【文档说明】湖南省长沙市六校2025届高三九月大联考数学试卷 Word版含解析.docx，共(19)页，1.543 MB，由小赞的店铺上传

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湖南省长沙市2025届高三六校九月大联考数学本试卷共4页，19小题，满分150分.一、单选题（本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1.设集合1,3A=，230Bxxxm=−+=，若1A

B=，则集合B=（）A.1,2−B.1,2C.1,0D.1,5【答案】B【解析】【分析】将1x=代入方程求出m，再求集合B即可.【详解】由1AB=可知21302mm−+==，当2m=时，2320xx−+=，解得：1x=或2x=，即1,2B=.故选：B2

.若复数z满足1i1iz=−−+，则z=（）A.22i+B.22i−−C.2i−D.2i【答案】C【解析】【分析】根据复数乘除法运算直接计算即可.【详解】因为1i1iz=−−+，所以2(1i)2iz=−+=−.故选：C.3

.等差数列()*nanN中，274110,2aaaa=−=，则7a=（）A.40B.30C.20D.10【答案】B【解析】【分析】根据已知条件，结合等差数列的性质，即可求解．【详解】设等差数列*{}(N)nan的公差为d，7412

aaa−=，则132da=，210a=，则1112103adaa+=+=，解得16a=，4d=，71662430aad=+=+=．故选：B．4.已知()311sin,25tantan+=−+=，则sinsin

=（）A.310−B.15C.15−D.310【答案】A【解析】【分析】切化弦，通分即可求解.【详解】因为()3sin5+=−，因为()sin11coscoscossincossin2tantansinsinsinsinsinsin+++=+===，所以3s

insin10=−.故选：A.5.如图所示，六氟化硫分子结构是六个氟原子处于顶点位置，而硫原子处于中心位置的正八面体，也可将其六个顶点看作正方体各个面的中心点．若正八面体的表面积为123，则正八面体外接球的体积为（）A.42πB.43πC.12πD.36π【答案】B【

解析】【分析】根据正八面体的结构特征结合条件可得外接球的半径，进而由球的体积公式即得体积．【详解】如图正八面体，连接AC和BD交于点O，因为EAEC=，EDEB=，所以EOAC⊥，EOBD⊥，又AC和BD为

平面ABCD内相交直线，所以EO⊥平面ABCD，所以O为正八面体的中心，设正八面体的外接球的半径为R，因为正八面体的表面积为8×√34𝐴𝐵2=12√3，所以正八面体的棱长为6，所以𝐸𝐵=𝐸𝐶=𝐵𝐶=√6,𝑂𝐵=𝑂𝐶=√3,𝐸𝑂=√𝐸𝐵2−𝑂𝐵2=√3

，则𝑅=√3,𝑉=43π𝑅3=43π×3√3=4√3π．故选：B．6.已知函数()cosexfxx=+，且()()12ln22afbfcf===、、，则abc、、的大小关系（）A.abcB.acbC.cbaD.bca【答案】D【

解析】【分析】首先判断函数在()0,+上单调性，再比较大小.【详解】()sinexfxx=−+，当0x时，()0fx，所以()fx在()0,+单调递增，因为12ln2lne2=，所以()()1ln222fff，即bca

.故选：D7.当0,2πx时，曲线cosyx=与π2cos36yx=−交点的个数为（）A.3B.4C.5D.6【答案】D【解析】的【分析】分别画出cosyx=与π2cos36yx=−在0,2π上的函数图象

，根据图象判断即可.【详解】cosyx=与π2cos36yx=−在0,2π上的函数图象如图所示，由图象可知，两个函数图象交点的个数为6个.故选：D.8.已知()fx的定义域为()()()(),3fxyfxyfxfy++−=R，且()113f=，则20251()kfk==（）A13

