【文档说明】【精准解析】广西南宁三中2019-2020学年高二下学期期末考试（普通班）理科数学试题.doc，共(23)页，2.411 MB，由小赞的店铺上传

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广西南宁三中2021届高二下学期期末考试卷理科数学一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每题只有一个正确选项）1.设集合22,,Axx，若1A,则x的值为（）A.1B.C.1D.0【答案】A【解析

】2111Axorx，若211xx，不满足集合元素的互异性，故21x，1.x故结果选A.2.设i为虚数单位，复数z=41i，则|z－i|=（）A.2B.3C.2D.5【答案】D【解析】【分析】先对复数进行化简，求出zi的

值，再利用复数zabi的模长计算公式22zab计算可得答案.【详解】解：z=41i=4(1)(1)(1)iii=2(1+i)，所以|z－i|=|2＋i|=5.故选：D.【点睛】本题主要考查复数的

四则运算及复数模的求解，考查学生的计算能力，属于基础题.3.设a，b都是不等于1的正数，则“log0ab”是“110ab”的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分又不必要条件【答案】A【解析】分析：先判

断p⇒q与q⇒p的真假，再根据充要条件的定义给出结论；也可判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．然后判断“logab＜0”⇒“（a-1）（b-1）＜0”与“（a-1）（b-1）＜0”⇒“l

ogab＜0”的真假即可得到答案．详解：由前提条件logab有意义，则a>0，a≠1，b>0则若logab<0，则“(a−1)(b−1)<0若“(a−1)(b−1)<0”，则“logab<0”故“logab”是“(a−1)(b−1)<0”的充要条件故选：C点睛：充分、必要条件的三种判断方法．1

．定义法：直接判断“若p则q”、“若q则p”的真假．并注意和图示相结合，例如“p⇒q”为真，则p是q的充分条件．2．等价法：利用p⇒q与非q⇒非p，q⇒p与非p⇒非q，p⇔q与非q⇔非p的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．

3．集合法：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．4.已知定义在R上的函数fx是奇函数且是增函数，若11f，则不等式1fx的解集为（）A.1,1B.1,0C.0,1D.

(,1)(1,)【答案】A【解析】【分析】由不等式1fx得11fx，利用11f，111ff转化，然后利用单调性即可求解.【详解】由不等式1fx得11f

x，fx是奇函数，111ff，(1)(1)ffxf，fx在R上是增函数，11x，不等式1fx的解集为1,1.故答案为：A.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和单调性解不等式，解题的关键是转化对应的函数值.5.已知向量,2(3

1),,amb，若向量a在向量b方向上的投影为2，则向量a与向量b的夹角是（）A.30°B.60°C.120°D.150°【答案】C【解析】【分析】由已知结合向量数量积的定义可求m，然后根据向量

夹角公式即可求解．【详解】解：由数量积的定义知向量a在向量b方向上的投影为32||cos,22||abmaabb，所以23m，所以621cos,422||||ababab，所以夹角,120ab故选：C【点睛】

本题主要考查了向量数量积的定义及性质的简单应用，属于基础题．6.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（）A.64种B.18种C.24种D.36种【答案】D【解析】【分析】先将4项工作分

成3组，再按排列的方式安排给3个人做，即可求解.【详解】4项工作分成3组,可得：246C，安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，可得：33636A种．故选：D.【点睛】本题主要考查均匀分组问题，同时

考查学生分析问题的能力，属于简单题.7.(x+y)(2x-y)5的展开式中x3y3的系数为A.-80B.-40C.40D.80【答案】C【解析】555222xyxyxxyyxy

，由52xy展开式的通项公式515C2rrrrTxy可得：当3r时，52xxy展开式中33xy的系数为3325C2140；当2r=时，52yxy展开式中33xy的系数为2235C2180，则33xy的系数为804040.故选C.【名

师点睛】（1）二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数

为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项.（2）求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解.8.已知函数1lnfxxx，对定义域内任意x都有2fxkx，则实数k的取值范围是()

A.21,1eB.21,eC.21,eD.211,e【答案】A【解析】【分析】问题转化为11lnxkxx对0,x恒成立，令11lnxgxxx，根据函数的单调性求出gx的最小值，从而求出k的范围即

可．【详解】1fxxlnx，若对定义域内任意x都有2fxkx，则11lnxkxx对0,x恒成立，令11lnxgxxx，则22'lnxgxx，令'0gx，解得：2xe，令'0gx，解得：20xe，故

gx在20,e递减，在2,e递增，故gx的最小值是2211gee，故211ke，本题选择A选项.【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道

