【文档说明】安徽省淮北师范大学附属实验中学2022-2023学年高二下学期第一次月考数学试题 含解析.docx，共(16)页，764.672 KB，由小赞的店铺上传

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安徽省淮北师范大学附属实验中学2022～2023学年高二下学期第一次月考数学试卷一、单选题（共12小题）1.已知数列na的通项公式为()1*11=2nnanN−+−，，则该数列的前4项依次为（）A.1，0，1，0B.0，1，0，

1C.12，0，12，0D.2，0，2，0【答案】A【解析】【分析】由()111,2nnanN−+−=，分别令n=1，2，3，4求解.【详解】因为()111,2nnanN−+−=，所以n分别取1，2，3，4，可得1231010aaaa

====4,,,．故选：A．2.在数列na中，12a=−，111nnnaaa++=−，则2022a等于（）A.2−B.13−C.12D.3【答案】B【解析】【分析】首先求出数列的前几项，即可找出数列的周期，即可求出2022a.【详解】∵12a=

−，111nnnaaa++=−，∴2121123a−==−+，同理311131213a−==+，41123112a+==−，5113213aa+==−=−．∴na是以4为周期的数列，又∵202250542=+，∴2022

213aa==−．故选：B.3.对任意的()10,1a，由关系式()1nnafa+=得到的数列na满足()1nnaan+N，则函数()yfx=的图象可能是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由递推式可得图象

上任一点(),xy都满足yx，即可得结果.【详解】根据题意，由关系式()1nnafa+=得到的数列na满足1nnaa+，即函数()yfx=的图象上任一点(),xy都满足yx.结合图象，可知只有A满足.故选

：A.4.已知数列na是等差数列，若35715aaa++=，8212aa−=，则10a等于（）A.10B.12C.15D.18【答案】C【解析】【分析】根据等差数列的性质，将条件转化为基本量1,ad的式子，计算1,ad，即可得10a.【详解】因为na是等差数列，所以3

57131215aaaad++=+=，82612aad−==，可得12,3da==−，所以101931815aad=+=−+=.故选：C.5.若等差数列na的首项15a=，3ma=，则2ma+等于（）A.13B.431m−−C.231m−−D.251m−−【答案】B【解析】

【分析】先由11maadm−=−求得d，然后根据22mmaad+=+，即可得到本题答案.【详解】设等差数列na的公差为d，因为15a=，3ma=，所以1211maadmm−−==−−，所以24423311mmaadmm+−=+

=+=−−−．故选：B6.在等差数列na中，51340aa+=，则8910aaa++=A.72B.60C.48D.36【答案】B【解析】【分析】由等差数列的性质可知：由51340aa+=，可得9240a=，所以可求出920a=

，再次利用此性质可以化简8910aaa++为93a，最后可求出8910aaa++的值.【详解】根据等差数列的性质可知：513994024020aaaa+===，89109992360aaaaaa==++=+，故本题选B.【点睛】本题考查了等差数列下标的性质，考查了数学运算

能力.7.5个数依次组成等比数列，且公比为2−，则其中奇数项和与偶数项和的比值为（）A.2120−B.2−C.2110−D.215−【答案】C【解析】【分析】直接由题意设5个数分别为,24816aaaaa−−,,,，代入计算即可.【详解】由题意可

设这5个数分别为,24816aaaaa−−,,,，故奇数项和与偶数项和的比值为416212810aaaaa++=−−−.故选：C.8.已知数列na，如果1a，21aa−，32aa−，……，1nnaa−−，……，是首项为1，公比为13的等比数列

，则na=A.31123n（）−B.131123n−−（）C.21133n−（）D.121133n−−（）【答案】A【解析】【详解】分析：累加法求解．详解：111()3nnnaa−−−=，2121()3nnnaa−−−−=，323

2111()33nnnaaaa−−−−=−=解得31123nna=−（）点睛：形如()1nnaafn−−=的模型，求通项公式，用累加法．9.已知数列na满足：()()638,6,6nnannanNan+−−−

