【文档说明】湖南省长沙市六校2025届高三九月大联考数学试卷 Word版含解析.docx，共(19)页，1.505 MB，由小赞的店铺上传

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湖南省长沙市2025届高三六校九月大联考数学本试卷共4页，19小题，满分150分.一、单选题（本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1.设集合1,3A=，230Bxx

xm=−+=，若1AB=，则集合B=（）A.1,2−B.1,2C.1,0D.1,5【答案】B【解析】【分析】将1x=代入方程求出m，再求集合B即可.【详解】由1AB=可知21302mm−+==，当2m=时，2320xx−+=，解得：1x

=或2x=，即1,2B=.故选：B2.若复数z满足1i1iz=−−+，则z=（）A.22i+B.22i−−C.2i−D.2i【答案】C【解析】【分析】根据复数乘除法运算直接计算即可.【详解】因为1i1iz=−−+，所以2(1i)2iz=−+=−.故选：C.3.等差数列

()*nanN中，274110,2aaaa=−=，则7a=（）A.40B.30C.20D.10【答案】B【解析】【分析】根据已知条件，结合等差数列的性质，即可求解．【详解】设等差数列*{}(N)nan的公差为d，7412aaa−=，则132da=，210a=，

则1112103adaa+=+=，解得16a=，4d=，71662430aad=+=+=．故选：B．4.已知()311sin,25tantan+=−+=，则sinsin=（）A.310−B.15C.

15−D.310【答案】A【解析】【分析】切化弦，通分即可求解.【详解】因为()3sin5+=−，因为()sin11coscoscossincossin2tantansinsinsinsinsins

in+++=+===，所以3sinsin10=−.故选：A.5.如图所示，六氟化硫分子结构是六个氟原子处于顶点位置，而硫原子处于中心位置的正八面体，也可将其六个顶点看作正方体各个面的中心点．若正八面

体的表面积为123，则正八面体外接球的体积为（）A.42πB.43πC.12πD.36π【答案】B【解析】【分析】根据正八面体的结构特征结合条件可得外接球的半径，进而由球的体积公式即得体积．【详解】如图正八面体，连

接AC和BD交于点O，因为EAEC=，EDEB=，所以EOAC⊥，EOBD⊥，又AC和BD为平面ABCD内相交直线，所以EO⊥平面ABCD，所以O为正八面体的中心，设正八面体的外接球的半径为R，因为正八面体的表面积

为8×√34𝐴𝐵2=12√3，所以正八面体的棱长为6，所以𝐸𝐵=𝐸𝐶=𝐵𝐶=√6,𝑂𝐵=𝑂𝐶=√3,𝐸𝑂=√𝐸𝐵2−𝑂𝐵2=√3，则𝑅=√3,𝑉=43π𝑅3=4

3π×3√3=4√3π．故选：B．6.已知函数()cosexfxx=+，且()()12ln22afbfcf===、、，则abc、、的大小关系（）A.abcB.acbC.cbaD.bca【答案】D【解析】【分析】首先判断函数在()0,+上单调性，再比较大小.【详解

】()sinexfxx=−+，当0x时，()0fx，所以()fx在()0,+单调递增，因为12ln2lne2=，所以()()1ln222fff，即bca.故选：D7.当0,2πx时，曲线cosyx=与π2cos36yx=−交点的个数为（）A.3B

.4C.5D.6【答案】D【解析】的【分析】分别画出cosyx=与π2cos36yx=−在0,2π上的函数图象，根据图象判断即可.【详解】cosyx=与π2cos36yx=−在0,2π上的函数图象如图

所示，由图象可知，两个函数图象交点的个数为6个.故选：D.8.已知()fx的定义域为()()()(),3fxyfxyfxfy++−=R，且()113f=，则20251()kfk==（）A13−B.23−C.13D.23【答案

】B【解析】【分析】根据题意，利用赋值法，求得()()6fxfx+=，得到()fx的一个周期是6，再根据函数的周期性和奇偶性，求得()()()()()()1,2,3,4,5,6ffffff的值，进而得

