【文档说明】上海市曹杨第二中学2021-2022学年高二下学期期末考试数学试题 含解析.docx，共(18)页，1.016 MB，由小赞的店铺上传

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上海市曹杨第二中学2021-2022学年高二下期末数学试卷一､填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1.抛物线24yx=的准线方程是_______【答案】=1x−【解析】【分析】根据抛物线的标准方

程形式求出p，再根据开口方向，写出其准线方程.【详解】对于抛物线24yx=，24p=，2p=，又抛物线开口向右，准线方程为=1x−.故答案为：=1x−.2.方程3055CCx−=的解集是______.【答案】2,3−【解析】【分析】由组合数性质求解即可【详解】因

为3055CCx−=，所以30x−=或35x−=，解得3x=或2x=−，所以方程3055CCx−=的解集是2,3−，故答案为：2,3−3.61xx−的展开式中常数项是______.【答案】15【解析】【分析】由二项

式定理求出通项公式，得到4r=，从而求出常数项.【详解】61xx−的展开式的通项公式为：()136622166C1CrrrrrrrTxxx−−−+=−=−，令3602r−=，解得：4r=，的故()44561C15T=−=.故答案为：154

.已知随机变量1~5,2XB，则()2PX==______.【答案】516【解析】【分析】根据二项分布的概率公式求()2PX=即可.【详解】由题意知：()232511522216PXC

===，故答案为：516.5.在3双鞋子中任意抽取两只，恰为一双鞋子的概率是______.【答案】15##0.2【解析】【分析】分别求解总的情况数与满足一双鞋子的情况数，进而可得概率.【详解】在3双鞋子中任意抽取两只，共2615C=种情

况，其中满足一双鞋子的情况有3种，故在3双鞋子中任意抽取两只，恰为一双鞋子的概率是31155=.故答案为：156.已知向量(1,7)a=−，||3b=，36ab=，则a与b夹角为______.【答案】6##30【解析】【分析】首先

求出ar，设向量a与b的夹角为，再根据cos||||abab=计算可得；【详解】解：因为(1,7)a=−，所以()221722a=+−=，设向量a与b的夹角为，因为363cos2||||223abab===

，因为0,，所以6=.故答案为：6的7.已知()fx是奇函数，且当0x时，()()Rfxxaa=+，则()2f−=______.【答案】2−【解析】【分析】由奇函数的定义和性质求解即可【详解】因为()fx是奇函数，且()00fa==，所以当0x时，()fxx=，所

以()()222ff−=−=−，故答案为：2−8.某天有10名工人生产同一零部件，生产的件数分别是：15、17、14、10、15、17、17、16、14、12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则a、b、c从小

到大的关系依次是________【答案】abc.【解析】【详解】分析：将数据由小到大排列好，根据众数，中位数，平均数的概念得到相应的数据即可.详解：根据提干得到中位数为b=15，众数为c=17，平均数为10+12+28+30+16+51=14.710=a.故abc.故答案为abc

.点睛：这个题目考查了中位数，众数，平均数的概念和计算，较为基础,众数即出现次数最多的数据，中位数即最中间的数据，平均数即将所有数据加到一起，除以数据个数.9.函数()cos2fxx=的图像在点π3,122处的切

线的倾斜角为______.【答案】3π4##135【解析】【分析】先求导，再由导数的几何意义可得tan=112f=−，再结合倾斜角的范围求解即可.【详解】因为()cos2fxx=，所以()2sin2fxx=−，则ππ2s

in211212f=−=−，设直线的倾斜角为，则)0,π，又tan1=−，所以3π4=，故答案为：3π4.10.方程330xxa−+=在)2,x−+上有三个不同的实根，则实数a的

取值范围是______.【答案】()2,2−【解析】【分析】方程330xxa−+=在)2,x−+上有三个不同的实根，则ya=与()33gxxx=−+有3个不同的交点，利用导数研究函数()33gxxx=−+的单调性，作出图象，即可求解【详解】由330xxa

−+=得33axx=−+，令()33gxxx=−+，则()233gxx=−+，令()0gx，解得11x−，令()0gx，解得1x−或1x，所以()gx在(),1−−上递减，在()1,1−上递增，在()1

,+上递减，所以在=1x−处取得极小值，且为()12g−=−；在1x=处取得极大值，且为()12g=；画出()gx的大致图像如下：方程330xxa−+=在)2,x−+上有三个不同的实根，则ya=与()33gxxx=−+有3个不同的交点，由图象可知实

