【文档说明】天津市静海区第一中学2023-2024学年高三上学期10月月考数学试题 含解析.docx，共(20)页，1.163 MB，由小赞的店铺上传

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静海一中2023-2024第一学期高三数学（10月）学生学业能力调研试卷第Ⅰ卷基础题（共132分）一、选择题：每小题5分，共45分.1.已知集合024,{10}AxxBxx=−=−，则RAB=ð（）

A.2,1,0−−B.{|12}xxC.2D.{|21}xx−【答案】B【解析】【分析】先求解出集合,AB，再求出RBð，再由交集定义得出结果.【详解】解：因为024,{10}AxxBxx=−=−，所以22,{1}AxxBxx=−=，所以R|1Bxx=ð

，故R{|12}xxAB=ð.故选：B.2.已知a，b为实数，则“2ab”是“ab”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】通过分析条件能否推出结论，结论能否推出条件，即可确定正确

选项.【详解】因为2ab，如果b是负数，则b是虚数，与a无法比较大小，即由2ab不可推出ab，因为ab，取2a=，2b=，则2ab，即由ab不可推出2ab，所以“2ab”是“ab”的

既不充分也不必要条件，故选：D.3.已知函数32()(0)(0)xfxxfxfx=−+−e，则(0)f=（）A.14−B.12−C.14D.12【答案】D【解析】分析】先对函数求导后，然后令0x=可求得结果.【详解】由题意知2()32(0)(0)xfxxfxf=−+−e，

所以(0)1(0)ff=−，解得1(0)2=f.故选：D.4.函数3()cosxxfxx−=在ππ,22−上的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据()fx的奇偶性排除B，根

据(0,1)x时的取值排除A，D.【详解】当ππ,22x−时，33()()()()cos()cosxxxxfxfxxx−−−−+−===−−，所以()fx为奇函数，排除B，选项C满足；当(0,1)x时，()0fx，当π1,2x

时，()0fx，排除A，D，选项C满足．故选：C．5.已知函数()21xfx=+，1212311log,log,52eafbfcf===，则（）A.abcB.cabC.bacD.cba【答案】D【【解析】

【分析】先得出()fx是偶函数且在)0,+上单调递增，因为30log21，21loge2，再结合()fx的单调性即可得出答案.【详解】因为()fx的定义域为R，()()2121xxfxfx−−=+=+=，所以()fx是偶函数，因为当0x，()21xfx=+，则()fx在

)0,+上单调递增，()1331loglog22aff==，()()2221loglogelogeebfff==−=，()1255cff==，因为330log2log31=，2221log2logelog42==，52，所以2

35logelog2，因为()fx在)0,+上单调递增，所以()()()235logelog2fff，则cba.故选：D.6.22log33582lg2lg22+−−=（）A.6B.8C.9D.7【答案】

A【解析】【分析】运用分数指数幂以及对数的运算公式进行化简求值.【详解】解：22log33582lg2lg22+−−()()()23323lg5lg22lg2=+−−−223lg5lg2=+−−4316=+−=

.故选：A.7.已知函数()()sin2fxx=+()0π的图象关于点2π,03中心对称，则（）A.()fx在区间5π0,12单调递减B.()fx在区间π11π,1212−内有两个极

值点C.直线7π6x=是曲线()yfx=的对称轴D.函数()fx的图象向右平移π6个单位长度可以得到函数()cos2gxx=【答案】A【解析】【分析】先根据正弦函数的对称性求出，再根据正弦函数的单调性和对称性即可判断AC；根据极值点的定义即可判断B；根据平移变换的原则

即可判断D.【详解】因为函数()()sin2fxx=+()0π的图象关于点2π,03中心对称，所以2π2π3k+=，则4ππ,Z3kk=−+，又0π，所以2π3=，所以()2πsin23fxx

=+，对于A，由5π0,12x，得2π2π3π2,332x+，所以()fx在区间5π0,12单调递减，故A正确；对于B，由π11π,1212x−，得2ππ5π2,322x+，所以()fx在区间π11π,1212

−内有一个极值点3π2，故B错误；对于C，由7π7π2πsin0633f=+=，所以直线7π6x=不是曲线()yfx=的对称轴，故C错误；对于D，函数()fx的图象向右平移π6个单位长度得π2ππsin2sin2633yxx

=−+=+，故D错误.故选：A.8.已知函数()()213sincoscos02fxxxx=++在区间0,π上有且仅有1个零点，则的取值范围是（）A.511,1212

B.511,1212C.25,33D.25,33【答案】D【解析】【分析】应用三角恒等变换化简()πsin(2)16fxx=++，结合正弦型函数的性质及区间零点个数求参数范围即可.【详解】()3