−B.23−C.13D.23【答案】B【解析】【分析】根据题意，利用赋值法，求得()()6fxfx+=，得到()fx的一个周期是6，再根据函数的周期性和奇偶性，求得()()()()()()1,2,3,4,5,6ffffff的值，进而得到答案.【详解】由题意知，函数()fx的定义域为()(

)()(),3fxyfxyfxfy++−=R，且()113f=，令1,0xy==，得()()()()1010310ffff++−=，所以()203f=；令0x=，得()()()()0030fyfyffy++−=，所以()()fyfy−=，所以()fx偶

函数，令1y=，得()()()()()1131fxfxfxffx++−==①，所以()()()21fxfxfx++=+②，由①②知()()210fxfx++−=，所以()()()()30,3fxfxfxfx++=+=−，所以()()()63fxfx

fx+=−+=，所以()fx的一个周期是6，由②得()()()201fff+=，所以()123f=−，同理()()()312fff+=，所以()233f=−，又由周期性和偶函数可得：()()()()()()()()112422,511,

60,333ffffffff=−==−=−====.是所以()()()()12360ffff++++=，所以20256112()337()(1)(2)(3)3kkfkfkfff===+++=−.故选：B.二、多选题（本题共3小题，每小

题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项是符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分）9.某校高三年级选考地理科的学生有100名，现将他们该科的一次考试分数转换为等级分，已知等级分X的分数转换区间为30,100，若等级分()~80,25XN，则（）参考数据：(

)0.6827PX−+=；()220.9545PX−+=；()330.9973PX−+=A.这次考试等级分的标准差为5B.这次考试等级分超过80分的约有45人C.这次考试等

级分在70,80内的人数约为48人D.()65750.1573PX=【答案】ACD【解析】【分析】根据()~80,25XN的含义易判断A,B两项，对于C,D,先把范围转换成用,表示，利用3概率值求出相应范围的概率值，再进行估算即

可.【详解】对于A，因()~80,25XN，则255==，故A正确；对于B，因80=，即这次考试等级分超过80分的学生约占一半，故B错误；对于C，因11(7080)(2)(22)0.95450.4822PXPXPX=−=−+=,故这次考试等级

分在70,80内的人数约为0.4810048=人，故C正确；对于D，因()6575(3)PXPX=−−)1[](33()2PXPX=−+−−+1(0.99730.6827)0.15732=−=,故D正确.故选：ACD.10.中国

结是一种手工编织工艺品，因为其外观对称精致，可以代表汉族悠久的历史，符合中国传统装饰的习俗和审美观念，故命名为中国结．中国结的意义在于它所显示的情致与智慧正是汉族古老文明中的一个侧面，也是数学奥秘的游戏呈现．它有着复杂曼妙的曲线，却可以还原成最单纯的二维线条．其

中的八字结对应着数学曲线中的双纽线．曲线22222:()9()Cxyxy+=−是双纽线，则下列结论正确的是（）A.曲线C的图象关于yx=对称B.曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过3C.曲线C经

过7个整点（横、纵坐标均为整数的点）D.若直线ykx=与曲线C只有一个交点，则实数k的取值范围为(,1][1,)−−+【答案】BD【解析】【分析】对于A项，运用若点(,)xy关于yx=对称的点(,)yx满足方程，则曲线的图象关于y

x=对称，检验即可；对于B项，根据已知条件可得229xy+即可；对于C项，计算边界点来界定整数点个数；对于D项，联立直线方程与双纽线方程，将问题转化为方程只有一解即可.【详解】对于A项，把(,)yx代入22222()()9xyxy+=−得22222()9()xyyx+=−，显然点(

,)yx不满足双纽线方程，所以曲线C的图象不关于yx=对称，故A项错误；对于B项，由22222()()9xyxy+=−可得2222222229()1899xyyxyxyxy−+==−++，所以曲线C上任意一点到坐标原点O的距离223=+dxy，即都不超过3，故B项正确：对于C项，

