【文档说明】广东省普通高等学校2023届招生全国统一考试模拟测试（二）高三数学试卷含答案.docx，共(14)页，884.233 KB，由管理员店铺上传

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2023年普通高等学校招生全国统一考试模拟测试（二）数学本试卷共6页，22小题，满分150分。考试用时120分钟。注意事项：1．答卷前，考生务必将自己所在的市（县、区）、学校、班级、姓名、考场号、座位号和考生号填写在答题卡上，将条形码横贴在每张答题卡右上角“条形码粘贴处

”。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先画掉原来的答案，然

后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合203AxZx=−，1,2B=，则A

B=（）A．0,1,2B．1,0,1,2−C．2,1,1,2−−D．2,1,0,1,2−−2．已知复数3cosisinz=+（R，i为虚数单位），则z的最大值为（）A．2B．2C．3D．33．已知双曲线22221(0,0)xyabab−=的离心率为233，则双曲线

的两条渐近线的夹角为（）A．6B．4C．3D．5124．已知某摩天轮的半径为60m，其中心到地面的距离为70m，摩天轮启动后按逆时针方向匀速转动，每30分钟转动一圈．已知当游客距离地面超过100m时进入最佳观景时间段，则游客在摩天轮转动一圈的过程中最佳观景时长约有（）

A．5分钟B．10分钟C．15分钟D．20分钟5．现有一个轴截面是边长为4的等边三角形的倒置圆锥（顶点在下方，底面在上方），将半径为32的小球放入圆锥，使得小球与圆锥的侧面相切，过所有切点所在平面将圆锥分割成两个部分，则分割得到的圆台的侧面积为

（）A．278B．338C．458D．5586．已知△ABC是单位圆O的内接三角形，若4A=，则ABOC的最大值为（）A．12B．22C．1D．27．已知2023220230122023(1)xaaxaxax−=++++，则122023111aaa

+++=（）A．1−B．0C．1D．202310128．已知ln22a=，ln3eb=，22ec=，则（参考数据：ln20.7）（）A．abcB．bacC．bcaD．cab二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共

20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知直线m与平面α有公共点，则下列结论一定正确的是（）A．平面α内存在直线l与直线m平行B．平面α内存在直线l与直

线m垂直C．存在平面γ与直线m和平面α都平行D．存在过直线m的平面β与平面α垂直10．已知()costanfxxx=+，则下列说法正确的是（）A．()fx是周期函数B．()fx有对称轴C．()fx有对称中心D．()fx在0,2上单调递增1

1．现有甲、乙、丙三位篮球运动员连续5场篮球比赛得分情况的记录数据，已知三位球员得分情况的数据满足以下条件：甲球员：5个数据的中位数是26，众数是24；乙球员；5个数据的中位数是29，平均数是26；丙球员：5个数据有1个是32，平均数是26，方差是9.6；根据以

上统计数据，下列统计结论一定正确的是（）A．甲球员连续5场比赛得分都不低于24分B．乙球员连续5场比赛得分都不低于24分C．丙球员连续5场比赛得分都不低于24分D．丙球员连续5场比赛得分的第60百分位数大于2412．在平面直角坐标系中，已知正方形ABCD四边所在直线

与x轴的交点分别为（0，0），（1，0），（2，0），（4，0），则正方形ABCD四边所在直线中过点（0，0）的直线的斜率可以是（）A．2B．32C．34D．14三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知公比大于1的

等比数列na满足2312aa+=，416a=，则na的公比q=______．14．已知直四棱柱1111ABCDABCD−的棱长均为2，60BAD=，除面ABCD外，该四棱柱其余各个面的中心分别为点E

，F，G，H，I，则由点E，F，G，H，I构成的四棱锥的体积为______．15．已知1F，2F分别是椭圆C：22221(0)xyabab+=的左、右焦点，M是C上一点且2MF与x轴垂直，直线1MF与C

的另一个交点为N．若直线MN在y轴上的截距为3，且14MNFN=，则椭圆C的标准方程为______．16．已知3()fxxx=−，若过点P（m，n）恰能作两条直线与曲线()yfx=相切，且这两条切线关于直线xm=对称，则m的一

个可能值为______．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知等差数列na的公差0d，且满足11a=，1a，2a，4a成等比数列．（1）求数列na的通项公式；（2）若数列nb满足22,,1,,nann

nnbnaa+=为奇数为偶数求数列nb的前2n项的和2nT．18.(12分)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3cossin2ABbcB+=．(1)求C；(2)若3abc+=，求sinA．19.

