【文档说明】浙江省绍兴市柯桥区2023届高三5月高考及选考科目适应性考试数学试题 含解析.docx，共(25)页，1.758 MB，由小赞的店铺上传

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2023年5月柯桥区高考及选考科目适应性考试数学试题注意事项：1．本科考试分为试题卷和答题卷，考生须在答题卷上答题．2．答题前，请在答题卷的规定处用黑色字迹的签字笔或钢笔填写学校、班级、姓名和准考证号．3．试

卷分为选择题和非选择题两部分，共4页．全卷满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若集合21Axx=，12Bxx=−，则()RAB=ð（）A.1xx−B.1

12xx−C.12xxD.3xx【答案】D【解析】【分析】先根据绝对值不等式的解法求出集合B，再根据补集和交集的定义即可得解.【详解】123Bxxxx=−=或1x−，1212Axxx

x==，则R12Axx=ð，所以()R3ABxx=ð.故选：D.2.在ABC中，BDDA=，DEEC=，设ABa=，ACb=，则AE=（）A.3142ab+B.1142ab+C.1124ab+rrD.1144ab+【答案】B【解析】

【分析】根据向量的线性运算即可求解.【详解】由BDDA=，DEEC=可知,DE分别为,ABCD的中点，所以()11111112224242AEADACABACABACab骣琪=+=+=+=+琪桫,故选：B3.欧拉公式iecosisinxxx=+（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉

创立，依据欧拉公式，下列选项不正确的是（）A.复数πi2e1i+的虚部为12B.若5π,3π2x，则复数iex对应点位于第二象限C.复数iiex的模长等于1D.复数πi3e的共轭复数为13i22+【答案】D【解析

】【分析】根据欧拉公式，即可由复数的除法运算以及几何意义，模长公式，共轭复数的定义，结合选项即可求解.【详解】()()()πi21ie1i1i1i1iππcosisinii221i1i2−+++++−+====，故复数πi2e1i+的虚部为

12，A正确，iecosisinxxx=+对应的点为()cos,sinxx，由于5π,3π2x，所以cos0,sin0xx，故对应的点为第二象限，故B正确，对于C，()iieicosisinsinicosxxxxx=+=−+

，故模长为()22sincos1xx−+=，故C正确，πi3ππ13cosisini332e2=+=+，所以共轭复数为13i22-，故D错误，故选：D4.“曲池”是《九章算术》记载的一种几何体，该几何体是上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指

圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池，1AA⊥面ABCD，14AA=，底面扇环所对的圆心角为π2，AD的长度是BC长度的2倍，1CD=，则异面直线11AD与1BC所成角的正弦值为（）A.23B.13C.223D.24【

答案】C【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的夹角求解即可.【详解】由底面扇环所对圆心角为π2，AD的长度是BC长度的2倍，1CD=，所以可知1OC=,设上底面圆心为1O，下底面圆心为O，连接1OO，OC，OB，以O为原点，分别以OC，OB，1OO所在直线为x轴、y轴、

z轴建立空间直角坐标系，则1(1C，0，4)，(0A，2，0)，(0B，1，0)，1(2D，0，4)，1(0A，2，4)，则111(2,2,0),(1,1,4)ADBC=−=−，11111111141cos,3||||2232ADBCADBCADBC===，又异面直线

所成角的范围为π(0,]2，故异面直线1AB与1CD所成角的正弦值为2122133-=．故选：C的5.6名同学参加数学和物理两项竞赛，每项竞赛至少有1名同学参加，每名同学限报其中一项，则两项竞赛

参加人数相等的概率为（）A.2031B.1031C.516D.58【答案】B【解析】【分析】利用古典概型即可求得两项竞赛参加人数相等的概率.【详解】记“两项竞赛参加人数相等”为事件A，则33636CC10()2231PA==−故选：B6.若函数

()gx周期为π，其图象由函数()()3sincos0fxxx=+的图象向左平移π3个单位得到，则()gx的一个单调递增区间是（）A.2ππ,36−−B.4ππ,33−−C.ππ,63−D.π2π,33−【答案】A

【解析】【分析】根据辅助角公式化简()π3sincos2sin6fxxxx=+=+，由平移可得()πππ2sin336gxfxx=++=+，进而由周期可得2=，利用整体法可得单调区间即可求解.的【详解】()π3sincos2sin6fxxxx