令0y=解得0x=或3x=，即曲线经过(0,0)，(3,0)，(3,0)−，由题意可知，33x−≤≤，令1x=，得21115312y−+=，令2x=，得217369122−+=y，因此曲线C只能经过3个整点(0,0)，(3,0)，(3,0)

−，故C项错误；对于D项，直线ykx=与曲线22222()()9xyxy+=−一定有公共点(0,0)，若直线ykx=与曲线C只有一个交点，所以()()222229xyxyykx+=−=，整理得42222(1)9(1)xkxk+=−，只有一个解0x=，即

210k−，解得(,1][1,)k−−+，故D项正确．故选：BD.11.已知函数()22lnfxxx=−，则下列选项中正确的是（）A.函数()fx的极小值点为1x=B.()3eeffC.若函数()()gxfxt=−有4个零点，

则()1,t+D.若()()()1212fxfxxx=，则122xx+【答案】AC【解析】【分析】求导，利用导数判断()fx的单调性和最值，可得()fx的图象，进而可以判断A；对于B：根据()fx的单调性分析判断；对于C：根据偶函数性质分析可知：原题意

等价于当0x时，()yfx=与yt=有2个交点，结合()fx的图象分析求解；对于D：构建()()()()2,0,1gxfxfxx=−−，结合导数可得()()()2,0,1fxfxx−，结合极值点偏移分析证明.【详解】由题意可知：

()fx的定义域为()0,+，且()()22122xfxxxx−=−=，令()0fx，解得1x；令()0fx，解得01x；可知()fx在()0,1内单调递减，在()1,+内单调递增，则(

)()11fxf=，且当x趋近于0或+时，()fx趋近于+，可得函数()fx的图象，如图所示：对于选项A：可知函数()fx的极小值点为1x=，故A正确；对于选项B：因为31ee，且()fx在()1,+内单调递增，所以()3eeff

，故B错误；对于选项C：令()()0gxfxt=−=，可得()fxt=，可知函数()()gxfxt=−有4个零点，即()yfx=与yt=有4个交点，且()yfx=的定义域为()(),00,−+，且()()fxfx−=，可知

()yfx=为偶函数，且当0x时，()()yfxfx==原题意等价于当0x时，()yfx=与yt=有2个交点，由题意可知：2t，故C正确；对于选项D：设()()()()()22ln2ln244,0,1gxfxfxxxxx=−−=−−+−，则()(

)()241224022xgxxxxx−=+−=−−，可知()ygx=在()0,1内单调递增，则()()10gxg=，即()()()2,0,1fxfxx−，若()()()1212fxfxxx=，不妨设1201xx，则()()()1122fxfxfx−=，

且1221,1xx−，且()fx在()1,+内单调递增，则122xx−，所以122xx+，故D错误；故选：AC.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤（1）作差或变形；（2）构造新的函数()hx；（3）利用导数研究(

)hx的单调性或最值；（4）根据单调性及最值，得到所证不等式．特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题．三、填空题（本大题共3个小题,每小题5分,共15分）12.已知向量,ab满足()2,3,0ab==

，则向量a在向量b方向上的投影向量的坐标为1,02，则ab−=______．【答案】10【解析】【分析】由已知分别求出cos,ab和b，再根据平面向量数量积的运算律求解即可．【详解】由()3,0b=得，3b=，因为向量a在向量b方向

上的投影向量的坐标为1,02，所以11cos,,026baabbb==，即1cos,4ab=，所以22212cos,49223104abababab−=+−=+−=

，所以10ab−=，故答案为：10．13.已知双曲线2222:1(0,0)xyEabab−=的左､右焦点分别为12,FF，离心率为2，过点1F的直线l交E的左支于,AB两点.1OBOF=（O为坐标原点），记点O到直线

l的距离为d，则da=__________.【答案】172+【解析】【分析】根据给定条件，作出图形，结合三角形中位线性质可得21BFBF⊥，再利用双曲线定义及勾股定理求解即得.【详解】令双曲线E的半焦距为c，由离心率为2，得2ca=，取1FB的中点

