【文档说明】河北省衡水市第二次调研考试2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题 Word版含解析.docx，共(22)页，1.118 MB，由小赞的店铺上传

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2024~2025学年高三年级学科素养检测（二调）数学（时间120分钟，满分150分）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的．1.已知数列na满足112nnaa+=−，则11a=−，则4a=（）A.3B.53C.75D.15【答案】C【解析】【分析】根据题中递推公式代入运算即可.【详解】因为112

nnaa+=−，则有：当1n=，21123aa=−=；当2n=，321523aa=−=；当3n=，431725aa=−=.故选：C.2.已知是第四象限角且3sin,2sincos05=−−=，则tan

()−的值为（）A.1B.1−C.2−D.211【答案】C【解析】【分析】由已知求得3tan4=−和1tan2=，再根据两角差的正切公式计算即可．【详解】因为是第四象限角且3sin5=−，所以4c

os5=，则3tan4=−，因为2sincos0−=，所以1tan2=，所以tantantan()2311tantan2124143−−===−+−−−+，故选：C．3.函数()15

fxx=的图象在点()()0,0f处的切线的倾斜角为（）A.π6B.π4C.π3D.π2【答案】D【解析】【分析】对()15fxx=求导，得到()4515fxx−=，再利用导数的几何意义，即可求解.【详解】因为()15fxx=，则()4515fxx−=

，显然，当0x=时，()4515fxx−=无意义，即()15fxx=在0x=处斜率不存在，所以倾斜角为π2.故选：D.4如图，平行四边形ABCD中，2AEEB=，DFFC=，若CBm=，CEn=，则AF=（）A.1322mn+B.

3122mn−C.1322mn−+D.1322mn−【答案】D【解析】【分析】根据条件，结合图形，利用向量的线性运算，即可求出结果.【详解】因为四边形ABCD为平行四边形，且2AEEB=，DFFC=，.所以12AFADDFADDC=+=+，即22AFADDC=+①

，又13CECBBECBBA=+=+，即33CECBBA=+②，由①+②得到23AFCECB+=，又CBm=，CEn=，所以AF=1322mn−.故选：D.5.已知等差数列na的公差小于0，前n项和为nS

，若727131aaa+=−，844S=，则nS的最大值为（）A.45B.52C.60D.90【答案】A【解析】【分析】设等差数列na的首项为1a，公差为(0)dd，根据条件得到1d=−，19a=，从而得到211922nSnn=−+，即可求出结果.【详解】设等差数列na的首

项为1a，公差为(0)dd，由727131aaa+=−，得到272713aaaa+=+①，由1888()442aaS+==，得到1811aa+=②，由①②得到，2724aa=，又182711aaaa+=

+=，0d，由27272411aaaa=+=，解得278,3aa==，所以72381725aad−−===−−，19a=，2(1)1199222nnnSnnn−=−=−+，又因为Nn，所以当9n=或10n=时，nS的值最

大，最大值为45，故选：A.6.设ABCV内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知2sinsinsinABCSABC=△，若ABCV的周长为1．则sinsinsinABC++=（）A.1B.12C.34D.2【答案】B【解析】【分析】根据正弦定理可得2sin,2sin,2sinaR

AbRBcRC===，利用面积公式可得1R=，再结合周长公式运算求解.【详解】由正弦定理2sinsinsinabcRABC===（R为ABCV的外接圆半径），可得2sin,2sin,2sinaRAbRBcRC===，且(),,0,πABC，则sin,sin,sinABC均正数，因为1

1sin2sin2sinsin2sinsinsin22ABCSabCRARBCABC===△，可得1R=，又因为ABCV的周长为()2sin2sin2sin2sinsinsin1abcRARBRCABC++=++=++=，所以1sinsinsin

2ABC++=.故选：B.7.设函数()()3ππ40,0,3πππ4tan,4kxfxkkxx+==+−−Z，若函数()fx在区间π3π,88−上有且仅有1个零点，则的取值范