=+=+，将()fx向左平移平移π3个单位得到()πππ2sin336gxfxx=++=+,由()gx的周期为π，故2ππ2T===，所以()2ππ5π2

sin22sin2366gxxx+++==，令π5ππ2π22π,Z262kxkk−+++,解得2ππππ,Z36kxkk−+−+，故()gx的单调递增区间为2πππ,π,Z36kkk−+−+，所以取0k=可得一个单增区间为2ππ,36

−−，故选：A7.已知25a=，sin1b=，5ln3c=，则（）A.abcB.<<cabC.acbD.bac【答案】C【解析】【分析】根据正弦函数的性质和对数函数的性质估计,bc，由此比较,,abc的大小.【详解】函数sinyx=在π0,2上单调递增，又ππ

143，所以ππsinsin1sin43，故23sin122，故2322b函数lnyx=在()0,+上单调递增，又252.77e9，所以5e3，所以51lnlne32c==，因为5356253e3243=，所以535lnlne3

，即53ln35，故1325c，即2132352522acb=，所以acb，故选：C.8.如图，平面四边形ABCD中，π2ABC=，ACD为正三角形，以AC为折痕将ACD折起，使D点达到P点位置，且二面角PACB−−的余弦值为33−，当三棱

锥−PABC的体积取得最大值，且最大值为23时，三棱锥−PABC外接球的体积为（）A.πB.2πC.3πD.6π【答案】D【解析】【分析】过点P作PQ⊥平面ABC，垂足为Q，作QHAC⊥，垂足为H，连接PH，则

PHQ为二面角PACB−−的补角，H为AC的中点，设ACt=，根据二面角PACB−−的余弦值可求得,QHPQ，再根据三棱锥−PABC的体积取得最大值结合基本不等式求出t，再利用勾股定理求出三棱锥−PABC外接球的半径，根据球的体积公式即可得解.【详解】过点P作PQ⊥平面ABC，垂足为Q，

作QHAC⊥，垂足为H，连接PH，因为PQ⊥平面ABC，AC平面ABC，所以PQAC⊥，又,,,QHACQHPQQQHPQ⊥=平面PQH，所以AC⊥平面PQH，因为PH平面PQH，所以ACPH⊥，则PHQ为二面角PACB−−的补角，故3cos3PHQ=，因为PAPC=，

所以H为AC的中点，设ACt=，则2223,2PHtABBCt=+=，在RtPQH△中，3cos3QHPHQPH==，则12QHt=，22312442PQttt=−=，由1236PABCABCABCVSPQtS−==，得当ABCS取得最大值时，三棱锥−PABC的体积取得最大值，

222112224ABCABBCtSABBC+==，当且仅当22ABBCt==时，取等号，所以()2max22643PABCtVt−==，解得2t=，则1,2QHPQ==，设三棱锥−PABC外接球的球心为O，则OH⊥平面ABC，设OH

h=，由OPOA=得()2222211hh−+=+，解得22h=，则三棱锥−PABC外接球的半径2226122ROA==+=，所以三棱锥−PABC外接球的体积为34π6π3R=.故选：D.【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：①补形法：侧面为直角三角形，或正四

面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径；③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径

，列关系求解即可；④坐标法：建立空间直角坐标系，设出外接球球心的坐标，根据球心到各顶点的距离相等建立方程组，求出球心坐标，利用空间中两点间的距离公式可求得球的半径.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，

有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.设随机变量()20,2XN，随机变量()20,3YN，则（）A.()()EXEY=B.()2DX=，()3DY=C.()()221PXPX−+=D.()()11PXPY【答案】AC【解析】【分析

】根据正态分布的性质以及参数函数即可结合选项逐一求解.【详解】由随机变量()20,2XN，随机变量()20,3YN知，()()0,EXEY==()()4,9DXDY==，故A正确，B错误，由于随机变量X服从正态分布，对称轴为X0=,所以()()()()

22221PXPXPXPX−+=+=，故C正确，由于随机变量X，Y均服从正态分布，且对称轴均为y轴,但是()()49DXDY==，在正态密度曲线中，X的峰值较高，正态曲线越瘦高，随机变量分布比较集中，所以()()11PXPY，故D错误，故选：AC10.已知正n边形的边长

