，

属于中档题.21.已知函数()()2sincosfxxxxaxaR=−−.（1）若曲线()yfx=在点()()0,0f处的切线的斜率为1.（ⅰ）求a的值；（ⅱ）证明：函数()fx在区间()0,内有唯一极值点；（2）当1a时，证明：对任意()0,x，()0fx.

【答案】（1）（ⅰ）0；（ⅱ）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）（ⅰ）先对函数求导，然后把0x=代入导函数中使其值等于零，可求出a的值；（ⅱ）令()()gxfx=，则()cosgxxx=，可得()gx在()

0,上的单调性，也是()fx在()0,上的单调性，而()010g=，022g=，()10g=−，所以存在唯一的0(,)2x是()0fx=的变号零点，故函数()fx在区间()0,内有唯一极值点；（2）由（1）可知，()fx在0,2

内单调递增，在,2ππ内单调递减，当1a时，()010fa=−，()1fa=−−，所以分两类讨论：（i）若()10fa=−−，易证()fx在()0,内单调递增，()()00fxf=，符合题意，（ii）若()10

fa=−−，可得在区间,2ππ内()fx有且只有一个零点，记为1x，而函数()fx在()10,x内单调递增，在()1,x内单调递减，可得()0fx，符合题意.【详解】（1）（ⅰ）因为()2s

incosfxxxxax=−−，所以()()2coscossincossinfxxxxxaxxxa=−−−=+−.因为曲线()yfx=在点()()0,0f处的切线的斜率为1，所以()01f=，即11a−=，故0a=.经检验，符合题意.（ⅱ）由（ⅰ）可

知()2sincosfxxxx=−，()cossinfxxxx=+.设()()gxfx=，则()cosgxxx=令()0gx=，又()0,x，得2x=.当0,2x时，()0gx﹔当,2x

时，()0gx，所以()gx在0,2内单调递增，在,2ππ内单调递减.又()01g=，22g=，()1g=−，因此，当0,2x时，()()00

gxg，即()0fx，.此时()fx在区间0,2上无极值点；当,2x时，()0gx=有唯一解0x，即()0fx=有唯一解0x，且易知当0,2xx时，()0fx，当()0,xx时，()0fx，故此时()fx在区间,2ππ

内有唯一极大值点0x.综上可知，函数()fx在区间()0,内有唯一极值点.（2）因为()cossinfxxxxa=+−，设()()hxfx=，则()coshxxx=.令()0hx=，又()0,x，得2

x=.且当0,2x时，()0hx﹔当,2x时，()0hx，所以()fx在0,2内单调递增，在,2ππ内单调递减.当1a时，()010fa=−，022fa=−

，()1fa=−−.（i）当()10fa=−−，即1a−时，()0fx.此时函数()fx在()0,内单调递增，()()00fxf=﹔（ii）当()10fa=−−，即11a−时，因为()010fa=−，022fa=−，所以，在0,2

内()0fx恒成立，而在区间,2ππ内()fx有且只有一个零点，记为1x，则函数()fx在()10,x内单调递增，在()1,x内单调递减.又因为()00f=，()()10fa

=−，所以此时()0fx.由（i）（ii）可知，当1a时，对任意()0,x，总有()0fx.【点睛】此题考查利用导数研究函数切线方程、单调性、极值和恒成立问题，构造函数、虚设零点、灵的活运用零点存在性定理是解题的关键，考查转化与化归能力、运算能力，属于难题.22.已知数列na

是由正整数组成的无穷数列.若存在常数*kN，使得212nnnaaka−+=对任意的*Nn成立，则称数列na具有性质()Ψk.（1）分别判断下列数列na是否具有性质()Ψ2；（直接写出结论）①1na=；②2nna=.（2

）若数列na满足()11,2,3,nnaan+=，求证：“数列na具有性质()Ψ2”是“数列na为常数列”的充分必要条件；（3）已知数列na中11a=，且()11,2,3,nnaan+=

.若数列na具有性质()Ψ4，求数列na的通项公式.【答案】（1）①具有，②不具有（2）证明见解析（3）21nan=−【解析】【分析】（1）根据定义代入计算可得；（2）先证明充分性，依题意可得2122nnnaaa−+=，即可得到22100nnnnaaaa−−=−，从而得

到12nnnaaa+===，再证必要性，即数列na为常数列，根据定义证明即可；（3）首先证明：12nnaa+−，然后利用反证法证明：12nnaa+−，即可得到12nnaa+−=，结合11a=即可得解.【小问1详解】①1na=，对于*Nn，21222nnnaaa−=+=，所以数列

{}na具有“性质()2”；②2nna=，对于*Nn，212111121222222232nnnnnnnnaaa−−−−++==++=，故2122nnnaaa−+，所以数列{}na不具有“性质()2”．【小问2详解】证明：先证“充分性”：当数列{}na具有“性质()2”时，有2122

nnnaaa−+=，又因为1nnaa+，所以22100nnnnaaaa−−=−，进而有2nnaa=结合1nnaa+有12nnnaaa+===，即“数列{}na为常数列”；再证“必要性”：若“数列{}na为常数列”，则有212122nnnaaa

a−+==，即“数列{}na具有“性质()2”．【小问3详解】首先证明：12nnaa+−．因为{}na具有“性质()4”，所以2124nnnaaa−+=．当1n=时，有2133aa==．又因为212*,,Nnnnaaa

−，且221nnaa−，所以有221nnaa+，2121nnaa−−，进而有221121122nnnnaaaa+++−−，所以12()3nnaa+−，结合*1,Nnnaa+可得：12nnaa+−．然后利用反证法证明：12nnaa+−．假设数列{}na中存在相邻的两项之差大

于3，即存在*kN满足：2123kkaa+−或22213kkaa++−，进而有122212214()()()kkkkkkaaaaaa+++−−=+−+22221212221212212221()()[()()][()()]1

2kkkkkkkkkkkkaaaaaaaaaaaa++−++++−=−+−=−+−+−+−．又因为*1Nkkaa+−，所以13kkaa+−依此类推可得：213aa−，矛盾，所以有12nnaa+−．综上有：12n

naa+−=，结合11a=可得21nan=−，经验证，该通项公式满足2124nnnaaa−+=，所以21nan=−．