【文档说明】2024年新高考数学一轮复习题型归纳与达标检测 第33讲 数列的概念与简单表示（达标检测） Word版含解析.docx，共(9)页，38.870 KB，由小赞的店铺上传

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第33讲数列的概念与简单表示（达标检测）[A组]—应知应会1．（2020春•十堰期末）数列−15，17，−19，111，…的通项公式可能是an＝（）A．(−1)𝑛3𝑛+2B．(−1)𝑛−12𝑛+3C．(−1)𝑛2𝑛+3D．(−1)𝑛−13𝑛+2【分析】根据题意，写出

数列前4项，然后归纳出通项公式．【解答】解：根据题意，数列的前4项为−15，17，−19，111，…则有a1=−12×1+3=−15，a2=12×2+3=17，a3=−12×3+3=−19，a4=12×4+3=111，则数

列的通项公式可以为an=(−1)𝑛2𝑛+3；故选：C．2．（2020春•安徽期末）已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2﹣2n+2，则a8＝（）A．13B．15C．17D．19【分析】利用a8＝S8﹣S7，即可得出．【解答】解：a8＝S8﹣S7＝82﹣2×8+2﹣（72﹣2

×7+2）＝13，故选：A．3．（2020春•遂宁期末）现有这么一列数：1，32，54，78，___，1132，1364，…，按照规律，___中的数应为（）A．916B．1116C．12D．1118【分析】分别求出分子分母的规律即可求解结论．【解答】解：由题意

可得：分子为连续的奇数，分母依次为首项为1、公比为2的等比数列，即其通项为：2𝑛−12𝑛−1；故括号中的数应该为916．故选：A．4．（2020•湖北模拟）已知数列{an}的前n项和𝑆𝑛=2𝑛2+1，𝑛∈𝑁∗，则a5﹣a1＝（）A．13B．14C．15D．1

6【分析】数列{an}的前n项和𝑆𝑛=2𝑛2+1，𝑛∈𝑁∗，可得a1＝S1＝3，a5＝S5﹣S4，即可得出．【解答】解：数列{an}的前n项和𝑆𝑛=2𝑛2+1，𝑛∈𝑁∗，∴a1＝S1＝3，a5＝S5﹣S4＝（2×52+

1）﹣（2×42+1）＝18．则a5﹣a1＝18﹣3＝15．故选：C．5．（2020春•厦门期末）如图是谢宾斯基（Sierpinsiki）三角形，在所给的四个三角形图案中，着色的小三角形个数构成数列{an}的前4项，则{an}的通项公式可以是（）A．an＝3n﹣1B

．an＝2n﹣1C．an＝3nD．an＝2n﹣1【分析】着色的小三角形个数构成数列{an}的前4项，分别得出，即可得出{an}的通项公式．【解答】解：着色的小三角形个数构成数列{an}的前4项，分别为：a1＝1，a2

＝3，a3＝3×3＝32，a4＝32×3，因此{an}的通项公式可以是：an＝3n﹣1．故选：A．6．（2020春•西宁期末）已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2•an（n≥2），而a1＝1，通过计算a2，a3，a4，猜想an等于（）A．2(𝑛+1)2B．2𝑛(𝑛+1)C．1

2𝑛−1D．12𝑛−1【分析】利用数列{an}的前n项和Sn＝n2an（n≥2），a1＝1，代入即可计算a2，a3，从而可以猜想an．【解答】解：（1）∵Sn＝n2an，∴an+1＝Sn+1﹣Sn＝（n+1）2an+1﹣n2an∴an+1=𝑛𝑛+2an，∴a

2=11+2=13，a3=22+2•13=16，猜测；an=2𝑛(𝑛+1)，故选：B．7．（2020春•北碚区校级期末）已知数列{an}的通项公式为an=1(𝑛+1)√𝑛+𝑛√𝑛+1（n∈N*），

其前n项和为Sn，则在数列S1，S2，…，S2019中，有理数项的项数为（）A．42B．43C．44D．45【分析】本题先要对数列{an}的通项公式an运用分母有理化进行化简，然后求出前n项和为Sn的表达式，再根据Sn的表达式的特

点判断出那些项是有理数项，找出有理数项的下标的规律，再求出2019内属于有理数项的个数．【解答】解：由题意，可知：an=1(𝑛+1)√𝑛+𝑛√𝑛+1=(𝑛+1)√𝑛−𝑛√𝑛+1[(𝑛+1)√𝑛+𝑛√𝑛+1][(𝑛+1)√𝑛−𝑛√𝑛+1]=(𝑛

