【文档说明】湖北省沙市中学2024-2025学年高三上学期9月月考试题 数学 PDF版含解析.pdf，共(13)页，1.481 MB，由小赞的店铺上传

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2024—2025学年度上学期2022级9月月考数学试卷命题人：郑华审题人：裴艳考试时间：2024年9月25日一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把

正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1．集合215NMxx，若05MNxx，则集合N可以为（）A.4B.45xxC.05xxD.5xx2．若复数232022202320241iiii+iiz，则z（）A.0

B.2C.1D.23．已知2ba，若a与b的夹角为60，则2ab在b上的投影向量为（）A．12brB．12bC．32bD．32b4．纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交通、安全法规各项要求的车辆，它使用存储在电池中的电来发动．因其对环境影响较小

，逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向．研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年Peukert提出铅酸电池的容量C、放电时间t和放电电流I之间关系的经验公式：CIt，其中为与蓄电池结构有关的常数（称为Peukert常数），在电池容量不变的条

件下，当放电电流为7.5A时，放电时间为60h；当放电电流为25A时，放电时间为15h，则该蓄电池的Peukert常数约为（参考数据：lg20.301，lg30.477）（）A．1.12B．1.13C．1.14D．1

.155．已知,(0,π)，且5cos5，2sin()10，则（）A．4B．34C．4D．346．已知函数2()()ln0fxxaxbx恒成立，则实数a的最小值为（）A．2B．1

C．1D．27．函数ln1fxx与函数πsin2gxx的图象交点个数为（）A．6B．7C．8D．98．斐波拉契数列因数学家斐波拉契以兔子繁殖为例而引入，又称“兔子数列”.这一数列如下定义：设na为斐波拉契数列，*12

121,1,3,Nnnnaaaaann，其通项公式为11515225nnna，设n是2log15(14()5)xxx的正整数解，则n的最大值为（）A．5B．6C．7D．8二、选择题：本题共3小题，每

小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9．给出下列命题，其中正确命题为（）A．已知数据12310xxxx、、、、，满足：12210iixxi，若去掉110xx

、后组成一组新数据，则新数据的方差为168B．随机变量X服从正态分布21,,(1.5)0.34NPx，若()0.34Pxa，则0.5aC．一组数据,1,2,3,4,5,6iixyi的线性回归方程为23yx，

若6130iix，则6163iiyD．对于独立性检验，随机变量2的值越大，则推断“两变量有关系”犯错误的概率越小10．如图，棱长为2的正方体1111ABCDABCD中，E为棱1DD的中点，

F为正方形11CCDD内一个动点（包括边界），且1//BF平面1ABE，则下列说法正确的有（）A．动点F轨迹的长度为2B．1BF与1AB不可能垂直C．三棱锥11BDEF体积的最小值为13D．当三棱锥11BDDF的体积最大时，其外接球的表面积为25

π211．已知抛物线2:2(0)Cypxp的焦点为F，准线交x轴于点D，直线l经过F且与C交于,AB两点，其中点A在第一象限，线段AF的中点M在y轴上的射影为点N.若MNNF，则（）A．l的斜率为

3B．ABD△是锐角三角形C．四边形MNDF的面积是23pD．2||BFFAFD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．若“01,4x使20040xax”为假命题，则实数a的取值范围为___________.13．在ABC中，3BC，∠3A，D为线段

AB靠近点A的三等分点，E为线段CD的中点，若14BFBC，则AEAF的最大值为________.14．将1,2,3,4,5,6,7这七个数随机地排成一个数列，记第i项为

1,2,,7iai，若47a，123567aaaaaa，则这样的数列共有个．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知ABC△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若4sinsinsinAbBcAB.（1）求a的

值；（2）若ABC△的面积为22234bca，求ABC△周长的取值范围.16．已知正项数列na的前n项和为nS，且222nnnaanS．（1）求数列na的通项公式；（2）设21na

nb，若数列nc满足11nnnnbcbb，且数列nc的前n项和为nT，若12nTn恒成立，求的取值范围．17．如图所示，半圆柱1OO与四棱锥ABCDE拼接而成的组合体中，F是半圆弧BC上（不含,BC）的动点

，FG为圆柱的一条母线，点A在半圆柱下底面所在平面内，122,22OBOOABAC.(1)求证：CGBF；(2)若//DF平面ABE，求平面FOD与平面GOD夹角的余弦值；(3)求点G到直线OD距

离的最大值.18．已知双曲线E的中心为坐标原点，渐近线方程为22yx，点(2,1)在双曲线E上.互相垂直的两条直线12,ll均过点,02nnPpp，且*nN，直线1l交E于,AB两点，直线

