【文档说明】2023高考数学科学复习创新方案（新高考题型版） 第9章 第3讲　圆的方程 含解析【高考】.doc，共(20)页，262.500 KB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-a3a247dd32531d21840c5ca40969cca2.html

以下为本文档部分文字说明：

1第3讲圆的方程1．圆的定义、方程(1)平面上到01定点的距离等于02定长的点的集合是圆．(2)确定一个圆的基本要素：03圆心和04半径.(3)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)．(4)圆的一般方程①一般方程：05x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0；②方程表示圆

的充要条件：06D2＋E2－4F>0；③圆心坐标：07－D2，－E2，半径r＝0812D2＋E2－4F.2．点与圆的位置关系(1)理论依据09点与圆心的距离与半径的大小关系．(2)三个结论圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0

)，d为圆心到点M的距离．①10(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔点在圆上⇔d＝r；②11(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔点在圆外⇔d>r；③12(x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔点在圆内⇔d<r.1．以A(x1，y

1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.22．求圆的方程，如果借助圆的几何性质，能使解题思路简化减少计算量，常用的几何性质有：(1)圆心在过切点且与切线垂

直的直线上；(2)圆心在任一弦的中垂线上；(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．1．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标和半径分别是()A．(2,3)，3B．(－2,3)，3C．(－2，－3)，13D．(2，－3)，13答案D解析圆x2＋y2－4x＋6y＝0

化成标准形式为(x－2)2＋(y＋3)2＝13.故圆心坐标为(2，－3)，半径r＝13.故选D.2．已知A(1,0)，B(0,3)，则以AB为直径的圆的方程是()A．x2＋y2－x－3y＝0B．x2＋y2＋x

＋3y＝0C．x2＋y2＋x－3y＝0D．x2＋y2－x＋3y＝0答案A解析圆的圆心坐标为12，32，半径r＝12|AB|＝12×12＋32＝102，故圆的方程为x－122＋

y－322＝52.整理得x2＋y2－x－3y＝0，故选A.3．(多选)若k∈－2，0，45，1，方程x2＋y2＋(k－1)x＋2ky＋k＝0不表示圆，则k的取值可以是()A．－2B．0C．45D．1答案CD解析方程x2＋y2＋(k－1)x＋2ky＋k＝0表示

圆的条件是(k－1)2＋4k2－4k>0，解得k<15或k>1，结合题意可知，若方程不表示圆，则k的取值可以是45，1.故选3CD.4．若坐标原点在圆(x－m)2＋(y＋m)2＝4的内部，则实数m的取值范围是()A．(－1,1)B．(－3，3)C．(－2，2)D．－22，22答

案C解析∵原点(0,0)在圆(x－m)2＋(y＋m)2＝4的内部，∴(0－m)2＋(0＋m)2<4，解得－2<m<2，故选C.5．(多选)圆x2＋y2－4x－1＝0()A．关于点(2,0)对称B．关于直线y＝0对称C．关于直线x

＋3y－2＝0对称D．关于直线x－y＋2＝0对称答案ABC解析由x2＋y2－4x－1＝0，得(x－2)2＋y2＝5，所以该圆的圆心坐标为(2,0)．圆是关于圆心对称的中心对称图形，而点(2,0)是圆心，所以A正确

；圆是关于直径所在的直线对称的轴对称图形，直线y＝0，x＋3y－2＝0过圆心，直线x－y＋2＝0不过圆心，所以B，C正确，D不正确．故选ABC.6．(2018·天津高考)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，

(1,1)，(2,0)的圆的方程为________.答案x2＋y2－2x＝0解析设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，圆经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)，则F＝0，1＋1＋D＋E＋F＝0，4＋2D＋F＝0，解得D＝－2，E

＝0，F＝0，所以圆的方程为x2＋y2－2x＝0.4考向一求圆的方程例1(1)已知圆M与直线3x－4y＝0及3x－4y＋10＝0都相切，圆心在直线y＝－x－4上，则圆M的方程为()A．(x＋3)2＋(y－1)2＝

1B．(x－3)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋3)2＋(y＋1)2＝1D．(x－3)2＋(y－1)2＝1答案C解析到两直线3x－4y＝0,3x－4y＋10＝0的距离都相等的直线方程为3x－4y＋5＝0，联立得方程组3x－4y＋5＝0，y＝－x－4，

