【文档说明】2023高考数学科学复习创新方案（新高考题型版） 第9章 第1讲　直线的倾斜角与斜率、直线的方程 含解析【高考】.doc，共(19)页，958.000 KB，由小赞的店铺上传

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1第1讲直线的倾斜角与斜率、直线的方程1．直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角①定义：当直线l与x轴相交时，以x轴为基准，x轴01正向与直线l02向上的方向之间所成的角α叫做这条直线的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为030°.②倾斜角的范围为040°

≤α<180°.(2)直线的斜率条件公式直线的倾斜角为α，且α≠90°k＝05tanα直线过点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1≠x2k＝06y2－y1x2－x12．直线的方向向量同斜率的关系

若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(x，y)，则k＝07yx.3．直线方程的五种形式名称条件方程适用范围2点斜式斜率k与点(x0，y0)08y－y0＝k(x－x0)不含直线x＝x0斜截式斜率k与直线在y轴上的截距b09y＝kx＋b不含垂直于x轴的直线续表名称条件方程适用范围

两点式两点(x1，y1)，(x2，y2)10y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1不含直线x＝x1(x1＝x2)和直线y＝y1(y1＝y2)截距式直线在x轴，y轴上的截距分别为a，b11xa＋yb＝1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式—12Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)

平面直角坐标系内的直线都适用1．直线的斜率k与倾斜角α之间的关系．α0°0°<α<90°90°90°<α<180°k0k>0不存在k<0牢记口诀：“斜率变化分两段，90°是分界线；遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”．2．“截距”是直

线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．应注意过原点的特殊情况是否满足题意．1．过点A(2,4)，B(1，m)两点的直线的一个方向向量为(－1,1)，则m＝()A．－1B．1C．5D．3答案C3解析由题意可知m－41－2＝－1，∴m＝5.故选C.2．直线

x＋3y＋1＝0的倾斜角是()A.π6B．π3C.2π3D．5π6答案D解析由直线的方程得直线的斜率k＝－33，设倾斜角为α，则tanα＝－33，又α∈[0，π)，所以α＝5π6.3．倾斜角为135°，在y

轴上的截距为－1的直线方程是()A．x－y＋1＝0B．x－y－1＝0C．x＋y－1＝0D．x＋y＋1＝0答案D解析直线的斜率为k＝tan135°＝－1，所以直线方程为y＝－x－1，即x＋y＋1＝0.4．过点(5,2)且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍的直线方程是()A．2x

＋y－12＝0B．2x＋y－12＝0或2x－5y＝0C．x－2y－1＝0D．x－2y－1＝0或2x－5y＝0答案B解析设所求直线在x轴上的截距为a，则在y轴上的截距为2a.①当a＝0时，所求直线经过点(5,2)和(0,0)，所以直线方程为y＝25x，即2

x－5y＝0；②当a≠0时，设所求直线方程为xa＋y2a＝1，又直线过点(5,2)，所以5a＋22a＝1，解得a＝6，所以所求直线方程为x6＋y12＝1，即2x＋y－12＝0.综上，所求直线方程为2x－5y4＝0或2

x＋y－12＝0.故选B.5．如果AC＜0且BC＜0，那么直线Ax＋By＋C＝0不经过()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案C解析∵AC＜0，BC＜0，∴A，B同号．又直线Ax＋By＋C＝0可化为y＝－AB

x－CB，－AB＜0，－CB＞0，从而直线Ax＋By＋C＝0不经过第三象限．6．(多选)下列四个命题中错误的有()A．直线的倾斜角越大，其斜率越大B．直线倾斜角的取值范围是[0，π)C．若一条直线的斜率为tanα，则此直线的倾斜角为αD．若一条直线的倾斜角为α，则此

直线的斜率为tanα答案ACD解析对于A，当倾斜角为锐角时，斜率为正值，当直线与x轴垂直时，直线的倾斜角为90°，斜率不存在，当倾斜角为钝角时，斜率为负值，∴A错误；对于B，直线倾斜角的取值范围是[0，π)，∴B正确；对于

C，一条直线的斜率为tanα，此直线的倾斜角不一定为α，∴C错误；对于D，一条直线的倾斜角为α时，它的斜率为tanα或不存在，D错误．故选ACD.5考向一直线的倾斜角与斜率例1(1)直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是()A.0，π4B．

3π4，πC.0，π4∪π2，πD．π4，π2∪3π4，π答案B解析依题意，直线的斜率k＝－1a2＋1∈[－1，0)，因此其倾斜角的取值范围是3π4，π.(2)直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，3)为端点的线段有