D，连接OD，由1OBOF=，得1ODFB⊥，则||ODd=，连接2FB，由O为12FF的中点，得22//,||2BFODBFd=，21BFBF⊥，1||22FBda=−，因此2222112||||||BFBFFF+=，即222(2)(22)(4)ddaa+−=，整理得23()02ddaa−−=，

而0da，所以172da+=.故答案为：172+14.十四届全国人大一次会议于2023年3月5日在北京召开．会议期间，会议筹备组将包含甲、乙在内的5名工作人员分配到3个会议厅负责进场引导工作，每个会议厅至少1人．每人只负责一个会议厅，则甲、乙两人不分配到同一个会议厅的不同

安排方法共有______种．（用数字作答）【答案】114【解析】【分析】将5名工作人员分配到3个会议厅，人数组合可以是1,1,3和1,2,2，先求出5名工作人员分配到3个会议厅的情况数，甲乙两人分配到同一个会议厅的情况数，相减得到答案.【详解】将5名工作人员分配到3个会议厅，人数

组合可以是1,1,3和1,2,2，人数组合是1,1,3时，共有1133543322CCCA60A=种情况，其中甲､乙两人分配到同一个会议厅的情况为1113321322CCCA18A=种，从而甲､乙两人不能

分配到同一个会议厅的安排方法有601842−=种；人数组合是1,2,2时，共有2213531322CCCA90A=种情况，其中甲､乙两人分配到同一个会议厅的情况为213313CCA18=种，从而甲､乙两人不能分配到同一个会议厅的安排方法有901872−=种，

所以甲、乙两人不分配到同一个会议厅的不同安排方法共有4272114+=种.故答案为：114.四、解答题（本大题共5个小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.记ABCV的内角,,ABC的对边分别为,,abc，已知()()()3sinsinsinbaAb

cBC−=+−．（1）求角C；（2）若ABCV外接圆的半径为2，求ABCV面积的最大值．【答案】（1）π6C=（2）23+【解析】【分析】（1）运用正弦定理实现边角转化，结合余弦定理进行求解即可；（2）根据正弦定理，结合外接

圆的半径可以求出2c=，根据三角形面积公式、利用重要不等式进行求解即可.【小问1详解】由已知及正弦定理可得()()()3baabcbc−=+−，整理得2223abcab+−=，2223cos22abcCab+−==，()π0,π,6CC=．【小问2详解】ABC外接圆的半径为2，4si

ncC=，得222,43cabab=+=+，又()222,423ababab++，当且仅当62ab==+时，等号成立，()111sin42323222ABCSabC=+=+，即ABCV面积的最大值为23+．16.如图，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，

//BCAD，//EFAD，4=AD，2AB=，2BCEF==，11AF=，FB⊥平面ABCD，M为AD上一点，且FMAD⊥，连接BD、BE、BM.（1）证明：⊥BC平面BFM；（2）求平面ABF与平面DBE的夹角的余弦值.【

答案】（1）证明见详解（2）34747【解析】【分析】（1）根据线面垂直的性质，结合线面垂直的判定定理、平行线的性质进行证明即可；（2）作ENAD⊥，垂足为N，根据平行四边形和矩形的判定定理，结合（1）的结论，利用勾股定理，因此可以以BM，BC，BF所在的直线

分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.【小问1详解】因为FB⊥平面ABCD，又AD平面ABCD，所以FBAD⊥.又FMAD⊥，且FBFMF=，所以AD⊥平面BFM.因为//BCAD，所以⊥BC平面BFM.【小问2详解】作ENAD⊥，垂足为N.则//F

MEN.又//EFAD，所以四边形FMNE是平行四边形，又ENAD⊥，所以四边形FMNE矩形，又四边形ADEF为等腰梯形，且4=AD，2EF=，是所以1AM=.由（1）知AD⊥平面BFM，所以BMAD⊥.又2AB=，所以1BM=.在RtAFM△中