到答案.【详解】由题意知，函数()fx的定义域为()()()(),3fxyfxyfxfy++−=R，且()113f=，令1,0xy==，得()()()()1010310ffff++−=，所以()203f=；令0x=，得()()()()0030fyfyffy++−=，所

以()()fyfy−=，所以()fx偶函数，令1y=，得()()()()()1131fxfxfxffx++−==①，所以()()()21fxfxfx++=+②，由①②知()()210fxfx++−=，所以()()()()30,3fxf

xfxfx++=+=−，所以()()()63fxfxfx+=−+=，所以()fx的一个周期是6，由②得()()()201fff+=，所以()123f=−，同理()()()312fff+=，所以()233f=−，又由周期性和偶函数可得：

()()()()()()()()112422,511,60,333ffffffff=−==−=−====.是所以()()()()12360ffff++++=，所以20256112()337()(1)(2)(3)3kkfkfkfff

===+++=−.故选：B.二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项是符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分）9.某校高三年级选考地理科的学生有100名，现将他们该科的一次考试分数转换为等级分，

已知等级分X的分数转换区间为30,100，若等级分()~80,25XN，则（）参考数据：()0.6827PX−+=；()220.9545PX−+=；()330.9973PX−+=A.这次考试等级分的标准差为5B.这次考试等级分超过80分的

约有45人C.这次考试等级分在70,80内的人数约为48人D.()65750.1573PX=【答案】ACD【解析】【分析】根据()~80,25XN的含义易判断A,B两项，对于C,D,先把范围转换成用,表示，利用3概率值求出相应范围的概率值，再进

行估算即可.【详解】对于A，因()~80,25XN，则255==，故A正确；对于B，因80=，即这次考试等级分超过80分的学生约占一半，故B错误；对于C，因11(7080)(2)(22)0.954

50.4822PXPXPX=−=−+=,故这次考试等级分在70,80内的人数约为0.4810048=人，故C正确；对于D，因()6575(3)PXPX=−−)1

[](33()2PXPX=−+−−+1(0.99730.6827)0.15732=−=,故D正确.故选：ACD.10.中国结是一种手工编织工艺品，因为其外观对称精致，可以代表汉族悠久的历史，符合中国传统装饰的习俗和审美观念，故命名为中国结．中国结的意义在于它所显示的情致与

智慧正是汉族古老文明中的一个侧面，也是数学奥秘的游戏呈现．它有着复杂曼妙的曲线，却可以还原成最单纯的二维线条．其中的八字结对应着数学曲线中的双纽线．曲线22222:()9()Cxyxy+=−是双纽线，则下列结论正确的是（）A.曲线C的

图象关于yx=对称B.曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过3C.曲线C经过7个整点（横、纵坐标均为整数的点）D.若直线ykx=与曲线C只有一个交点，则实数k的取值范围为(,1][1,)−−+【答案】BD【解析】【分析】对于A项，运用若点(,)x

y关于yx=对称的点(,)yx满足方程，则曲线的图象关于yx=对称，检验即可；对于B项，根据已知条件可得229xy+即可；对于C项，计算边界点来界定整数点个数；对于D项，联立直线方程与双纽线方程，将问题转化为方程只有一解即可.【详解】对于A项，把(,)y

x代入22222()()9xyxy+=−得22222()9()xyyx+=−，显然点(,)yx不满足双纽线方程，所以曲线C的图象不关于yx=对称，故A项错误；对于B项，由22222()()9xyxy+=−可得2222222229()1899xyyxyxyxy−+==−

++，所以曲线C上任意一点到坐标原点O的距离223=+dxy，即都不超过3，故B项正确：对于C项，令0y=解得0x=或3x=，即曲线经过(0,0)，(3,0)，(3,0)−，由题意可知，33x−≤≤，令1x=，得21115312y−+=，令2x=，得217