围为（）A.2,23B.20,3C.210,33D.(0,2【答案】A【解析】【分析】根据题意分析可知()fx的最小正周期πT=，()fx的零点为()21π4k+，kZ，根据周期性可知03

，再根据函数零点结合区间π3π,88−分析求解即可.【详解】因为0，由正切型函数可知：()fx的最小正周期πT=，且()fx的零点为()21π4k+，kZ，显然()fx在区间(),x

xT+内至少有1个零点，在区间3,2xxT+内至少有2个零点，为若函数()fx在区间π3π,88−上有且仅有1个零点，则33πππ2882T−−=，即ππ3T=，解得03，若03，因为π3π,88x

−，则πππ3ππ,48484x−−−−，且5ππππ3ππ7π8844848−−−−−，即5ππππ3ππ7π8844848x−−−−−，则ππ5π7π,0,,

2288−−，结合题意可知：π2−，0中有且仅有一个属于ππ3ππ,8484−−−，由题意可知：π3ππ0284πππ842−−−−−或3πππ0842πππ0284−−−−，解得：223，所以

的取值范围为2,23.故选：A.【点睛】关键点点睛：分析可知：()fx在区间(),xxT+内至少有1个零点，在区间3,2xxT+内至少有2个零点，结合周期性可知ππ3T=，可得必要性.8.已知11ee,12()3,11xxaxxfxxxx−−−−=++

，()aR在R上单调递增，则a的取值范围是（）A.2,1−B.2,1−−C.(,1−D.)2,−+【答案】A【解析】【分析】根据条件，当1x时，得到11ee()2xxfxa−−+=−，由题知11ee()02xxfxa−−+=−在(1−，上恒

成立，利用基本不等式，得到11ee12xx−−+，从而有1a，再根据题设有1111ee13211a−−−+−+，即可求解.【详解】因为11ee,12()3,11xxaxxfxxxx−−−−

=++，当1x时，3()1xfxx+=+，22223(1)4()2(1)2(1)xxxfxxxxx+−+−==++，所以1x时，()0fx，即3()1xfxx+=+在区间(1,+∞)上单调递增，当1x时，11ee()2xxfxax−−−=−，所以11ee()2xxfxa−−+

=−，由题知11ee()02xxfxa−−+=−在(−∞,1]上恒成立，即11ee2xxa−−+在(−∞,1]上恒成立，又1111ee12ee122xxxx−−−−+=，当且仅当11eexx−−=，即1x=时

取等号，所以1a，又由1111ee132211a−−−+−=+，得到2a−，所以21a−，故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.

以下正确的选项是（）A.若ab，cd，则acbd−−B.若ab，cd，则abcdC.若22acbc，则33abD.若ab，0m，则bmbama++【答案】AC【解析】【分析】选项A，利用不等式的性质，

即可判断选项A的正误；选项B和D，通过取特殊值，即可判断出选项D和D的正误；选项C，由22acbc，得到ab，即可判断选项C的正误.【详解】对于选项A，由cd，得到cd−−，又ab，所以acbd−−，故选项A正确，对于选项B，取3,2,3,2abcd

===−=−，显然有ab，cd，但1,1abcd=−=−，不满足abcd，所以选项B错误，对于选项C，由22acbc，得到2()0abc−，又20c，所以0ab−>，即ab，所以33ab，故选项C正确，对于选项D，取3,4,5abm=−=−=，显然有ab，0m

，但4514435233bmbama+−+−====+−+−，所以选项D错误，故选：AC.10.设正项等比数列na的公比为q，前n项和为nS，前n项积为nT，则下列选项正确的是（）A.4945SSqS=+B.若

20252020TT=，则20231a=C.若194aa=，则当2246aa+取得最小值时，12a=D.若21()nnnaT+，则11a【答案】AB【解析】【分析】对于A：根据前n项和的定义以及等比数列性质分析判断；对于B：根据题意结

合等比数列性质分析判断；对于C：根据题意结合基本不等式可知：当且仅当462aa==时，2246aa+取得最小值，进而可得结果；对于D：举反例说明即可.【详解】因为数列{𝑎𝑛}为正项等比数列，则10,0,0naqT，对于选项A：因为9123456789Saaaaaaaaa=