=，且数列na是递增数列，则实数a取值范围是（）A.()2,3B.)2,3C.10,37D.2,3【答案】C【解析】【分析】根据na是递增数列，结合na的通项公式有76301aaaa−，解之得a的范围【详解】由题意，数列

na是递增数列1、当6n时，有30a−；2、当6n时，有1a；3、76aa，即106aa−综上，有1037a的故选：C【点睛】本题考查了数列的单调性，利用数列的单调性列不等式求参数范围

，属于简单题10.南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列，如数列1，3，6，10，前后两项之差得到新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列，这样

的数列称为二阶等差数列.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为3，4，6，9，13，18，24，则该数列的第19项为（）A.184B.174C.188D.160【答案】B【解析】【分析】根据高阶等差数列的知识，结合累加法求得数列

的通项公式，由此求得19a.【详解】3,4,6,9,13,18,24,1,2,3,4,5,6,所以()1112,3nnaanna−−=−=，所以()()()112211nnnnnaaaaaaaa−−−=−+−++−+()()1213nn=−+−+++()()()1111332

2nnnn−+−−=+=+.所以19191831742a=+=.故选：B【点睛】本小题主要考查数列新定义，考查累加法，属于基础题.11.数列1−，3，7−，15，…的一个通项公式可以是（）A.()()121nnna=−−，nNB.()()121nnan=−−，n

NC.()()1121nnna+=−−，nND.()()1121nnan+=−−，nN【答案】A【解析】【分析】利用数列正负交替及数的规律即可确定数列通项公式详解】数列各项正、负交替，故可用()1n−来调节，【又1121=−，2321=−，3721=−，41521=−，…，所以通项

公式为()()121nnna=−−，nN故选：A12.设数列na的前n项和为nS，且()21*nnSn=−N，则5a=（）A.32B.31C.16D.15【答案】C【解析】分析】利用1nnnaSS−=−，把5

n=代入na中，即可求出答案.【详解】当2n时，11121(21)2nnnnnnaSS−−−=−=−−−=.当5n=时，45216==a.故选：C二、填空题（共4小题）13.在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和为同一个常数，那么这个数列称为等和数列，这个常数称为该数列的公和．已

知数列na是等和数列，且12a=−，20228a=，则这个数列的前2022项的和为________．【答案】6066【解析】【分析】写成na的通项公式，求出公和，再分组求和.【详解】设等和数列的公和为m．因为12a=−，所以22a

m=+，32a=−，42am=+，52a=−，…，所以2,2,nnamn−=+为奇数为偶数，又202228am=+=，所以6m=，所以()()()2022123420212022101166066Saaaaaa=+++

+++==L．故答案为：606614.用数学归纳法证明“已知n为正奇数，求证：nnxy+能被xy+整除”时，第二步假设当()Nnkk=时命题为真后，需证n=________时命题也为真．【.【答

案】2k+##2k+【解析】【分析】根据数学归纳法的基本原理可直接得到结果.【详解】nQ为正奇数，第二步假设第k项成立，第三步证明相邻正奇数第2k+项成立.故答案为：2k+.15.已知等差数列na的前n项和为nS，且3813aa+=，735S

=，则7a=________．【答案】8【解析】【分析】根据等差数列的通项公式和前n项和公式建立方程组，即可求出1,ad，再根据等差数列通项公式，即可求出结果【详解】设等差数列na的公差为d，则由已知得()()1

12713adad+++=，()11776352aadS++==．联立两式，解得12a=，1d=，所以7168aad=+=．故答案为：8.16.分形几何学又被称为“大自然的几何学”，是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学.一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种

基于递归的反馈系统，简单的说，分形就是研究无限复杂具备自相似结构的几何学.下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图1，正三角形的边长为1，在各边取两个三等分点，往外再作一个正三角形，得到图2中的图形；对图

2中的各边作相同的操作，得到图3中的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列图形，记第n个图形（图1为第一个图形）中的所有外围线段长的和为nc，则满足12381ncccc++++的最小正整数n的值为______.（参考数据：lg20.3010

，lg30.4771）【答案】9【解析】【分析】先求出第n个图形中线段的长度na，第n个图形中线段的条数nb，得到1433nnnncab−==，根据等比数列求和公式求和后列出不等式求解即可得到答案.【详解】由题

易知每个图形中线段的长度相等.设第n个图形中线段的长度为na，则113nna−=，设第n个图形中线段的条数为nb，则134nnb−=，∴1433nnnncab−==，则12343134914313nnncccc−++++==