(12分)如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD是平行四边形，120ABC=，1AB=，2BC=，PDCD⊥．（1）证明：ABPB⊥（2）若平面PAB⊥平面PCD，且102PA=，求直线AC与平面PBC所成角的正弦值．20．（12分）甲、乙两名围棋

学员进行围棋比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，平局双方均得0分，比赛一直进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛．已知每局比赛中，甲获胜的概率为α，乙获胜的概率为β，两人平局的概率为(1,0,0,0)

++=，且每局比赛结果相互独立．（1）若25=，25=，15=，求进行4局比赛后甲学员赢得比赛的概率；（2）当0=时，（i）若比赛最多进行5局，求比赛结束时比赛局数X的分布列及期望E（X）的最大值；（

ii）若比赛不限制局数，写出“甲学员赢得比赛”的概率（用α，β表示），无需写出过程．21．（12分）已知2()exfxxa=−，存在123xxx，使得123()()()0fxfxfx===．（1）求实数a的取值范围；（2）试探究123xxx++与3的大小关系，并证明你的结论．22．（12

分）已知A，B是抛物线E：2yx=上不同的两点，点P在x轴下方，PA与抛物线E交于点C，PB与抛物线E交于点D，且满足PAPBPCPD==，其中λ是常数，且1．（1）设AB，CD的中点分别为点M，N，

证明：MN垂直于x轴；（2）若点P为半圆221(0)xyy+=上的动点，且2=，求四边形ABDC面积的最大值．2023年普通高等学校招生全国统一考试模拟测试（二）数学参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．题号1234

5678答案BDCBDCAB二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分题号9101112答案BDACDADABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．214．3315．221

8154xy+=16．269（或269−，或23015，或23015−）四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．解：（1）因为1a，2a，4a成等比数列，所以221

4aaa=，即2(1)1(13)dd+=+，解得0d=或1d=．因为0d，所以1d=，所以11(1)nann=+−=．2^{n}，n为奇数，（2）由（1）得2,,1,,(2)nnnbnnn=+为奇

数为偶数所以2,,111,,22nnnbnnn=−+为奇数为偶数所以21232121321242()()nnnnnTbbbbbbbbbbb−−=+++++=+++++++13211111111(222)22446222nnn−

=++++−+−++−+12122222111122222nn−−=+−−+2121534412nn+=−−+，所以数列nb的前2n项的和

21221534412nnTn+=−−+．18．解：（1）由正弦定理sinsinbcBC=，得3sincossinsin2ABBCB+=，因为sin0B，所以3cossin2ABC+=．因为ABC++=，所以coscossin2222ABCC+=−=．所以3s

in2sincos222CCC=．因为sin02C，所以3cos22C=，因为(0,)C，所以26C=，所以3C=．（2）方法一：因为3ab+=，由正弦定理sinsinsinabcABC==，得3sinsin3sin2ABC+==，因为233

AB+=−=，所以2sinsinsinsin3ABAA+=+−．31333sincossinsincos22222AAAAA=++=+=．所以313sincos222AA+=，即3sin62A+=．

因为(0,)A，所以63A+=或23，所以6A=或2．所以1sin2A=或1．方法二：因为3C=，由余弦定理得222(*)cabab=+−，将3()3cab=+代入（*）式得2221()3ababab+

=+−，整理得222520aabb−+=，因式分解得(2)(2)0abab−−=，解得2ab=或2ba=，①当2ab=时，3cb=，所以222222234cos0,223bcabbbAbcb+−+−===因为(0,)A，所以