解得x＝－3，y＝－1.又两平行线间的距离为2，所以圆M的半径为1，从而圆M的方程为(x＋3)2＋(y＋1)2＝1.故选C.(2)已知圆的圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)，则

圆的一般方程为________.答案x2＋y2＋2x＋4y－5＝0解析解法一：设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，由题意得(2－a)2＋(－3－b)2＝r2，(－2－a)2＋(－5－b)2＝r2，a－2b－3＝0，解得a＝－1，b＝－2，r2＝10，故所求圆的

方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10，即x2＋y2＋2x＋4y－5＝0.解法二：设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心坐标为－D2，－E2.由题意得－D2－2×－E2－3＝0，4＋9＋2D－3E＋F＝0，4＋25－2D－5E＋F＝0

，解得D＝2，E＝4，F＝－5.故所求圆的方程为x2＋y2＋2x＋4y－5＝0.5解法三：∵A(2，－3)，B(－2，－5)，∴kAB＝－3－(－5)2－(－2)＝12，又线段AB的中点为(0，－4)，∴线段AB的中垂线方程为y－(

－4)＝－2(x－0)，即2x＋y＋4＝0.由2x＋y＋4＝0，x－2y－3＝0，得x＝－1，y＝－2.∴所求圆的圆心坐标为(－1，－2)，半径r＝(－1－2)2＋(－2＋3)2＝10.∴所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10，即x2＋y2＋2x＋4y

－5＝0.求圆的方程的两种方法(1)几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．(2)待定系数法①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设出圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值

．②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择设出圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．提醒：解答圆的有关问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质．1.已知圆E经过两点A(0,1)，B(2,

0)，且圆心在x轴的正半轴上，则圆E的标准方程为()A.x－322＋y2＝254B.x＋342＋y2＝2516C.x－342＋y2＝2516D.x－342＋y2＝254答案C解析因为圆E经过点A(0,1)，B(2,0)，所以圆E的圆心在

线段AB的垂直平6分线y－12＝2(x－1)上．又圆E的圆心在x轴的正半轴上，所以圆E的圆心坐标为34，0.则圆E的半径为|EB|＝2－342＋(0－0)2＝54，所以圆E的标准方程为

x－342＋y2＝2516.故选C.2．已知圆C经过P(－2,4)，Q(3，－1)两点，且在x轴上截得的弦长等于6，则圆C的一般方程为________________.答案x2＋y2－2x－4y－8＝

0或x2＋y2－6x－8y＝0解析设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.由题意可得2D－4E－F＝20，①3D－E＋F＝－10.②又令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0.③设x1，x2是方程③的两根，由|x1－x2|＝6，得

D2－4F＝36，④联立①②④得D＝－2，E＝－4，F＝－8或D＝－6，E＝－8，F＝0.故所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0.考向二与圆有关的轨迹问题例2已知过原点的动直线l与圆C1：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两

点A，B.(1)求圆C1的圆心坐标；(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程．解(1)由x2＋y2－6x＋5＝0，得(x－3)2＋y2＝4，所以圆C1的圆心坐标为(3,0)．(2)设点M(x，y)，因为点M为线段AB的中点，所以C1M⊥AB，所以kC1M·kAB＝－1，当x≠3时，可得

yx－3·yx＝－1，整理得x－322＋y2＝94，7又当直线l与x轴重合时，M点坐标为(3,0)，代入上式成立．设直线l的方程为y＝kx，与x2＋y2－6x＋5＝0联立，消去y，得(1＋k2)x2－6x

＋5＝0.令其判别式Δ＝(－6)2－4(1＋k2)×5＝0，得k2＝45，此时方程为95x2－6x＋5＝0，解上式得x＝53，因此53<x≤3.所以线段AB的中点M的轨迹C的方程为x－32

2＋y2＝9453<x≤3.求与圆有关的轨迹方程的方法3.(多选)(2022·浙江杭州模拟)古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值λ(λ≠1)的点

所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系xOy中，A(－2,0)，B(4,0)，点P满足|PA||PB|＝12，设点P所构成的曲线为C，下列结论正确的是()A．C的方程为(x＋4)2＋y2＝16B．在C上存在

