【文档说明】安徽省芜湖市第一中学2024-2025学年高三上学期10月教学质量诊断测试 数学 Word版含解析.docx，共(12)页，862.119 KB，由小赞的店铺上传

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芜湖一中2025届高三年级10月份教学质量诊断测试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2320Axxx=−+，30Bxx=−则AB=（）A.()2,3B.

()1,3C.()1,2D.(),3−2.一个圆锥底面积是侧面积的一半，那么它的侧面展开图的圆心角为（）A.3π4B.5π6C.π3D.π3.函数()323fxxaxx=++，已知()fx在3x=−时取得极值，则4,1x−−上的最大值为（）

A.9−B.1C.9D.44.《九章算术》是我国古代的数学著作，在《方田》章节中给出了“弦”和“矢”的定义，“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，记圆心角2AOB=，若“弦”为23，“

矢”为1时，则1tan2sincos+等于（）A.1B.3C.33D.5335.已知函数()fx是定义在R上偶函数，当0x时，()25,0216111,22xxxfxx=+，若函数(

)yfxm=−仅有4个零点，则实数m的取值范围是（）A.51,4B.50,4C.50,4D.5,4−6.已知函数()fx的定义域为R，()exyfx=+

是偶函数，()3exyfx=−是奇函数，则()fx的最小值为（）A.eB.22C.23D.2e7.已知定义在R上的函数()fx满足()()12fxfx+=，当(0,1x时，()1sinπ4fxx=−.若对任意(,xm−，都有()32fx

−，则实数m的最大值为（）A.94B.73C.52D.838.设0k，若存在正实数x，使得不等式127log30kxxk−−成立，则k的最大值为（）A.1eln3B.ln3eC.eln3D.ln32二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每

小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设0ab.且2ab+=，则（）A.12bB.21ab−C.1abD.123222ab++10.已知函数()fx是定义在R上的

奇函数，当0x时，()()e1xfxx=+，则下列命题正确的是（）A.当0x时，()()e1xfxx−=−B.()0fx的解集为()(),10,1−−C.12,xxR，都有()()122fxfx−D.函数()fx有2个零

点11.已知函数()()()1ln0fxxxaxaa=−−−在区间()0,+上有两个不同的零点1x，2x，且12xx，则下列选项正确的是（）A.a的取值范围是()0,1B.121xx=C.()()12114xx

++D.1214ln2lnln23xaxxa+++三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点()1,3P，则()()2cosπcossinπ−=−+___

___.13.已知命题p：函数()2mmfxx−+=在区间()0,+上单调递增，命题q：ma，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是______.14.已知曲线()2fxx=与()lngxax=+有公共切线，则实数a的最大值为______.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）集合()2log2Axyx==−，228xBx=（1）求()ABRð（2）非空集合12Cxaxa=+，BCB=求实数a的范围.16.（15分）已知函数()()2l

og21xfx=+.（1）若函数()()()2log21xgxfx=−−，判断()gx的奇偶性，并求()gx的值域；（2）若关于x的方程()mfxx=−，0,1x有实根，求实数m的取值范围.17.（15分）已知()2lnbfxxaxx=++在1x=处的

切线方程为3yx=−.（1）求函数()fx的解析式；（2）()fx是()fx的导函数，证明：对任意)1,x+，都有()()121fxfxxx−−++.18.（17分）已知函数()3lnfxxax=−.（1）讨论()

fx的单调性.（2）已知1x，2x是函数()fx的两个零点()12xx.（i）求实数a的取值范围；（ii）10,2，()fx是()fx的导函数.证明：()1210fxx+−.19.（17分）若函数()fx的定义域为I，有0xI，使()00f

x=且()00fx=，则对任意实数k，b，曲线()yfxkxb=++与直线ykxb=+总相切，称函数()yfx=为恒切函数.（1）判断函数()sinfxxx=是否为恒切函数，并说明理由；（2）若函数()e2xagxxpa=−−为恒切函数(),apR.（i）求实数p的

取值范围；（ii）当p取最大值时，若函数()()1e2xhxgxm+=+为恒切函数，记3e,032A=−，证明：mA.（参考数据：3e20）芜湖一中2025届高三年级10月份教学质量诊断测试数学试题参考答案选择题单选

题12345678答案CDCDABBA多选题91011答案ACDBCBCD填空题12.12−13.)1,+14.ln2e简析：1.C.则()121,2ABxx==2.D.设底面半径为r，母线为l，则侧面积为πrl，由21ππ2rrl=，解得2lr=，圆锥底面圆的周长

为2πr，所以该扇形的圆心角2π2ππ2rrlr===.3.C.()30f−=，解得5a=，()3253fxxxx=++，()()()23103313fxxxxx=++=++，令()0fx=，解得3x=−或13x=−（舍），()39f−=

.4.D.设半径长0OBr=，可得1cosrr−=，3sinr=，222213cossin1rrr−+=+=，解得2r=；即可得1cos2=，3sin2=，sintan3cos==；所以153tan2sincos3