，2210FMAFAM=−=.在RtFMB中，223FBFMBM=−=.由上可知，能以BM，BC，BF所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系.则(1,1,0)A−−，(0,0,0)B，(0,0,3)F，(1,3,0)D−，(0,2,3

)E，所以，(1,1,0)AB=，(0,0,3)BF=，(1,3,0)BD=−，(0,2,3)BE=，设平面ABF的法向量为()111,,mxyz=，由00mABmBF==，得1110,0,xy

z+==可取(1,1,0)m=−.设平面BDE的法向量为()222,,nxyz=，由00nBDnBE==，得222230,230,xyyz−+=−+=，可取(9,3,2)n=.因此，cosm，93347||||4711819

4mnnmn−===+++.依题意可知，平面ABF与平面DBE的夹角的余弦值为34747.17.如图在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆221:12xCy+=，椭圆222:142xyC+=，直线l与椭圆1C只有一个公共点，且与椭圆2C交于,AB

两点.（1）当直线l倾斜角为135时，求直线l的方程；（2）求证：AOBV的面积为定值.【答案】（1）30xy++=或30xy+−=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据直线倾斜角得到直线的斜率，进而设直线方程，根据直线与曲线有一个交点联立方程组解得答案；（2）设直线l为

ykxb=+，直线l与椭圆1C只有一个公共点联立方程组消元得22210kb−+=，直线与椭圆2C交于,AB两点，连立方程组结合韦达定理得12221224212421kbxxkbxxk−+=+−=+，结合三角形面积公式得答案；【小问1详解】因为直线l倾

斜角为135，直线l为yxb=−+，因为椭圆221:12xCy+=，直线l与椭圆1C只有一个公共点，联立方程2212yxbxy=−++=，得223220ybyb−+−=，()22Δ41220,3bbb=−−==，所以直线l为30xy++=

或30xy+−=【小问2详解】因为直线l与椭圆1C只有一个公共点，设直线l为ykxb=+由2212ykxbxy=++=，得()()()222222222214220,Δ16421220,210kxkbxbkbkbkb+++−==−+−=−+=

,又因为直线与椭圆2C交于,AB两点22142ykxbxy=++=，得()222214240kxkbxb+++−=所以12221224212421kbxxkbxxk−+=+−=+，因为直线l与y轴交于点()0,b，所以1212A

OBSbxx=−所以()2221212221142444222121AOBkbbSbxxxxbkk−−=+−=−++()2222222248216142414222bkbbkbbbbbbb−+−−

=−==18.已知函数()()21exfxxx=−−.（1）求函数的单调区间；（2）求()fx的零点个数.（3）()()gxfxm=−在区间11,2−上有两个零点，求m的范围?【答案】（1）()fx

的单调减区间为：(0,ln2)；单调增区间为：(,0)−，(ln2,)+（2）1个（3）e1,124−−−【解析】【分析】（1）对函数求导，利用导数正负与原函数的关系求解即可；（2）结合(1)问的单调性，求出函数()fx的值域，结合

零点存在定理即可求解.（3）将零点问题转化为函数交点问题，求出()fx在区间11,2−上的值域即可求解.【小问1详解】由题可得：()=e2(e2)xxfxxxx=−−，令()0fx=，解得：0x=或ln2x=，令𝑓′(𝑥)<0，解得：0ln2x；令()0fx

，解得：0x或ln2x；所以()fx的单调减区间为：(0,ln2)；单调增区间为：(,0)−，(ln2,)+【小问2详解】因为()fx的单调减区间为：(0,ln2)；单调增区间为：(,0)−，(ln2,)+，由于(0

)10f=−，则()fx在(,0)−上无零点；由于()2(ln2)2(ln21)ln20f=−−，则()fx在(0,ln2)上无零点；.由于2(2)e40f=−，则()fx在()ln2,2上存在唯一零点；综上，函数()fx在R上存在唯一零点.【小问3详

