【文档说明】2023高考数学科学复习创新方案（新高考题型版） 第9章 第6讲　椭圆（二） 含解析【高考】.doc，共(27)页，291.500 KB，由小赞的店铺上传

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以下为本文档部分文字说明：

1第6讲椭圆(二)1．点与椭圆的位置关系已知点P(x0，y0)，椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，则(1)点P(x0，y0)在椭圆内⇔01x20a2＋y20b2<1；(2)点P(x0，y0)在椭圆上⇔0

2x20a2＋y20b2＝1；(3)点P(x0，y0)在椭圆外⇔03x20a2＋y20b2>1.2．直线与椭圆位置关系的判断已知直线y＝kx＋m，椭圆x2a2＋y2b2＝1，联立y＝kx＋m，x2a2＋y2b2＝1，得(b2＋a2k2)x2＋2a2kmx＋a2

m2－a2b2＝0，若该一元二次方程的判别式为Δ，则Δ>0⇔有04两个交点⇔相交；Δ＝0⇔有05一个交点⇔相切；Δ<0⇔06无交点⇔相离．1．焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长lmin＝2

b2a.2．AB为椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，直线AB不过原点，斜率存在且不为0，设其为k，则2(1)弦长|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋1k2|y1－y2|；(2)直线AB的斜率kAB＝－b2x0a2y0；(3)

直线AB的方程：y－y0＝－b2x0a2y0(x－x0)；(4)直线AB的垂直平分线方程：y－y0＝a2y0b2x0·(x－x0)．1．直线y＝2x－1与椭圆x29＋y24＝1的位置关系是()A．相交B．相切C．相离D．

不确定答案A解析解法一：直线方程y＝2x－1过点(1,1)，而(1,1)在椭圆内部．故选A．解法二：由y＝2x－1，x29＋y24＝1，得10y2＋2y－35＝0，Δ＝22－4×10×(－35)＝1404>0，∴

直线y＝2x－1与椭圆x29＋y24＝1相交．故选A．2．直线y＝kx＋1，当k变化时，此直线被椭圆x24＋y2＝1截得的弦长的最大值是()A．2B．433C．4D．不能确定答案B解析直线恒过定点(0,1)，且点(0,1)在椭圆上，可设另外一个交点为(x，y)，则弦长为x2＋(y－1)2

＝4－4y2＋y2－2y＋1＝－3y2－2y＋5，当y＝－13时，弦长最大为433.3．已知椭圆x2＋2y2＝4，则以(1,1)为中点的弦的长度为()3A．32B．23C．303D．362答案C解析设以(1,1

)为中点的弦的两端点为(x1，y1)，(x2，y2)，则x21＋2y21＝4，x22＋2y22＝4，∴(x1＋x2)(x1－x2)＋2(y1＋y2)(y1－y2)＝0.又x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，∴y1－y2x

1－x2＝－12，∴弦所在直线方程为x＋2y－3＝0.由x＋2y－3＝0，x2＋2y2＝4，可得弦长为303.4．(2022·河南郑州诊断考试)已知椭圆x22＋y2＝1与直线y＝x＋m交于A，B两点，且|AB|＝423，则实数

m的值为()A．±1B．±12C．2D．±2答案A解析由x22＋y2＝1，y＝x＋m，消去y并整理，得3x2＋4mx＋2m2－2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－4m3，x1x2＝2

m2－23.由|AB|＝423可知433－m2＝423，解得m＝±1，故选A．5．已知F是椭圆x225＋y29＝1的一个焦点，AB为过椭圆中心的一条弦，则△ABF面积的最大值为()A．6B．15C．20D．12答案D4解析S＝12|OF||yA－yB|≤12

|OF|·2b＝12.6．已知以F1(－2,0)，F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x＋3y＋4＝0有且仅有一个公共点，则椭圆的长轴长为________.答案27解析由题意可设椭圆方程为x2a2＋y2a2－4＝1(a>2)，与直线方程x＋3y＋4＝0联立，得4(a2－3)y2＋83(a2

－4)y＋(16－a2)(a2－4)＝0，由Δ＝0，得a＝7，所以椭圆的长轴长为27.考向一直线与椭圆的位置关系例1已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：x24＋y22＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆

C：(1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点；(3)没有公共点．解将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组y＝2x＋m，①x24＋y22＝1，②将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③方程③根的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2