1πsin2cos21sin(2)1226fxxxx=++=++，在0,π上，πππ2[,2π]666tx=++，即()1sinfxyt==+有且仅有1个零点，所以3ππ7π2π262+，则2533.故选：D9.已知函数()33,022,0xxxxfxx−

=−若关于x的方程22()(21)()0fxafxaa−+++=有6个不同的实根，则实数a的取值范围为（）A.(1,0)−B.(1,2)−C.[0,1)D.(0,1)【答案】D【解析】【分析】利用导数研

究0x时()fx的单调性，画出()fx的大致图象，根据图象以及“6个不同的实根”列不等式，由此求得a的取值范围.【详解】当0x时，3()3fxxx=−，此时2()333(1)(1)fxxxx=−=−+，当(,1)x−−时，()0fx，()fx单调递增，当(1,

0)x−时，()0fx，()fx单调递减，()12f−=，()01f=−，作出()fx的图象，如图所示，()()()()()()()222110fxafxaafxafxa−+++=−−−=，即()fxa=与()1fxa=+共

六个不等实根，由图可知()2fx=时，=1x−或2x=，即()2fx=有两个根，若使()fxa=与()1fxa=+共六个不等实根，只需满足02012aa+，即01a.故选：D【点睛】方法点睛：研究方程的根的问题，可转化为图象交点

个数来进行研究.要画函数的图象，除了基本初等函数的图象外，需要利用图象变换的知识进行作图，有的题目需要利用导数研究函数的单调性，再根据单调性来画出函数的图象.二、填空题：每小题5分，共30分.10.若复数z满足()(1i)22izz−+=−+，

则复数z的虚部为_______．【答案】1【解析】【分析】设izab=+，代入()(1i)22izz−+=−+中化简可求得结果【详解】设izab=+，则izab=−，由()(1i)22izz−+=−+，得2i(1i)22ib+=−+，

所以22i22ibb−+=−+，所以22b=，得1b=，所以复数z的虚部为1．故答案为：1.11.已知向量()21a=，，()31b=−，，则+=ab______；向量a在向量b的投影向量是______．【答案】①.5②.31,22−

【解析】【分析】由平面向量模的计算公式和投影向量公式可解.【详解】由题意，()1,2ab+=−，所以()22125ab+=−+=，向量a在向量b的投影向量是2531cos,1022bababbbb−===−.故答案为：5，31,22−

12.函数()2π2cos3sin2,,02fxxxx=−−，当x=__________时，()fx的最大值为_________.【答案】①.π6−②.3【解析】【分析】先将函数()2π2cos3sin2,,02fxxxx=−−转化为(

)()πsin,,02fxAxkx=++−的形式，然后利用三角函数的性质解决问题.【详解】解：()21cos22cos3sin223sin22xfxxxx+=−=−π1cos23sin22sin216xxx=+−=−+

，当π,02x−时，则ππ7π2666x−，所以1πsin2126x−−，所以当ππ262x−=时，即π6x=−时，()max3fx=.13.已知平面内三个向量(3,2)a=，(1,2)b=−，(4,1)

c=，若()//2akcba+−，则k=____________.【答案】1613−【解析】【分析】先表示出,2akcba+−，再由平行向量的坐标表示求解即可.【详解】因为(3,2)a=，(1,2)b=−，(4,1)c=，()()(3,2)4,134,2akckkk+=+=++

，()()()2=21,23,25,2ba−−−=−，因为()//2akcba+−，所以()()342520kk+++=，所以13160k+=，解得：1613k=−.故答案为：1613−14.设,,1,1xyabR，若6,216xyabab==+=，则11xy+的最大值为______

____.【答案】6log32【解析】【分析】由已知可解得log6,log6abxy==，根据换底公式可得6611log,logabxy==，根据基本不等式得出32ab，然后根据对数运算性质即可得出答案.【详解】因为6xyab==，所以

log6,log6abxy==，又66lg6lglg6lglog6log1,log6log1lglg6lglg6abababab====，所以6611log,logabxy==.因为1,1ab，根据基本不等式有222642abab+=，当且仅当2ab=，

即4,8ab==时等号成立，所以32ab.则666611loglogloglog32ababxy+=+=，所以11xy+的最大值为6log32.故答案为：6log32.15.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山底C在西偏北30的方向上；行驶600m

后到达B处，测得此山底C在西偏北75的方向上，山顶D的仰角为30，则此山的高度CD=______.【答案】1006m【解析】【分析】由图，设此山高为h，后利用几何知识结合正弦定理可得答案.【详解】设此山高为h，则3BCh=，在ABC中，30,105BACCBA==.则45,600ACB

AB==在ABC中，利用正弦定理则有3sin45sin30ABh=.解得：1006h=故答案为：1006m三、解答题：（本大题共4小题，共57分）16.（1）在四边形ABCD中，=60B，3AB=，6BC=，且3,2ADBCADAB==−，若M，N是线段BC上的动点，且1MN=，求