解】若()()gxfxm=−在区间11,2−上有两个零点，则函数()yfx=与ym=在区间11,2−上有两个交点；由(1)知，()fx在()1,0−上单调递增，1(0,)2上单调递减；2(1)1ef−=−−，(0)10f=−，1e1()(1)224ff=−−−，所以函数

()yfx=与ym=在区间11,2−上有两个交点，则1124em−−−，即()()gxfxm=−在区间11,2−上有两个零点，则m的范围为e1,124−−−19.对于*Nn，若数列nx满足11nnxx+−，则称这个数

列为“K数列”．（1）已知数列1，2m，21m+是“K数列”，求实数m的取值范围．（2）是否存在首项为−2的等差数列na为“K数列”，且其前n项和nS使得212nSnn−恒成立?若存在，求出数列na的通项公式；若不存在，请说明

理由．（3）已知各项均为正整数的等比数列na是“K数列”，数列12na不是“K数列”，若11nnabn+=+，试判断数列{𝑏𝑛}是否为“K数列”，并说明理由．【答案】（1）(2,)+（2）不存在，理由见解析（3）答案见解析【解析】【分析】（1

）根据题意得到211m−，且()2121mm+−，，再解不等式组即可；（2）首先假设存在等差数列{𝑎𝑛}符合要求，从而得到(1)2ndn−+成立，再分类讨论1n=和1n的情况，即可得到答案.（3）首先设数列{𝑎𝑛}的公比为q，则11nnaaq−

=，根据题意得到()1110nnnnnaaaqaaq+−=−=−，从而得到211122aa−为最小项，同理得到211122aa−为最小项，再利用“K数列”的定义得到11a=，3q=或12a=，2q=，再分类讨论即可得到答案.【小问1详解】由题意得211m−，且()2121mm+−

，解得2m，所以实数m的取值范围是(2,)+．【小问2详解】不存在．理由：假设存在等差数列{𝑎𝑛}符合要求，设公差为d，则1d，由12a=−得(1)22nnnSnd−=−+．由题意，得2(1)1222nnndnn−−+−对*nN均成立，即(1)2ndn−

+．当1n=时，dR；当1n时，21ndn+−恒成立，因为213311111nnnnn+−+==+−−−，所以1d，与1d矛盾，所以这样的等差数列{𝑎𝑛}不存在．【小问3详解】设数列{𝑎𝑛}的公比为q，则11nnaaq−=．因为{𝑎𝑛}的每一项均为正整数，且

1(1)10nnnnnaaaqaaq+−=−=−，所以在1nnaa−−中，21aa−为最小项.同理，11122nnaa−−中，211122aa−为最小项.由{𝑎𝑛}为“K数列”，只需211aa−，即1(1)1qa−．又因为12na不

是“K数列”，且211122aa−为最小项，所以2111122aa−，即1(1)2aq−．由数列{𝑎𝑛}的每一项均为正整数，可得1(1)2qa−=，所以11,3aq==或12,2aq==．当11,3aq==时，13nn

a−=，则31nnbn=+．令()*1nnncbbn+=−N，则13321321(1)(2)nnnnncnnnn++=−=++++，又2123213486330(2)(3)(1)(2)2(1)(3)

nnnnnnnnnnnnnn+++++−=+++++++，所以nc为递增数列，即121nnncccc−−，因为21333122bb−=−=，所以对于任意的*nN，都有11nnbb+−，即数列{𝑏𝑛}为“K数列”．当

12,2aq==时，2nna=，则121nnbn+=+．因为21213bb−=，所以数列{𝑏𝑛}不是“K数列”．综上所述，当11,3aq==时，13nna−=，数列{𝑏𝑛}为“K数列”；当12,2aq==时，2nna=，数列{

𝑏𝑛}不是“K数列”．【点睛】关键点点睛：需要根据题中所给的“K数列”满足的条件,分析数列满足的关系式再进行列式分析,属于难题.