＋144.(1)当Δ>0，即－32<m<32时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点．(2)当Δ＝0，即m＝±32时，方程③有两个相等的实数根，可知原方程组仅5有一组实数解．这时直线l与椭圆C有且只有一个公共点

．(3)当Δ<0，即m<－32或m>32时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l与椭圆C没有公共点．研究直线与椭圆位置关系的方法(1)研究直线与椭圆的位置关系，一般转化为研究直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数．(2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上

判定直线和椭圆有交点．1.若直线y＝kx＋1与椭圆x25＋y2m＝1总有公共点，则m的取值范围是()A．m>1B．m>0C．0<m<5且m≠1D．m≥1且m≠5答案D解析解法一：由于直线y＝kx＋1恒过点(0,1)，所以点(0,1)必在椭圆内或椭

圆上，则0<1m≤1且m≠5，故m≥1且m≠5.解法二：由y＝kx＋1，mx2＋5y2－5m＝0，消去y整理得(5k2＋m)x2＋10kx＋5(1－m)＝0.由题意知Δ＝100k2－20(1－m)(

5k2＋m)≥0对一切k∈R恒成立，即5mk2＋m2－m≥0对一切k∈R恒成立．由于m>0且m≠5，所以m≥1且m≠5.考向二弦长问题例2(2021·佛山模拟)已知A，B分别为椭圆C：y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)在x

轴正半轴、y轴正半轴上的顶点，原点O到直线AB的距离为2217，且|AB|＝7.(1)求椭圆C的离心率；(2)直线l：y＝kx＋m与圆x2＋y2＝2相切，并与椭圆C交于M，N两点，若|MN|6＝1227，求k的值．解(1)由题设知，A(b,0)，B(0，a)

，直线AB的方程为xb＋ya＝1，又|AB|＝a2＋b2＝7，aba2＋b2＝2217，a>b>0，计算得出a＝2，b＝3，则椭圆C的离心率为e＝1－b2a2＝12.(2)由(1)知椭圆方程为y24＋x23＝1，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由y

24＋x23＝1，y＝kx＋m，消去y，得(3k2＋4)x2＋6kmx＋3m2－12＝0，直线l与椭圆相交，则Δ>0，即48(3k2－m2＋4)>0，且x1＋x2＝－6km3k2＋4，x1x2＝3m2－123k2＋4.又直线l与圆x2＋y2＝2相切，则|m|k2＋1＝2，即m2＝2(k2＋

1)．而|MN|＝1＋k2·(x1＋x2)2－4x1x2＝1＋k2·48(3k2－m2＋4)3k2＋4＝1＋k2·48(k2＋2)3k2＋4＝43·k4＋3k2＋23k2＋4，又|MN|＝1227，所以43·k4＋3k2＋23k2＋4＝1227，7即5k4－3k2－2＝0，解得k＝±1，且满

足Δ>0，故k的值为±1.设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有|AB|＝(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2]＝1＋1k2[(y1＋y2)2－4y1y2](k为直线斜率，k≠0)．提醒：利用公式计算直线被椭圆

截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式．2.(2022·华中师大一附中摸底)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率e＝12，点P是椭圆上的一个动

点，△PF1F2面积的最大值是43.(1)求椭圆的方程；(2)若A，B，C，D是椭圆上不重合的四点，AC与BD相交于点F1，AC→·BD→＝0，且|AC→|＋|BD→|＝967，求此时直线AC的方程．解(1)由题意知

，当点P是椭圆上(或下)顶点时，△PF1F2的面积取得最大值．此时，S△PF1F2＝12·2c·b＝43，又e＝ca＝12，a2＝b2＋c2，解得a＝4，b＝23，故所求椭圆的方程为x216＋y212＝1.(2)由(1)知F1(－2,0)，由AC→·BD→＝0得AC⊥BD．①当直线AC

与BD中有一条直线的斜率不存在时，|AC→|＋|BD→|＝14，不符合题意．②当直线AC的斜率存在且为k(k不为0)时，其方程为y＝k(x＋2)．由y＝k(x＋2)，x216＋y212＝1，8消去y，得(3＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－48

＝0，Δ>0.设A(x1，y1)，C(x2，y2)，则x1＋x2＝－16k23＋4k2，x1x2＝16k2－483＋4k2.所以|AC→|＝1＋k2|x1－x2|＝24(1＋k2)3＋4k2.直线BD的方程为y＝－1k(x＋2)，同理，可得|