为a，内切圆的半径为r，外接圆的半径为R，则（）A.当4n=时，2Ra=B.当6n=时，32ra=C.π2sin2aRn=D.2tan2aRrπn+=【答案】BD【解析】【分析】作图，解三角形求,,arR关系，由此判断各选项

.【详解】如图：O为正n边形外接圆的圆心，AB为正n边形的一个边，点D为边AB的中点，则πBODn=，2aBD=，所以2ππsin2sinaaRnn==，2ππtan2tanaarnn==，πcosrRn=，C错误；2ππ1cos12cos12ππππ22sin2

sincos2tan222aaannRrnnnn++−+===，D正确；当4n=时，π2sin4aR=，化简可得22aR=，A错误；当6n=时，π2tan6ar=，化简可得32ar=，B正确；故选：BD

.11.已知1F、2F分别是双曲线22:12yCx−=的左、右焦点，过点3,03Q作双曲线的切线交双曲线于点P（P在第一象限），点M在1FP延长线上，则下列说法正确的是（）A.233OPk=B.1232P

FPF=C.PQ为12FPF的平分线D.2FPM的角平分线所在直线的倾斜角为5π6【答案】ACD【解析】【分析】先根据题意设出切线方程，与双曲线方程联立求出点P的坐标，然后即可求出OPk，12,PFPF，从而可以判断AB两项；再根据角平分线性质定理的逆定理可以判断C项；最

后根据条件求出2FPM的角平分线所在直线的斜率即可求出倾斜角.【详解】由题意知点P为切点，且切线QP斜率大于零，设切线QP方程为()303xmym=+，联立223312xmyyx=+−=消x得2212320233mmyy−+−=，由22412403

23mm=+−=得33m=，所以切线QP方程为3333xy=+.把33m=代入2212320233mmyy−+−=，解方程得2y=将2y=代入切线方程得3x=，所以()3,2P，所以233OPk=，故选项A正确.因为()()123,0,3,0FF−,所以

124,2PFPF==，故选项B错误.因124323,33FQFQ==,所以12:2FQFQ=，又因为12:4:22PFPF==，所以1212::PFPFFQFQ=，所以PQ为12FPF的平分线，故选项C正确.又因为3PQk=，且PQ与2FPM的角平分线

所在直线垂直，所以2FPM的角平分线所在直线的斜率为33−，所以2FPM的角平分线所在直线的倾斜角为5π6，故选项D正确.故选：ACD.12.若函数()gx为函数()fx的导函数，且对于任意实数0x，均有()()()0002fxfxgx

=+，且为()()00gxfx，则（）A.函数()ygx=不可能为奇函数B.存在实数M，使得()fxMC.存在实数N，使得()fxND.函数()yfx=不存在零点【答案】AC【解析】【分析】根据()()()000fxfxgx，

，为递增的等差数列，进而根据原函数与导数的关系可得()()exfxaxb=+()()()()e0,Rxgxfxaxabab++==，，进而可判断BCD，由奇函数的性质可判断A.【详解】由()()()000

2fxfxgx=+，且()()00gxfx可知：()()()000fxfxgx，，为递增的等差数列，设()()()0dxfxfx=-，则()()()0dxgxfx=-，由于()()()2fxfxgx=+，所以()()dxdx=，由于()()()0eexxdxd

xdx−==，所以存在正实数,a使得()exdxa=，所以()exdxa=，则()()exafxfx=-，进而()()()eexxfxfxfxa=-=，所以存在实数,b使得()()()eexxfxaxbfxaxb+=+=，()()()()e0,

Rxgxfxaxabab++==，，若()ygx=为奇函数，则()000gab+==，又()()1110ee00gaaa−−===+-，这与0a矛盾，故函数()ygx=不可能为奇函数，故A正确，由于()()(

)()e0,Rxgxfxaxabab++==，，当abxa+−时，()()0fxfx，单调递增，当abxa+−时，()()0fxfx，单调递减，故当abxa+−=时，()fx取极小值也是最小值，所以()abf

xfa+-，故C正确，由于当x→+时，()fx→+，故B错误，e0babbfabaa−−=−+=，所以()fx有零点ba−，故D错误，故选：AC三、填空题：本题共4小题

，每小题5分，共20分．13.现有如下10个数据：296301305293293305302303306294则这批数据的第一四分位数为________．【答案】294【解析】【分析】根据第一四分位数的定义求其值.【详解】将数据296,301,305,293,293,305302,303,