中档题．9.已知双曲线222210,0xyabab的左、右焦点分别为1F、2F，实轴的两个端点分别为1A、2A，虚轴的两个端点分别为1B、2B.以坐标原点O为圆心，12||BB为直径的圆Oba与双

曲线交于点M（位于第二象限），若过点M作圆的切线恰过左焦点1F，则双曲线的离心率是（）A.3B.2C.62D.72【答案】A【解析】【分析】作出图形，利用勾股定理得出1MFa，利用双曲线的定义得出23MFa，计算出1cosMFO，然后在12MFF△中，利用余弦定理可得出关于a、c的齐

次等式，进而可求得该双曲线的离心率的值.【详解】由题意作出草图，如下：1FM与圆O切于M，1FMOM，且1OFc，OMb，故2211MFOFOMa.由双曲线的定义知2123MFMFaa.在1RtFMO中，1cosaMFOc

，在12MFF△中，由余弦定理，得2221223cos22acaaMFFacc，即22412ca，故离心率3e.故选：A.【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，同时也考查了利用双曲线的定义处理焦点三角形的问题，涉及了余弦定理的应用

，考查计算能力，属于中等题.10.锐角ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且2sin2tanCabBb，则ba的取值范围为（）A.1(,)2B.0,2C.1(,2)2D.(0,)【答案】C【解析】【分析】先将原等式变

形为2sin2tantanbCaBbB，再结合同角三角函数的商数关系和正弦定理，将角化为边，可得2cos2cBab；由余弦定理可推出3C，23AB；结合锐角ABC，可解得(6A，)2，从而有1(0,

3)tanA，而2sin()sin3sinsinAbBaAA，根据正弦的两角差公式展开化简后即可得解．【详解】2sin2tanCabBb，2sin2tantanbCaBbB，sintancosBBB，2

sincos2sinsinbCBaBbB，由正弦定理知，sinsinsinabcABC，22cos2bcBabb，即2cos2cBab，由余弦定理知，2222cos22acbabBacc，整理得222abcab，2221cos

222abcabCabab，(0,)C，3C，23AB．锐角ABC，A、(0,)2B，2(0,)32BA，解得(6A，)2，3tan(,)3A，1(0,

3)tanA，231sin()cossinsin3111322(,2)sinsinsin2tan22AAAbBaAAAA．故选：C．【点睛】本题考查解三角形中的正弦定理和余弦定理的综合应用，还涉及正弦的两角差公式、同角三

角函数的商数关系等，利用正弦定理将角化边是解题的突破口，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．11.已知函数2()sincoscosfxxxx，xR，则下列命题中：①()fx的最小正周期是，最大值是

212；②()fx的单调增区问是3,()88kkkZ；③()()1sin22fxfxx；④将()fx的图象向右平移4个单位可得函数2sinsincosyxxx的图象；其中正确个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】D【解析

】【分析】先将fx化为21()sin2242fxx，利用周期公式和正弦函数的图象和性质可判断①②④正确与否，利用同角三角函数基本关系式、诱导公式、三角变换公式可证③正确，从而可得正确的选项.【详解】1121()sin2(1cos2

)sin222242fxxxx，所以最小正周期为T，最大值为212，故①正确；令222242kxk，kZ，则3+88kxk，故单调增区间为3,()88kk

kZ，所以②正确；22()sincoscossincoscos2222fxfxxxxxxx222sincossincos1sin2xxxxx.故③正确

；将()fx的图象向右平移4个单位后，所得图象对应的解析式为：2sincoscos444yxxx，即cos2+1111sin24sin2cos222222xxyxx22112sincos1

2sinsincossin22xxxxxx，故④正确.故选：D.【点睛】形如22sinsincoscosfxAxBxxCx的函数，可以利用降幂公式和辅助角公式将其化为sin2'fxAxB的形式，再

根据复合函数的讨论方法求该函数的单调区间、对称轴方程和对称中心等．与三角函数图象有关的平移中，注意利用“左加右减”（注意仅对x作变换）来帮助记忆.12.在三棱锥ABCD中，7ABBCCDDA，23BD，二面角ABDC

是钝角.若三棱锥ABCD的体积为2.则三棱锥ABCD的外接球的表面积是（）A.12B.373C.13D.534【答案】C【解析】【分析】取BD的中点O，可得AOC为二面角ABDC的平面角且BD平面AOC；利用三棱锥ABCD体积可构造方程求得AC，将三棱锥