BD→|＝24(1＋k2)4＋3k2.由|AC→|＋|BD→|＝168(1＋k2)2(4＋3k2)(3＋4k2)＝967，解得k2＝1，则k＝±1.故所求直线AC的方程为x－y＋2＝0或x＋y＋2＝0.考向三中点弦、弦中点问题例3已知椭圆x22＋y2

＝1.(1)求斜率为2的平行弦中点的轨迹方程；(2)过N(1,2)的直线l与椭圆相交，求被l截得的弦的中点的轨迹方程；(3)求过点P12，12且被P点平分的弦所在直线的方程．解(1)当斜率为2的弦过原点时，显然(0,0)满足题意

；当斜率为2的弦不过原点时，设弦的两端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，中点为M(x，y)，则有x212＋y21＝1，x222＋y22＝1.两式作差，得(x2－x1)(x2＋x1)2＋(y2－y1)(y2＋y1)＝0.∵x1＋x2＝2x，

y1＋y2＝2y，y2－y1x2－x1＝kAB，代入后求得kAB＝－x2y.9又kAB＝2，∴2＝－x2y，∴x＋4y＝0，显然(0,0)满足该方程．故所求的轨迹方程为x＋4y＝0－43<x<43.(2)不妨设l交椭圆于A，B两点，弦中点为M(x，y)．

当直线l过原点时，M(0,0)满足题意；当直线l的斜率存在且不过原点时，由(1)得kl＝kAB＝－x2y.又kl＝kMN＝y－2x－1，∴－x2y＝y－2x－1.整理，得x2＋2y2－x－4y＝0，显然(0,0)满足该方程．当直线l斜率不存在时，弦中点坐标为(1,0)，满足上

式．又由x22＋y2＝1，x2＋2y2－x－4y＝0，得x＝2－479，y＝4＋79或x＝2＋479，y＝4－79，故所求的轨迹方程为x2＋2y2－x－4y＝02－479<x<2＋479，x＋4y<2.(3)由(1)知，弦所在的直线的斜率k＝－122×1

2＝－12，∴其方程为y－12＝－12x－12，即2x＋4y－3＝0.处理中点弦问题时应注意的两点(1)处理有关中点弦与对应直线斜率关系的问题时，常用“点差法”，步骤如下：10但要注意这个方法的前提是必须保证直线与椭圆有

两个不同的交点．(2)在求中点弦的轨迹时，要注意由于中点一定在曲线内部，因此只能是轨迹方程表示的曲线在圆锥曲线内部的那部分而不是全部．若是轨迹方程，则必须确定出变量的取值范围．注意本例(2)中只规定x，y之一的范围是不够的．3.

已知椭圆5x2＋9y2＝45，则以M(1，1)为中点的椭圆的弦所在的直线l的方程为________.答案5x＋9y－14＝0解析设直线l与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，由已知得x1＋x22＝1，y1＋y22＝1，直线l的斜率k＝y1－y2x1－x

2.由5x21＋9y21＝45，5x22＋9y22＝45，两式相减，得5(x1＋x2)(x1－x2)＋9(y1＋y2)(y1－y2)＝0，整理可得5(x1＋x2)＋9(y1＋y2)y1－y2x1－x2＝0，即5＋9k＝0，即k＝－59.所以

直线l的方程为y－1＝－59(x－1)，即5x＋9y－14＝0.4．焦点是F(0,52)，并截直线y＝2x－1所得弦的中点的横坐标是27的椭圆的标准方程为________.答案y275＋x225＝1解析设所求的椭圆方程为y2

a2＋x2b2＝1(a>b>0)，直线被椭圆所截弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)．由题意，可得弦AB的中点坐标为x1＋x22，y1＋y22，且x1＋x2211＝27，y1＋y22＝－37.

将A，B两点坐标代入椭圆方程中，得y21a2＋x21b2＝1，y22a2＋x22b2＝1.两式相减并化简，得a2b2＝－y1－y2x1－x2×y1＋y2x1＋x2＝－2×－6747＝3，所以a2＝3

b2，又c2＝a2－b2＝50，所以a2＝75，b2＝25，故所求椭圆的标准方程为y275＋x225＝1.考向四切线问题例4已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的右焦点为F，右顶点为A，上顶点为B.已知|AB|＝3|OF|，且△AOB的面

积为2.(1)求椭圆的方程；(2)直线y＝2上是否存在点M，使得从该点向椭圆所引的两条切线相互垂直？若存在，求点M的坐标；若不存在，说明理由．解(1)由|AB|＝3|OF|，△AOB的面积为2，得a2＋b2＝3c，12ab＝2，