DMDN的最小值；（2）在ABC中，60A=，1BC=，点D为AB的中点，点E为CD的中点，若13BFBC=，求AEAF的最大值；（3）请同学们辨析总结解决平面向量数量积问题中，若选择坐标法解决，在建系时应注意什么

？【答案】（1）132.（2）1324（3）答案见解析【解析】【分析】（1）先根据题意解出AD的值，将DMDN转化为214DE−，求出DE的最小值即可解决问题；（2）用,ACAB表示出向量,AEAF，借助余弦定理求解出最值；（3）观察图形特点，充分挖掘图形的几何特征，合理建系，便于确定图形

中的点的坐标.【详解】（1）由题意知()336cos12092ADABBCAB===−=−，得16=，于是1AD=.取MN的中点E，连接DE，如图所示，根据极化恒等式有22214DMDNDEEMDE=−=−，因

此要求DMDN的最小值，就是要求DE的最小值，当DEBC⊥时，DE最小，此时过点A作BC的垂线AF，垂足为F，如图所示，则33sin2DEAFABB===.所以DMDN的最小值为132；（2）设,ABaACb==，因为13BFBC=，则20FBF

C+=，由图可得，AFFCACAFFBAB+=+=，所以()22AFFCAFFBACAB+++=+，即32AFab=+，即2133AFab=+.因为点E为CD的中点，所以()1112221142ABADACAACabE=+=+=

+，于是()2211211252423312abaFbaAEAabb++=++=.记,ABxACy==，则()()22221125225cos6021212AFaabbxxEyAy+=+=

++221522122xyxy=++，在ABC中，由余弦定理得，222222cos601BCxyxyxyxy=+−=+−=，于是1519222122122AExyxxyAFy++=+=，由221+−=xyxy和基本不等式，2212x

yxyxyxyxy+−=−=，故1xy，当且仅当1xy==取得等号，则1xy==时，AEAF有最大值1324；（3）观察图形特点，充分挖掘图形的几何特征，合理建系，便于确定图形中的点的坐标.17.已知向量()cos,sinmxx=，()cos,3cosnxx=，

xR，设函数()1fxmn=+.（1）求函数()fx的单调递增区间；（2）设a，b，c分别为ABC的内角A，B，C的对边，若()52fA=，22bc+=，ABC的面积为12，求a的值.【答案】（1）πππ,π3

6kk−+，Zk（2）31a=-【解析】【分析】（1）先借助三角变换知识求出函数()fx的表达式，然后根据三角函数的性质求出结果；（2）先求出A的值，由面积得出bc的值，再根据余弦定理得出结果.【小问

1详解】解：()cos,sinmxx=，()cos,3cosnxx=，()21cos3sincos1fxmnxxx=+=++1cos23133π3sin21cos2sin2sin22222262xxxxx+=++=++=++，令πππ2π22π262kxk−

++，Zk，解得ππππ36kxk−+，Zk，()fx\的单调递增区间是πππ,π36kk−+，Zk；【小问2详解】由（1）知，()π3sin262fxx=++()52fA=，35sin2622πA++=，即sin216πA+=

0πA，ππ13π2666A+∴，ππ262A+=，π6A=，ABC的面积为12，111sin242bcAbc==，解得2bc=，22bc+=，由余弦定理得，2222232cos2bcabcbcA=+=−+−2()223423bcbc=+−−=

−，0a，42331a=−=−，综上所述，31a=-.18.已知函数2()(2)lnfxaxaxx=−++.（1）若1x=是函数()fx的极值点，①求()fx在()1,(1)f处切线方程；②求()fx在区间1,22上的最值；（2）

若2()2egxaxxx=−+，()()fxgx恒成立，求实数a取值范围.【答案】（1）①=2y−；②最小值2−，最大值为2ln2−+（2）1eea−【解析】【分析】（1）①先利用极值点求出参数a值，进而得到斜率，根据点斜式公

式得到切线方程；②先求出函数的单调性，进而解出最值；（2）先进行分离变量，求出新函数的最值，进而得出结果.【小问1详解】解：由函数2()(2)lnfxaxaxx=−++，可得1()2(2)fxaxax=−++，因为已知1x=是函数()fx的极值点，所以1是方程12(2)0(

)axafxx−++==的根，可得2(2)10(1)afa−++==，解得10a−=，故1a=，经检验符合题意，故2()3ln=−+fxxxx.①因为1()23fxxxx=−+，所以(1)213110kf==−+=，(1)1302f=−+=−，所以切线方程为=2y−；的为②因为(21)