点D，使得D到点(1,1)的距离为3C．在C上存在点M，使得|MO|＝2|MA|D．在C上存在点N，使得|NO|2＋|NA|2＝4答案ABD解析对于A，设点P(x，y)，由A(－2,0)，B(4，0)，|PA||PB|＝12，得(x＋2)2＋y2(x－4)2＋y2＝12，化简

得x2＋y2＋8x＝0，即(x＋4)2＋y2＝16，故A正确；对于B，曲线C的8方程表示圆心为(－4，0)，半径为4的圆，圆心与点(1,1)的距离为(－4－1)2＋(0－1)2＝26，则点(1,1)与圆上的点的距离的最小值为26－4，最大值为26＋4，而3∈[26

－4，26＋4]，故B正确；对于C，设M(x0，y0)，由|MO|＝2|MA|，得x20＋y20＝2(x0＋2)2＋y20，又(x0＋4)2＋y20＝16，联立方程消去y0得x0＝2，再代入(x0＋4)2＋y20＝16得y0无解，故C错误；对于D，设N(x1，y1)，由|NO|2

＋|NA|2＝4，得x21＋y21＋(x1＋2)2＋y21＝4，又(x1＋4)2＋y21＝16，联立方程消去y1得x1＝0，再代入(x1＋4)2＋y21＝16得y1＝0，故D正确．多角度探究突破考向三与圆有关的最值问题角度借助

几何性质求最值例3(1)(2020·北京高考)已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为()A．4B．5C．6D．7答案A解析设圆心为C(x，y)，则(x－3)2＋(y－4)2＝1，化简得(x－3)2

＋(y－4)2＝1，所以圆心C的轨迹是以M(3，4)为圆心，1为半径的圆，如图．所以|OC|＋1≥|OM|＝32＋42＝5，所以|OC|≥5－1＝4，当且仅当C在线段OM上时取得等号，故选A.(2)已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.①求yx的最大值和最小值；9②求y－x的最大值和最小

值；③求x2＋y2的最大值和最小值．解①原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆，yx的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设yx＝k，即y＝kx.当直线y＝kx与圆

相切时，斜率k取最大值或最小值，此时|2k－0|k2＋1＝3，解得k＝±3.所以yx的最大值为3，最小值为－3.②y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时|2－0＋b|2＝3

，解得b＝－2±6.所以y－x的最大值为－2＋6，最小值为－2－6.③x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为2，所以x2＋y2的最大

值是(2＋3)2＝7＋43，x2＋y2的最小值是(2－3)2＝7－43.角度构建目标函数求最值例4设点P(x，y)是圆x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2,0)，B(－2,0)．则PA→·PB→的最大值为________.答案12解析由题意，得

PA→＝(2－x，－y)，PB→＝(－2－x，－y)，所以PA→·PB→＝x2＋y2－4，由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程x2＋(y－3)2＝1，故x2＝－(y－3)2＋1，所以PA→·PB→＝－(y－3)2＋1＋y2－4＝6y－12.易知2≤y≤4，所以，当y＝

4时，PA→·PB→的值最大，最大值为6×4－12＝12.10角度利用对称性求最值例5已知A(0,2)，点P在直线x＋y＋2＝0上，点Q在圆C：x2＋y2－4x－2y＝0上，则|PA|＋|PQ|的最小值是________.答案25解析因为圆C：x2＋y2－4x－2y＝0，故圆C是以C(

2,1)为圆心，5为半径的圆．设点A(0，2)关于直线x＋y＋2＝0的对称点为A′(m，n)，故m＋02＋n＋22＋2＝0，n－2m－0＝1，解得m＝－4，n＝－2，故A′(－4，－2)．连接A′C交圆C于Q，由对称性可知|PA|＋|PQ|＝|A′P|＋|PQ|≥

|A′Q|＝|A′C|－r＝25.与圆有关的最值问题的求解方法(1)借助几何性质求最值①形如μ＝y－bx－a形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；②形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；③形如(x－a)2＋(

y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．(2)建立函数关系式求最值根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，利用基本不等式求最值是比较常用的．(3)求解形如|PM|＋|PN|(其

中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路①“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；②“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决．4.(2018·全国Ⅲ卷)直线x＋y＋2＝0分别与x轴、y轴交于A，B11两点，