∴a＝2，b＝2，即椭圆的方程为x24＋y22＝1.(2)假设直线y＝2上存在点M满足题意，设M(m，2)，当m＝±2时，从M点所引的两切线不垂直．当m≠±2时，设过点M向椭圆所引的切线的斜率为k，则l的方程为y＝k(x－m)＋2，由y＝k(x－m)＋2，

x24＋y22＝1，得(1＋2k2)x2－4k(mk－2)x＋2(mk－2)2－4＝0，∵Δ＝0，∴(m2－4)k2－4mk＋2＝0，设两切线的斜率分别为k1，k2，则k1k2＝2m2－4＝－1，∴m

＝±2，即点M的坐标为(2，2)或(－2，2)．直线与椭圆相切，有且仅有一个公共点，过椭圆外一点可以作12两条切线，过椭圆上一点只能作一条切线．5.已知椭圆C1：x24＋y23＝1，过P(2，2)作椭圆C1的切线，则切线方程为_______

_.答案x－8y＋14＝0或x＝2解析∵224＋223>1，∴P在C1外部．①当斜率不存在时，易知x＝2为椭圆一切线．②当斜率存在时，设切线斜率为k，则切线方程为y－2＝k(x－2)，代入C1中并整理得(3＋4k2)x2＋16(k－k2)x＋16k2－32k＋4

＝0.∵直线与椭圆相切，∴Δ＝0.即[16(k－k2)]2－4(3＋4k2)(16k2－32k＋4)＝0.化简得k＝18.此时切线方程为x－8y＋14＝0.∴切线方程为x－8y＋14＝0或x＝2.6．(2022·黄冈高三月考)已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为x2a2

＋y2b2＝1(a>b>0)，则椭圆上一点A(x0，y0)处的切线方程为x0xa2＋y0yb2＝1.试运用该性质解决以下问题，椭圆C1：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，其焦距为2，且过点1，22，点B为C1在第一

象限中的任意一点，过B作C1的切线l，l分别与x轴和y轴的正半轴交于C，D两点，则△OCD面积的最小值为________.答案2解析由题意，得2c＝2，即c＝1，a2－b2＝1，将点1，22代入椭圆方程，可得1a2＋12b2＝1，解得a＝2，b＝1，即椭

圆的方程为x22＋y2＝1，设B(x2，y2)，则椭圆C1在点B处的切线方程为x22x＋y2y＝1，令x＝0，得yD＝1y2，令y＝0，可得xC＝2x2，又点B为椭圆在第一象限上的点，所以x2>0，y

2>0，x222＋y22＝1，所以13S△OCD＝12·1y2·2x2＝1x2y2＝x222＋y22x2y2＝x22y2＋y2x2≥2x22y2·y2x2＝2，即S△OCD≥2，当且仅当x222＝y22＝12，即点B的坐标为1，22时，△OC

D的面积取得最小值2.一、单项选择题1．若直线mx＋ny＝4与⊙O：x2＋y2＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆x29＋y24＝1的交点个数是()A．至多为1B．2C．1D．0答案B解析由题意知，4m2＋n2>2，

即m2＋n2<2，所以点P(m，n)在椭圆x29＋y24＝1的内部，故所求交点的个数是2.2．过椭圆x25＋y24＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为()A．43B．53C．54D．103答案B解析由题意知椭圆的右焦点F的坐标

为(1,0)，则直线AB的方程为y＝2x－2.联立x25＋y24＝1，y＝2x－2，解得交点A(0，－2)，B53，43，所以S△OAB＝12·|OF|·|yA－yB|＝12×1×|－2－43|＝53.故选B.143．(202

1·湖南长沙模拟)已知F1，F2分别为椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点，过原点O且倾斜角为60°的直线l与椭圆C的一个交点为M，若MF1⊥MF2，则椭圆的离心率为()A．4＋23B．4－23C．1－3D．3－1答案D解析依题意可得|OM|＝12|F1F2

|＝c.又∠MOF2＝60°，∴|MF2|＝c，|MF1|＝3c，∴2a＝3c＋c，∴e＝ca＝3－1.故选D．4．已知F1(－1,0)，F2(1,0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线与椭圆C交于A，B两点，且|AB|＝3，则C的方程