ABCD补为长方体BMDGHCFA，则长方体外接球即为三棱锥的外接球，通过求解长方体外接球表面积即可得到结果.【详解】如图（1），取BD的中点O，连接,AOCO，ABBCCDDA，AOBD，COBD，AOC为二

面角ABDC的平面角，BD平面AOC.取AC的中点E，连接OE，设AC2a，在AOC△中，732AOOC，OEAC，则22224OEaa，21111232423326ABCDAOCVSBDACOEBDaa

，化简得：42430aa，解得：3a或1a，当1a时，60AOC，不合题意，舍去，23AC.如图（2），把三棱锥ABCD补形成长方体BMDGHCFA，使三棱锥ABCD的各棱分别是长方体的面对角线，则三棱锥ABC

D的外接球即为长方体BMDGHCFA的外接球.设,,BMxBGyBHz，则2222222222377xyxzyz，解得：661xyz，外接球的

直径为22213AMxyz，四面体ABCD外接球的表面积为134134S.故选：C.【点睛】本题考查三棱锥外接球表面积的求解问题，涉及到三棱锥体积的应用；解题关键是能够通过将三棱锥补为长方体，通过

求解长方体的外接球来求得结果.二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.若4tan3，则cos2___________.【答案】725【解析】【分析】利用同角三角函数的基本关系，二倍角的余弦公式以

及“1”的灵活变换，求得所给式子的值.【详解】4tan3，222222161cossin1tan9cos216cossin1tan19725，故答案为：725【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角的余弦公式，属于中档题.

14.已知实数x，y满足约束条件02020xyxyxy，则13zxy的最大值为___________.【答案】1【解析】【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，再将目标函数13zxy对应

的直线进行平移并观察z的变化，即可得到最大值．【详解】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的阴影部分，将目标函数13zxy对应的直线进行平移并观察z的变化，通过观察发现，当直线经过42,33A时，z取得最大值，max4211333z

.故答案为：1.【点睛】本题给出二元一次不等式组，求目标函数的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．15.某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一名行人来

到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为__________．【答案】58.【解析】分析：由题意结合几何关系计算公式整理计算即可求得最终结果.详解：由题意结合几何概型计算公式可知，至少需要等待15秒才出现绿灯的概率：401525540408p.点睛：解答

几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围．当考察对象为点，点的活动范围在线段上时，用线段长度比计算；当考察对象为线时，一般用角度比计算，即当半径一定时，由于弧长之比等于其所对应的圆心角的度数之比，

所以角度之比实际上是所对的弧长(曲线长)之比．16.已知函数()ln()xfxeaxa的值域为R，其中0a，则a的最大值为___________.【答案】﹣e2【解析】【分析】设g（x）＝xeaxa，由题意得g（x）能取到一切的正实数，即存在x，使得g（x）≤0

，原问题转化为g（x）min≤0，然后利用导数求出函数g（x）的单调性，进而得最小值，列出关于a的不等式即可得解．【详解】设g（x）＝xeaxa，若f（x）的值域为R，则g（x）能取到一切的正实数，即存在x，使得g（x）≤0，原问题转化为g（x）m

in≤0．令g'（x）＝ex+a＝0，0a，解得x＝ln（﹣a），当x＜ln（﹣a）时，g'（x）＜0，g（x）单调递减；当x＞ln（﹣a）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增．∴g（x）min＝g（ln（﹣a））＝

lnlnaeaaa＝a[ln（﹣a）﹣2]≤0，∵a＜0，∴ln（﹣a）﹣2≥0，解得a≤﹣e2．∴a的最大值为﹣e2．故答案为：﹣e2．【点睛】本题考查对数函数的值域，还涉及利用导数研究函数的单调性与最

值问题，构造新函数，将原问题转化为新函数的最值问题是解题的关键，考查学生的转化思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．三、解答题（本大题6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程）17.设na为等差数列，nS为数列na的

前n项和，已知33S，77S.（1）求数列na的通项公式；（2）设42nanbn，求数列nb的前n项和nT.【答案】（1）3nan（2）(1)212nnn【解析】【分析】（1）设等差数列na的公差为d，由条件建立方程组解出1a和d即可；（

2）31422nnnbnn，利用等差等比数列的前n项和公式计算即可.【详解】（1）设等差数列na的公差为d，∵33S，77S，∴11133232177672adad

，解得121ad，∴2(1)13nann；（2）由（1）得31422nnnbnn，∴01112222(123)nnnTbbbn12(1)(1)211222nnnnnn

