【文档说明】上海市长宁区2021届高三下学期4月教学质量检测（二模）数学试题含答案.doc，共(8)页，632.000 KB，由小赞的店铺上传

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长宁区2020学年第二学期高三数学教学质量检测试卷考生注意：1．答题前，务必在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚，并贴好条形码．2．解答试卷必须在答题纸规定的相应位置书写，超出答题纸规定位置或写在试卷、草稿纸上的答案一律不予评分．3．本试卷共有21道

试题，满分150分，考试时间120分钟．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1.设集合()1,3A=−，)0,4B=，则AB=.2.复数z满足11iz

=+（i为虚数单位），则z=.3.已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的标准差是.4.若向量()1,0,1a=，()0,1,1b=−，则向量a与b的夹角为__________．5.若实数xy、满足002xxyxy−

+，则2zxy=−的最小值为.6.函数()sin2111xfx=的最小正周期为__________．7.在公差不为零的等差数列na中，3a是1a与9a的等比中项，则1299aaaa+++=．8.在二项式()51x

+的展开式中任取两项，则所取两项中至少有一项的系数为偶数的概率是.9.设数列na的前n项和为nS，11a=，1nnaS+=，则12111lim()nnaaa→++++=.10.定义域为R的奇函数()yfx=，在(,0−上

单调递减.设()()gxxfx=，若对于任意1,2x，都有()()2gxgax+，则实数a的取值范围为.11.设12FF、分别为椭圆22:13xy+=的左、右焦点，点AB、在椭圆上，且不是椭圆的

顶点.若120FAFB+=，且0，则实数的值为．12.在ABC中，2AC=，211tantanAB+=，若ABC的面积为2，则AB=.二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13.设()f

xx=（11{2,1,,,1,2}32−−），则“()yfx=图像经过点()1,1−”是“()yfx=是偶函数”的（）.A.充分非必要条件；B.必要非充分条件；C.充要条件；D.既非充分又非必要条件.14.直线的参数方程是()122xttyt=+=−R

，则l的方向向量d可以是（）.A．(1,2)；B．(2,1)−；C．(2,1)；D．(1,2)−.15.设正四棱柱1111ABCDABCD−的底面边长为1，高为2，平面经过顶点A，且与棱AB、AD、1AA所在直线所成的角都相等，则满足条件的平面共有（）个

.A．1；B．2；C．3；D．4.16.已知函数()yfx=与()ygx=满足：对任意12,xxR，都有()()()()1212fxfxgxgx−−.命题p：若()yfx=是增函数，则()()yfxgx=−不是减函数；命题q：若()yfx=有最大值和最小值，则()ygx=也有最大值和最小值

.则下列判断正确的是（）.A.p和q都是真命题B.p和q都是假命题C.p是真命题，q是假命题D.p是假命题，q是真命题三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，1AA是

圆柱的一条母线，AB是圆柱的底面直径，C在圆柱下底面圆周上，M是线段1AC的中点.已知14AAAC==，3BC=.（1）求圆柱的侧面积；（2）求证：BCAM⊥18．（本题满分14分，第1小题满分8分，第2小题

满分6分）设()sin2cos(2)6fxxx=++([0,])2x.（1）若3sin5x=，求()fx的值；（2）设02，若方程()12fx−=有两个解，求的取值范围.19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）某种生物身体的长度()fx（单位：米）与其生长

年限x（单位：年）大致关系如下：()4101xfxt−=+（其中0.5te−=（e为自然对数的底2.71828…），该生物出生时0x=）.（1）求需要经过多少年，该生物身长才能超过8米（精确到0.1）；（2）该生物出生x年后的一年里身长生长量()gx可以表示为()()()1gxfxfx=

+−，求()gx的最大值（精确到0.01）.20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）设双曲线22:13xy−=的上焦点为F，M、N是双曲线上的两个不同的点．（1）求双曲线的渐近线方程；（2）若2FM=，求点M纵坐标的值；（3）设直线M