为()A．x22＋y2＝1B．x23＋y22＝1C．x24＋y23＝1D．x25＋y24＝1答案C解析设椭圆C的方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，由题意知c＝1.因为过F2且垂直于x轴的直线与椭圆交于A，B两点，且|AB|＝3，所以b2a＝32，又b2＝a2－c2，所以a2＝4，b

2＝a2－c2＝4－1＝3，椭圆C的方程为x24＋y23＝1.5．(2021·黄冈中学模拟)过椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)右焦点F的直线l：x－y－3＝0交C于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为－12，则椭圆C的1

5方程为()A．x26＋y23＝1B．x27＋y25＝1C．x28＋y24＝1D．x29＋y26＝1答案A解析解法一：直线l：x－y－3＝0中，令y＝0，可得x＝3，所以右焦点F(3，0)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B的中点Px1＋x22，y1＋y22，联立x－

y－3＝0，x2a2＋y2b2＝1，整理得(a2＋b2)y2＋23b2y＋3b2－a2b2＝0，所以y1＋y2＝－23b2a2＋b2，x1＋x2＝y1＋y2＋23＝23a2a2＋b2，所以kOP＝y1＋y2x1＋x2＝－b2a2＝－12，所以a2＝2b2，又a2＝b

2＋c2，c2＝3，所以a2＝6，b2＝3，所以椭圆C的方程为x26＋y23＝1.故选A．解法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，由题意可知x21a2＋y21b2＝1

，①x22a2＋y22b2＝1，②①－②得(x1－x2)(x1＋x2)a2＋(y1－y2)(y1＋y2)b2＝0，所以kAB＝－b2x0a2y0.又kAB＝1，x0y0＝1kOP＝－2，所以a2＝2b2.又由题意可知c＝3，所以由a2＝b2＋

c2可知a2＝6，b2＝3，故椭圆C的方程为x26＋y23＝1.故选A．6．已知椭圆C：x29＋y25＝1，若直线l经过M(0,1)，与椭圆交于A，B两点，且MA→＝－23MB→，则直线l的方程为()A

．y＝±12x＋1B．y＝±13x＋116C．y＝±x＋1D．y＝±23x＋1答案B解析依题意，设直线l：y＝kx＋1，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由y＝kx＋1，x29＋y25＝1，消去y，整理得(9k2＋5)x

2＋18kx－36＝0，Δ＝(18k)2＋4×36×(9k2＋5)>0，x1＋x2＝－18k9k2＋5，x1x2＝－369k2＋5，x1＝－23x2，由此解得k＝±13，即直线l的方程为y＝±13x＋1，故选B.7．斜率为1的直线l与椭圆x24

＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为()A．455B．4105C．8105D．855答案B解析设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线的方程为y＝x＋m，由y＝x＋m，x24＋y2＝

1，消去y，得5x2＋8mx＋4(m2－1)＝0，由Δ>0，得m2<5.∵x1＋x2＝－8m5，x1x2＝4(m2－1)5.∴|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2·(x1＋x2)2－4x1x2＝2·

－85m2－16(m2－1)517＝425·5－m2，∵当m＝0时，满足Δ>0，∴|AB|的最大值为4105，故选B.8．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左焦点为F1(－2，0)，过点F1作倾斜角为30°的直线与圆x2＋y2＝b2相交的弦长为3

b，则椭圆的标准方程为()A．y28＋x24＝1B．x28＋y24＝1C．y216＋x212＝1D．x216＋y212＝1答案B解析由左焦点为F1(－2,0)，可得c＝2，即a2－b2＝4.过点F1倾斜角为30°的直线的方程为y＝33(x＋2)，即3y－3x－

23＝0.则圆心(0,0)到直线的距离d＝|－23|3＋9＝1.由直线与圆x2＋y2＝b2相交的弦长为3b(b>0)，可得2b2－1＝3b(b>0)，解得b＝2，则a＝22.则椭圆的标准方程为x28＋y24＝1，故选B.9．点A，B分别为椭圆x2a2＋y2b2＝1(a

>b>0)的左、右顶点，F为右焦点，C为短轴上不同于原点O的一点，D为OC的中点，直线AD与BC交于点M，且MF⊥AB，则该椭圆的离心率为()A．12B．13C．23D．32答案B解析由题意作出椭圆如图，∵MF⊥AB，且OC⊥AB，18∴MF∥OC，同理MF∥OD