2A=，②当2ba=时，3ca=，所以2222222433cos2243bcaaaaAbca+−+−===，因为(0,)A，所以6A=，所以sinA的值为12或1．19．（1）证明：如图1，连接BD，因为四边形ABCD是平行四边形，且120ABC=，1A

B=，2BC=，所以1CD=，60BCD=，ABCD∥，所以22212cos1421232BDBCCDBCCDBCD=+−=+−=，所以3BD=，所以222BCBDCD=+，所以CDBD⊥

，又因为CDPD⊥，BDPDD=，BD，PD平面PBD，所以CD⊥平面PBD，因为PB平面PBD，所以CDPB⊥，因为ABCD∥，所以ABPB⊥．（2）解：如图2，设平面PAB和平面PCD的交线为直线l，因为CDAB∥，CD平面PA

B，AB平面PAB，所以CD∥平面PAB，因为CD平面PCD，平面PADPAD平面PBCl=，所以CDl∥，因为CD⊥平面PBD，所以l⊥平面PBD，因为PB，PD平面PBD，所以∠BPD是平面PAB与平

面PCD的二面角，因为平面PAB⊥平面PCD，所以90BPD=，即BPDP⊥在Rt△ABP中，因为102PA=，1AB=，所以6,2PB=在Rt△BPD中，因为3BD=，所以62PD=，所以△BPD为等腰直角三角形，方法一：由（1）得CD⊥平面PBD

，如图3，以点D为坐标原点，DB所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，过点D垂直于平面ABCD的直线为z轴建立空间直角坐标系，则()3,1,0A−，()3,0,0B，()0,1,0C，33,0,22P，所以()3,2,0AC=−，()3,1,0BC=−，

33,0,22BP=−，设平面PBC的法向量为(),,nxyz=，则30,330,22nBCxynBPxz=−+==−+=解得3,,yxzx==取1x=，得()1,3,1n=，记直线AC与平

面PBC所成角为θ，则3230105sincos,3513134nACnACnAC−++====+++，所以直线AC与平面PBC所成角的正弦值为10535．方法二：在△ABC中，因为1AB=，2BC=，120ABC=，则2212cos1421272

ACABBCABBCABC=+−=+−−=，设点A到平面PBC的距离为d，由（1）知CD⊥平面PBD，因为四边形ABCD是平行四边形，所以ADBC∥，又因为AD平面PBC，BC平面PBC，

所以AD∥平面PBC，所以APBCDPBCVV−−=，因为DPBCCBPDVV−−=，所以APBCCBPDVV−−−，设点A到平面PBC的距离为d，由（1）知CD⊥平面PBD，所以1133PBCBPDSdSCD=△△，在△PBC中，62PB=，2BC=，102PCPA==，因为222

PBPCBC+=，所以PBPC⊥，所以1610152224PBCS==△，所以11511661343222d=，解得155d=，记直线AC与平面PBC所成角为θ，则151055sin357dAC===，所以直线AC与平面PBC所成角的正弦值为10535．

20．（1）解：用事件A，B，C分别表示每局比赛“甲获胜”“乙获胜”或“平局”，则()25PA=，()25PB==，()15PC==，记“进行4局比赛后甲学员赢得比赛”为事件N，则事件N包括事件

ABAA，BAAA，ACCA，CACA，CCAA共5种，所以()()()()()()PNPABAAPBAAAPACCAPCACAPCCAA=++++2()()()()3()()()()PBPAPAPAPCPCPAPA=+4222124423555625=+=

．（2）（i）因为0=，所以每局比赛结果仅有“甲获胜”和“乙获胜”，即1+=，由题意得X的所有可能取值为2，4，5，则22(2)PX==+，2222(4)()()2()PX==+++=+，

22(5)()()14PX==++=．所以X的分布列为X245P22+222()+224所以X的期望222222()2()8()20EX=++++22222(12)8(12)20442=−+−+=++，因为1

2+=，所以14，当且仅当12==时，等号成立，所以10,4，所以2222113()442(21)1(21)144EX=++=++++=．（ii）记“甲学员赢得比赛”为事件M，则2222()12PM==−+．注：（