+=.5.A.作出函数()fx图象，因为函数()yfxm=−仅有4个零点，所以函数()yfx=与ym=有4个交点，根据图象可知：514m6.B.因为()exyfx=+为偶函数，()()eexxfxfx−−+=+，即()()ee

xxfxfx−−−=−，（1）又函数()3exyfx=−为奇函数，则()()3e3exxfxfx−−−=−+，即()()3e3exxfxfx−+−=+，（2）联立（1）（2）可得()e2exxfx−=+，由基本不等式可得()e2e2e2e22x

xxxfx−−=+=，当且仅当1ln22x=时，等号成立.7.B.当(0,1x时，()1sinπ4fxx=−，且定义在R上的函数()fx满足()()12fxfx+=，所以函数()fx的大致图象为：因为11π1sin2424f=−=−

，()()12fxfx+=所以311322222ff==−−，53321222ff==−−所以由()()()1322144sinπ42fxfxfxx+=+==−=−，可得13x=，当32x时，由()32fx=−

的171133x=++=，所以实数m的最大值为738.A.因为313log3kxxk−，所以3log3kxxk，因为0x，所以3log3kxxxkx，即3log33log3xkxxkx，设函数()3xfxx=，0x，()()31ln30xfx

x=+，所以函数()3xfxx=在()0,+为增函数，所以3log0xkx所以3logxkx，设函数()3logxgxx=，()21lnln3xgxx−=，所以函数()3logxgxx=在()0,e为增函数，在()

e,+为减函数，所以()()3maxloge1eeeln3gxg===，所以k的最大值为1eln3，9.ACD.因为0ab，2ab+=，所以012ab，故A正确；因为ab，设12a=，32b=，则1221ab−−=，故

B错误；因为0ab，所以212abab+=，故C正确；因为()1223322baababab++=+++，当且仅当2baab=等号成立，故D正确.10.BC.()fx是定义在R上的奇函数，0x时，()()e1xfxx−=−，故A错误；当0x时，由()(

)e10xfxx=+，得1x−，当0x时，由()()e10xfxx−=−，得01x；所以()0fx的解集为()(),10,1−−，故B正确；()fx的值域为()1,1−，所以12,xxR，都有()(

)122fxfx−，故C正确；因为()10f−=，()10f=，又()00f=，所以()fx有3个零点，故D错误；11.BCD.()()11ln0ln1xfxxxaxaaxx−=−−−==+，令()1ln1x

gxxx−=+，由题可知，令()()222ln101xxxgxxx+−==+，得1x=，显然，当()0,1x时，()0gx，所以()1ln1xgxxx−=+单调递减；当()1,x+时，()0gx，所以()1ln1xgxxx−=+单调递增；()10g=，得()1ln1xg

xxx−=+示意图如上图：所以0a都符合题意，故A错误；由图可知121xx，()11111lnln111xxgxgxxxxx−−===++，因为()()12gxgxa==，所以1x，2x互为倒数，即121xx=，故B正确；()()()12121212121112

14xxxxxxxxxx++=+++++=，当且仅当121xx==时等号成立，因为121xx，所以()()12114xx++，故C正确；因为121xx=，要证D，即证2224ln2lnln23xaxxa−+−++即证22ln3axa+，因为()()12gxgx

a==，所以2221ln1xaxx−=+，即证2222222112lnlnln113xxxxxxx−−+++，先证明22221lnln1xxxx−+：因为21x，所以2ln0x，22222222110111lnln11xxxxxxxx−−−+++，再证明222212ln

ln13xxxx−++；要证222212lnln13xxxx−++，即证223ln1xx+，不妨设()()13ln1hxxxx=+−，得()31hxx=−，当()1,3x时，()0hx，此时()hx单

调递减；当()3,x+时，()0hx，此时()hx单调递增；故()()343ln30hxh=−，故13ln0xx+−，即13lnxx+，所以证得223ln1xx+故选项D正确.12.12−.()()2cosπ2cos221cossinπcossi

n1tan132−−==−=−=−−++++.13.)1,+.20mm−+，解得：01m，又()0,1是(),a−的真子集，a的范围是)1,+14.ln2e.设曲线()2fxx=与()lngxax=+的切点分别为()211,xx，()22,lnxax+因为()2f

xx=，()1gxx=，则两切线斜率112kx=，221kx=，所以()21112yxxxx−=−，()()2221lnyaxxxx−+=−，所以1221212ln10xxxax=++−=，所以2221ln104axx++−=，即

22211ln4axx−=+，令()21ln4hxxx=+，则()23212xhxx−=，当202x时，()0hx，()hx单调递减；当22x时，()0hx，()hx单调递增，所以()212ln222hxh=+

，即121ln22a−+，即12lnln2e22a−=解答题15.（13分）解：（1）()2log22Axyxxx==−=，22813xBxxx==所以R31Bxxx=