+1)√𝑛−𝑛√𝑛+1𝑛(𝑛+1)=√𝑛𝑛−√𝑛+1𝑛+1．∴Sn＝a1+a2+…+an＝1−√22+√22−√33+⋯+√𝑛𝑛−√𝑛+1𝑛+1＝1−√𝑛+1𝑛+1．∴S3，S8，S15…为有理项，又∵下标3，8，15，…的通项

公式为bn＝n2﹣1（n≥2），∴n2﹣1≤2019，且n≥2，解得：2≤n≤44，∴有理项的项数为44﹣1＝43．故选：B．8．（2019秋•江门月考）数列{an}的通项an＝﹣3n2+2020n+1，当an取最大值时，n＝（）A．336B．33

7C．336或337D．338【分析】根据数列{an}的通项公式，结合二次函数的知识，分析计算即可得到当n取最大值时n的值．【解答】解：依题意，an＝﹣3n2+2020n+1，表示抛物线f（n）＝3n2+2020n+1当n为正整数

时对应的函数值，又y＝3n2+2020n+1为开口向下的抛物线，故到对称轴n=−20202×(−3)=10103距离越近的点，函数值越大，故当n＝337时，an＝f（n）有最大值，故选：B．9．（2020春•武邑县校级月考）大衍数列来源于我国古代

文献《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释我国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和．已知该数列前10项是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，则大衍数列中奇数项的通项公式为（）A．𝑛2−𝑛2B．𝑛2

−12C．(𝑛−1)22D．𝑛22【分析】取特殊值代入即可求解结论．【解答】解：因为第一项为0，故D错；第三项为4，故AC错；故选：B．10．（多选）（2019秋•肥城市校级月考）下列选项中能满足数列1

，0，1，0，1，0，…的通项公式的有（）A．an=1+(−1)𝑛+12B．an＝sin2𝑛𝜋2C．an＝cos2(𝑛−1)𝜋2D．an={1，𝑛是奇0，𝑛是偶【分析】分n为奇数和偶数分别验证即可．【解答】解：可以验证，当n为奇数时，ABCD对应的项均为1，当n为偶数时，

ABCD对应的项均为0，故选：ABCD．11．（2019春•湖州期中）在数列0，14，⋯，𝑛−12𝑛，⋯中，第3项是；37是它的第项．【分析】根据题意，设该数列为{an}，易得an=𝑛−12𝑛，据此分析可得答案．【解答】解：根据题意，设该数列为{an}，则数列的通项公式为an=�

�−12𝑛，则其第三项a3=3−12×3=13，若an=𝑛−12𝑛=37，解可得n＝7，故答案为：13，7．12．（2019春•瑞安市校级期中）已知数列{an}的前项n和为Sn＝n2，则a4＝．【分析】根据题意，分析可得a4＝S4﹣S3，代入数据计算可得答案．【解

答】解：根据题意，数列{an}的前项n和为Sn＝n2，则a4＝S4﹣S3＝42﹣32＝16﹣9＝7；故答案为：713．（2020•浙江）已知数列{an}满足an=𝑛(𝑛+1)2，则S3＝．【分析】求出数列的前3项，然后求解即可

．【解答】解：数列{an}满足an=𝑛(𝑛+1)2，可得a1＝1，a2＝3，a3＝6，所以S3＝1+3+6＝10．故答案为：10．14．（2019春•东海县期中）已知数列{an}的通项公式为𝑎𝑛=𝑎𝑛+𝑏𝑛(𝑎，𝑏∈�

�)．若a1＝1，a2＝3，则a7＝．【分析】由𝑎𝑛=𝑎𝑛+𝑏𝑛(𝑎，𝑏∈𝑅)，a1＝1，a2＝3，可得：a+b＝1，a2+b2＝3，由a＝1﹣b代入可得：b2＝b+1，解得b，a．不妨取b

=1−√52，a=1+√52．即可得出a7．【解答】解：∵𝑎𝑛=𝑎𝑛+𝑏𝑛(𝑎，𝑏∈𝑅)，a1＝1，a2＝3，∴a+b＝1，a2+b2＝3，由a＝1﹣b代入可得：b2＝b+1，解得b=1±