数a的取值范围是()2,2−故答案为：()2,2−11.口袋中放有大小相等的2个白球和1个黑球，有放回地每次摸取1个球，定义数列{}na：若第n次摸到白球，1na=−；若第n次摸到黑球，1na=.设nS为数列{}na的前n项和，则73S=的概率为______.【答案】28729【解析】【分析】题

意73S=说明共摸球七次，只有两次摸到白球，利用独立事件的概率公式求解即可【详解】由题意73S=说明共摸球七次，只有两次摸到白球，因为每次摸球的结果之间没有影响，摸到白球的概率是23，摸到黑球的概率为13，所以只有两次摸到白球的概率为52271228C33729=

，故答案为：2872912.已知1F､2F是椭圆2221(3)3xyaa+=的左､右焦点，点P是椭圆上任意一点，以1PF为直径作圆N，直线ON与圆N交于点Q（点Q不在椭圆内部），则12QFQF=______.【答案】3【解析】【分析】利用向量的数量积运算可得

()()22121QFQFQOOF=−，利用||QOQNNO=+，进一步利用椭圆的定义可转化为22ac−，进而得解.【详解】解：连接122,,QFQFPF,设椭圆的半焦距为c，半虚轴为b，()()()()2112221QFQFQOQOFOFQOOOF=++=−,()2

21222222322PFPFQNNOccacb=+−=+−=−==.故答案为：3.二､选择题（本大题共有4小题，满分20分，每题5分）13.用数学归纳法证明：“111111111(23421

2122nnnnnn−+−++−=+++−++为正整数”，在nk=到1nk=+时的证明中，（）A.左边增加的项为121k+B.左边增加的项为122k−+C.左边增加的项为112122kk+++D.左边增加的项为112122kk−++【答案

】D【解析】【分析】根据式子的结构特征，求出当n＝k时，等式的左边，再求出n＝k+1时，等式的左边，比较可得所求．【详解】当n＝k时，等式的左边为111111234212kk−+−++−−，当n＝k+1时，等式的左边为111111112342122122kkkk−

+−++−+−−++，故从“n＝k到n＝k+1”，左边所要添加的项是112122kk−++．故选：D．14.已知正态分布()21,N的正态密度曲线如图所示，()21,xN−，则下列选项中，不能表示图中阴影部分面积的是（）A.()102PX−B.()122PX−C

.()1122PX−D.()()112022PXPX−【答案】C【解析】【分析】由正态密度曲线的对称性逐一分析四个选项即可得答案.【详解】解：由正态分布()21,N的正态密度曲线关于直线1x=对称，对A：由对称性

可得图中阴影部分可表示为()()()()1011002PXPXPXPX=−=−，故选项A不符合题意；对B：由对称性可得()()02PXPX=，所以图中阴影部分可表示为()()()10102212PXPXPX−=−=，故选项B不符合题意；对C：由对称性可得()()()11

2022PXPXPX−==，故选项C符合题意；对D：由对称性可得()()0112PXPX=，所以图中阴影部分可表示为()()()201201PXPXPX=−，故选项D不符合题意.故选：C.15.某地区气象台统计，该地区下雨的概率是415，刮风的概率

为215，在下雨天里，刮风的概率为38，则既刮风又下雨的概率为（）A.34B.35C.110D.120【答案】C【解析】【分析】利用条件概率的计算公式求解即可【详解】记A=“下雨”，B=“刮风”，AB=“刮风又下雨”，则()()()423,,15158PAPBPBA===

，所以()()()43115810PABPAPBA===.故选：C16.已知函数()ln1fxxax=+−有两个零点()1212,xxxx，对于下列结论：①01a；②122xxa+；则（）A①②均对B.①②均错C.①对②错D

.①错②对【答案】C【解析】【分析】函数()ln1fxxax=−+有两个零点()1212,xxxx，则ln10xax−+=有两个根，即ln1xax+=，设()()ln10xgxxx+=，利用导数法研究即可【详解】因为函数()ln1fxxax=−+有两个零点()1212,x

xxx，所以ln10xax−+=有两个根，即ln1xax+=，设()()ln10xgxxx+=，()2lnxgxx=−，当()0gx时，解得01x，函数()gx单调递增；当()0gx时，解得1x，函数()gx单调递减，()max()11gxg==，.当x趋向于正