或ð.所以()R3ABxx=ð（2）因为BCB=，所以CB，21aa+，即1a，需满足11a+且23a，解得实数a的范围是312a.16.（15分）解：（1）由210x−得()fx定义

域为：()0,+因此定义域不关于原点对称，所以函数()gx为非奇非偶函数.由题意知：()22212loglog12121xxxgx−==−++当()0,x+时，()210,121x−+

所以()22log1,021x−−+，所以函数()gx的值域为(),0−.（2）方程有实根，即()mfxx=−有实根，构造函数()()()2log21xhxfxxx=−=+−则()()()22

2221log21log2loglog212xxxxxhx−+=+−==+因为函数21xy−=+在R上单调递减，而2logyx=在()0,+上单调递增所以复合函数()()2log21xhx−=+是R上的单调递减函数所以()hx在0,1上最小值为()()122

231log21loglog312h−=+==−，最大值为()()020log211h−=+=即()2log31,1hx−，所以当2log31,1m−时，方程有实根.17.（15分）解：（1）由题意可得，()13fab=+=−，且()22bfxaxx=

+−，则()123fab=+−=−，即323abab+=−+−=−，即41ab=−=，所以()12ln4fxxxx=−+.（2）由（1）可知，()12ln4fxxxx=−+，()2214fxxx=−−所以()()21

12ln44fxfxxxxx−=+−−+，令()22111212ln44212ln23gxxxxxxxxxxx=−−++−−++=−−++，则()()()22332112222xxgxxxxx−−+=−+−=，所以1x时，()()()232110xxgxx−

−+=，即()gx在)1,x+上单调递减，所以()()1gxg，即()21112ln44210gxxxxxxx=−−++−−++，所以()()1210fxfxxx−−−++，即()()121fxfxxx−−++.18.（17分）

解：（1）()()30axfxxx−=.当0a时，()0fx，()fx在()0,+上单调递增.当0a时，令()0fx得30xa，即()fx在30,a上单调递增；同理，令()0fx

得3xa，即()fx在3a+，上单调递减.（2）（i）由（1）可知当0a时，()fx在()0,+上单调递增，不可能有两个零点.当0a时，()fx在30,a上单调递增，在3a+，上单调递减，若使()fx有两个零点，则30

fa，即33ln30a−，解得30ea，且()10fa=−，当x→+时，()fx→−，则有131,xa，23xa+，，所以a的取值范围为30,e

.（ii）1x，2x是函数()fx的两个零点，则有113lnxax=（1），223lnxax=（2）（1）−（2）得()()21213lnlnxxaxx−=−，即21213lnxxaxx=−，()()()()2112121

2213ln33111xxfxxaxxxxxx+−=−=−+−+−−，因为()fx有两个零点，所以()fx不单调，因为12xx，得1230xxa，所以210xx−，()1210xx+−.若要

证明()()1210fxx+−成立，只需证()()21212133ln01xxxxxx−−+−，即证()2122111ln01xxxxxx−−+−，令21xtx=，则1t，则不等式只需证()1ln01ttt−−+−，即证()11ln0ttt−−

+−，令()()11lnhtttt=−−+−，1t()()11ln1httt=−+−令()()()11ln1lthttt==−−+，()()21tltt−+=令()()1tt=

−+，因为10,2，得()t在()1,+上单调递减，得()()1210t=−，得()0lt，即()ht在()1,+上单调递减得()()10hth=，得()0ht

，即()ht在()1,+上单调递减，所以有()()10hth=，故有()11ln0ttt−−+−，不等式得证.19.（17分）解：（1）设函数()sinfxxx=为恒切函数，则有0xI，

使()00fx=且()00fx=，即00000sincos0sin0xxxxx+==，解得00x=，故函数()sinfxxx=是恒切函数.（2）（i）由函数()e2xagxxpa=−−为恒切函数可知，存在0

x，使得()00gx=且()00gx=，即000e02e102xxaxpaa−−=−=解得02exa=，()00e12xxp−=设()()e12xxQx−=，()e2xxQx=−当(),0x−时，()Qx递增；当()0,x+时，()Qx递减.

()()102QxQ=，即实数p的取值范围是1,2−.（ii）当12p=时，2a=，函数()()1e1e2xxhxxm+=−−+为恒切函数.又()()12e2exxhxx+=−−，所以存在0x，使得()00hx=，即002e20xx−−=.令()2e2xTxx=−−，则(

)2e1xTx=−，当(),ln2x−−时，()Tx递减；当()ln2,x−+时，()Tx递增.所以当(),ln2x−−时，()222e0T−−=，32333112e220222eT−−=+−=−

，故在32,2−−上存在唯一0x，使得002e20xx−−=，即002e2xx+=.又由()()00100e1e20xxhxxm+=−−+=，得()()001000e2e1e24xxmxxx+−=−−=−+，由032,

2x−−得()0032,04xx+−，所以3e032m−.又()00T=，所以当()ln2,x−+时，有唯一零点10x=，故由()10hx=得20m=，即0m=.mA.