【文档说明】四川省成都市树德中学2020-2021学年高二下学期4月月考数学（理）试 扫描版含答案.pdf，共(4)页，391.465 KB，由小赞的店铺上传

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高二数学（理科）2021-04阶考第1页共2页树德中学高2019级高二下期4月阶段性测试数学（理科）试题第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知两个向量

2,-1,3a，4,,bmn，且ab，则mn的值为()A.1B.2C.4D.82．12021xdx()A．B．2C．3D．43.若函数()fx的导函数为()fx，且满足)2(1)ln2fxfxx（，则(1)=f()A．0B．1C．

2D．24．函数32()391fxxxx有（）A．极大值1，极小值3B．极大值6，极小值3C．极大值6，极小值26D．极大值1，极小值265.设OABC是正三棱锥，1G是ABC的重心，

G是1OG上的一点，且13OGGG，若OGxOAyOBzOC，则xyz（）．A．14B．12C．34D．16.设a为实数，函数322fxxaxax的导函数是()fx¢，且(

)fx¢是偶函数，则曲线yfx在原点处的切线方程为（）A．2yxB．3yxC．3yxD．4yx7．函数eln2xfxx的大致图象为（）A．B．C．D．8.四棱锥PABCD中，底面

ABCD是边长为2的正方形，PA底面ABCD，异面直线AC与PD所成的角的余弦值为105，则四棱锥外接球的表面积为（）A．48B．12C．36D．99.已知)sinfxxx（，若存在[0,]x使不等式(sin)(

cos)fxxfmx成立，则整数m的最小值是()A．-1B．0C．1D．210.已知函数�(�)��(ൌ����)，曲线���(�)上存在两个不同点，使得曲线在这两点处的切线都与y轴垂直，则实数a的取值范围是()A.2(,)eB.(�e2,0)

C.21-,)e（D.(��e2,0)11.已知函数1)lnxfxxx（的一条切线方程为ykxb，则kb的最小值为()A．－1B．0C．1D．212.若ln2ln3ln5235235abc，则（）.

ln5ln2ln3Acab.ln2ln5ln3Bacb.ln3ln5ln2Cbca.ln2ln3ln5Dabc第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.若向量0,1,1a，1,

1,0b且aba，则实数14．如图，)yfx（是可导函数，直线l：y=kx+2是曲线y=f(x)在x=3处的切线，令())gxxfx（，其中()gx是g(x)的导函数，则曲线g(x)在x=3处

的切线方程为_15.已知定义在R上的函数fx与gx，若函数fx为偶函数，函数gx为奇函数，且06afxdx，则2aafxgxdx___16.设椭圆2222:1(0)xyCabab的左、右顶点分别为

,AB，P是椭圆上不同于,AB的一点，设直线,APBP的斜率分别为,mn，则当22(3)3(ln||ln||)3amnbmnmn取得最小值时，椭圆C的离心率为高二数学（理科）2021-04阶考第2页共2页三、解答题：解答应写出文字说明，证

明过程或演算步骤.17.（本题10分）已知函数2lnfxxaxx，aR.（I）若1a，求曲线yfx在点1,1f处的切线方程；（Ⅱ）若函数fx在1,3上是减函数，求实数a的取值范围.18.（本题12分）如图，在四

棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝∠BAD＝90°，AD＝AP＝4，AB＝BC＝2，M为PC的中点．（1）求异面直线AP，BM所成角的余弦值；（2）点N在线段AD上，且AN＝λ，若直线MN与平面PBC所成角的正弦值为45，求λ的值．1

9.（本题12分）已知函数2)ln()fxxaxx（,且)fx（在点1x处取得极值．(1)求实数a的值；(2)若关于x的方程5)-2fxxb（在区间[1,3]上有解，求b的取值范围．20.（本题12分）在五边形AEBCD中，BC⊥CD，CD∥

AB，AB＝2CD＝2BC，AE⊥BE，AE＝BE（如图1）．将△ABE沿AB折起，使平面ABE⊥平面ABCD，线段AB的中点为O（如图2）．（1）求证：平面ABE⊥平面DOE；（2）求平面EAB与平面ECD所成的锐二面角的大小．21.（本题12分）已知

函数21()(21)ln(1)2fxxaxax，其中a为实数．（1）若曲线()yfx在点2(2))f（，处的切线方程为2yx，试求函数()fx的单调区间；（2）当[0,1]a，12,[2,3]

xx，且12xx时，若恒有1221()()ln(1)ln(1)fxfxxx，试求实数的取值范围．22.（本题12分）已知函数2()()4xafxxaeaR．（1）讨论函数()fx的单调性；（2）设21()()(1)2xg

xfxeax，若()gx有两个不同的极值点1x，2x，且1212()()()gxgxxx恒成立，求实数的取值范围．高二数学（理科）2021-04阶考第3页共2页树德中学高2019级高二下期4月阶段性测试数学（理科）试题答案12345678

9101112CBCCCADDADBA13.214.30y15.1216.3217.（1）当1a时，2()lnfxxxx，所以1()21fxxx，所以(1)2f，又(1)2f，所以曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线方程为20xy；…………（

5分）（2）因为函数f（x）在[1，3]上是减函数，所以2121()20xaxfxxaxx在[1，3]上恒成立，令2()21hxxax，则(1)0(3)0hh„„，解得…………（10分）173a

„，故17,3.所以实数a的取值范围17,3.…………（10分）18.（1）因为PA⊥平面ABCD，且AB，AD⊂平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AD.又因为∠BAD＝90°，所以

PA，AB，AD两两互相垂直．分别以AB，AD，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则由AD＝2AB＝2BC＝4，PA＝4可得A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，4，0)，P(0，0，4)．又因为M为PC的中点，所以M(1，1，2)．所以BM＝(