++++++++()4441234545SqaaaaaSqS=+++++=+，所以4945SSqS=+，故A正确；对于选项B：若20252020TT=，则52025202120222023202420252

02320201TaaaaaaT===，所以20231a=，故B正确；对于选项C：因为19464aaaa==，则22446628aaaa+=，当且仅当462aa==时，等号成立，若2246aa+取得最小值，则462

aa==，即34156122aaqaaq====，解得121aq==，故C错误；对于选项D：例如11,2aq==，则12nna−=，()101112121222222nnnnnnTaaa−−+++−====，可得()()2221221(

)22,22nnnnnnnnnnaT−−+====，因为*nN，则22nnn−，可得2222nnn−，即21()nnnaT+，符合题意，但11a=，故D错误；故选：AB.11.以下不等式成立的是（）A.当𝑥∈(0,1)时，1eln2xxxx+−+B.当𝑥∈(1,+∞

)时，1eln2xxxx+−+C.当π0,2x时，esinxxxD.当π,π2x时，esinxxx【答案】ABC【解析】【分析】A选项，令()e1xfxx=−−，𝑥∈(0,1)，()11lngxxx=−−，𝑥∈(0,1)，求导，求出函数单调性，

得到()()00fxf=，()()10gxg=，得到A正确；B选项，在A选项基础上，得到𝑥∈(1,+∞)时，()()1e2fxf=−，()()10gxg=，B正确；C选项，令()esinxwxxx=−，π0,2

x，求导得到函数单调递增，且()00w=，从而得到C正确，D选项，令()exxtx=，𝑥∈(0,π)，求导得到函数单调性和值域，结合()sinqxx=的单调性和取值范围，得到两函数图象，数形结合得到D错误

.【详解】A选项，令()e1xfxx=−−，𝑥∈(0,1)，则()e10xfx=−恒成立，故()fx在𝑥∈(0,1)上单调递增，则()()00fxf=，令()11lngxxx=−−，𝑥∈(0,1)，则()221110xgxxxx=−=

−+，故()gx在𝑥∈(0,1)上单调递增，故()()10gxg=，所以1e11lnxxxx−−−−，即1eln2xxxx+−+，A正确；B选项，由A选项知，𝑥∈(1,+∞)时，()fx单调递增，()gx单调递减，则()()1e2fxf=−，()()10gxg=所以1e11

lnxxxx−−−−，即1eln2xxxx+−+，B正确；C选项，令()esinxwxxx=−，π0,2x，则()()πesincos1esin14xxwxxxx=+−=+−，π0,2x，ππ3π,444x+，(π2sin1,24x

+，又e1x在π0,2x上恒成立，故()πesin104xwxx=+−在π0,2x恒成立，故()esinxwxxx=−在π0,2x上单调递增，又()0

0w=，故esin0xxx−，即当π0,2x时，esinxxx，C正确；D选项，令()exxtx=，𝑥∈(0,π)，则()1exxtx=−，当𝑥∈(0,1)时，()10exxtx−=，当()1,πx时，()10exxtx−=，()exxtx=在𝑥∈(0

,1)上单调递增，在()1,πx上单调递减，其中π2ππ122et=，()πππet=，()sinqxx=在π0,2x上单调递增，在π,π2x上单调递减，且π12q=，()π0q=，画出两

函数图象如下：π,π2x时，不满足sinexxx，存在1π,π2x，使得当()1,πxx时，sinexxx，即esinxxx，D错误.故选：ABC【点睛】很多时候，我们需要证明()0fx，但不代表就要证明(

)min0fx，因为大多数情况，𝑓′(𝑥)的零点解不出来，设隐零点是一种方法，也可尝试凹凸反转，如要证明()0fx，可把()fx拆分为两个函数()(),gxhx，放在不等式的两边，即要证明()()gxhx，只要证明()()minmaxgxhx，凹凸反转的关键