第（ii）小问推导过程参考）由（1）得前两局比赛结果可能有AA，BB，AB，BA，其中事件AA表示“甲学员赢得比赛”，事件BB表示“乙学员赢得比赛”，事件AB，BA表示“甲、乙两名学员各得1分”，当甲、乙两名学员得分总数相同时，甲学员赢得比赛的概率与比赛一开始甲学员赢得比赛的概率相同．所

以()()1()0()()()()PMPAAPBBPABPMPBAPM=+++()()()()()()()()PAPAPAPBPMPBPAPM=++2()()PMPM=++22()PM=+所以2(12)()PM−=，即2()12PM=

−，因为1+=，所以22222222()()222PM===+−++−+．21．解：（1）由题意得2()exfxxa=−有三个零点，转化为函数ya=与函数2exxy=的图象有三个公共点，设2()exxgx=，则22

()exxxgx−=，令()0gx，解得02x；令()0gx，解得0x或2x，所以()gx在（0，2）上单调递增，在(),0−和()2,+上单调递减，因为当x→−时，()gx→+，当x→+时，()0gx→，且

(0)0g=，24(2)eg=，所以(0)(2)gag，即实数a的取值范围为240ea．（2）因为123xxx，由（1）得12302xxx，由322232eexxxxa==，得22332ln2lnxxxx−=−，设()2lnhxxx=−，则23()()hxhx=，

求导得2()1hxx=−，令()0hx，解得02x，令()0hx，解得2x，所以h（x）在（0，2）上单调递增，在(2,)+上单调递减，设()(4)()mxhxhx=−−，02x，则()2ln(4)42ln2ln(4)2ln24mxxxxxxxx=−−+−+=−−

+−，02x，求导得2222(2)()204(4)xmxxxxx−=−+=−−恒成立，所以()mx在（0，2）上单调递减，所以()(2)0mxm=，即(4)()hxhx−，因为202x，所以223(4)()()hxhxhx−=，又因为32x，242x−，h（x）在(2,)+

上单调递减，所以234xx−，即234xx+，设024()egx=且00x，则1024()()egxagx==，因为()gx在(),0−上单调递减，所以10xx，因为3e4，所以1214ee−，所以01214(1)()eeggx−−==，因为()gx

在(),0−上单调递减，所以01x−，所以101xx−，所以123413xxx++−=．22．（1）证明：因为PAPBPCPD==，且P，A，C共线，P，B，D共线，所以ABCD∥，所以直线AB和直线CD的斜率相等，即A

BCDkk=，设()211,Axx，()222,Bxx，()233,Cxx，()244,Dxx，则点M的横坐标122Mxxx+=，点N的横坐标342Nxxx+=，由ABCDkk=，得222243212143xxxxxxxx−−=−−，因式分解得434321212

143()()()()xxxxxxxxxxxx−+−+=−−，约分得2143xxxx+=+，所以341222xxxx++=，即MNxx=，所以MN垂直于x轴．（2）解：设P（()00,Pxy，则22001xy+=，且

010y−，当2=时，C为PA中点，则0132xxx+=，20132yxy+=，因为C在抛物线上，所以22010122yxxx++=，整理得2210100220xxxyx−+−=，当2=时，D为PB中点，同理

得2220200220xxxyx−+−=，所以1x，2x是方程22000220xxxyx−+−=的两个根，由韦达定理得1202xxx+=，212002xxyx=−，所以1202Mxxxx+==，所以PM也垂直于x轴，所

以222220001200004423()22xyxxxPMyyxy−++=−=−=−，因为222212121200000()448422xxxxxxxyxxy−=+−=−+=−，所以34PABABDCSS=△四边形123142PMxx=−()()3222

00000039232284xyxyxy=−−=−()32009214yy=−−+，010y−，当012y=−时，2001yy−−+取得最大值54，所以392545104432ABDCS=

四边形，所以四边形ABDC面积的最大值为451032．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com