√52，∴b=1−√52，a=1+√52；b=1+√52，a=1−√52．不妨取b=1−√52，a=1+√52．可得：an=(1+√52)𝑛+(1−√52)𝑛，则a7＝a7+b7=(1+√52)7+

(1−√52)7=292+13√52+292−13√52=29．故答案为：29．15．（2019春•蚌埠期中）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝﹣3n2+37n，则数列{an}中最小正项是项．【分析】Sn＝﹣3n2+37n，n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1

，n＝1时，a1＝S1．可得an，令an＞0，解得n，可得数列{an}中最小正项．【解答】解：Sn＝﹣3n2+37n，n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝﹣3n2+37n﹣[﹣3（n﹣1）2+37（n﹣1

）]＝﹣6n+40，n＝1时，a1＝S1＝﹣3+37＝34．对于上式成立．可得an＝﹣6n+40．令an＝﹣6n+40＞0，解得n＜203=6+23．∴数列{an}中最小正项是第6项．故答案为：6．16．（2020春•安徽期末）已知数列{an}的前n项和为Sn，𝑆𝑛+1𝑛=2n

+1，则a1+a7＝．【分析】由题意利用数列的前n项和与第n项的关系，求得结果．【解答】解：数列{an}的前n项和为Sn，𝑆𝑛+1𝑛=2n+1，故Sn＝2n2+n﹣1，∴a1＝S1＝2，a7＝S7﹣S6＝（2×72+7﹣1）﹣（2×62+6﹣1）＝27，则

a1+a7＝2+27＝29，故答案为：29．17．（2020春•乐山期中）已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2+2n+1，则数列{an}的通项公式an＝．【分析】根据公式an={𝑆1，𝑛=1𝑆𝑛−𝑆𝑛−1，𝑛≥2计算，并检验是否可以合并．【解答】解：

n＝1时，a1＝S1＝4；n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝n2+2n+1﹣[（n﹣1）2+2（n﹣1）+1]＝2n+1，n＝1时不符合上式，∴an={4，𝑛=12𝑛+1，𝑛≥2，故答案为：{4，𝑛=12𝑛+1，𝑛≥2．18．（2020•芜湖

模拟）18世纪德国数学家提丢斯给出一串数列：0，3，6，12，24，48，96，192，…，容易发现，从第3项开始，每一项是前一项的2倍．将每一项加上4得到一个数列：4，7，10，16，28，52，100，196，…．再每

一项除以10得到：0.4，0.7，1.0，1.6.2.8，5.2，10.0，…，这个数列称为提丢斯数列．则提丢斯数列的通项an＝．【分析】由题意可得：n≥3，10an﹣4，为数列0，3，6，12，24，48，96，1

92，…，可得：10an﹣4＝6×2n﹣3＝3×2n﹣2，解得：an．验证n＝1，2时，即可得出．【解答】解：由题意可得：n≥3，10an﹣4，为数列0，3，6，12，24，48，96，192，…，∴10an﹣4＝6×2n﹣3＝3×2n﹣2，解得：an=3×2𝑛−2+410．n＝2时，a2＝0.

7，也满足条件．n＝1时，a1＝0.4．故答案为：an={0.4，𝑛=13×2𝑛−2+410，𝑛≥2，n∈N*．19．（2019春•长宁区期末）已知数列{an}的通项公式为an=3𝑛−23𝑛+1．（1）求

这个数列的第10项；（2）在区间（13，23）内是否存在数列中的项？若有，有几项？若没有，请明理由．【分析】（1）根据题意，由数列的通项公式可得a10=3×10−23×10+1=2831，即可得答案；（2

）根据题意，解13＜3𝑛−23𝑛+1＜23可得n的取值范围，进而分析可得n的值，据此可得答案．【解答】解：（1）根据题意，数列{an}的通项公式为an=3𝑛−23𝑛+1，则a10=3×10−23×10+1=2831；（2）根据题意，13＜3𝑛−23�

�+1＜23，解可得：76＜n＜83，又由n为正整数，则n＝2，则在区间（13，23）内只存在数列的一项．20．（2019秋•海林市校级期中）已知数列{an}的通项公式为an＝n2﹣5n+4（1）数列中有多少项是负数？（2）n为何值时，an有最小值？并求出最小值．【分析】（1）