306,294，按从小到大的顺序排列可得：293,293,294,296,301,302,303,305,305,306第一四分位数即第25百分位数，又1025%2.5=，所以第一四分位数为294，故答案为：294.14.()622

xyx++展开式中53xy的系数为________．【答案】480【解析】【分析】由题意可知()()662222xyxxxy++++=，进而利用展开式的通项公式化简整理，即可得出结果.【详解】由题意可知()()

662222xyxxxy++++=，()622xxy++展开式的通项1rT+中6r时，展开式的通项公式为()()()()66221666C2CC2rrtrrrttrrrrTxxyxxy−−−+−

=+=()6266CC2rtrtrtrrxxy−−−=()12266CC2rtrtrrrxy−−−=由于要求展开式中53xy的系数，所以3r=，1t=，当6r=时，展开式的项为()62y，所以展开式中53xy的系数为31363CC2480

=.故答案为：480.15.若函数()2logfxax=+的图象不过第四象限，则实数a的取值范围为________．【答案】)1,+【解析】【分析】作出函数()2logfxax=+的大致图象，结合图象可得()000fa−

，即可得解.【详解】函数()2logfxax=+的图象关于xa=−对称，其定义域为xxa−，作出函数()2logfxax=+的大致图象如图所示，由图可得，要使函数()2logfxax=+的图象不过第四象限，则()000fa−

，即log00aa−，解得1a，所以实数a的取值范围为)1,+.故答案为：)1,+.16.函数()42424345415217fxxxxxxx=−−+−−++的最大值为________．【答案】32【解析】【分析】将给定的函数表达式变形为()()()222222()(

2)21124fxxxxx=−−+−+−+，问题转化为求点()2,2Pxx到点(2,1)A与(1,4)B−距离之差的最大值，画出图象，数形结合即得解.【详解】将给定的函数表达式变形为()()()222222()(2)21124fxxxxx=−−+−+−+，问题转化为求点()2,2

Pxx到点(2,1)A与(1,4)B−距离之差的最大值，而点P的轨迹为抛物线22yx=，如图所示，由A、B的位置知直线AB必交抛物线22yx=于第二象限的一点C，由三角形两边之差小于第三边可知P位于C

时，()fx才能取得最大值.max()||9932fxAB==+=故答案为：32.【点睛】关键点点睛：将给定的函数表达式变形为()()()222222()(2)21124fxxxxx=−−+−+−+，问题转化为求点()2,2Pxx到点(2,

1)A与(1,4)B−距离之差的最大值，是解决本题的关键.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知数列na，nb的前n项和分别为nS，nT，且112b=，21122nSnn=+，当1n时，满足112nnnnbaba−−=．（1）求na；（2）

求nT．【答案】（1）nan=；（2）()1222nnTn=−+.【解析】【分析】（1）由条件结合nS与na的关系可求na；（2）由递推关系证明nbn为等比数列，由此可求nb的通项公式，再利用错位相减法求和..【小问1详解】因为21122nSnn=+，所以1

11122S=+=，当2n时，()()2211111112222nSnnnn−=−+−=−，又11aS=，当2n时，1nnnaSS−=−，所以11a=，当2n时，1nnnaSSn−=−=，所以nan=；【小问2详解】因为112nnnnbab

a−−=，所以()121nnnnbb−−=，所以1112nnbbnn−=−，又112b=，所以数列nbn为以12为首项，公比为12的等比数列，所以12nnbn=，所以()2311111123122222nnnTnn−=++++−+

，()2311111112122222nnnTnn+=+++−+，所以231111111222222nnnTn+=++++−，所以1111112212212n

nnTn++−=−−，所以1111142222nnnTn++=−−，所以()1222nnTn=−+.18.已知a，b，c分别为ABC中三内角A，B，C的对边，且

1b=，cossin31CCaac+=+，D为直线BC上一动点．（1）求A；（2）在①3c=，②334ABCS=△，③21sin14B=这三个条件中任选一个，求线段AD长度的最小值．【答案】（1）π3A=（2）32114【解析】【分析】（1）利用正弦定理和两角和的正弦公式及辅助角公式