2l交E于,CD两点，,MN分别为弦AB和CD的中点.(1)求E的方程；(2)若直线MN交x轴于点*,0nQtnN，设2nnp.①求nt；②记naPQ，*21nbnnN，求211(1)nkkkkkbba

.19．如果函数������的导数为Fxfx，可记为dfxxFx，若0fx，则bafxdxFbFa表示曲线���=���(���)，直线xaxb，以及x轴围成的“曲边梯形”的面积

.如：22dxxxC，其中C为常数；2202204xdxCC，则表0,1,2xxyx及x轴围成图形面积为4.(1)若e1d02xfxxf，，求fx的表达式

；(2)求曲线2yx与直线6yx所围成图形的面积；(3)若e120,xfxmxx，，其中Rm，对0,ab，，若ab，都满足00ddabfxxfxx，求m的取值范围.1．C2．C【详解】32024+12320220220

22024241i1i()1+1i1i1i11iiiiiiizi3．B4．D【详解】由题意知7.5602515C，所以410325607.515，两边取以10为底的对数，得10lg2lg23，所以2l

g220.3011.151lg310.4775．C【详解】因为52cos,52所以ππ(,),42Î则25sin,5所以2554sin22sincos2,55522253cos

212sin120,55则π2,π2，因为(0,π)，所以π3π,24，又220sin(),102则3π,π4，所以2

72cos()1sin(),10故sin()sin(2())sin2cos()cos2sin()472322,5105102因为ππ(,),42Î(0,π),所以3ππ,,42

则π4.解法二：∵5sin()sin()cos25，∴2，∴02，故选C6．B【详解】∵()0fx恒成立，设2()gxxaxb，则当1x时()0gx，01x时()0gx，∴

(1)0(0)0gg，即1010ababb，∴1a7．A【详解】设22,fxqxgxhx，fx的定义域为|1xx，1当4x时，πln1ln31sin2fxxg

xx，此时fx的图象与gx的图象没有交点，2当24x时，πln1ln10sin2fxxgxx，此时两图象没有交点，3当2x时，πln1ln10sinπsin2fxxgxx，此时两图象有一个交点，4当02x时，πln

1ln10sin2fxxgxx，此时两图象没有交点，5当0x时，πln1ln10sin0sin2fxxgxx，此时两图象有一个交点，⑥当10x时，ln1ln1fxxx，πsin2gx

x，设()()()hxfxgx1ππ'cos122hxxx在1,0上单调递减，π'(0)00102hfg，且x趋于1时，'hx趋于正无穷，∴存在0(1,0)x使得0'

()0hx，且0(,0)xx时'()0hx，∴()hx在0(,0)x上单调递减，∴()(0)0hxh，即()()fxgx，结合以上分析，画出������,������在1,0上的函数图象可知，两图象在1,0上有一个交点，6当2<<1x时，由对称性可知，两图

象在2,1上有一个交点，⑧当2x时，πln1ln10sinπsin2fxxgxx，此时两图象有一个交点，当42x时，ln1ln1fxxx，πsin2gxx，注意到(3)ln

2(3)1fg，画出������,������在4,2上的函数图象可知，两图象在4,2上有一个交点，⑨当4x时，πln1ln31sin2fxxgxx，此时两图象没有交点；综上所述，函数ln1fxx与函数πsin2gxx的图象交点个

数为6.8．A【详解】由题知n是2log15(14()5)xxx的正整数解，故2log(15)(15)4nnn，取指数得415152nnn，同除2n得，41515222nn

，故411515122255nn，即4125na，根据na是递增数列可以得到2na也是递增数列，于是原不等式转化为281252

5na.而565,8aa可以得到满足要求的n的最大值为5，故A正确.9．BD【详解】对于A选项，去掉110,xx后的平均数为23911872988xxxxx，方差为

222213191999218xxxxxx，故A选项错误；对于B选项，由于随机变量X服从正态分布21,,(1.5)0.34NPX，则()(1.5)0.34PXaPX，,1.5a关于1对称，则0.5a故B选项

正确；对于C选项，因为6130iix，所以5x，又因为回归方程为23yx，所以25313y，所以6113678iiy，故C选项错误；对于D选项，对于独立性检验，随机变量2

的值越大，则两变量有关系的程度的错误率更低，故2越大，判定“两变量有关系”的错误率更低，D选项正确．故选:ABD.10．ACD【详解】对A，如图，令1CC中点为M,1CD中点为N,连接MN，又正方体1111ABCD

