【文档说明】湖北省沙市中学2024-2025学年高三上学期9月月考试题 数学 Word版含解析.docx，共(13)页，1.136 MB，由小赞的店铺上传

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2024—2025学年度上学期2022级9月月考数学试卷命题人：郑华审题人：裴艳考试时间：2024年9月25日一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1．集合215=

NMxx，若05=MNxx，则集合N可以为（）A.4B.45xxC.05xxD.5xx2．若复数232022202320241iiii+iiz=−+−++−，则z=（）A0B.2C

.1D.23．已知2ba=，若a与b的夹角为60，则2ab−在b上的投影向量为（）A．12brB．12b−C．32b−D．32b4．纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交通、安全法规各项要求的

车辆，它使用存储在电池中的电来发动．因其对环境影响较小，逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向．研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年Peukert提出铅酸电池的容量C、放电时间t和放电电流I之间关系的经验公式：CIt=

，其中为与蓄电池结构有关的常数（称为Peukert常数），在电池容量不变的条件下，当放电电流为7.5A时，放电时间为60h；当放电电流为25A时，放电时间为15h，则该蓄电池的Peukert常数约为（参考数据：lg20.301，lg30.477）（

）A．1.12B．1.13C．1.14D．1.155．已知,(0,π)，且5cos5=，2sin()10+=，则−=（）A．4B．34C．4−D．34−6．已知函数2()()ln0fxxa

xbx=++恒成立，则实数a的最小值为（）A．2−B．1−C．1D．27．函数()ln1fxx=−与函数()πsin2gxx=的图象交点个数为（）A．6B．7C．8D．98．斐波拉契数列因数学家斐波拉契以兔子繁殖为例而引

入，又称“兔子数列”.这一数列如下定义：设na为斐波拉契数列，()*12121,1,3,Nnnnaaaaann−−===+，其通项公式为.11515225nnna+−=−，设n是2log15(14()5)xxx−+−+的正整数解，则

n的最大值为（）A．5B．6C．7D．8二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9．给出下列命

题，其中正确命题为（）A．已知数据12310xxxx、、、、，满足：()12210iixxi−−=，若去掉110xx、后组成一组新数据，则新数据的方差为168B．随机变量X服从正态分布()21,,(1.5)0.34NPx=，若()0.34Pxa=

，则0.5a=C．一组数据()(),1,2,3,4,5,6iixyi=的线性回归方程为23yx=+，若6130iix==，则6163iiy==D．对于独立性检验，随机变量2的值越大，则推断“两变量有关系”犯错误的概率越小10．

如图，棱长为2的正方体1111ABCDABCD−中，E为棱1DD的中点，F为正方形11CCDD内一个动点（包括边界），且1//BF平面1ABE，则下列说法正确的有（）A．动点F轨迹的长度为2B．1BF与1AB不可能垂直C．三棱锥11BDEF−体积的最小值为13D．当三棱锥11B

DDF−的体积最大时，其外接球的表面积为25π211．已知抛物线2:2(0)Cypxp=的焦点为F，准线交x轴于点D，直线l经过F且与C交于,AB两点，其中点A在第一象限，线段AF的中点M在y轴上的射影

为点N.若MNNF=，则（）A．l的斜率为3B．ABD△是锐角三角形C．四边形MNDF的面积是23pD．2||BFFAFD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．若“01,4x使20040xax−+”为假命题，则实数a的取值范围为___________

.13．在ABC中，3BC=，∠3A=，D为线段AB靠近点A的三等分点，E为线段CD的中点，若14BFBC=，则AEAF的最大值为________.14．将1,2,3,4,5,6,7这七个数随机地排成一个数

列，记第i项为()1,2,,7iai=，若47a=，123567aaaaaa++++，则这样的数列共有个．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知ABC△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若()4sinsinsin−=−AbBcAB.（1

）求a的值；（2）若ABC△的面积为()22234+−bca，求ABC△周长的取值范围.16．已知正项数列na的前n项和为nS，且222nnnaanS+−=．（1）求数列na的通项公式；（2）设2