，∴ODMF＝OAAF＝aa＋c，①MFOC＝FBOB＝a－ca，②①×②，得到ODMF·MFOC＝aa＋c·a－ca＝a－ca＋c，即ODOC＝a－ca＋c，又ODOC＝12，∴2(a－c)＝a＋c，∴a＝3c，∴e＝ca＝13.故选B.10．平行四边形ABCD内接于椭圆x28＋y24＝1，直

线AB的斜率k1＝2，则直线AD的斜率k2为()A．12B．－12C．－14D．－2答案C解析设AB的中点为G，则由椭圆的对称性知，O为平行四边形ABCD的对角线的交点，则GO∥AD．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有

x218＋y214＝1，x228＋y224＝1，两式相减得(x1－x2)(x1＋x2)8＝－(y1－y2)(y1＋y2)4，整理得x1＋x22(y1＋y2)＝－y1－y2x1－x2＝－k1＝－2，即y1＋y2x1＋x2＝－14.又Gx1＋x

22，y1＋y22，所以kOG＝y1＋y22－0x1＋x22－0＝－14，即k2＝－14，故选C．二、多项选择题11．(2021·湖北汉阳一中三模)已知椭圆C：x24＋y28＝1内一点M(1,2)，直线l与椭圆C交于A，B两点，且M为线段AB的中点，则下列结论正确的

是()A．椭圆的焦点坐标为(2,0)，(－2,0)19B．椭圆C的长轴长为42C．直线l的方程为x＋y－3＝0D．|AB|＝433答案BCD解析由椭圆方程知，其焦点坐标为(0，±2)，A错误；a2＝8，则椭圆C的长轴长为2a＝42，

B正确；由题意，可设直线l的方程为x＝m(y－2)＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4，将直线l的方程与椭圆方程联立并整理得，(2m2＋1)y2＋4m(1－2m)y＋8m2－8m－6＝0，M为椭圆内一点，则

Δ>0，∴y1＋y2＝4m(2m－1)2m2＋1＝4，可得m＝－1，即直线l的方程为x＋y－3＝0，C正确；由C知，y1＋y2＝4，y1y2＝103，则|AB|＝1＋m2·(y1＋y2)2－4y1y2＝433，D正确．故选BCD．12．(2022·荆门模拟)已知椭圆C

：x24＋y22＝1的左、右两个焦点分别为F1，F2，直线y＝kx(k≠0)与C交于A，B两点，AE⊥x轴，垂足为E，直线BE与C的另一个交点为P，则下列结论正确的是()A．四边形AF1BF2为平行四边形B．∠F1PF2<9

0°C．直线BE的斜率为12kD．∠PAB>90°答案ABC解析对于A，根据椭圆的对称性可知，|OF1|＝|OF2|，|OA|＝|OB|，故四边形AF1BF2为平行四边形，故A正确；对于B，根据椭圆的性质，当

P在上、下顶点时，|OP|＝b＝2＝c.此时∠F1PF2＝90°.由题意可知，P不可能在上、下顶点，故∠F1PF2<90°，故B正确；对于C，如图，不妨设B在第一象限，则直线BE的斜率为|BD||ED|＝|B

D|2|OD|＝12k，故C正确；20对于D，设P(x1，y1)，A(x2，y2)，则B(－x2，－y2)，所以kAP·kBP＝y1－y2x1－x2·y1＋y2x1＋x2＝y21－y22x21－x22＝2－x212－2－x2

22x21－x22＝－12.又由C可知直线BP的斜率为12k，故kAP＝－1212k＝－1k.所以kAP·kAB＝－1k·k＝－1.故∠PAB＝90°，故D错误．故选ABC．三、填空题13．如图，一个球形广告气球被

一束入射角为30°的平行光线照射，其投影是一个最长的弦长为5m的椭圆，则制作这个广告气球至少需要的面料是________m2.答案75π4解析由椭圆的最长的弦长为5m，知椭圆的2a＝5，设气球的半径为R，入射角为30°的平行光线与底

面所成的角就为60°，则有2asin60°＝2R，即R＝534，从而气球的表面积为4πR2＝75π4(m2)．14．已知中心在坐标原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，点F关于直线y＝12x的对称点在椭圆C上，则椭圆C的方程为________.答案5x2

9＋5y24＝121解析设椭圆的方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，由题意可知c＝1，即a2－b2＝1①，设点F(1,0)关于直线y＝12x的对称点为(m，n)，可得n－0m－1＝－2②.又因为点F与其对称

点的中点坐标为m＋12，n2，且中点在直线y＝12x上，所以有n2＝12×m＋12③，联立②③，解得m＝35，n＝45，即对称点的坐标为35，45，代入椭圆方程可得925a2＋1625b2＝1④，联立①④，解得a2