ABCD中，E为棱1DD的中点，可得11//BMAE,11////MNCDBA，1//BM平面1BAE,//MN平面1BAE,又1BMMNM，且1,BMMN平面1BMN，平面1//BMN平面1BAE,又1

//BF平面1ABE，且1B平面1BMN，1BF平面1BMN，又F为正方形11CCDD内一个动点（包括边界），F平面1BMN平面11CCDD，而MN平面1BMN平面11CCDD，FMN

，即F的轨迹为线段MN.由棱长为2的正方体得线段MN的长度为2，故选项A正确；对B，当F为线段MN中点时，由11BMBN可得1BFMN,又1CC中点为M,1CD中点为N,1//MNDC，而11//ABDC，1

1BFAB,故选项B不正确；对C，由正方体侧棱11BC底面11CCDD，三棱锥11BDEF体积为111112=33DFEDFEVBCSS，所以1DFE面积1DFES最小时，体积最小，如图，FMN，易得F在N处时1DFES最小，此时11111=22DFESNDDE,所

以体积最小值为13，故选项C正确；对D，如图，当F在M处时，三棱锥11BDDF的体积最大时，由已知得此时115FDFDFB,所以F在底面11BDD的射影为底面外心，12DD,1122BD,123DB,所以底面11BDD为直角三角形，所以F在底面11BDD的射影为1BD中点，设为1

O，如图，设外接球半径为R,由222211113ROOOBOO,112ROOFO,可得外接球半径524R，外接球的表面积为2254π2R，故选项D正确.故选：ABD.11．ABD【详解】由题意可知：抛物线的焦点为,02pF，准线为2px，即,02p

D，设112212,,,,0,0AxyBxyyy，则111,,0,2422xyypMN，可得，因为MNNF，即MNNFMF，可知MNF为等边三角形，即60NMF，且MN∥x轴，可知直线l的倾斜角为60，斜率为tan6

03k，故A正确；则直线:32plyx，联立方程2322pyxypx，解得323pxyp或633pxyp，即3,32pAp，3,63pBp，则3

3,,0,22MppNp，可得728,7,,2,,333DFpADpBDpFApFBpABp，在ABD△中，BDADAB，且2220BDADAB，可知ADB为最

大角，且为锐角，所以ABD△是锐角三角形，故B正确；四边形MNDF的面积为21313322222MNDFBDFMNFSSSppppp△△，故C错误；因为224,3FBFApFDp，所以2||BFFAFD，故D正确；故选：ABD.12．[5,)【详解】

因为“01,4x使20040xax”为假命题，所以“1,4x，240xax”为真命题，其等价于4axx在1,4上恒成立，又因为对勾函数4fxxx在1,2上单调递减

，在2,4上单调递增，而145ff，所以max5fx，所以5a，即实数a的取值范围为[5,).13．11814．360【解析】∵12345621，∴310S，列举可知：①（1，2，3）…

…（1，2，6）有4个；②（1，3，4），……，（1，3，6）有3个；③（1，4，5）有1个；④（2，3，4），（2，3，5）有2个；故共有10个组合，∴共计有333310360AA个这样的数列。15．【解析】（1）

设4at，0t，在ABC△中，由正弦定理得2sinaRA，2sinBbR，2sincRC，代入已知化简得22sinsinsinsintABCAB，又在ABC△中有：sinsinCAB，即22sinsi

nsinsintABABAB，【方法一】∵221sinsincos2cos2sinsin2ABABABAB，即2222sinsinsinsintABAB，所以1t，所以4a.【方法二】∵sinsinsincoscossinsincosc

ossinABABABABABAB，2222222222sinsinsincoscossinsin1sin1sinsinsinsinABABABABABABAB即2

222sinsinsinsintABAB，所以1t，所以4a.（2）在ABC△中有1sin2SbcA，22231sin24bcabcA2223sin3cos2bcaAAbc，3A，由正

弦定理得：8sin3bB，8sin3cC，82sinsin8sin363bcBBB，因在ABC△中，3A，203B，1sin126B，所以，

48bc，当ABC时，等号成立，∴ABC△周长abc的取值范围是(8,12].16．【解析】（1）∵222nnnaanS，当2n时，21112(1)2nnnaanS，两式相减得：22112212nnnnnaaaaa

，整理得2211nnaa，……4分∵0na，∴11(2)nnaan，当1n时，2111212aaa，∴11a（舍）或11a，……6分∴na是以1为首项，1为公差的等差数列，则nan；……7分（2）由（1）知，21nnb，