369122−+=y，因此曲线C只能经过3个整点(0,0)，(3,0)，(3,0)−，故C项错误；对于D项，直线ykx=与曲线22222()()9xyxy+=−一定有公共点(0,0)，若直线ykx=与曲线C只有一个交点

，所以()()222229xyxyykx+=−=，整理得42222(1)9(1)xkxk+=−，只有一个解0x=，即210k−，解得(,1][1,)k−−+，故D项正确．故选：BD.11.已知函数()22lnfxx

x=−，则下列选项中正确的是（）A.函数()fx的极小值点为1x=B.()3eeffC.若函数()()gxfxt=−有4个零点，则()1,t+D.若()()()1212fxfxxx=，则122xx+【答案】AC【解析】【分析】求导，利用

导数判断()fx的单调性和最值，可得()fx的图象，进而可以判断A；对于B：根据()fx的单调性分析判断；对于C：根据偶函数性质分析可知：原题意等价于当0x时，()yfx=与yt=有2个交点，结合()fx的图象分析求解

；对于D：构建()()()()2,0,1gxfxfxx=−−，结合导数可得()()()2,0,1fxfxx−，结合极值点偏移分析证明.【详解】由题意可知：()fx的定义域为()0,+，且()()22122xfxxxx−=−=，令()0fx，解得1x；令()0fx，解得01x

；可知()fx在()0,1内单调递减，在()1,+内单调递增，则()()11fxf=，且当x趋近于0或+时，()fx趋近于+，可得函数()fx的图象，如图所示：对于选项A：可知函数()fx的

极小值点为1x=，故A正确；对于选项B：因为31ee，且()fx在()1,+内单调递增，所以()3eeff，故B错误；对于选项C：令()()0gxfxt=−=，可得()fxt=，可知函数()(

)gxfxt=−有4个零点，即()yfx=与yt=有4个交点，且()yfx=的定义域为()(),00,−+，且()()fxfx−=，可知()yfx=为偶函数，且当0x时，()()yfxfx==原题意等价于当0x时，()yfx=与yt=有2个交点，由

题意可知：2t，故C正确；对于选项D：设()()()()()22ln2ln244,0,1gxfxfxxxxx=−−=−−+−，则()()()241224022xgxxxxx−=+−=−−，可知()ygx=在()0,1内单调递增，

则()()10gxg=，即()()()2,0,1fxfxx−，若()()()1212fxfxxx=，不妨设1201xx，则()()()1122fxfxfx−=，且1221,1xx−，且()fx在()1,+内单调递增，则

122xx−，所以122xx+，故D错误；故选：AC.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤（1）作差或变形；（2）构造新的函数()hx；（3）利用导数研究()hx的单调性或最值；（4）根据单调性及最值，得到所证不等式．特别地：当作差或变形构造的新

函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题．三、填空题（本大题共3个小题,每小题5分,共15分）12.已知向量,ab满足()2,3,0ab==，则向量a在向量b方向上的投影向量的坐标为1,0

2，则ab−=______．【答案】10【解析】【分析】由已知分别求出cos,ab和b，再根据平面向量数量积的运算律求解即可．【详解】由()3,0b=得，3b=，因为向量a在向量b方向上的投影向量的坐标为1,02，所以11cos,,026baabb

b==，即1cos,4ab=，所以22212cos,49223104abababab−=+−=+−=，所以10ab−=，故答案为：10．13.已知双曲线2222:1(0,0)xyEabab−=的左､右焦点分别为12,FF，离心率为2，过点1

F的直线l交E的左支于,AB两点.1OBOF=（O为坐标原点），记点O到直线l的距离为d，则da=__________.【答案】172+【解析】【分析】根据给定条件，作出图形，结合三角形中位线性质可得21BFBF⊥，再利用双曲