是如何分离出两个函数，通常考虑指数函数与对数函数分离，构造两个单峰函数，进行求解.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知平面向量22a=，2b=，4ab=，R，则2ab+的最小值为______．【答案】4【解析】【分析】根据题意结合数

量积的运算律可得()2224216ab=+++rr，即可得最小值.【详解】因为22a=，2b=，4ab=，则()22222244321646242116aaabbb=++=++=+++rrrrrr，当且仅当2=−时

，等号成立，所以22ab+rr的最小值为16，即2ab+的最小值为4.故答案为：4.13.已知函数()()2sinπcos3sin(0)fxxxx=−−的最小正周期为π，则()fx在区间2024π,2024π−上所有零点之和为______．【答案】10120π

3−【解析】【分析】利用三角恒等变换整理可得()π3sin232fxx=+−，结合周期性可得1=，根据函数零点结合对称性分析求解即可.【详解】因为()21cos2()sincos3si

nsincos32xfxxxxxx−=−−=−133π3sin2cos2sin222232xxx=+−=+−，且0，则()fx的最小正周期为2ππ2T==，解得1=，所以()π3

sin232fxx=+−，令ππ22π,32xkk+=+Z，解得ππ,12xkk=+Z，令()π3sin2032fxx=+−=，可得π3sin232x+=，可知()fx在

()π,1π,kkk+Z内有2个零点，且这2个零点关于直线ππ,12xkk=+Z对称，即这2个零点和为π2π,6xkk=+Z，所以所有零点之和为()()π101202202420232023π4048π63−+−+++=−.故答案

为：10120π3−.【点睛】关键点点睛：根据对称性分析可知：()fx在()π,1π,kkk+Z内有2个零点，且这2个零点和为π2π,6xkk=+Z，进而可得结果.14.若定义在()(),00,−+上的函数()fx满足：对任

意的()(),,00,xy−+，都有：()1xffxfyy=+，当,0xy时，还满足：()110xyffxy−−，则不等式()1fxx−的解集为

______．【答案】(),11,−−+【解析】【分析】先用赋值法得到()()110ff=−=，()()fxfx−=，判断出函数()fx为偶函数，然后利用()110xyffxy−−

判断单调性，最后分类讨论计算()1fxx−的解集即可.【详解】因为对任意的()(),,00,xy−+，都有：()1xffxfyy=+令1xy==，可知()()

()12110fff==令1xy==−，可知()()()12110fff=−−=令1y=−，得()()()()()1fxfxffxfx−=+−−=故函数()fx为偶函数，令()()1gxfxx=−+要使()1fxx−则()

0gx显然函数()()1gxfxx=−+为偶函数；因为当,0xy时，()110xyffxy−−得11110ffxyxy−−所以当0x时函数()fx单调递减，此时()()1gxfxx=−+也单调递减()(

)11110gf=−+=因为需要()0gx故1x因为()()1gxfxx=−+为偶函数所以当0x时，()0gx的解为1x−故不等式()1fxx−的解集为(),11,−−+故答案为：(),11,−−+【点睛】做一些抽象函数相关的习题时，我们一定需要去找抽象函

数的一些性质，如单调性、奇偶性、对称性、周期性；然后再利用他们的关系来求解；通常还需要用赋值法得到一些函数值.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数()()2e1xfxxx=−+．（1）求函数()fx的单调区间

；（2）函数()fxa在2,1−上恒成立，求最小的整数a．【答案】（1）单调增区间(),1−−，()0,+，单调减区间为(1,0)−（2）3【解析】【分析】（1）对()fx求导，得到()(1)exfxxx=+，再利用导数与函

数单调性间的关系，即可求解；（2）利用（1）中结果，求出()fx在区间2,1−上最大值，即可求解.【小问1详解】因为()()2e1xfxxx=−+，则()()2e(1)exxfxxxxx=+=+，因为e0x恒成立，由()0fx，得到1x−或0x，由()0fx

，得到10x−，所以函数()fx的单调增区间为(),1−−，()0,+，减区间为(1,0)−.【小问2详解】由（1）知()()2e1xfxxx=−+在区间)2,1−−上单调递增，在区间(1,0)−上单调递减，在区间(0,