＝95，b2＝45，所以椭圆C的方程为5x29＋5y24＝1.15．已知椭圆C的两个焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，且经过点E3，32.(1)椭圆C的方程为________；(2)过F1的直线l与椭圆C交于A

，B两点(点A位于x轴上方)，若AF1→＝2F1B→，则直线l的斜率k的值为________.答案(1)x24＋y23＝1(2)52解析(1)设椭圆C的方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)．由2a＝|EF1|＋|EF2|＝4，a2＝b

2＋c2，c＝1，解得a＝2，c＝1，b＝3，所以椭圆C的方程为x24＋y23＝1.(2)由题意得直线l的方程为y＝k(x＋1)(k>0)，联立y＝k(x＋1)，x24＋y23＝1，整理得3k2＋4y2－6ky－9＝0，Δ＝1

44k2＋144>0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，22则y1＋y2＝6k3＋4k2，y1y2＝－9k23＋4k2，又AF1→＝2F1B→，所以y1＝－2y2，所以y1y2＝－2(y1＋y2)2，则3＋4k2＝8，

解得k＝±52，又k>0，所以k＝52.16．(2021·浙江高考)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，焦点F1(－c,0)，F2(c,0)(c>0)．若过F1的直线和圆x－12c2＋y2＝c2相

切，与椭圆在第一象限交于点P，且PF2⊥x轴，则该直线的斜率是________，椭圆的离心率是________.答案25555解析设过F1的直线与圆的切点为M，圆心A12c，0，则|AM|＝c，|AF1|＝32c，所以|MF1|＝52c，所

以该直线的斜率k＝|AM||MF1|＝c52c＝255.因为PF2⊥x轴，所以|PF2|＝b2a，又|F1F2|＝2c，所以k＝255＝b2a2c＝a2－c22ac＝1－e22e，解得e＝55(负值舍去)．四

、解答题17．已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的焦距为26，且过点A(2,1)．(1)求椭圆C的方程；(2)若不经过点A的直线l：y＝kx＋m与椭圆C交于P，Q两点，且直线AP与直线AQ的斜率之和为0，证明：直线PQ的斜

率为定值．解(1)因为椭圆C的焦距为26，且过点A(2，1)，所以4a2＋1b2＝1,2c＝26.又因为a2＝b2＋c2，由以上三式解得a2＝8，b2＝2，所以椭圆C的方程为x28＋y22＝1.23(2)证明：设点P(x1，y1)，Q(x

2，y2)，x1≠x2≠2，则y1＝kx1＋m，y2＝kx2＋m.由y＝kx＋m，x28＋y22＝1，消去y并整理，得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－8＝0，则x1＋x2＝－8km4k2＋1，

x1x2＝4m2－84k2＋1.因为kAP＋kAQ＝0，所以y1－1x1－2＋y2－1x2－2＝0，化简得x1y2＋x2y1－(x1＋x2)－2(y1＋y2)＋4＝0.即2kx1x2＋(m－1－2k)(x1＋x2)－4m＋4＝0.所以2k(4m2－8)4k2＋1－8km(m－1－2

k)4k2＋1－4m＋4＝0，整理得(2k－1)(m＋2k－1)＝0.因为直线l不经过点A，所以2k＋m－1≠0，所以k＝12.所以直线PQ的斜率为定值．18．(2022·北京东城区模拟)已知中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆E过点C

(0,1)，离心率为22.(1)求椭圆E的方程；(2)直线l过椭圆E的左焦点F，且与椭圆E交于A，B两点，若△OAB的面积为23，求直线l的方程．解(1)设椭圆E的方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，24由已知得b＝1，ca＝22，a2＝b2＋

c2，解得a2＝2，b2＝1，所以椭圆E的方程为x22＋y2＝1.(2)由已知，直线l过左焦点F(－1,0)．当直线l与x轴垂直时，不妨设点A在x轴下方，则A－1，－22，B－1，22，此时|AB|＝2，则S△OAB＝12×2×1＝22，不满足

条件．当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x＋1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．由y＝k(x＋1)，x22＋y2＝1得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2－2＝0，显然Δ>0，