线定义及勾股定理求解即得.【详解】令双曲线E的半焦距为c，由离心率为2，得2ca=，取1FB的中点D，连接OD，由1OBOF=，得1ODFB⊥，则||ODd=，连接2FB，由O为12FF的中点，得22//

,||2BFODBFd=，21BFBF⊥，1||22FBda=−，因此2222112||||||BFBFFF+=，即222(2)(22)(4)ddaa+−=，整理得23()02ddaa−−=，而0da，所以172da+=.故答案为：172+14.十四届全国人大一次会议于2023年

3月5日在北京召开．会议期间，会议筹备组将包含甲、乙在内的5名工作人员分配到3个会议厅负责进场引导工作，每个会议厅至少1人．每人只负责一个会议厅，则甲、乙两人不分配到同一个会议厅的不同安排方法共有______种．（用数字作答）【答案】114【解析】【

分析】将5名工作人员分配到3个会议厅，人数组合可以是1,1,3和1,2,2，先求出5名工作人员分配到3个会议厅的情况数，甲乙两人分配到同一个会议厅的情况数，相减得到答案.【详解】将5名工作人员分配到3个会议厅，人数组合可以是1,1,3和1,2,2，人数组合是1,1

,3时，共有1133543322CCCA60A=种情况，其中甲､乙两人分配到同一个会议厅的情况为1113321322CCCA18A=种，从而甲､乙两人不能分配到同一个会议厅的安排方法有601842−=种；人数组合是1,2,2时，共有2213531322CCCA90A=种情

况，其中甲､乙两人分配到同一个会议厅的情况为213313CCA18=种，从而甲､乙两人不能分配到同一个会议厅的安排方法有901872−=种，所以甲、乙两人不分配到同一个会议厅的不同安排方法共有4272

114+=种.故答案为：114.四、解答题（本大题共5个小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.记ABCV的内角,,ABC的对边分别为,,abc，已知()()()3sinsinsinbaAbcBC

−=+−．（1）求角C；（2）若ABCV外接圆的半径为2，求ABCV面积的最大值．【答案】（1）π6C=（2）23+【解析】【分析】（1）运用正弦定理实现边角转化，结合余弦定理进行求解即可；（2）根据正弦定理，结合外接圆的半径可以求出2c=，根据三角形面积公式、利用重

要不等式进行求解即可.【小问1详解】由已知及正弦定理可得()()()3baabcbc−=+−，整理得2223abcab+−=，2223cos22abcCab+−==，()π0,π,6CC=．【小问2详解】ABC外接圆的半径为2，4sincC=，得222,43c

abab=+=+，又()222,423ababab++，当且仅当62ab==+时，等号成立，()111sin42323222ABCSabC=+=+，即ABCV面积的最大值为23+．16.如图，四边形A

BCD与四边形ADEF均为等腰梯形，//BCAD，//EFAD，4=AD，2AB=，2BCEF==，11AF=，FB⊥平面ABCD，M为AD上一点，且FMAD⊥，连接BD、BE、BM.（1）证明：⊥BC平面B

FM；（2）求平面ABF与平面DBE的夹角的余弦值.【答案】（1）证明见详解（2）34747【解析】【分析】（1）根据线面垂直的性质，结合线面垂直的判定定理、平行线的性质进行证明即可；（2）作ENAD⊥，垂足为N，根据平行四边形和矩形的判定定理，结合（1）的结论

，利用勾股定理，因此可以以BM，BC，BF所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.【小问1详解】因为FB⊥平面ABCD，又AD平面ABCD，所以FBAD⊥.又FMAD⊥，且F

BFMF=，所以AD⊥平面BFM.因为//BCAD，所以⊥BC平面BFM.【小问2详解】作ENAD⊥，垂足为N.则//FMEN.又//EFAD，所以四边形FMNE是平行四边形，又ENAD⊥，所以四边形FMNE矩形，又四边形ADEF为等腰梯形，且4=AD，2EF=，是所以1AM=.由（1）知AD