无穷时，()gx趋向于0，当x趋向于0时，()gx趋向于负无穷，所以当01a时，ya=与ln1xyx+=有两个交点，故①正确；由此可知1211exx，因为11122212ln10lnln2ln10xaxxxa

xaxxx−+=++=−+=+，若122xxa+，即122axx+.即证()1212121212lnln22ln01xxxxxxxxxx++++，当2x趋向于正无穷时，不成立，故②不正确.故选：C三､解答题（本大题共5题，满分76分）17.已知曲线31:Cyx=和22

:2,(R)Cyaxxa=+−.（1）若曲线1C､2C在1x=处的切线互相垂直，求a的值；（2）若与曲线1C､2C在0xx=处都相切的直线的斜率大于3，求a的取值范围.【答案】（1）23a=−（2）1a或1a−【解析】【

分析】（1）根据切线垂直可得在1x=处导数值的乘积为1−求解；（2）利用导数计算切线斜率，再由斜率大于3求解即可.【小问1详解】由3yx=可得23yx=，由22,(R)yaxxa=+−可得21yax=+，因为曲线1C､2C在1x

=处的切线互相垂直，所以212(31)(21)1kka=+=−，解得23a=−.【小问2详解】由题意，切线的斜率2003213kxax==+，可得200312xax−=，且01x或01x−，所以00123axx=−

，令1()3hxxx=−，则函数在(1,)+和(,1)−−上是增函数，所以()(1)2hxh=或()(1)2hxh−=−，即22a或22a−，解得1a或1a−.18.在数列na中，11,2nnaan++=正整数.（1）若数列na为常数列，

求na的通项；（2）若10a=，用数学归纳法证明：πcos2nna=.【答案】（1）1na=；（2）见解析.【解析】【分析】（1）根据数列为常数列及所给递推关系，平方后即可得解；（2）根据数学归纳法的证明步骤，结合余弦的降幂公式即可得证.【

小问1详解】1102nnaa++=，2+1210nnaa−−=，又数列na为常数列，2210nnaa−−=，解得1na=或12na=−（舍去）na的通项公式为1na=.【小问2详解】当1n=时，1

πcos02a==，成立；为假设(2)nkn=时成立，即πcos2kka=，当1nk=+时，21111ππcoscos222πcos122kkkkkaa+++++====（1π2k+为锐角），即1nk=+时，成立，综上，对任意Nn，都有πcos2nna=.19.某市为调研本市学生体质情

况，采用按性别分层抽样的方法进行调查，得到体质测试样本的统计数据（单位：人）如表：优秀良好及格不及格男生100200780120女生120200520120（1）根据所给数据，完成下面22列联表，并据此判断：

能否有95%的把握认为该市学生体质测试是否达标与性别有关.（注：体质测试成绩为优秀､良好或及格则体质达标，否则不达标）达标不达标合计男生女生合计其中()222(),3.8410.05()()()()n

adbcPabcdacbd−=++++；（2）体质测试成绩为优秀或良好则称体质测试成绩为优良，以样本数据中男､女生体质测试成绩优良的频率视为该市男､女生体质测试成绩优良的概率，在该市学生中随机选取1名男生，1名女生，设所选2人中

体质测试成绩优良人数为X，求X的分布列，数学期望与方差.【答案】（1）列联表见解析，没有95%的把握认为该市学生体质达标与性别有关（2）分布列见解析，()712EX=，()59144DX=【解析】【分析】（1）直接列出22列联表，计算2，由独立性检

验的思想求解即可；（2）写出X的可能取值，并求出相应的概率，即可求解【小问1详解】由题得22列联表如下：达标不达标合计男生10801201200女生840120960合计19202402160()2221601080120840120273.3753.841

192024096012008−===所以没有95%的把握认为该市学生体质达标与性别有关.【小问2详解】由题意男生体质测试优良率114P=，女生体质测试优良率213P=.X的所有可能取值为0,1,2.()()()32

1123151110,1,24324343124312PXPXPX=====+====所以X的分布列为X012P12512112()15170122121212EX=++=，()22271757159012

12212121212144DX=−+−+−=20.已知双曲线()222:10yxbb−=，直线():0lykxmkm=+，l与交于P、Q两点，P为P关于y轴的对称点，直线PQ与y轴交于点()0,Nn；（1）若点()2,

0是的一个焦点，求的渐近线方程；（2）若1b=，点P的坐标为()1,0−，且32NPPQ=，求k的值；（3）若=2m，求n关于b的表达式．【答案】（1）3yx=（2）12（3）22bn=−【解析】【分析】

（1）由双曲线()222:10yxbb−=，点()2,0是的一个焦点，求出=2c，=1a，由此能求出的标准方程，从而能求出的渐近线方程.（2）双曲线为：221xy−=，由定比分点坐标公式，结合已知条件能求出k的值.