所以x1＋x2＝－4k21＋2k2，x1x2＝2k2－21＋2k2.因为S△OAB＝12|OF|·|y1－y2|＝12|y1－y2|，由已知S△OAB＝23，所以|y1－y2|＝43.因为y1＋y2＝k(x1＋1)＋k(x2＋1)＝k(x1＋x2)＋2k＝k·－4k21＋2k2＋2k＝2k1＋2k

2，y1y2＝k(x1＋1)·k(x2＋1)＝k2(x1x2＋x1＋x2＋1)＝－k21＋2k2，所以|y1－y2|＝(y1＋y2)2－4y1y2＝4k2(1＋2k2)2＋4k21＋2k2＝43，所以k4＋k2－2＝0，解得k＝±1，所以直线l的方程为x－y＋1＝0或x＋

y＋1＝0.2519．(2021·天津高考)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的右焦点为F，上顶点为B，离心率为255，且|BF|＝5.(1)求椭圆的方程；(2)直线l与椭圆有唯一的公共点M，与y轴的正半轴交于点N，过N与BF垂

直的直线交x轴于点P.若MP∥BF，求直线l的方程．解(1)易知点F(c,0)，B(0，b)，故|BF|＝c2＋b2＝a＝5，因为椭圆的离心率为e＝ca＝255，故c＝2，b＝a2－c2＝1，因此，椭圆的方程为x25＋y2＝1.(2)设点M

(x0，y0)为椭圆x25＋y2＝1上一点，先证明直线MN的方程为x0x5＋y0y＝1，联立x0x5＋y0y＝1，x25＋y2＝1，消去y并整理得x2－2x0x＋x20＝0，Δ＝4x20－4x20＝0，因此，椭圆x25＋y2＝1在点M(x0，y0)处的切线方程为x0

x5＋y0y＝1.由题意可知y0>0，在直线MN的方程中，令x＝0，可得y＝1y0，即点N0，1y0，26直线BF的斜率为kBF＝－bc＝－12，所以直线PN的方程为y＝2x＋1y0，在直线PN的方程中，令y＝0，可得x＝－12y0，即点P－12y0，0，因为

MP∥BF，所以kMP＝kBF，即y0x0＋12y0＝2y202x0y0＋1＝－12，整理可得(x0＋5y0)2＝0，所以x0＝－5y0，所以x205＋y20＝6y20＝1，又y0>0，故y0＝66，x0＝－566，所以直线l的方程为－66x＋66y＝1，即x－y＋6＝0.20．(2

021·南京学情检测)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x24＋y2＝1.(1)设椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，T是椭圆C上的一个动点，求TF1→·TF2→的取值范围；(2)设A(0，－1)，与坐标轴不垂直的直线l交椭圆C于B，D两点，若△ABD是以A为直角顶点的等腰直角三角形，求直

线l的方程．解(1)因为椭圆C：x24＋y2＝1，所以F1(－3，0)，F2(3，0)．设T(x0，y0)，则TF1→·TF2→＝(－3－x0，－y0)·(3－x0，－y0)＝x20＋y20－3.因为点T(x0，y0)在椭圆C上，所以x204＋y20＝1，所

以TF1→·TF2→＝34x20－2，且x20∈[0,4]，27所以TF1→·TF2→的取值范围是[－2,1]．(2)因为直线l与坐标轴不垂直，故设直线l的方程为y＝kx＋m(m≠－1，k≠0)，B(x1，y1)，D(

x2，y2)．由y＝kx＋m，x24＋y2＝1，得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，所以x1＋x2＝－8km1＋4k2，x1x2＝4(m2－1)1＋4k2.因为△ABD是以A为直角顶点的等腰直角三角形，所以AB⊥AD，即AB→·AD→＝0，因此(y1＋1)(y2＋1

)＋x1x2＝0，即(kx1＋m＋1)(kx2＋m＋1)＋x1x2＝0，从而(1＋k2)x1x2＋k(m＋1)(x1＋x2)＋(m＋1)2＝0，即(1＋k2)×4(m2－1)1＋4k2－k(m＋1)×8km1＋4k2＋(m＋1)2＝0，也即4(1＋k2)(m－1)

－8k2m＋(1＋4k2)(m＋1)＝0，解得m＝35.又线段BD的中点M－4km1＋4k2，m1＋4k2，且AM⊥BD，所以m1＋4k2＋1－4km1＋4k2＝－1k，即3m＝1＋4k2，解得k＝±55.又当k＝±55，m＝35时，Δ＝64k2m2－4(1＋4k2)

(4m2－4)＝57625>0，所以满足条件的直线l的方程为y＝±55x＋35.