1nanb=−，若数列nc满足11nnnnbcbb++=，且数列nc的前n项和为nT，若()12nTn−+恒成立，求的取值范围．17．如图所示，半圆柱1OO与四棱锥ABCDE−拼接而成的组合体中，F是半圆弧BC上（不含,BC）的动点，FG为圆柱的

一条母线，点A在半圆柱下底面所在平面内，122,22OBOOABAC====.(1)求证：CGBF⊥；(2)若//DF平面ABE，求平面FOD与平面GOD夹角的余弦值；(3)求点G到直线OD距离的最大值.1

8．已知双曲线E的中心为坐标原点，渐近线方程为22yx=，点(2,1)−在双曲线E上.互相垂直的两条直线12,ll均过点()(,02nnPpp，且)*nN，直线1l交E于,AB两点，直线2l交E于,CD两点，,MN分别为弦AB和CD的中点.(1)求E的方程；(2)若直线MN交x

轴于点()()*,0nQtnN，设2nnp=.①求nt；②记naPQ=，()*21nbnn=−N，求211(1)nkkkkkbba+=−−.19．如果函数𝐹(𝑥)的导数为()()Fxfx=，可记为()()dfxxFx

=，若()0fx，则()()()bafxdxFbFa=−表示曲线𝑦=𝑓(𝑥)，直线xaxb==，以及x轴围成的“曲边梯形”的面积.如：22dxxxC=+，其中C为常数；()()2202204xdxCC=+−+=，则表0,1,2xxyx===

及x轴围成图形面积为4.(1)若()()()e1d02xfxxf=+=，，求()fx的表达式；(2)求曲线2yx=与直线6yx=−+所围成图形的面积；(3)若())e120,xfxmxx=−−+，，其中Rm，对)0,ab+，，若ab，都满足()()00

ddabfxxfxx，求m的取值范围.1．C2．C【详解】()()32024+1232022022022024241i1i()1+1i1i1i11iiiiiiizi=−+−−−−−+====−−+−+++3．B4．D【详解】由题意知7.5602515C

==，所以410325607.515===，两边取以10为底的对数，得10lg2lg23=，所以2lg220.3011.151lg310.477=−−5．C【详解】因为52cos,52=所以ππ(,),

42Î则25sin,5=所以2554sin22sincos2,555===22253cos212sin120,55=−=−=−则π2,π2，因为(0,π)，所以π3π,24+

，又220sin(),102+=则3π,π4+，所以272cos()1sin(),10+=−−+=−故sin()sin(2())sin2cos()cos2sin()−=−+=+−+472322,5105102=−−−=−

因为ππ(,),42Î(0,π),所以3ππ,,42−−则π4−=−.解法二：∵5sin()sin()cos25++==，∴2，∴02−−，故选C6．B【详解】∵()0fx恒成立，设2()gxxaxb=++，则

当1x时()0gx，01x时()0gx，∴(1)0(0)0gg=，即1010ababb++==−−，∴1a−7．A【详解】设()()()()22,fxqxgxhx==，()fx的定义域为|1xx，①当4x时，()()πln1ln31sin2fxx

gxx=−=，此时()fx的图象与()gx的图象没有交点，②当24x时，()()πln1ln10sin2fxxgxx=−==，此时两图象没有交点，③当2x=时，()()πln1ln10sinπsin

2fxxgxx=−=====，此时两图象有一个交点，④当02x时，()()πln1ln10sin2fxxgxx=−==，此时两图象没有交点，⑤当0x=时，()()πln1ln10sin0sin2fxxg

xx=−=====，此时两图象有一个交点，⑥当10x−时，()()ln1ln1fxxx=−=+，()πsin2gxx=，设()()()hxfxgx=−()1ππ'cos122hxxx=−+在()1,0−上单调递减，()()π'(0)00102hfg=−=−，且x趋于1−时，()'h

x趋于正无穷，∴存在0(1,0)x−使得0'()0hx=，且0(,0)xx时'()0hx，∴()hx在0(,0)x上单调递减，∴()(0)0hxh=，即()()fxgx，结合以上分析，画出𝑓(𝑥),𝑔(𝑥)在()1,0−上的函数图象可知，两图象在()1,0−上有一个交点，