1上单调递增，为又()31ef−=，()1ef=，显然有(1)(1)ff−，所以()()2e1xfxxx=−+在区间2,1−上最大值为e，又函数()fxa在2,1−上恒成立，所以ea，得到最小的整数3a=.16.已知数列na的前n项和为nS，1

13a=，18,3,nnnanaan+−=为奇数为偶数．（1）证明：数列2112na−−为等比数列；（2）若21161469nSn+=+，求n的值．【答案】（1）证明见解析（2）6【解析】【分析】（1）根据条件，得到当2,Nnn时，212(1)112336nnaa−−−−=−，且有

1121a−=，由等比数列的定义即可证明结果；（2）由（1）及条件可得121312nna−−=+，22234,2,Nnnann−−=+，再利用等比等差数列前n项和公式得到923161116146nnn+++=，即可求解.【小问1详解】因为18,3,nnnanaan+−=为奇数为

偶数，所以当2,Nnn时，212(1)122(23)1232312123123123(8)123(12)nnnnnnaaaaaa−−+−−+−−−=−=−=−=−−=−，即2,Nnn时，212(1)112336nnaa−−−

−=−，又1n=时，11213121a−=−=，所以数列2112na−−为首项为1，公比为3的等比数列.【小问2详解】由（1）知121123nna−−−=，所以121312nna−−=+，又由18,3,nnnanaan+−=为奇数为偶数，可得22234,2,Nnnann−−

=+，所以211232211321242()()nnnnnSaaaaaaaaaaa+++=+++++=+++++++10011313[33312(1)](3334)16122316111313nnnnnnnnn+−−−=++++++++++=+++=++−−，又21161469n

Sn+=+，所以923161116146nnn+++=，整理得到3729n=，解得6n=，所以n的值为6.17.凸函数是数学中一个值得研究的分支，它包括数学中大多数重要的函数，如2x，ex等．记()fx为

()yfx=的导数．现有如下定理：在区间I上()fx为凸函数的充要条件为()()0fxxI．（1）证明：函数()31fxxx=−为()1,+上的凸函数；（2）已知函数()2()2lnlngxaxxxxa=−−R．①若(

)gx为)1,+上的凸函数，求a的最小值；②在①的条件下，当a取最小值时，证明：()()31()223231xxxgxx−++−+，在)1,+上恒成立．【答案】（1）证明见解析（2）①12；②证明见解析【解析

】【分析】（1）对()31fxxx=−二次求导，得到()42632(631)(1)xxfxxx−+=−，根据条件得到()42632(631)0(1)xxfxxx−+=−在区间()1,+上恒成立，即可证明结果；（2）①根据题设得到2212axx−在区间)1,+上

恒成立，再求出221xx−的最大值，即可求解；②令21()()22lnln22Hxgxxxxxxx=+=−−+，()()31()23231xxxFx−=+−+，利用导数与函数的单调性，求出()Hx的最小值和()Fx的最大值，即可证明结果.【小问1详解】因为()31fxxx=−，则()232(

31)()xfxxx−−=−，()42632(631)(1)xxfxxx−+=−，因为4222156316()048xxx−+=−+，又()1,x+，所以63(1)0xx−，故()42632

(631)0(1)xxfxxx−+=−在区间()1,+上恒成立，即函数()31fxxx=−为()1,+上的凸函数.【小问2详解】①因为()2()2lnlngxaxxxxa=−−R，所以1()22ln2gxaxxx=−−−，221()2gxaxx=

−+，由题知221()20gxaxx=−+在区间)1,+上恒成立，即2212axx−在区间)1,+上恒成立，令(10,1tx=，则222att−在区间(0,1上恒成立，令22ytt=

-，对称轴为1t=，所以当1t=时，22ytt=-取到最大值，最大值为1，所以21a，得到12a，所以a的最小值为12.②由（1）知()21()2lnln2gxxxxxa=−−R，令21()()22lnln22Hxgxxxxxxx=+=−−+，则11()2ln22