令an＝n2﹣5n+4＜0，解出n的范围，由此可得负项的项数；（2）对an进行配方，利用二次函数的性质即可求得最小值．【解答】解：（1）由n2﹣5n+4＜0，得1＜n＜4，故数列中有两项为负数；（2）an＝n2﹣5n+4=(𝑛−52)2−94，因此当n＝2或3时，an有最小值，最小值为﹣2．[B

组]—强基必备1．（2019秋•上城区校级月考）已知r，s，t为整数，集合A＝{a|a＝2r+2s+2t，0≤r＜s＜t}中的数从小到大排列，组成数列{an}，如a1＝7，a2＝11，a121＝（）A．515B．

896C．1027D．1792【分析】根据条件，通过限定t的取值，先判断符合条件的项有多少，将数列问题转化为排列组合问题；再推断a121项所在的位置，进而求得a121的值．【解答】解：当t＝2时，r只能取0，s只能取1，故符合条件的项有𝐶22=1项；当t＝3时，r和s从

0，1，2中取两个，故符合条件的项有𝐶32=3项；同理，当t＝4时，符合条件的项有𝐶42=6项；以此类推可知，因为𝐶22+𝐶32+𝐶42+⋯+𝐶92=120；∴a121是当t＝10时，r，s，t所组成

的最小的项，即r＝0，s＝1；∴𝑎121=20+21+210=1027；故选：C．2．（2019春•徐汇区校级期末）设0＜α＜𝜋2，若x1＝sinα，xn+1＝（sinα）⬚𝑥𝑛（n＝1，2，3…），则数列{xn}是（）A．递

增数列B．递减数列C．奇数项递增，偶数项递减的数列D．偶数项递增，奇数项递减的数列【分析】根据题意，由三角函数的性质分析可得0＜sinα＜1，进而可得函数y＝（sinα）x为减函数，结合函数与数列的关系分析可得答案．【解答】解：根据题意，0＜α＜𝜋2，则0

＜sinα＜1，指数函数y＝（sinα）x为减函数，∴（sinα）1＜（sinα）sinα＜（sinα）0＝1，即0＜𝑥1＜(𝑠𝑖𝑛𝛼)𝑥1＜1，∴(𝑠𝑖𝑛𝛼)1＜(𝑠𝑖𝑛𝛼)𝑥2＜(𝑠𝑖𝑛𝛼)𝑥3＜(𝑠𝑖𝑛𝛼)𝑥1

＜(𝑠𝑖𝑛𝛼)0=1，即0＜x1＜x3＜x4＜x2＜1，∴(𝑠𝑖𝑛𝛼)1＜(𝑠𝑖𝑛𝛼)𝑥2＜(𝑠𝑖𝑛𝛼)𝑥4＜(𝑠𝑖𝑛𝛼)𝑥3＜(𝑠𝑖𝑛𝛼)𝑥1＜(𝑠𝑖𝑛𝛼)0=1，即0＜x1＜x3＜x5＜x4＜x2＜

1，…，0＜x1＜x3＜x5＜x7＜…＜x8＜x6＜x4＜x2＜1．∴数列{xn}是奇数项递增，偶数项递减的数列故选：C．3．（2020•青浦区二模）定义函数f（x）＝{x{x}}，其中{x}表示不小于x的最小整数，如{1.4}＝2，{﹣2.3}＝﹣2，当x∈（0，n]（n∈N*）时，函

数f（x）的值域为An，记集合An中元素的个数为an，则an＝．【分析】当x∈（n﹣1，n]时，{x}＝n，所以x{x}所在的区间为（n（n﹣1），n2]，区间长度为n，{x{x}取到的整数为n2﹣n+1，n2﹣n+2，……，n2﹣n+n＝n2，共n个，则由此可求得an．【解

答】解：由题意得：当x∈（n﹣1，n]时，{x}＝n，所以x{x}所在的区间为（n（n﹣1），n2]，区间长度为n，{x{x}}取到的整数为n2﹣n+1，n2﹣n+2，……，n2﹣n+n＝n2，共n个，所以，当x∈（0，1]时，{x{x}}有1个；当x∈（1，2]时，

{x{x}}有2个；当x∈（2，3]时，{x{x}}有3个；……，当x∈（n﹣1，n]时，{x{x}}有n个．所以x∈（0，n]时，{x{x}}共有1+2+3+……+n=𝑛(𝑛+1)2个数．故𝑎𝑛=𝑛(𝑛+

1)2．故答案为：𝑛(𝑛+1)2．