⑥当2<<1x−−时，由对称性可知，两图象在()2,1−−上有一个交点，⑧当2x=−时，()()()πln1ln10sinπsin2fxxgxx=−===−==，此时两图象有一个交点，当42x−−时，()()ln1ln1fxxx=−=−−，()πsin2gxx=，注意

到(3)ln2(3)1fg−=−=，画出𝑓(𝑥),𝑔(𝑥)在()4,2−−上的函数图象可知，两图象在()4,2−−上有一个交点，⑨当4x−时，()()πln1ln31sin2fxxgxx=−=，此时两图象

没有交点；综上所述，函数()ln1fxx=−与函数()πsin2gxx=的图象交点个数为6.8．A【详解】由题知n是2log15(14()5)xxx−+−+的正整数解，故2log(15)(15)4nnn−+−+，取指数得()()415152nnn++−−，同除2n

得，41515222nn+−−，故411515122255nn+−−，即4125na，根据na是递增数列可以得到

2na也是递增数列，于是原不等式转化为2812525na.而565,8aa==可以得到满足要求的n的最大值为5，故A正确.9．BD【详解】对于A选项，去掉110,xx后的平均数为23911872988xxxxx++++==

+，方差为()()()222213191999218xxxxxx−−+−−++−−=，故A选项错误；对于B选项，由于随机变量X服从正态分布()21,,(1.5)0.34NPX=，则()(1.5)0.34PXaPX==，,1.5a关于1对称，则0.5a=故B选

项正确；对于C选项，因为6130iix==，所以5x=，又因为回归方程为23yx=+，所以25313y=+=，所以6113678iiy===，故C选项错误；对于D选项，对于独立性检验，随机变量2的值越大，则两变量有关系的程度的错误率更低，故2越大，判定“两变量有

关系”的错误率更低，D选项正确．故选:ABD.10．ACD【详解】对A，如图，令1CC中点为M,1CD中点为N,连接MN，又正方体1111ABCDABCD−中，E为棱1DD的中点，可得11//BMAE,11////MNCDBA，1//BM平面1BAE,//MN平面1BAE,又

1BMMNM=，且1,BMMN平面1BMN，平面1//BMN平面1BAE,又1//BF平面1ABE，且1B平面1BMN，1BF平面1BMN，又F为正方形11CCDD内一个动点（包括边界），F平面1BMN平面11CCDD，而MN=

平面1BMN平面11CCDD，FMN，即F的轨迹为线段MN.由棱长为2的正方体得线段MN的长度为2，故选项A正确；对B，当F为线段MN中点时，由11BMBN=可得1BFMN⊥,又1CC中点为M,1

CD中点为N,1//MNDC，而11//ABDC，11BFAB⊥,故选项B不正确；对C，由正方体侧棱11BC⊥底面11CCDD，三棱锥11BDEF−体积为111112=33DFEDFEVBCSS=，所以1DFE面积1DFES最小时，体积最小，如图，FMN，易得F在N处时

1DFES最小，此时11111=22DFESNDDE=,所以体积最小值为13，故选项C正确；对D，如图，当F在M处时，三棱锥11BDDF−的体积最大时，由已知得此时115FDFDFB===,所以F在底面11BDD的射影为底面外心，12DD=,1122BD=,123DB=,所以底面

11BDD为直角三角形，所以F在底面11BDD的射影为1BD中点，设为1O，如图，设外接球半径为R,由222211113ROOOBOO=+=+,112ROOFO+==,可得外接球半径524R=，外接球的表面积为2254π2R=，故选项D正确.故选：ABD

.11．ABD【详解】由题意可知：抛物线的焦点为,02pF，准线为2px=−，即,02pD−，设()()112212,,,,0,0AxyBxyyy，则111,,0,2422xyypMN+，可得，因为MNNF=，即MNNFMF==，可知

MNF为等边三角形，即60NMF=，且MN∥x轴，可知直线l的倾斜角为60，斜率为tan603k==，故A正确；则直线:32plyx=−，联立方程2322pyxypx=−=，解得323pxyp==或633p

xyp==−，即3,32pAp，3,63pBp−，则33,,0,22MppNp，可得728,7,,2,,333DFpADpBDpFApFBpABp======，在A