公共点，则直线l斜率的取值范围为________.答案(－∞，－3]∪[1，＋∞)解析如图，∵kAP＝1－02－1＝1，kBP＝3－00－1＝－3，∴k∈(－∞，－3]∪[1，＋∞)．直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调

区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分0，π2与π2，π两种情况讨论．由正切函数图象可以看出，当α∈0，π2时，斜率k∈[0，＋∞)；当α＝π2时，斜率不存在；当α∈π2，π时，斜

率k∈(－∞，0)．1.6(多选)如图，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，倾斜角分别为α1，α2，α3，则下列结论正确的是()A．k1<k3<k2B．k3<k2<k1C．α3<α2<α1D．α1<α3<α2答案AC解析由题图可得k2>k3

>0，k1<0，π2>α2>α3>0，且α1为钝角，故选AC.2．(2021·新高考八省联考)若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为________，________

.答案13－3解析如图，在正方形OABC中，对角线OB所在直线的斜率为2，建立如图所示的平面直角坐标系．设对角线OB所在直线的倾斜角为θ，则tanθ＝2，由正方形的性质可知，直线OA的倾斜角为θ－45°，直线OC的倾斜角为θ＋45°，故

kOA＝tan(θ－45°)＝tanθ－tan45°1＋tanθtan45°＝2－11＋2＝13，kOC＝tan(θ＋45°)＝tanθ＋tan45°1－tanθtan45°＝2＋11－2＝－3.考向二求

直线的方程例2求适合下列条件的直线方程：(1)经过点P(1,2)，倾斜角α的正弦值为45；(2)经过点P(2,3)，并且在两坐标轴上截距相等；(3)经过两条直线l1：x＋y＝2，l2：2x－y＝1的交点，且直线的一个方向向量v＝(－3,2)

．解(1)由题可知sinα＝45，则tanα＝±43，7∵直线l经过点P(1,2)，∴直线l的方程为y－2＝±43(x－1)，即y＝±43(x－1)＋2，整理得4x－3y＋2＝0或4x＋3y－10＝0.(2)解法一：①当截距为0时，直线l过点(0,0)，(2,3)，

则直线l的斜率为k＝3－02－0＝32，因此，直线l的方程为y＝32x，即3x－2y＝0.②当截距不为0时，可设直线l的方程为xa＋ya＝1.∵直线l过点P(2,3)，∴2a＋3a＝1，∴a＝5.∴直线

l的方程为x＋y－5＝0.综上可知，直线l的方程为3x－2y＝0或x＋y－5＝0.解法二：由题意可知所求直线斜率存在，则可设直线方程为y－3＝k(x－2)，且k≠0.令x＝0，得y＝－2k＋3.令y＝0，得x＝－3k＋2.于是－2k＋3＝－3k＋2，解得k＝32或k＝－1.则直线l

的方程为y－3＝32(x－2)或y－3＝－(x－2)，则直线l的方程为3x－2y＝0或x＋y－5＝0.(3)联立x＋y＝2，2x－y＝1，得x＝1，y＝1，∴直线过点(1,1)，∵直线的一个方向向量v＝(－3,2)，∴直线的斜率k＝－23.8则直线的方程为y－1＝－23(x－1)，即2x

＋3y－5＝0.1．直线方程的求法(1)直接法：根据已知条件，求出直线方程的确定条件，选择适当的直线方程的形式，直接写出直线方程．(2)待定系数法：其具体步骤为①设出直线方程的恰当形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式和

一般式)；②根据题设条件列出关于待定系数的方程或方程组；③解方程或方程组得到待定系数；④写出直线方程；⑤验证所得直线方程是否为所求直线方程，如果有遗漏需要补加．2．应注意分类讨论思想的应用选用点斜式或斜截式时，需讨论直线的斜率是否存在；选用截距

式时，需讨论直线是否过原点．3.已知A(－1,1)，B(3,1)，C(1,3)，则△ABC的边BC上的高所在的直线方程为()A．x＋y＝0B．x－y＋2＝0C．x＋y＋2＝0D．x－y＝0答案B解析因为B(3,1)，C

(1,3)，所以kBC＝3－11－3＝－1，故BC边上的高所在直线的斜率k＝1，又高线经过点A(－1，1)，所以其所在的直线方程为x－y＋2＝0.故选B.4．经过A(0,2)，B(－1,0)两点的直线方程为________，若其方向向量为(1，k)，则k

＝________.答案2x－y＋2＝02解析经过A(0,2)，B(－1,0)两点的直线方程为x－1＋y2＝1，即2x－y＋2＝0，所以其方向向量为(1,2)，故k＝2.5．过点P(6，－2)，且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1的直线方程