1111111122222nnnnnnc……9分∴+11121nnT，……10分由12nTn1221nn，令12()21nngn，…11分则2n时，1121(21)()(1)02121(21)(21)nnnnnnnngngn

……13分所以1gngn，即随着n增大，gn减小，所以max11gng．……15分17．【详解】（1）取弧BC中点H，则OHBC，以O为坐标原点，直线1,,OBOHOO分别为

,,xyz轴建立空间直角坐标系，连接OA，在ABCV中，4BC，22,ABACOBOC，则,2AOBCAO，于是0,0,0,0,2,0,2,0,0,2,0,0,2,0,1OABCD，设

,,0Fxy，则,,1Gxy，其中224,0xyy，(2,,1),(2,,0)CGxyBFxy，因此2240CGBFxy，即CGBF，所以CGBF.（2）由BE平面,ABCAC平面ABC，得BEAC，又2

22ABACBC，则ABAC，而,,ABBEBABBE平面ABE，则AC平面ABE，即2,2,0AC为平面ABE的一个法向量，2,,1DFxy，由//DF平面ABE，得2420DFACxy

，又224,0xyy，解得02xy，此时0,2,0,0,2,1FG，设,,nabc是平面FOD的法向量，则2020nOFbnODac

，取1a，得1,0,2n，设,,mefg是平面GOD的法向量，则2020mOGfgmODeg，取1e，得1,1,2m，则平面FOD与平面GO

D夹角的余弦值为||530|cos,|6||||56nmnmnm.（3）2,0,1,,,1ODOGxy，则点G到直线OD的距离222(12)()55||OGODxdOGOD

，当12x时，即F的坐标为115(,,0)22时，点G到直线OD的距离取最大值为5.18．【详解】（1）∵渐近线方程为22yx，可设双曲线方程为22021xy，∵点(2,1)在双曲线E上，∴1，所以E的方程为2212xy；

（2）①当直线12,ll中又一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在是，直线MN与x轴重合，不符合题意；所以直线12,ll的斜率均存在且不为0，解法一：������1,���1，������2,���2，,M

MMxy，,NNNxy，设1l的方程为2nxmy，由22122nxyxmy，得22(2)22nmyy2212(2)2220nnmymy，∴0恒成立，112222nmyym

，∴222nMmym，∵12ll∴2212nNmym∴12222(,)22nnmMmm，同理122222(,)1212nnmmNmm因为M、N、Q三点共线，所以()()MnNNnMytxytx，

∴212(1)2(+1nntmm）化简得：12nnt；解法二：设1l的方程为0nykxpk，������1,���1，������2,���2，,MMMxy，,NNNxy，由2212nykx

pxy，得22222124220nnkxkpxkp，则2120k，所以2122412nkpxxk，所以21222212nMkpxxxk，则22221212nnMMnnkpkpykxpkpkk，所以2222,12

12nnkpkpMkk，同理可得222,22nnpkpMkk，因为M、N、Q三点共线，所以NNMNMNnyxxyyxt，又0NMyy，所以2222222221222122212nnnnMNNMnnnnNMkpk

ppkpxyxykkkktpkpkpyykk，因为2nnp，所以12nnt；②1222nnnnaPQ，所以2212122121212211(1)(1)(1)nnkkkkkkkkkkkkkkbbabbabba

21214143241412nkkkkkkk2211124nnkkkkkk，设114nkknkT，则23

411424344nnTn，所以345241424344nnTn，∴22341221614163143444444143nnnnnnnTnn

，∴2163149nnnT，故211(1)nkkkkkbba2163149nn.19．【详解】（1）e1dexxfxxxC，其中C为常数.而02f，即102

C，所以1C，所以e1xfxx.（2）联立26yxyx，解得123,2xx，当32x时，26xx，令26,gxxx2311d623

FxgxxxxxC，则围成的面积2389125d23212189326SgxxFF（3）令dFxfxx，由题意可知，0,abab，，

，满足00FaFFbF，即FaFb，即dFxfxx在0,上单调递增，进而0fx在0,恒成立，e120xmx在0,恒成立.e2,0xfxmx，若12m，则

0fx在0,上恒成立，故fx在0,上为增函数，故00fxf；若12m，则0ln2xm时，0fx，故fx在0,ln2m上为减函数，故0,ln2xm时，

00fxf，与题设矛盾；故12m.【点睛】关键点点睛：本题第三步关键在于利用ab，都满足00ddabfxxfxx，得出函数dFxfxx在0,上单调递增，再结合导数的符

号分类讨论后可得参数的取值范围.