BD△中，BDADAB，且2220BDADAB+−，可知ADB为最大角，且为锐角，所以ABD△是锐角三角形，故B正确；四边形MNDF的面积为21313322222MNDFBDFMNFSSSppppp=+=+=△△，故C错误；因为224,3FBFApFDp==，所以2||BFF

AFD，故D正确；故选：ABD.12．[5,)+【详解】因为“01,4x使20040xax−+”为假命题，所以“1,4x，240xax−+”为真命题，其等价于4+axx在

1,4上恒成立，又因为对勾函数()4fxxx=+在1,2上单调递减，在2,4上单调递增，而()()145ff==，所以()max5fx=，所以5a，即实数a的取值范围为[5,)+.13．11814．360【解析】∵12345621+++++=，∴310S，列举可知：①（1，2，3）…

…（1，2，6）有4个；②（1，3，4），……，（1，3，6）有3个；③（1，4，5）有1个；④（2，3，4），（2，3，5）有2个；故共有10个组合，∴共计有333310360AA=个这样的数列。15．【解析】（1）设4=at，()0t，在ABC△中

，由正弦定理得2sin=aRA，2sinB=bR，2sin=cRC，代入已知化简得()22sinsinsinsin−=−tABCAB，又在ABC△中有：()sinsin=+CAB，即()()22si

nsinsinsin−=+−tABABAB，【方法一】∵()()()221sinsincos2cos2sinsin2+−=−−=−ABABABAB，即2222sinsinsinsin−=−tABAB，所以1=t，所以4=a.【方法二】∵()()

()()sinsinsincoscossinsincoscossin+−=+−ABABABABABAB，()()()()2222222222sinsinsincoscossinsin1sin1sinsinsinsin+−=−=−−−=−ABABABABABABAB

即2222sinsinsinsin−=−tABAB，所以1=t，所以4=a.（2）在ABC△中有1sin2=SbcA，()22231sin24+−=bcabcA()2223sin3cos2+−==bcaAAbc，

3=A，由正弦定理得：8sin3=bB，8sin3=cC，82sinsin8sin363+=+−=+bcBBB，因在ABC△中，3=A，203B，1sin126B+

，所以，48bc+，当==ABC时，等号成立，∴ABC△周长abc++的取值范围是(8,12].16．【解析】（1）∵222nnnaanS+−=，当2n时，21112(1)2nnnaanS−−−+−−=，两式相减得：22112212nnnnnaaaaa−−+−−−=，整理得()22

11nnaa−=+，……4分∵0na，∴11(2)nnaan−=+，当1n=时，2111212aaa+−=，∴11a=−（舍）或11a=，……6分∴na是以1为首项，1为公差的等差数列，则nan=；……7分（2）由（1）知，21nnb=−，()()111

1111122222nnnnnnc++==−−−−−……9分∴+11121nnT=−−，……10分由()12nTn−+1221nn++−，令12()21nngn++=−，…11分则2n时，1121(21)()(1)02121(21)(21)n

nnnnnnngngn++++−+−−=−=−−−−……13分所以()()1gngn−，即随着n增大，()gn减小，所以()()max11gng==．……15分17．【详解】（1）取弧BC中点H，则OHBC⊥，以O为坐标原点，直线1,,OBOHOO分别为,,xy

z轴建立空间直角坐标系，连接OA，在ABCV中，4BC=，22,ABACOBOC===，则,2AOBCAO⊥=，于是()()()()()0,0,0,0,2,0,2,0,0,2,0,0,2,0,1OABCD−−−，设(),,0Fxy，则(),,1Gxy，其中2

24,0xyy+=，(2,,1),(2,,0)CGxyBFxy=+=−，因此2240CGBFxy=−+=，即CGBF⊥，所以CGBF⊥.（2）由BE⊥平面,ABCAC平面ABC，得BEAC⊥，又222

ABACBC+=，则ABAC⊥，而,,ABBEBABBE=平面ABE，则AC⊥平面ABE，即()2,2,0AC=−为平面ABE的一个法向量，()2,,1DFxy=+−，由//DF平面ABE，得2420DFACxy=−−+=，又224,0xy

y+=，解得02xy==，此时()()0,2,0,0,2,1FG，设(),,nabc=是平面FOD的法向量，则2020nOFbnODac===−+=，取1a=，得()1,0,2n=，设(),,mefg=是平面GOD