为9________.答案2x＋3y－6＝0或x＋2y－2＝0解析设直线方程的截距式为xa＋1＋ya＝1，则6a＋1＋－2a＝1，解得a＝2或a＝1，则直线的方程是x2＋1＋y2＝1或x1＋1＋y1＝1，即2x＋

3y－6＝0或x＋2y－2＝0.多角度探究突破考向三直线方程的应用角度直线方程与不等式的结合例3过点P(4,1)作直线l，分别交x轴、y轴的正半轴于点A，B.(1)当△AOB的面积最小时，求直线l的方程；(2)当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线

l的方程．解设直线l：xa＋yb＝1(a>0，b>0)，因为直线l经过点P(4,1)，所以4a＋1b＝1.(1)因为4a＋1b＝1≥24a·1b＝4ab，所以ab≥16，S△AOB＝12ab≥8，当且仅当a＝8，b＝2时等号成立．所以当a＝8，b＝2时

，△AOB的面积最小，此时直线l的方程为x8＋y2＝1，即x＋4y－8＝0.(2)因为4a＋1b＝1，a>0，b>0，所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)4a＋1b＝5＋ab＋4ba≥9，当且仅当a＝6，b＝3时等号成立．所以当

|OA|＋|OB|取最小值时，直线l的方程为x＋2y－6＝0.10角度直线方程与函数的结合例4为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD内建一个矩形草坪(如图)，另外△EFA内部有一文物保护区不能占用，经测量AB＝100m，BC＝80m，AE＝30m，AF＝20m，应如何设计才能使草坪面积最大？解如图

所示，以A为坐标原点建立平面直角坐标系，则E(30,0)，F(0，20)，∴直线EF的方程为x30＋y20＝1(0≤x≤30)．易知当矩形草坪的一个顶点在线段EF上时，草坪面积可取最大值，在线段EF上取点P(m，n)，作P

Q⊥BC于点Q，PR⊥CD于点R，设矩形PQCR的面积为S，则S＝|PQ|·|PR|＝(100－m)(80－n)．又m30＋n20＝1(0≤m≤30)，∴n＝20－23m.∴S＝(100－m)80－20＋23m＝－23(m－5

)2＋180503(0≤m≤30)．∴当m＝5时，S有最大值，这时|EP|∶|PF|＝5∶1.∴当矩形草坪的两边在BC，CD上，一个顶点在线段EF上，且这个顶点分有向线段EF成5∶1时，草坪面积最大．直线方程

综合问题的两大类型及解法(1)与函数相结合的问题：解决这类问题，一般是利用直线方程中x，y的关11系，将问题转化为关于x(或y)的函数，借助函数的性质解决．(2)与方程、不等式相结合的问题：一般是利用

方程、不等式的有关知识(如方程解的个数、根的存在问题、不等式的性质、基本不等式等)来解决．6.(2022·河南三门峡诊断考试)已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当0＜a＜2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面

积最小时，实数a＝________.答案12解析由题意知直线l1，l2恒过定点P(2,2)，直线l1在y轴上的截距为2－a，直线l2在x轴上的截距为a2＋2，所以四边形的面积S＝12×2×(2－a)＋12×2×(a2＋2)＝a

2－a＋4＝a－122＋154，当a＝12时，四边形的面积最小．7.如图，在两条互相垂直的道路l1，l2的一角，有一个电线杆，电线杆底部到道路l1的垂直距离为4米，到道路l2的垂直距离为3米，现在要过电线杆的底部靠近道路的一侧修

建一条人行直道，使得人行直道与两条垂直的道路围成的直角三角形的面积最小，则人行道的长度为多少米？解如图，建立平面直角坐标系，设人行道所在直线方程为y－4＝k(x－3)(k<0)，所以A3－4k，0，B(0,4－3k)，所以△ABO的面

积S＝12(4－3k)3－4k＝1224－9k－16k，12因为k<0，所以－9k－16k≥2(－9k)－16k＝24，当且仅当－9k＝－16k，即k＝－43时取等号．此时，A(6,0)，B(0,8)，所以

人行道的长度为62＋82＝10米．一、单项选择题1．直线l：xsin30°＋ycos150°＋1＝0的斜率是()A.33B．3C．－3D．－33答案A解析斜率k＝－sin30°cos150°＝－12－

32＝33.故选A.2．过点(1,2)且方向向量为(－1,2)的直线方程为()A．2x＋y－4＝0B．x＋y－3＝0C．x－2y＋3＝0D．2x－y＋4＝0答案A解析由题意可知直线的斜率k＝－2，由点斜式方程得，所求直线方程为y－