将题给条件转化为关于A的三角方程，解之即可求得A；（2）利用正弦定理余弦定理和两角和的正弦公式解ABC，进而求得线段AD长度的最小值．【小问1详解】由cossin31CCaac+=+，1b=，可得cos3sinaCaCbc+=+，则sincos3sinsinsinsinsin()

sinACACBCACC+=+=++则sincos3sinsinsincoscossinsinACACACACC+=++则3sinsincossinsinACACC=+，又sin0C，则3sincos1AA−=，则π1sin62

A−=，又ππ5π666A−−，则ππ66A−=，则π3A=【小问2详解】选①3c=，又π3A=，1b=，则211921372a=+−=，则7a=，则79157cos14237B+−==，又π02B，则25721sin11414B=−=，则线段AD长

度的最小值为21321sin31414cB==．选②334ABCS=△，又π3A=，1b=，又由33131422c=，可得3c=,则211921372a=+−=，则7a=，则79157cos14

237B+−==，又0πB，则25721sin11414B=−=，则线段AD长度的最小值为21321sin31414cB==．选③21sin14B=，又π3A=，则由2133sinsin14

284BA===，可得ba，则π2BA，则57cos14B=，则357121321sinsin()21421414CAB=+=+=则线段AD长度的最小值为321321sin11414bC==．19.如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD为平行四边形，π2PABPCD

==，侧面PAB⊥底面ABCD，2PAAB==，且二面角PCDA−−的大小是π4．（1）证明：ACCD⊥；（2）求二面角BPCD−−的正弦值．【答案】（1）见解析（2）33【解析】【分析】（1）根据面面垂直可得线线垂直，进而由线线垂直证明线面垂直，即可得直线与直线的垂

直，（2）建立空间直角坐标系，利用法向量的夹角即可求解二面角.【小问1详解】侧面PAB⊥底面ABCD，且交线为AB,又π,,2PABPAABPA=⊥平面PAB,所以PA⊥底面ABCD,由于CD底面ABCD,故PA⊥CD,又π2PDCPDCC=⊥，,,,PA

PCAPAPC=平面PAC,所以CD⊥平面PAC,由于AC平面PAC,因此ACCD⊥,【小问2详解】由于ACCD⊥，PCCD⊥，所以PCA即为二面角PCDA−−的平面角，所以πPCA4=，故三角形PAC为等腰直角三角形，2PAAC==,由于,,P

AABAC两两垂直，所以建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()(2,0,0),0,0,2,0,2,0,2,2,0BPCD−.所以()()()0,2,2,2,2,0,2,0,0PCBCCD−=−−==设平面,PBCPCD的法向量分别为()()000,,,,mxyznxyz==，，则220

220PCmyzBCmxy=−==−+=，取1y=，则()1,1,1m=，00022020PCnyzCDmx=−==−=，取01y=，则()0,1,1n=，设二面角BPCD−−的平面角为，则26coscos,323mnmnmn=

===，所以二面角BPCD−−的正弦值为23sin1cos3=-=20.如图，是一块高尔顿板的示意图，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层

层小木块碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉入编号为1,2,3,,6L的球槽内．用X表示小球经过第7层通过的空隙编号（从左向右的空隙编号依次为0,1,2,,6），用Y表示小球最后落入球槽的号码．（1）若进行一次高尔顿板试验，求小球落入第7层第3个空隙处的概率；（2）若放入80个小球，求落

入1号球槽的小球个数Z的均值与方差．【答案】（1）1564；（2）()5EZ=，()7516DZ=【解析】【分析】（1）根据独立重复试验事件发生的概率公式即可求得小球落入第7层第3个空隙处的概率；（2）利用二项分布的均值与方差的公式即可求得落入1号球槽的小球个数Z的均值与方差．【小问1详

解】小球下落过程中，每次向左、向右落下的概率均为12，并且相互独立，小球落入第7层第3个空隙处要经过6次碰撞，其中2次向右，4次向左，根据独立重复试验事件发生的概率公式，小球落入第7层第3个空隙处的概率为42261115C2264=

；【小问2详解】6510166111111(1)(0)(1)CC2222216PYPXPX===+==+=80个小球，每个小球落入1号球槽的概率均相同并且相互独立，故180,16ZB，故落

入1号球槽的小球个数Z的均值()180516EZ==，落入1号球槽的小球个数Z的方差()1157580161616DZ==．21.已知椭圆()2222:10xyCabab+=的焦距为2，且经过点31,2E．（1）求椭圆C方程；（2