－1，1，2)，AP＝(0，0，4)，所以cos〈AP，BM〉＝||||APBMAPBM＝0(1)014246＝63，所以异面直线AP，BM所成角的余弦值为63

.…………（6分）（2）因为AN＝λ，所以N(0，λ，0)(0≤λ≤4)，则MN＝(－1，λ－1，－2)，BC＝(0，2，0)，PB＝(2，0，－4)．设平面PBC的法向量为m＝(x,y,z)，则00mBCmPB即20240yxz

令x＝2，解得y＝0，z＝1，所以m＝(2，0，1)是平面PBC的一个法向量．因为直线MN与平面PBC所成角的正弦值为45，所以|cos〈MN，m〉|＝||||||

MNMNmm＝2|22|5(1)5＝45，解得λ＝1∈[0，4]，所以λ的值为1.…………（12分）19.(1)∵f(x)＝ln(x＋a)－x2＋x，∴f′(x)＝��̓ൌ－2x＋1，∵函数f(x)＝ln(x＋a)－x2＋x在点x＝1处取得极值

，∴f′(1)＝0，即当x＝1时，��̓ൌ－2x＋1＝0，∴��̓ൌ－1＝0，解得a＝0.经检验符合题意．…………（5分）(2)∵f(x)＝－�2x＋b，∴lnx－x2＋x＝－�2x＋b，∴lnx－x2＋�2

x＝b.令h(x)＝lnx－x2＋�2x(x>0)，则h′(x)＝��－2x＋�2＝－(Ͷ�̓�)(��2)2�.∴当x∈[1,3]时，h′(x)，h(x)随x的变化情况如下表：计算得h(1)＝�2，h(3)＝ln3＋�2>�2，h(2)＝ln2＋3，∴h(x)∈[�2，ln2＋3]，所

以b的取值范围为[�2，ln2＋3]．…………（12分）20.（1）证明：AB＝2CD，O是线段AB的中点，则OB＝CD．又CD∥AB，则四边形OBCD为平行四边形，又BC⊥CD，则AB⊥OD，因AE＝BE，OB＝OA，则EO⊥AB．EO∩DO＝O，则AB⊥平面EOD．又AB⊂平面

ABE，故平面ABE⊥平面EOD．…………（5分）高二数学（理科）2021-04阶考第4页共2页（2）解：易知OB，OD，OE两两垂直，以O为坐标原点，以OB，OD，OE所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，△EAB为等腰直角三角形，且AB＝2CD＝2BC，

则OA＝OB＝OD＝OE，取CD＝BC＝1，则O（0，0，0），A（﹣1，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），E（0，0，1），，，设平面ECD的法向量为＝（x，y，z），则有取z＝1，得平面ECD的一个法向量＝（0，1，1），因OD⊥平面ABE．则平面

ABE的一个法向量为，设平面ECD与平面ABE所成的锐二面角为θ，则，故平面ECD与平面ABE所成的锐二面角为45°．…………（12分）21.解：（1）函数()fx的定义域为{|1}xx，()(21)1afxxax，f（2）2(21)2a

a，可知2121.()111xafxxxx．当220x，即2x时，()0fx，()fx单调递增；当12x时，()0fx，()fx单调递减．所以函数()fx的单调递增区间为(2,)，单调递减区间为(1,2)．意

，…………（5分）（2）函数2(22)31()(21)11axaxafxxaxx．令2()(22)31hxxaxa，△4(1)aa，当[0a，1]时，可知4(1)0aa„

，故2(22)310xaxa恒成立，可知()0fx，()fx在区间(1,)上为单调递增函数，不妨设21xx，且1x，2[2x，3]，则22111()()1xfxfxlnx变为2121()()(1)(1)fxf

xlnxlnx，即2211()(1)()(1)fxlnxfxlnx，.………（7分）设函数2211()()(1)(21)(1)(1)(21)()(1)22gxfxlnxxaxalnxlnxxaxalnx

，由21()()gxgx，得()gx在[2x，3]时为单调递减函数，即22(1)31()01xaxagxx„，即22(1)310xaxa„，也即2(32)210xaxx„对[2x，3]与[0a，

1]恒成立．因为320x，可知0a时，2(32)21xaxx取最大值，即2210xx„．221xx对[2x，3]时恒成立，由2221(1)4xxx„，可知4，即取值范围为[4，)经书面同意，…………（12分）22.解：解：（1）因为2

()4xafxxae，所以()1xfxae，当0a„时，因为0xe，所以()0fx，此时()fx的单调递增区间为(,)，当0a时，令()0fx，得1xlna，当1xln

a时，()0fx，当1xlna时，()0fx，此时，()fx的单调递增区间为1(,)lna，()fx的单调递减区间为1(,)lna；…………（4分）（2）因为221()24xxagxeaeax，所以2()x

xgxeaea，依题意，2040aaa，解得4a，因为1x，2x是()gx的极值点，所以1212xxxxeeeea，则12xxlna，11222222121211()()()()2424xxxxaagxgxeaeaxeaeax

1212222121()()()22xxxxaeeaeeaxx12121222121(()2)()()22xxxxxxaeeeeaeeaxx2221(2)22aaaaalnaalnaa，所以，由1212()()()gxgxxx

，可得alnaalna①，.………（8分）因为4a，0lna．所以①等价于aalna，令()xxxlnx，则2221()1()1()()lnxlnxlnxxlnxlnx，(4,)x，因为2213

()1()024lnxlnxlnx，所以()0x，所以()x在(0,)单调递增，且2(4)42ln，所以，2()(4,)2aaalnaln，所以的取值范围是2(,4]2ln．

…………（12分）