2lnHxxxxxxx=−−−+=−−，令1()2lnmxxxx=−−，则222222121(1)()10xxxmxxxxx−+−=−+==在区间)1,+恒成立，当且仅当1x=时取等号，所以1()2lnmxxxx=−−在区间)1,+上单调递增，得到()(1)0

mxm=，当且仅当1x=时取等号，即1()2ln0Hxxxx=−−在区间)1,+恒成立，当且仅当1x=时取等号，即21()2lnln22Hxxxxxx=−−+在区间)1,+上单调递增，所以15()(

1)222HxH=+=，令()()31()23231xxxFx−=+−+，令312xt=−，得到2(1)(2)tytt=+−+，则22220(2)tytt−−=+−在区间[2,)+上恒成立，即2(1)(2)tytt=+−+在区间[2,)+上单调递

减，所以252(21)(22)2y+=−+，即当)1,x+，()()315()223231xxxFx−=+−+，当且仅当1x=时取等号，所以()()31()223231xxxgxx−++−+，在)1,+上恒成立．18.如图，在平面直角坐标系中，质点A与B沿

单位圆周运动，点A与B初始位置如图所示，A点坐标为()1,0，π4AOB=，现质点A与B分别以πrad/s4，πrad/s12的速度运动，点A逆时针运动，点B顺时针运动，问：（1）ls后，扇形AOB的面积及sinAOB的值．（2）质点A与质点B的每一次相

遇的位置记为点nP，连接一系列点1P，2P，3P构成一个封闭多边形，求该多边形的面积．【答案】（1）扇形AOB的面积为7π24，26sin4AOB+=（2）2【解析】【分析】（1）先求st时刻，质点A与质点B旋转

的角度，令1t=，可得7π12AOB=，结合扇形面积公式以及两角和差公式运算求解；（2）根据题意可得36,4tkk=−N，结合任意角可知：交点有4个，求对应角，分析可知1324PPPP⊥，即可求面积.小问

1详解】由题意可知：st时刻，质点A与质点B旋转的角度分别为π4t，π12t−，且点ππcos,sin44Att，若1t=，则πππ7π441212AOB=+−−=，【所以扇形AOB的面积217π7π121224S=

=，且ππππππ212326sinsinsincoscossin43434322224AOB+=+=+=+=【小问2详解】若质点A与质点B的每一次相遇，由（1）可知：πππ2π,4124ttkk−−+=

N，解得36,4tkk=−N，此时π3π3π,4216tkk=−N，结合任意角的概念可知：π3π3π,4216tkk=−N的周期为4，即交点有4个，当1k=时，13π3π216=−，()111cos,sinP；当2k=时，23π3π3ππ1616=

−=−，()222cos,sinP；当3k=时，39π3ππ3π216216=−=−，()333cos,sinP；当4k=时，43π3π6π1616=−=−，()444cos,sinP；可得342312πππ,,222−=−=−=，即13,,POP以及24

,,POP均三点共线，且1324PPPP⊥，13242PPPP==，所以该多边形的面积为13241122222PPPP==.19.已知函数()exfxmx=−，()21gxx=+，则（1）讨论()fx的单调性；（2）当0x时，

()()fxgx恒成立，求m的取值范围；（3）当0x时，若()()fxngx−的最小值是0，求52mn+的最大值．【答案】（1）答案见解析（2）(,1]−（3）177e【解析】【分析】（1）根据题意，求得()exfxm=−，分0m和0m，两种情况讨论，进而得到函数()

fx的.单调区间；（2）令()()()21exhxfxgxxxm−−−=+=，求得()21exxhxmx−=−+，由()00h=，转换为()0hx恒成立，令()()xhx=，求得()0x，得到()hx在[0,)+上为增函数，得到()()min010hxhm==−

，即可求解；（3）令函数()()()xmgxfxn=−，转化为2e1xxnxm−+在[0,)+上恒成立，结合相切时取得等号，设切点坐标为0200)(,e1xxxn−+，求得切线方程，列出方程组，求得,mn的表达式，得到所以02200005