.【点睛】常见数列的求和方法：公式法（等差等比数列）、分组求和法、裂项相消法、错位相减法.18.2020年寒假是特殊的寒假，因为疫情全体学生只能在家进行网上在线学习，为研究学生网上学习的情况，某校社团对男女各10名

学生进行了网上在线学习的问卷调查，每名学生给出评分（满分100分），得到如图所示的茎叶图.（1）根据茎叶图判断男生组和女生组哪个组对网课的评价更高？并说明理由；（2）如图是按该20名学生的评分绘制的频率分布

直方图，求a的值并估计这20名学生评分的平均值（同一组中的数据用该组区间中点值作为代表）；（3）求该20名学生评分的中位数m，并将评分超过m和不超过m的学生数填入下面的列联表：超过m不超过m男生女生根据列联表，能否有85%的把握认为男生和女生的评分

有差异？附：22()()()()()nadbcKabcdacbd，20PKk…0.500.400.250.150100.050.0250k0.4550.7081.3232.0722.7063.8415.024【答案】（1）男生对网课的评价更高，详见解析（

2）0.045a；平均值为74（3）中位数为74.5，填表见解析；没有【解析】【分析】（1）男生对网课的评价更高，可以根据中位数，平均值，不低于70分的人数得到答案.（2）根据比例关系得到0.045a，再计算平均值得到答

案.（3）计算中位数，完善列联表，计算20.82.072K，对比临界值表得到答案.【详解】（1）男生对网课的评价更高，理由如下：①由茎叶图可知，评价分数不低于70分的男生比女生多2人（或33.3%），因此男生对网课的评价更高.②由茎叶图可知，男生评分的中

位数为77，女生评分的中位数为72，因此男生对网课的评价更高.③由茎叶图可知，男生评分的平均分数为686970747778798386967810，女生评分的平均分数为5558636471

737576818670.210，因此男生对网课的评价更高.以上给出了3种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.（2）由茎叶图知这20名学生评分在[70,80)内的有9人，则9100.04520

a，这20名学生评分的平均值为：(550.01650.02750.045850.02950.005)1074.（3）由茎叶图知该20名学生评分的中位数为747574.52m，超过m不超过m男生64女生46222()20(3616)0.8

2.072()()()()10101010nadbcKabcdacbd.所以没有85%的把握认为男生和女生的评分有差异.【点睛】本题考查了茎叶图，根据茎叶图计算平均值，独立性检验，意

在考查学生的计算能力和综合应用能力.19.如图，在三棱柱111ABCABC中，1BBBC，ABAC（1）求证：11ABAC；（2）若四边形11BCCB为正方形，1AAB为正三角形，M是1CC的中点，求二面角BAMC的余弦值【答案】（1）证明见解析；（2）

5757【解析】【分析】（1）取BC的中点为N，通过线线垂直证明BC⊥平面1AAN，即可推出1BCAN，利用等腰三角形三线合一的性质即可得证；（2）首先证明1AABC为正三棱锥，过点1A作1AO平面ABC，则O

为正ABC的中心，取BC上靠近点C的三等分点为E，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求二面角的余弦值.【详解】（1）证明：取BC的中点为N，在ABC中，ABAC，所以ANBC,又1BBBC，且11//AABB，所以1AABC，1AA，AN平面1AAN，1AAAN

A，所以BC⊥平面1AAN，又1AN平面1AAN，所以1BCAN，所以在1ABC中，由1BCAN及BC的中点为N，得11ABAC.（2）由四边形11BCCB为正方形，得1BBBC，由1AAB为正三角形，得11AAABAB，所以11AAABABBCAC又由（1）知1

1ABAC，所以1AABC为正三棱锥，过点1A作1AO平面ABC，则O为正ABC的中心，取BC上靠近点C的三等分点为E，则1OA，OB，OE两两垂直，分别以射线OB，OE，1OA为x轴，y轴，z轴的正半轴建立

空间直角坐标系，设2OB，则322232AC，22123222AO，2,0,0B，1,3,0A，1,3,0C，10,0,22A，0,23,0AC，3,3,0AB，11,3,22AA，，11131530,23,0,,

2,,222222AMACCMACAA，设平面BAM的法向量,,nxyz，则1532022330xyzxy，取1x，得721,3,2n，设平面CAM的法向量,,mxy

z，则1532022230xyzy，所以0y，取2x，得22,0,2m72572cos,5749113422mn，设二面角BAMC为，因为为钝角，所以57cos57，即所求的二面角的余弦值为5757