的法向量，则2020mOGfgmODeg=+==−+=，取1e=，得()1,1,2m=−，则平面FOD与平面GOD夹角的余弦值为||530|cos,|6||||56nmnmnm===.（3）()()2,0,1,,,1ODOGxy=−=，则点G到直线OD的距离

222(12)()55||OGODxdOGOD−=−=−，当12x=时，即F的坐标为115(,,0)22时，点G到直线OD的距离取最大值为5.18．【详解】（1）∵渐近线方程为22yx=，可设双曲线方程为()220

21xy−=，∵点(2,1)−在双曲线E上，∴1=，所以E的方程为2212xy−=；（2）①当直线12,ll中又一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在是，直线MN与x轴重合，不符合题意；所以直线12,ll的斜率均存在且不为0，解

法一：𝐴(𝑥1,𝑦1)，𝐵(𝑥2,𝑦2)，(),MMMxy，(),NNNxy，设1l的方程为2nxmy=+，由22122nxyxmy−==+，得22(2)22nmyy+−=2212(2)2220nnmymy+−++−=，

∴0恒成立，112222nmyym++=−−，∴222nMmym=−−，∵12ll⊥∴2212nNmym=−∴12222(,)22nnmMmm+−−−−，同理122222(,)1212nnmmNmm+−−−因为M、N、Q三点共线，所以()()MnNNnMyt

xytx−=−，∴212(1)2(+1nntmm++=）化简得：12nnt+=；解法二：设1l的方程为()()0nykxpk=−，𝐴(𝑥1,𝑦1)，𝐵(𝑥2,𝑦2)，(),MMMxy，(),NNNxy，由()2212nykxpxy=−−=

，得()22222124220nnkxkpxkp−+−−=，则2120−k，所以2122412nkpxxk−+=−，所以21222212nMkpxxxk−+==−，则()22221212nnMMnnkpkpykxpkpkk−−=−=−=−−，所以

2222,1212nnkpkpMkk−−−−，同理可得222,22nnpkpMkk−−−，因为M、N、Q三点共线，所以()()()NNMNMNnyxxyyxt−=−−，又0NMyy−，所以22

22222221222122212nnnnMNNMnnnnNMkpkppkpxyxykkkktpkpkpyykk−−−−−−−−−===−−−−−，因为2nnp=，所以12nnt+=；②1222nnn

naPQ+==−=，所以2212122121212211(1)(1)(1)nnkkkkkkkkkkkkkkbbabbabba−+−−+==−−=−−+−−()()21214143241412nkkkkkkk−==−+−++−+2211124nnkkkk

kk++====，设114nkknkT+==，则23411424344nnTn+=++++，所以345241424344nnTn+=++++，∴()()22341221614163143444444143nnnnnnnTnn+++

+−−−−−=++++−=−=−，∴()2163149nnnT++−=，故211(1)nkkkkkbba+=−−()2163149nn++−=.19．【详解】（1）()()e1dexxfxxxC=

+=++，其中C为常数.而()02f=，即102C++=，所以1=C，所以()e1xfxx=++.（2）联立26yxyx==−+，解得123,2xx=−=，当32x−时，26xx−+，令()26,gxxx=−+−()()2311d623Fxg

xxxxxC==−+−+，则围成的面积()()()2389125d23212189326SgxxFF−==−−=−+−−−−+=（3）令()()dFxfxx=，由题意可知，)0,abab

+，，，满足()()()()00FaFFbF−−，即()()FaFb，即()()dFxfxx=在)0,+上单调递增，进而()0fx在)0,+恒成立，e120xmx−−在()0,+恒成立.()e2,0x

fxmx=−，若12m，则()0fx在()0,+上恒成立，故()fx在)0,+上为增函数，故()()00fxf=；若12m，则0ln2xm时，()0fx，故()fx在0,ln2m上为减函数，故0,ln2xm时，()()0

0fxf=，与题设矛盾；故12m.【点睛】关键点点睛：本题第三步关键在于利用ab，都满足()()00ddabfxxfxx，得出函数()()dFxfxx=在)0,+上单调递增，再结合导数的符号分类讨论后

可得参数的取值范围.