⊥平面BFM，所以BMAD⊥.又2AB=，所以1BM=.在RtAFM△中，2210FMAFAM=−=.在RtFMB中，223FBFMBM=−=.由上可知，能以BM，BC，BF所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系.则(1,1,0)

A−−，(0,0,0)B，(0,0,3)F，(1,3,0)D−，(0,2,3)E，所以，(1,1,0)AB=，(0,0,3)BF=，(1,3,0)BD=−，(0,2,3)BE=，设平面ABF的法向量为()111,,mxyz=，由00mABmBF

==，得1110,0,xyz+==可取(1,1,0)m=−.设平面BDE的法向量为()222,,nxyz=，由00nBDnBE==，得222230,230,xyyz−+=−+=

，可取(9,3,2)n=.因此，cosm，93347||||47118194mnnmn−===+++.依题意可知，平面ABF与平面DBE的夹角的余弦值为34747.17.如图在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆221:12xCy+=，椭圆222

:142xyC+=，直线l与椭圆1C只有一个公共点，且与椭圆2C交于,AB两点.（1）当直线l倾斜角为135时，求直线l的方程；（2）求证：AOBV的面积为定值.【答案】（1）30xy++=或30xy+−=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据直线倾斜角得到直线的斜率，进而设直线方程，根据直

线与曲线有一个交点联立方程组解得答案；（2）设直线l为ykxb=+，直线l与椭圆1C只有一个公共点联立方程组消元得22210kb−+=，直线与椭圆2C交于,AB两点，连立方程组结合韦达定理得12221224212421kbxxkbxxk−+=+

−=+，结合三角形面积公式得答案；【小问1详解】因为直线l倾斜角为135，直线l为yxb=−+，因为椭圆221:12xCy+=，直线l与椭圆1C只有一个公共点，联立方程2212yxbxy=−++=，得223220ybyb−+−=，()22Δ41220,3bbb=−

−==，所以直线l为30xy++=或30xy+−=【小问2详解】因为直线l与椭圆1C只有一个公共点，设直线l为ykxb=+由2212ykxbxy=++=，得()()()222222222214220,Δ16421220,210kxkbxbkbkbkb+++−==−+

−=−+=,又因为直线与椭圆2C交于,AB两点22142ykxbxy=++=，得()222214240kxkbxb+++−=所以12221224212421kbxxkbxxk−+=+−=+，因为直线l与y轴

交于点()0,b，所以1212AOBSbxx=−所以()2221212221142444222121AOBkbbSbxxxxbkk−−=+−=−++()2222222248216142414222bkbbkbbbbbbb−+−−=−==18.已

知函数()()21exfxxx=−−.（1）求函数的单调区间；（2）求()fx的零点个数.（3）()()gxfxm=−在区间11,2−上有两个零点，求m的范围?【答案】（1）()fx的单调减区间为：(0,ln2)；单调增区间为：(,0)−，(ln2,)+（2）1个（3）e1,124

−−−【解析】【分析】（1）对函数求导，利用导数正负与原函数的关系求解即可；（2）结合(1)问的单调性，求出函数()fx的值域，结合零点存在定理即可求解.（3）将零点问题转化为函数交点问题，求出()fx在区间11,2

−上的值域即可求解.【小问1详解】由题可得：()=e2(e2)xxfxxxx=−−，令()0fx=，解得：0x=或ln2x=，令𝑓′(𝑥)<0，解得：0ln2x；令()0fx，解得：0x或ln2x

；所以()fx的单调减区间为：(0,ln2)；单调增区间为：(,0)−，(ln2,)+【小问2详解】因为()fx的单调减区间为：(0,ln2)；单调增区间为：(,0)−，(ln2,)+，由于(0)10f=−，则()fx在(,0)−

上无零点；由于()2(ln2)2(ln21)ln20f=−−，则()fx在(0,ln2)上无零点；.由于2(2)e40f=−，则()fx在()ln2,2上存在唯一零点；综上，函数()fx在R上存在唯一零点.【小问3详解】若()()gxfxm=−在区间11,2−上有两个零点，