.【点睛】本题考查等腰三角形的性质、线面垂直的判定、空间向量法求二面角夹角的余弦值，属于较难题.20.已知函数ln1,fxxxkxkR（1）若1k，求fx的最值；（2）对于任意2[2,]xe，都有2fxxk成立，求整数k的最

大值.【答案】（1）最小值为1e，没有最大值；（2）3.【解析】【分析】（1）当1k时，利用导数求得fx的最值.（2）利用分离常数法化简不等式2fxxk，通过构造函数法，结合导数求得k的范围，由此求得整数k的最大值.【详解】（1）fx的定义域为0,

.'1lnfxx，令()'0fx=解得1xe，所以fx在区间10,e上'0fx，fx递减；在区间1,e上'0fx，fx递增，所以fx在1xe处取得极小值也即是最小值为1111

lnfeeee，无最大值.（2）依题意对于任意2[2,]xe，都有2fxxk成立，即对于任意2[2,]xe，都有ln12xxkxxk，即对于任意2[2,]xe，都有ln1xxxkx成

立.令2,[2,]ln1xxxgxxxe，则'221ln11lnln211xxxxxxxxxgxxx.令2]ln2,[2,hxxxex

，'111xhxxx，所以当2[2,]xe时'0hx，hx递增.2ln222ln20h，2222ln240heeee，所以存在202,xe，使得

00hx，即00ln20xx，即00ln2xx①，3ln332ln310h，4ln442ln420h，所以03,4x.所以在区间02,x上，0h

x，'0gx，gx递减，在区间20,xe上，0hx，'0gx，gx递增，所以0000min0ln1xxxgxgxx，将①代入上式得20000000000min0002ln3,4111xxxxxxxxgxgxxx

xx，所以0min3,4kgxx，所以整数k的最大值为3.【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的最值，考查利用导数研究不等式恒成立问题，属于难题.21.如图，椭圆22221(0)xyCabab：经过点P（1.），离心率e=，直线l

的方程为x=4.（1）求椭圆C的方程；（2）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为123,,kkk.问：是否存在常数λ，使得123+=kkk？若

存在，求λ的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）22143xy（2）存在【解析】2231911124Pab（）由（，）在椭圆上得：①222,3acbc②②代入①得222221,4,3,1.43xycabC椭圆：考点：本题主要考查圆锥曲线的定义、标准方程、

几何性质，直线与圆锥曲线的交点等基础知识，考查分析问题、解决问题的能力，考查逻辑推理能力，推理论证能力和计算能力.请考生在（22）、（23）两题中任选一题做答.注意：只能做所选定题目.如果多做，则按所做第一题目计分，作答

时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号的方框涂黑.22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为25cos15sinxy（为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）若

点P的极坐标为1,，过P的直线与曲线C交于A，B两点，求11PAPB的最大值．【答案】（1）4cos2sin（2）2105【解析】【分析】（1）先将25cos15sinxy中的消去得普通方程，再利用cossinxy，

可得极坐标方程；（2）先求出AB的参数方程，代入曲线C的普通方程，利用韦达定理及三角函数的性质可得11PAPB的最大值.【详解】解：（1）由25cos15sinxy，得22215xy，即2242xyxy，所以24

cos2sin，即4cos2sin，故曲线C的极坐标方程为4cos2sin.（2）因为P的极坐标为1,，所以P的直角坐标为1,0，故可设AB的参数方程为1cossinxtyt（t为参数）.将1

cossinxtyt代入22215xy，得22sin6cos50tt，设点,AB对应的参数分别为12,tt，则122sin6costt，1250tt，所以111212210sin2sin6cos111155

ttPAPBtttt，故11PAPB的最大值为2105.【点睛】本题考查普通方程，参数方程，极坐标方程之间的互化，考查直线参数方程中参数几何意义的应用，是中档题.23.已知函数

3fxxxa．（1）当2a时，求不等式3fx的解集；（2）若5fxx的解集包含1,3，求实数a的取值范围．【答案】（1）14xxx或（2）3,1a【解析】【分析】（1）利用分类讨论法，求得不等式的解集．（2）（2）原命题等价于35xxax

在1,3上恒成立，即22xax在1,3上恒成立，由此求得a的范围．【详解】解：（1）当2a时，3fx，323xx2523xx或2313x或3253xx1x或

x或4x，所以不等式的解集为{1xx或4}x．（2）5fxx，35xxax由于1,3x，所以上式2xa，所以22xax在区间1,3上恒成立，所以3,1a．【点睛】本题主要考查分类讨论法解绝对值不等

式，函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想，属于中档题．