−−，令491813n−，得4103n，则118.00642lg2lg3lg3n=−，即满足不等式的最小正整数n的值为9.故答案为：9三、解答题（共6小题）17.设na是公比大于1的等比数列，nS为数列

na的前n项和．已知37S=，且13a+，23a，34a+构成等差数列．（1）求数列na通项公式；（2）令nnnba=，求数列nb的前n项和nT．【答案】（1）12nna−=；（2）1242nnnT−+=−．【解析】【分析】（1）设等比数列na的公比为q，且1q，由已知可

得()21211117,634,aqqaqaaq++==+++解方程组可求出1,aq，从而可求出通项公式，（2）由（1）可得12nnnnnba−==，然后利用错位相减法可求得结果【详解】（1）设等比数列na的公比为q，且1q．的∵37S=，且13a+，23a，34a+构

成等差数列，∴()21211117,634,aqqaqaaq++==+++解得112aq==，或1412aq==（舍去）．∴1112nnnaaq−−==．（2）∵12nnnnnba−==，∴01112222nnnT−=+++，∴121112122

222nnnnnT−−=++++，两式相减得121111112121222222222nnnnnnnnnT−+=++++−=−−=−．∴1242nnnT−+=−．18.已知等比数列na的前n项和为nS，且当*nN时，nS是12n+

与2m的等差中项(m为实数).（1）求m的值及数列na的通项公式；（2）令()*21lognnbanN=+，是否存在正整数k，使得1111210nnnkbbbn++++++对任意正整数n均成立？若存在，求出k的最大值；若不存在，说明理由.【答

案】（1）1−，12nna−=；（2）存在，4.【解析】【分析】（1）根据等差中项的性质列方程，求得nS的表达式.利用11,1,2nnnSnaSSn−==−，结合na是等比数列，求得m的值及数列na的通项公式.（2）由（1）求得nb的表达式，将不等式1111210n

nnkbbbn++++++左边看成()fn，利用差比较法判断出()fn的单调性，由此求得()fn的最小值，进而求得k的最大值.【详解】(1)nS是12n+与2m的等差中项，1222nnSm+=+，即2nnSm=+，当1n=时，112Sam==+，当2n时，112n

nnnaSS−−=−=，na是等比数列，11a=，则21m+=，1m=−，且数列na的通项公式为12nna−=.(2)存在正整数k，使不等式恒成立，k的最大值为4.21lognnban=+=()*.nN()11111112122nnnfnbbbnnnn=

++=++++++++，()()1111110212212122fnfnnnnnn+−=+−=−+++++()()1.fnfn+数列()fn单调递增，()()min112fnf==，由不等式恒成立得：1102k，5k.故存在正整数k，使不等式恒成立，k的最

大值为4.【点睛】本小题主要考查等差中项的性质，考查等比数列通项公式，考查数列单调性的证明，考查不等式恒成立问题的求解，属于中档题.19.已知等差数列na中，526aa−=，且1a，6a，21a依次成等比数列.（1）求数列na的通项公式；（2）设11nn

nbaa+=，数列nb的前n项和为nS，若335nS=，求n的值.【答案】（1）23nan=+（2）15n=【解析】【分析】(1)由526aa−=求出公差，由等比数列的性质求出1a，即可得出数列na的通项公式；(2)由(1)得出数列

nb的通项公式，利用裂项求和法求解即可.【详解】解：（1）设数列na的公差为d，因为526aa−=，所以36d=，解得2d=因为1a，6a，21a依次成等比数列，所以26121aaa=，即()()211152202aaa+=+，解得15a=所以23nan=+.（2）由

（1）知()()1112325nnnbaann+==++，所以11122325nbnn=−++，所以1111111257792325nSnn=−+−++−++()525nn=

+，由()352535nn=+，得15n=【点睛】本题主要考查了求等差数列的通项公式以及利用裂项求和法求数列的和，属于中档题.20.已知数列na的前n项和为nS，且220nnSa−+=，函数()fx对任意的xR都有()()11fxfx