点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是()A．[2,6]B．[4,8]C．[2，32]D．[22，32]答案A解析∵直线x＋y＋2＝0分别与x轴、y轴交于点A，B，∴A(－2,0)

，B(0，－2)，则|AB|＝22.∵点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，圆心为(2,0)，∴圆心到直线的距离d1＝|2＋0＋2|2＝22，故点P到直线x＋y＋2＝0的距离d2的范围为[2，32]，则S△ABP＝12|AB|d2＝2d2∈[2,6]．故选A.5．已知圆C：

(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m,0)，B(m,0)(m>0)．若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为()A．7B．6C．5D．4答案B解析∵在Rt△APB中，原点O为斜边中点，|AB|＝2m(m>0)，∴m＝|OP|≤|OC|＋r，又C(3,4)，

r＝1，∴|OP|≤6，即m≤6.故选B.6．已知圆C1：(x＋2)2＋(y－1)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为()A．6－22B．17－1C．52－4D．17答案C解析圆C1：(x＋2)

2＋(y－1)2＝1的圆心为(－2,1)，半径为1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9的圆心为(3,4)，半径为3.如图，圆C1关于x轴的对称圆为圆C1′：(x＋2)2＋(y＋1)2＝1.连接C1′C2，交x轴于P，则P为使|PM|＋|PN|最小的点，此时

M点为PC1与圆C1的交点，N为PC2与圆C2的交点，最小值为|C1′C2|－(3＋1)，而|C1′C2|＝(3＋2)2＋(4＋1)2＝52，∴|PM|＋|PN|的最小值为52－4.故选C.127．(2022·

宁夏银川模拟)设点P(x，y)是圆(x－3)2＋y2＝4上的动点，定点A(0,2)，B(0，－2)，则|PA→＋PB→|的最大值为________.答案10解析由题意，知PA→＝(－x,2－y)，PB→＝(－x，－2－y)，所以PA→＋PB→＝(－2x，

－2y)，所以|PA→＋PB→|＝2x2＋y2.因为点P(x，y)是圆(x－3)2＋y2＝4上的点，所以点P的坐标(x，y)满足方程(x－3)2＋y2＝4,1≤x≤5，所以y2＝－(x－3)2＋4，所以|PA→

＋PB→|＝2x2－(x－3)2＋4＝26x－5.因为1≤x≤5，所以当x＝5时，|PA→＋PB→|的值最大，最大值为26×5－5＝10.1．若一圆的圆心坐标为(2，－3)，一条直径的端点分别在x轴和y轴上，则此圆的方程是()A．(x－2)

2＋(y＋3)2＝13B．(x＋2)2＋(y－3)2＝13C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52D．(x＋2)2＋(y－3)2＝52答案A解析由圆的几何性质可知，圆的半径r＝22＋(－3)2＝13.故此圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝13.故选A.132．圆(x－1)2＋(y－2)2

＝1关于直线y＝x对称的圆的方程为()A．(x－2)2＋(y－1)2＝1B．(x＋1)2＋(y－2)2＝1C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1D．(x－1)2＋(y＋2)2＝1答案A解析已知圆的圆心C(1,2)关于直线y＝x对称的点为C′(2

,1)，所以圆(x－1)2＋(y－2)2＝1关于直线y＝x对称的圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1，故选A.3．(2022·保定质检)已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则“E＝F＝0且D<0”是“圆C与y轴相切于原点”的()A．

充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析圆C与y轴相切于原点⇒圆C的圆心在x轴上，设圆心的坐标为(a,0)，则半径r＝|a|.所以当E＝F＝0且D<0时，圆心为－D2，0，半径为|D2|，圆C与y轴相切于原点；圆(x＋1)2＋y

2＝1与y轴相切于原点，但D＝2>0，故选A.4．已知圆C的半径为2，圆心在x轴正半轴上，直线3x＋4y＋4＝0与圆C相切，则圆C的方程为()A．x2＋y2－2x－3＝0B．x2＋y2＋4x＝0C．x2＋y2＋2x－3＝0D．x2＋y2－4x＝014答案D解析设圆心为(a,0)(a>0)，