）若椭圆C内接四边形MNQP的对角线交于点()1,1T，满足3MTNTTQTP==，试问：直线MN的斜率是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．【答案】（1）22143xy+=（2）为定值34−【解析

】【分析】（1）易得1c=，再根据椭圆过点31,2E，求出,ab即可得解；（2）设11223344(,),(,),(,),(,)MxyQxyNxyPxy，根据3MTNTTQTP==，求出12,xx及12,yy的关系，再根据()()1

122,,,MxyQxy都在椭圆上，可求得11,xy的关系，同理可求出33,xy的关系，进而可得出结论.【小问1详解】由题意，可得22c=，则1c=，即221ab−=，又椭圆过点31,2E，则221914ab+=，解得224,3ab==，的所以

椭圆C的方程为22143xy+=；【小问2详解】设11223344(,),(,),(,),(,)MxyQxyNxyPxy，3,3MTMTTQTQ==，故121213(1)13(1)xxyy−=−−=−，所以12124343xxyy−=

−=，因为()()1122,,,MxyQxy都在椭圆上，所以221122111434433143xyxy+=−−+=，即()()2211221114344943xy

xy+=−−+=，两式相减，得11816816843xy−−+=−，即1122143xy−−+=−，同理可得3322143xy−−+=−，两式相减可得1313043xxyy−−+=，所以131334MNyykxx−==−−为定值.【点睛】方

法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．22.已知函数()232lnxfxxa=−，a为实数．（1）求函数()fx的单调区间；（2）若函数()fx在ex

=处取得极值，()fx是函数()fx的导函数，且()()12fxfx=，12xx，证明：122exx+【答案】（1）()fx递减区间为3120,ea−，递增区间为312e,a−+.（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求导，由

导函数的正负即可确定()fx的单调区间，（2）构造函数()()()()2,0,1txgxgxx=−−，求导得()tx的单调性，即可证明122xx+，构造函数()(2)2ln,gxxxx−−=()()()22e,hxgxx=−−求导，利用单调性即可求

证12ee22mmxx+−++=.【小问1详解】函数23()(ln)2fxxxa=−的定义域为(0,)+，()32(ln)(2ln31)2fxxxaxxxa=−+=−+令()0fx=，所以31ln2ax−=，得312

eax−=，当3120,eax−，()0fx，当312e,ax−+，()0fx，故函数()fx递减区间为3120,ea−，递增区间为312e,a−+.【小问2详解】因为函数()fx在ex=处

取得极值，所以312eeax−==，得1a=，所以23()(ln)2fxxx=−，得()(2ln2)2(ln1)fxxxxx=−=−，令()2(ln1)gxxx=−，因为()2lngxx=，当1x=时，()0gx=，所以函数(

)gx在()0,1x单调递减，在()1,x+单调递增，且当()0,ex时,()()2ln10gxxx=−,当()e,x+时,()()ln10gxxx=−,故1201exx.先证122xx+，需证212xx−.因为211,21xx

−，下面证明()()()1212gxgxgx=−.设()()()()2,0,1txgxgxx=−−,则()()()2txgxgx=−−−,()2ln(2)2ln2ln[(2)]0txxxxx=−−−=−−故()tx在()0

,1上为增函数,故()()()()1110txtgg=−=,所以()()()11120txgxgx=−−,则()()122gxgx−,所以122xx−,即得122xx+，下面证明：12exx+令()()12gxgxm==，当()0,1x时()(2)2ln0gxxxx−−=，所以

()2gxx−成立,所以()112xgxm−=，所以12mx−.当()1,ex时，记()()()22e2ln42ehxgxxxxx=−−=−+,所以()1,ex时()2ln20hxx=−，所以()hx为减函数得()()e2e4e2

e0hxh=−+=,所以()2222emgxx=−,即得2e2mx+.所以12ee22mmxx+−++=得证，综上，122exx+.【点睛】思路点睛：求某点处的切线方程较为简单，利用导数求单调性时，如果求导后的正负不容易辨

别，往往可以将导函数的一部分抽离出来，构造新的函数，利用导数研究其单调性，进而可判断原函数的单调性.在证明不等式时，常采用两种思路：求直接求最值和等价转化.无论是那种方式，都要敢于构造函数，构造有效的函数往往是解题的关键.获得更多资源请扫码加入享

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