2＝－2(x－1)，即2x＋y－4＝0.故选A.3．已知三点A(2，－3)，B(4,3)，C5，k2在同一条直线上，则k的值为()A．12B．9C．－12D．9或12答案A13解析由kAB＝kAC，得3－(－3)4－2＝k2－(－3)5－2，解得k＝

12.故选A.4．已知直线2x－my＋1－3m＝0，当m变动时，直线恒过定点()A.－12，3B．12，3C.12，－3D．－12，－3答案D解析直线方程可

化为2x＋1－m(y＋3)＝0，令2x＋1＝0，y＋3＝0，得x＝－12，y＝－3，∴直线恒过定点－12，－3.故选D.5．直线ax＋by＋c＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a，b，c应满足()A．ab>0，bc<0B．ab>0，bc>0C．ab<0

，bc>0D．ab<0，bc<0答案A解析由于直线ax＋by＋c＝0同时要经过第一、二、四象限，所以直线存在斜率，将方程变形为y＝－abx－cb.易知－ab<0且－cb>0，故ab>0，bc<0.6.(2021·长沙一中模拟)如图，在矩形ABCD中，BC＝3AB，直线AC的斜率为33，则直线BC的

斜率为()A.3B．32C．233D．2314答案A解析由题意，在Rt△ABC中，∠ABC＝π2，BC＝3AB，∴tan∠ACB＝ABBC＝33，即∠ACB＝π6.设直线AC的倾斜角为θ，则tanθ＝33，∴直线BC的倾斜角为θ＋π6，故kBC＝tan

θ＋π6＝tanθ＋tanπ61－tanθtanπ6＝33＋331－33×33＝3.故选A.7.(2021·江门一模)如图，平面四边形ABCD的顶点都在坐标轴上，直线AB的斜率为23，直线BC的斜率为－12，则tan∠ABC＝()A．－14B．－78

C．－74D．－72答案C解析由三角形的外角公式可得∠ABC＝∠xCB－∠xAB，所以tan∠ABC＝tan(∠xCB－∠xAB)＝kBC－kAB1＋kBCkAB＝－12－231＋－12×23＝－74.故选C.8．已知A(2,5)，B(4,1)．若点P(x，y)在线段AB

上，则2x－y的最大值为()A．－1B．3C．7D．8答案C解析依题意得kAB＝5－12－4＝－2，所以线段lAB：y－1＝－2(x－4)，x∈[2,4]，即y＝－2x＋9，x∈[2,4]，故2x－y＝2x－(－2x＋9)＝4x－9，x∈[2,4

]．设h(x)＝4x－9，易知h(x)＝4x－9在[2,4]上单调递增，故当x＝4时，h(x)max＝4×4－9＝157.9．设点A(－2,3)，B(3,2)，若直线ax＋y＋2＝0与线段AB没有交点，则a的取值范围是()A.

－∞，－52∪43，＋∞B.－43，52C.－52，43D.－∞，－43∪52，＋∞答案B解析易知直线ax＋y＋2＝0过定点P(0，－2)，kPA＝－52，kPB＝43，因为直线ax＋y＋2

＝0的斜率为－a，若直线ax＋y＋2＝0与线段AB没有交点，根据图象(图略)可知－52＜－a＜43，解得－43＜a＜52，故选B.10．(2022·青岛摸底)已知函数f(x)＝asinx－bcosx(a≠0，b≠0)，若fπ4－x＝fπ4＋x，则直线a

x－by＋c＝0的倾斜角为()A.π4B．π3C．2π3D．3π4答案D解析由fπ4－x＝fπ4＋x可知f(0)＝fπ2，故a＝－b，从而直线的斜率k＝－1，所以直线的倾斜角为3π4，故选D.

二、多项选择题11．下列说法正确的是()A．截距相等的直线都可以用方程xa＋ya＝1表示B．方程x＋my－2＝0(m∈R)能表示平行于y轴的直线16C．经过点P(1,1)，倾斜角为θ的直线方程为y－1＝tanθ(x－1)D．经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程为(y2－y1)(

x－x1)－(x2－x1)(y－y1)＝0答案BD解析对于A，若直线过原点，横纵截距都为零，则不能用方程xa＋ya＝1表示，所以A不正确；对于B，当m＝0时，平行于y轴的直线方程为x＝2，所以B正确；对于C，若直线的倾斜角为90°，则