+−=，数列nb满足()120nbfffnn=+++…()11nffn−+.（1）求数列na，nb的通项公式；（2）若数列nc满足nnncab=，nT是数列nc的前n项和，是否存在正实数k，对于任意nN，不等式()29264n

nknnTnc−+，恒成立？若存在，请求出k的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2nna=.12nnb+=；（2）存在，()2,+【解析】【分析】（1）由nS求na，根据220nnSa−+=得22nnSa=−，再

有1122nnnnSSaa−−−=−得12nnaa−=即可求出na的通项公式；由()()11fxfx+−=，根据倒序相加法可求nb.（2）用分离参数法，根据（1）由()29264nnknnTnc−+得()221926nknn+−+，令()()()*221926

ngnnNnn+=−+求出()max2gn=即可.【详解】解：（1）220nnSa−+=即22nnSa=−当1n=时，1122Sa=−，12a=当2n时，1122nnSa−−=−，1122nnnnSSaa−−−=−，即12nnaa−=na是等比

数列，首项为12a=，公比为2，2nna=.()()11fxfx+−=，111nffnn−+=.()120nbfffnn=+++…()11nffn−++

.()121nnnbfffnn−−=+++…()01fnf++.①+②，得21nbn=+，12nnb+=（2）nnncab=，()112nncn−=+012223242nT=+++…(

)112nn−++.①1232223242nT=+++…()1212nnnn−+++②①－②得12222nT−=+++…()1212nnn−+−+即2nnTn=.要使得不等式()29264nn

knnTnc−+恒成立，()29260nnnT−+恒成立()24926nnncknnT−+对于一切的*nN恒成立，即()221926nknn+−+，令()()()*221926ngnnNnn+=−+，则(

)()()()221111136ngnnn+==+−++()()()()2223636111211111nnnn=+−++−++当且仅当5n=时等号成立，故()max2gn=.故k的取值范围为()2,+.【点

睛】本题考查由nS求na的通项公式，倒序相加法求通项公式以及分离参数法求参数的取值范围，综合性比较强.21.公差不为零的等差数列na中，已知其前n项和为nS，若8545=+SS，且4712,,aaa成等比数列．（1）求

数列na的通项na；（2）当1nnbS=时，求数列nb的前n和nT．【答案】（1）21nan=+（2）32342(1)(2)nnTnn+=−++【解析】【分析】（1）根据等差数列的性质，结合题意，可求得7a值，根据4712,,aaa成等比数列，即可求得d值，代入

等差数列通项公式，即可得答案；（2）由（1）可求得nS，即可得nb表达式，根据裂项相消求和法，即可得答案.【小问1详解】设等差数列na的公差为()dd0，由等差数列性质可得856787345SSaaaa−=++==，解得715a=，又4712,,aaa成等比数列，所以()()274127

735aaaadad==−+，整理得27215dad=，因为0d，715a=所以2d=，所以17(1)(7)21naandandn=+−=+−=+【小问2详解】由（1）可得13a=，则(321)(2)2nnnSnn++==+，所以11111(2)22nnbSnnnn=

==−++，所以111111111112132435112nTnnnn=−+−+−++−+−−++111113232121242(1)(2)nnnnn+=+−−=−++++

22.如果一个数列的各项都是实数，且从第2项开始，每一项与前一项的平方差是相同的常数，则称该数列为等方差数列，这个常数叫做这个数列的公方差．（1）设数列()0nnaa是公方差为()0pp的等方差数列，且11a=，求

数列na的通项公式；（2）若数列na既是等方差数列，又是等差数列，证明：数列na为常数列．【答案】（1）()11nanp=+−（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由等方差数列的定义列方程，解出数列na的通项公式；（2）由数列na既是等方差数列

，又是等差数列列方程，通过化简计算可得数列na为常数列．【小问1详解】由等方差数列的定义可知()2212,Nnnaapnn−−=，由此可得()()221111naanpnp=+−=+−，又0na，所以()11nanp=+−．【小问2详解】证明：

因为na是等差数列，设其公差为d，则()112,Nnnnnaaaadnn−+−=−=．又na是等方差数列，所以()2222112,Nnnnnaaaann−+−=−．故()()()()

1111nnnnnnnnaaaaaaaa−−+++−=+−，所以()()11nnnnaadaad−++=+，即()21120nnnndaaaad−++−−=−=，所以0d=，故na是常数列．