（3）设()11,Pxy，()22,Qxy，0PQkk=，则()11,Pxy−，0:PQlykxn=+，由222=+2=1ykxyxb−，得()2222440﹣＝bkxkxb−−−，由0222=+=1ykxnyxb−，得()222220020﹣＝bkxnkxnb−−−，由

此利用韦达定理，结合已知条件能求出n关于b的表达式.【小问1详解】∵双曲线()222:10yxbb−=，点()2,0是的一个焦点，2c=，=1a，222413bca=−=−=，的标准方程为：2213yx−=，的渐近

线方程为3yx=.小问2详解】1b=，双曲线为：221xy−=，()1,0P−，()1,0P，【32NPPQ=，设()22,Qxy，则由定比分点坐标公式，得：2230+21=31+23+20=31+2xny，解得253x=，又∵22221xy−

=，243y=，则()212140135213yykxx−−===−−−，所以k的值为12.【小问3详解】设()11,Pxy，()22,Qxy，0PQkk=，则()11,Pxy−，0:PQlykxn=+，由222=+2=1ykxyxb−，得()2222440﹣

＝bkxkxb−−−，12224kxxbk+=−，212224bxxbk−−=−，由0222=+=1ykxnyxb−，得()222220020﹣＝bkxnkxnb−−−0122202knxxbk−+=−，2212220nbxxbk−−−=−，22

212222204nbbxxbkbk+−−==−−，即222202224bknbbkb−+=−−−，又2122222202121222210021002221042224yykbkxxxxkkknbbkyyknkxxknbkknbx

xbk−−−++−=====−−−−−+−，化简得()2222420nnbb+++=，解得222或bnn=−=−，当2n=−时，由222202224bknbbkb−+=−−−，得22202bkk=+，由0=2=+2ykxykx−，得0004=2+2=xkkkky

kk−−，即000224,kkQkkkk+−−，代入2221yxb−=化简得：()4200440bkkbkk−++=，解得2204或bbkk==，当24b=时，满足22bn=−，当20bkk=时，

由22202bkk=+，得0kk=（舍去），综上，得22bn=−.21.已知函数21()ln(,R)2fxaxxxbab=−+.（1）已知1x=时函数()yfx=的极值为3，求a和b的值；（2）已知()yf

x=在(e,)+上是严格增函数，求a的取值范围；（3）设()(),(0,e]gxfxx=，是否存在a，使得函数()gx的最小值为2？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）51,2ab==（2）2,e+（3）存在，2ea=【解析】【分析】（1）1x

=时函数()yfx=的极值为3，有(1)3(1)0ff==，可解a和b的值；（2）()yfx=在(e,)+上是严格增函数，则()0fx¢>在(e,)+上恒成立，分离常数求a的取值范围；（3）分类讨论()gx的单调性，计算最小值，看是否存在a使得函数()gx的最小值为2.【小问

1详解】21()ln2fxaxxxb=−+，()ln1fxaxx=−−，依题意有：1(1)32(1)10fabfa=+==−=，解得51,2ab==；【小问2详解】21()ln2fxaxxxb=−+，()yfx=在(e,)+上是严格增函数，∴()ln10fxax

x=−−在(e,)+上恒成立，即ln1xax+在(e,)+上恒成立，因为2ln1ln0xxxx+−=，所以ln1xyx+=是()e,+上的严格减函数，当ex=时，ln12exx+=，故2ea，

a的取值范围为2,e+.【小问3详解】()()ln1,(0,e]gxfxaxxx==−−，()1gxax=−，①当0a时，()0gx，()gx是(0,e上的严格减函数，最小值为()ee20ga=−，不合题意；②当10ea时，()

110egxaax=−−，()gx是(0,e上的严格减函数，最小值为()ee20ga=−，不合题意；③当1ea时，在10,a上，()0gx，()gx严格减，在1,ea上()0gx，()gx严格增，12ga=，即ln2a=

，所以当2ea=时，存在min()2gx=.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com