2(152(1)1)exmnxxxx+=−++−+，令函数()22(152(1)1)exFxxxxx=−++−+，利用导数求得单调性，得到()1()7FxF，求得117743322e,e4949mn==，得出()721143322ee4949xxmxx=−

−+，且1()07m=，进而得到答案.【小问1详解】解：由函数()exfxmx=−，可得()exfxm=−，若0m时，可得()0fx，所以()fx在R上单调递增；若0m时，令()0fx=，解得lnxm=，当lnxm时，()0fx，函数(

)fx在(,ln)m−上单调递减；当lnxm时，()0fx，函数()fx在(ln,)m+上单调递增.综上可得：当0m时，()fx在R上单调递增；若0m时，()fx在(,ln)m−上单调递减，在(ln,)m+上单调递增.【小问2详解】解：令函数()()()21

exhxfxgxxxm−−−=+=，可得()21exxhxmx−=−+，因为当0x时，()()fxgx恒成立，所以()0hx在[0,)+上恒成立，又因为()00h=，要使得()0hx在[0,)+上恒成立，则()0hx恒成立，令()()21exxxhx

mx=−−=+，可得()()()2222222222eee011111111111xxxxxxxxxxxxxx+−+−+−++−−+++=++==，即()hx在[0,)+上为单调递增函数，所以()()min010hxhm==−，解得1

m≤，即实数m的取值范围为(,1]−.【小问3详解】解：当0x时，若()()fxngx−的最小值是0，即()()()210exmxfxnmxgxnx=−−+=−在[0,)+上恒成立，即2e1xxnxm−+在[0,)+上恒成立，显然相切时取得等号

，由函数21exnyx−=+，设切点坐标为0200)(,e1xxxn−+，可得21exnxxy−=+，可得00201|exxxxynx=−+=，所以切线方程为020002(e)()11xxyxxxnnx−=−−++，即00220000202(e)(1)e111xxxxyxxn

nxxx=+−−++++−，因为切线过原点，则00022200020e10(1)e11xxnxmxxxnxx=−+=−−+++，解得00002200000(1)1e,e(1)e(1)exxxxnxxmxxx=−+=−−=−+

，所以022000052(152(1)1e)xmnxxxx+=−++−+0220000(152(1)1)exxxxx=−++−+，令()22(152(1)1)exFxxxxx=−++−+，其中0x，可得()22e(1)(152)1xFxxxxxx=++−+，令()0Fx=，

解得17x=，当1(0,)7x时，()0Fx，()Fx单调递增；当1(,)7x+时，()0Fx，()Fx单调递减，所以()171()7e7FxF=，此时117743322e,e4949mn==，可得()721143322ee4949xmxxx=−−+，则()721143

322ee4949xxmxx=−−+，其中1()07m=，只需证明：当1(0,)7x时，()0mx，当1(,)7x+时，()0mx，令()()72143322ee14949xxxnxmx=−=+−，可得()322322e491(1)

xnxx+=−，因为exy=和3221(1)yx=−+都为增函数，都可()nx为增函数，所以()()30201049nxn=−，所以()mx为增函数，因为1()07m=，所以当1(0,

)7x时，()0mx，当1(,)7x+时，()0mx，所以17527emn+，当且仅当117743322e,e4949mn==，等号成立，即52mn+的最大值为177e.【点睛】方法策略：利用导数研究不等式的恒成立问题的求解策略：1、分离参数法：根据不等式的基本性质

将参数分离出来，得到一端是参数，一端是变量的表达式的不等式，转化为求解含有变量的表达式对应的函数的最值问题，进而求得参数的范围；2、构造函数法：根据不等式的恒成立，构造新函数，利用导数求得新函数的单调性，求出函数的最值，进而得出相应的含参数的不等式，

从而求解参数的取值范围；3、图象法：画出不等式对应的函数的图象，结合函数图象的走势规律，确定函数的极值点或最值点的位置，进而求得参数的取值范围.