N与y轴交于点()0,Qq，M关于y轴的对称点为`M.若`M、F、N三点共线，求证：q为定值．21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）数列na满足：11a=，na*N，且对任意n*N，都有1nnaa+，2124

nnnaaa−+=.（1）求2a，3a，4a；（2）设1nnndaa+=−，求证：对任意*nN，都有1nd；（3）求数列na的通项公式na.2020学年第二学期高三数学质量检测试卷参考答案与评分标准一．填空题（本大题共有12题，满分54分，第1—6题每题4分，第7---12题每

题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．()1,4−2．223．1534．235．2−6．27．58．359．310．2,2−11．112．22二．选择题(本大题共有4题，满分20分，每题5分)每题有且只有一个

正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13.C14.B15.D16.C三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必须的步骤．17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）因为ACBC⊥，

4AC=，3BC=所以5AB=，…….2所以圆柱的侧面积为120AAAB=……6(2)因为1AA⊥底面ABC，所以1AABC⊥…….3又因为ACBC⊥，所以BC⊥平面1AAC…….6因为AM平面1AAC

，所以BCAM⊥.…….818．（本题满分14分，第1小题满分8分，第2小题满分6分）解：（1）因为3sin,[0,]52xx=，所以4cos5x=…..2()31sin2cos2sin222fxxxx=+−……4()23sincos12sin2xxx=+−…….6247350+=…….8（2

）()13sin2cos2sin(2)223fxxxx=+=+()sin(22)3fxx−=+−…..…2由[0,]2x及02得42422[2,2][,]33333x+−−−−…..…3因为1sin2x=在24[,]33−内的解为6和56

….….4所以23645236−−，解得124….….619．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）解不等式41081xt−+，得414xt−，……..2所以1

4log42ln46.84tx+=+……..5所以需要经过6.8年……6（2）()()()341010111xxgxfxfxtt−−=+−=−++()()()43341011xxxxtttt−−−−−=++()433427101xxxxtttttt−−−−−−=+++()4334710xx

tttttt−−−−−−−=+++………3因为()0.50,1te−=，所以430tt−−−，………5又因为73.52xxttt−−−+（当3.5x=时取等），………6所以()()433.534101.242ttgxttt−−−−−−++

所以()gx最大为1.24（当3.5x=时取得）.……820．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）解：（1）双曲线的渐近线方程为33yx=；……4（2）点F的坐标为()0,2，………1设()11,Mxy，则()221124xy

+−=…….2因为点M在双曲线上，所以221133xy=−，代入上式，得()21214y−=，解得132y=或112y=−…….4因为11y，所以132y=.……6（3）设()11,Mxy，()22,Nxy，直线MN的方程为ykxq=+……1则()11`,Mxy−……..2因

为`M、F、N三点共线，所以121222yyxx−−=−…….3得()1221122xyxyxx+=+，因为11ykxq=+，22ykxq=+所以()()1212220kxxqxx+−+=…*………4将ykxq=+代入双曲线方程得()2223163

30kxkqxq−++−=21223331qxxk−=−，122631kqxxk+=−−，代入*式得12q=…….621．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）解：（1）124aa+=，得23a=；……..1由

3412aa+=，234aaa，得336a；…….2当34a=时，48a=，563416aaa+==……..3又由56aa，得58a，与54aa矛盾，所以35a=，47a=.……..4（2）假设存在*kN，使得1kd=，即11kkaa+=+，则…….

1由2124kkkaaa−+=，及212kkaa−，得22kkaa，………3由21221444kkkkaaaa++++==+，及2122kkaa++，得2122kkaa++……4得22121kkkaaa+==+，与221kkaa+矛盾，………

5所以对任意*nN，都有1nd.……..6（3）由（2）知12nnndaa+=−……..2()12122124nnnnnnaaaaaa++−−=+−−()()()()2221212212221kkkkkkkkaaaaaaaa++++−

=−+−+−+−所以对任意*nN，都有2122142nnnndddd+−=++………4当1n=时，得3211248dddd++==，又由22d32d，得232dd==，………6设2kd=，由21221248kkkkdddd+−++==，及()*2ndnN得212212kk

kaaa+−===………7所以对任意*nN，2nd=，进而21nan=−……….8