(1)()xxfxx−−=，所以当112x时()0fx；当12x时()0fx，所以函数()fx在1,12上单调递减，在(1,2]上单调递增，又由15ln224f=−−，(1)2f=−，(2)2ln2f=−+，且()1322ln2024ff−=−

，所以()fx在区间1,22上的最小值为(1)2f=−，最大值为(2)2ln2f=−+.【小问2详解】因为()()fxgx恒成立，即()()0fxgx−恒成立，则lne0xaxx−−恒成立，所以lnelnexxxaxx−=

−恒成立，记ln()exFxx=−，则21ln()xFxx−=，令21ln()0xFxx−==，得ex=，令()0Fx，得0ex，令()0Fx，得ex，列表如下：x(0,e)e(e,)+()Fx+0−()Fx↗1ee−↘所以函数ln()exFxx=−

的极大值也是最大值为1(e)eeF=−，由lnexax−恒成立得max()aFx，所以1eea−.19.已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知16sin5sinaAcC=，3cos5C=.

（1）求sinA的值；（2）若11b=，（i）求a的值；（ⅱ）求()cos2AC+的值.【答案】（1）55（2）（i）5a=（ⅱ）725−【解析】【分析】（1）先将16sin5sinaAcC=化简得到45ac

=，进而根据正弦定理得到sinA；（2）（i）由角C的余弦定理可解得；（ⅱ）先求出()sin2A，()cos2A，根据两角和差公式得出结果.【小问1详解】由3cos5C=，且C是三角形的内角，则24sin1cos5=−=CC，因为16sin5sinaAcC=，所以22165ac=，即45ac=

，由正弦定理得4sin5sinAC=，所以55sinsin45AC==；【小问2详解】（i）由余弦定理得222221612135cos2225aaabcCaba+−+−===，即26550aa+−=，解得5a=或11a=−（舍去），故5a=；（ⅱ）由（1）知5sin5A

=，由ab知A为锐角，得225cos1sin5AA=−=，所以sincos5254sin222555AAA===，2253cos212sin1255AA=−=−=，所以()33447cos2cos2cossin2sin555525ACACAC+=−=−

=−.第Ⅱ卷提高题（共15分）20.设函数()2lnfxxaxbx=−−.（1）当2a=−时，若函数()fx在其定义域内单调递增.求b的取值范围；（2）若00ab==，，()(2)(1)2gxxfxx=++−，证明：0x时，()0gx；（3）若()fx有两个零点1x，2x

，且12xx，求证：1202xxf+.【答案】（1）4b（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）由题意可得()0fx对(0,)+x恒成立，即只需min14bxx+，由基本不等式求min14xx+即可；（2）要证0x时，(

)()()x2ln120gxxx=++−，即证()2ln12xxx++，令()2()ln12xhxxx=+−+，对()hx求导，得到()hx单调性和最值，即可证明；（3）由()fx有两个零点1x，2x可得21112222lnlnxaxbxxaxbx

=+=+，两式相减化简可得()()112122lnxaxxbxxx=++−，再求得122xxf+，令12(01)xttx=，则令2(1)()ln(01)1thtttt−=−+，求出()ht的单调性和最值，即可证明.【小

问1详解】依题意：()2ln2xbfxxx=+−，()fx在()0,+上递增，1()40fxxbx=+−对(0,)+x恒成立，即14bxx+对(0,)+x恒成立，只需min14bxx+的0x>，144xx+，当且仅当12x=时取

等号，4b，b的取值范围是(,4−；【小问2详解】要证0x时，()()()2ln120gxxxx=++−，即证()2ln12xxx++，令()2()ln12xhxxx=+−+且0x，则22214

()01(2)(1)(2)xhxxxxx=−=++++，所以()hx在(0,)+上递增，则()(0)0hxh=，即()2ln12xxx++.所以0x时，()g0x.【小问3详解】证明：由已知得2111122222(

)ln0()ln0fxxaxbxfxxaxbx=−−==−−=，即21112222lnlnxaxbxxaxbx=+=+，两式相减得：()()()11212122lnxaxxxxbxxx=+−+−，即()()1121

22lnxaxxbxxx=++−，由1()2fxaxbx−=−，得()121121212122221ln2xxxfaxxbxxxxxxx+=−+−=−++−()112211112122122221211lnln1xxxxxxxxx

xxxxxxx−−=−=−−+−+，令12(01)xttx=，则令2(1)()ln(01)1thtttt−=−+，则22241(1)()0(1)(

1)thttttt−−=−=++，()ht是()0,1上的减函数，()(1)0hth=，所以12112221ln01xxxxxx−−+，又12xx，1210xx−，1202xxf+.【点睛】方法点睛：利用导数证

明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式()()fxgx（或()()fxgx）转化为证明()()0fxgx−（或()()0fxgx−），进而构造辅助函数()()()hxfxgx=−；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩

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