则函数()yfx=与ym=在区间11,2−上有两个交点；由(1)知，()fx在()1,0−上单调递增，1(0,)2上单调递减；2(1)1ef−=−−，(0)10f=−，1e1()(1)224ff=−−−，所以函数()

yfx=与ym=在区间11,2−上有两个交点，则1124em−−−，即()()gxfxm=−在区间11,2−上有两个零点，则m的范围为e1,124−−−19.对于*Nn，若数列nx满足11nnx

x+−，则称这个数列为“K数列”．（1）已知数列1，2m，21m+是“K数列”，求实数m的取值范围．（2）是否存在首项为−2的等差数列na为“K数列”，且其前n项和nS使得212nSnn−恒成立?若存在，

求出数列na的通项公式；若不存在，请说明理由．（3）已知各项均为正整数的等比数列na是“K数列”，数列12na不是“K数列”，若11nnabn+=+，试判断数列{𝑏𝑛}是否为“K数列”，并说明理由．【答案】（1）(2,)+（2）不存在，理由见解析（3）答

案见解析【解析】【分析】（1）根据题意得到211m−，且()2121mm+−，，再解不等式组即可；（2）首先假设存在等差数列{𝑎𝑛}符合要求，从而得到(1)2ndn−+成立，再分类讨论1n=和1n的情况，即可得到答案.（3）

首先设数列{𝑎𝑛}的公比为q，则11nnaaq−=，根据题意得到()1110nnnnnaaaqaaq+−=−=−，从而得到211122aa−为最小项，同理得到211122aa−为最小项，再利用“K数列”的定义得到11a=，

3q=或12a=，2q=，再分类讨论即可得到答案.【小问1详解】由题意得211m−，且()2121mm+−，解得2m，所以实数m的取值范围是(2,)+．【小问2详解】不存在．理由：假设存在等差数列{𝑎𝑛}符合要求，设公差为d，则1d

，由12a=−得(1)22nnnSnd−=−+．由题意，得2(1)1222nnndnn−−+−对*nN均成立，即(1)2ndn−+．当1n=时，dR；当1n时，21ndn+−恒成立，因为213311111nnnnn+−+==+−−−，所以1d，与1d

矛盾，所以这样的等差数列{𝑎𝑛}不存在．【小问3详解】设数列{𝑎𝑛}的公比为q，则11nnaaq−=．因为{𝑎𝑛}的每一项均为正整数，且1(1)10nnnnnaaaqaaq+−=−=−

，所以在1nnaa−−中，21aa−为最小项.同理，11122nnaa−−中，211122aa−为最小项.由{𝑎𝑛}为“K数列”，只需211aa−，即1(1)1qa−．又因为12na不是“K数列”，

且211122aa−为最小项，所以2111122aa−，即1(1)2aq−．由数列{𝑎𝑛}的每一项均为正整数，可得1(1)2qa−=，所以11,3aq==或12,2aq==．当11,3aq==时，13nna−=，则31nnbn=+．令()

*1nnncbbn+=−N，则13321321(1)(2)nnnnncnnnn++=−=++++，又2123213486330(2)(3)(1)(2)2(1)(3)nnnnnnnnnnnnnn+++++−=+++++++，所以nc为递增数列，即121nnncccc−−，因

为21333122bb−=−=，所以对于任意的*nN，都有11nnbb+−，即数列{𝑏𝑛}为“K数列”．当12,2aq==时，2nna=，则121nnbn+=+．因为21213bb−=，所以数列{𝑏𝑛}不是“K数列”．综上所述，当11,3aq=

=时，13nna−=，数列{𝑏𝑛}为“K数列”；当12,2aq==时，2nna=，数列{𝑏𝑛}不是“K数列”．【点睛】关键点点睛：需要根据题中所给的“K数列”满足的条件,分析数列满足的关系式再进行列式分析,属于难题.