该直线的斜率不存在，不能用y－1＝tanθ(x－1)表示，所以C不正确；对于D，设点P(x，y)是经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线上的任意一点，根据P1P2→∥P1P→可得(y2－y1)(x－x1)－(x2－x1)(y－y1)＝0，所以D正确．故选BD.12

．已知直线xsinα＋ycosα＋1＝0(α∈R)，则下列命题正确的是()A．直线的倾斜角是π－αB．无论α如何变化，直线不过原点C．直线的斜率一定存在D．当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积不小于1答案BD解析直线倾斜角的范围为[0，π)，而π－α∈R，A不正确；

当x＝y＝0时，xsinα＋ycosα＋1＝1≠0，所以直线必不过原点，B正确；当α＝π2时，直线斜率不存在，C不正确；当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积为S＝12|1－sinα|·|1－cosα|＝1|sin2α|≥1，D正确．三、填空题1

3．若ab>0，且A(a,0)，B(0，b)，C(－2，－2)三点共线，则ab的最小值为________.答案16解析根据A(a,0)，B(0，b)确定直线的方程为xa＋yb＝1，又因为C(－2，－2)17在该直线上，故－2a＋－2b＝1，所以－2(a＋b)＝ab.又因为ab>0，故a<0，

b<0.根据基本不等式ab＝－2(a＋b)≥4ab，从而ab≤0(舍去)或ab≥4，故ab≥16，当且仅当a＝b＝－4时取等号，即ab的最小值为16.14．过点M(－3,5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为____

____.答案5x＋3y＝0或x－y＋8＝0解析①当直线过原点时，直线方程为y＝－53x，即5x＋3y＝0；②当直线不过原点时，设直线方程为xa＋y－a＝1，即x－y＝a，代入点(－3,5)，得a＝－8，即直线方程为x－y＋8＝0.

综上，直线方程为5x＋3y＝0或x－y＋8＝0.15．在△ABC中，已知A(1,1)，AC边上的高线所在的直线方程为x－2y＝0，AB边上的高线所在的直线方程为3x＋2y－3＝0.则BC边所在的直线方程为________.答案2x＋5y＋9＝0解析由题意，得kAC＝－2，kAB＝23.∴lA

C：y－1＝－2(x－1)，即2x＋y－3＝0，lAB：y－1＝23(x－1)，即2x－3y＋1＝0.由2x＋y－3＝0，3x＋2y－3＝0，得C(3，－3)．由2x－3y＋1＝0，x－2y＝0，得B(－2，－1)．∴lBC：2x＋5y＋9＝

0.16．已知点M是直线l：y＝3x＋3与x轴的交点，将直线l绕点M旋转30°，则所得到的直线l′的方程为________.答案x＝－3或y＝33(x＋3)18解析在y＝3x＋3中，令y＝0，得x＝－3，即M(－3，0)．因为直线l的斜率为3，所以其倾斜角为60°.若直

线l绕点M逆时针旋转30°，则得到的直线l′的倾斜角为90°，此时直线l′的斜率不存在，故其方程为x＝－3；若直线l绕点M顺时针旋转30°，则得到的直线l′的倾斜角为30°，此时直线l′的斜率为tan30°＝33，故其方程为y＝33(x＋3)．四、解答题17．已知△ABC的三个顶点分别为

A(－3,0)，B(2，1)，C(－2,3)，求：(1)BC边所在直线的方程；(2)BC边的垂直平分线DE的方程．解(1)因为直线BC经过B(2,1)和C(－2,3)两点，所以直线BC的方程为y－13－1＝x－2－2－2，即x＋2y－4＝0.(2)由(1)知，直线

BC的斜率k1＝－12，则直线BC的垂直平分线DE的斜率k2＝2.因为BC边的垂直平分线DE经过BC的中点(0,2)，所以所求直线方程为y－2＝2(x－0)，即2x－y＋2＝0.18.如图，射线OA，OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点P(1,0)作直线AB分别

交OA，OB于A，B两点，当AB的中点C恰好落在直线y＝12x上时，求直线AB的方程．解由题意可得kOA＝tan45°＝1，19kOB＝tan(180°－30°)＝－33，所以直线lOA：y＝x，lOB：y＝－33x.设A(m，m)

，B(－3n，n)，所以AB的中点Cm－3n2，m＋n2，由点C在直线y＝12x上，且A，P，B三点共线，得m＋n2＝12·m－3n2，(m－0)(－3n－1)＝(n－0)(m－1)，解得m＝3，所以A(3，3)．又P(1,0)，所以kAB＝kAP＝33－1＝3＋32，所以

lAB：y＝3＋32(x－1)，即直线AB的方程为(3＋3)x－2y－3－3＝0.