由题意知圆心到直线3x＋4y＋4＝0的距离d＝|3a＋4|32＋42＝3a＋45＝r＝2，解得a＝2，所以圆心坐标为(2,0)，则圆C的方程为(x－2)2＋y2＝4，化简得x2＋y2－4x＝0，故选D.5．已知

点P(1,2)和圆C：x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，过点P作圆C的切线有两条，则k的取值范围是()A．RB．－∞，233C.－233，233D．－233，0答案C解析圆C：x＋k22＋(y＋1)2＝1－34k2，因为过点P有两条切线，所以点

P在圆外，从而1＋4＋k＋4＋k2>0，1－34k2>0，解得－233<k<233.故选C.6．已知点A是直角三角形ABC的直角顶点，且A(2a,2)，B(－4，a)，C(2a＋2,2)，则△ABC的外接圆的方程是()A．x2＋(y－3

)2＝5B．x2＋(y＋3)2＝5C．(x－3)2＋y2＝5D．(x＋3)2＋y2＝5答案D解析因为点A是直角三角形ABC的直角顶点，所以|BC|2＝|AB|2＋|AC|2，即(2a＋6)2＋(2－a)2＝(－4－2a)2＋(a－2

)2＋4，解得a＝－2，即A(－4,2)，B(－4，－2)，C(－2,2)，则△ABC的外接圆的圆心为(－3,0)，半径为12|BC|＝5，所以△ABC的外接圆的方程是(x＋3)2＋y2＝5，故选D.7．曲线x2＋(y－1)2＝1(x≤0)上的点到直线x－y－1＝0的距离的最大值为

a，最小值为b，则a－b的值是()A.2B．215C.22＋1D．2－1答案C解析因为圆心(0,1)到直线x－y－1＝0的距离为22＝2>1，所以半圆x2＋(y－1)2＝1(x≤0)上的点到直线x－y－1＝0的距离的最大值为2＋1，最小值为点(0,0

)到直线x－y－1＝0的距离，为12＝22，所以a－b＝2＋1－22＝22＋1，故选C.8．(2020·全国Ⅱ卷)若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x－y－3＝0的距离为()A.55B．255C.355D．455答案B解析由于圆上的点(2,1)在第一

象限，若圆心不在第一象限，则圆至少与一条坐标轴相交，不符合题意，所以圆心必在第一象限．设圆心的坐标为(a，a)，a＞0，则圆的半径为a，圆的标准方程为(x－a)2＋(y－a)2＝a2.由题意可得(2－a)2＋(1－

a)2＝a2，可得a2－6a＋5＝0，解得a＝1或a＝5.所以圆心的坐标为(1,1)或(5,5)．点(1,1)，(5,5)到直线2x－y－3＝0的距离均为d＝25＝255，所以圆心到直线2x－y－3＝0的距

离为255.故选B.9．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，点Q是圆(x－2)2＋(y－3)2＝3上的动点，则|PQ|的最大值为()A．5－3B．5＋3C．3＋23D．3－23答案B解析设点P(x，y

)，由|PA|＝2|PB|，得(x＋2)2＋y2＝2(x－1)2＋y2，所以16点P的轨迹方程为x2＋y2－4x＝0，即(x－2)2＋y2＝4.如图，设P，Q所在圆的圆心分别为C1，C2，半径分别为r1，r2，则|PQ|max＝|C1C2|＋r1

＋r2＝3＋2＋3＝5＋3.故选B.10．圆x2＋y2＋4x－12y＋1＝0关于直线ax－by＋6＝0(a＞0，b＞0)对称，则2a＋6b的最小值是()A．23B．203C．323D．163答案C解析由圆x2＋y2＋4x－12y＋1＝0知，其标准方程为(x＋2)2＋(y－6)2＝39，∵

圆x2＋y2＋4x－12y＋1＝0关于直线ax－by＋6＝0(a＞0，b＞0)对称，∴该直线经过圆心(－2，6)，即－2a－6b＋6＝0，∴a＋3b＝3(a＞0，b＞0)，∴2a＋6b＝23(a＋3b)1a＋3b＝231＋3ab＋3ba＋9≥2310＋23a

b·3ba＝323，当且仅当3ba＝3ab，即a＝b＝34时取等号，故选C.二、多项选择题11．已知圆C关于y轴对称，经过点(1,0)且被x轴分成两段，弧长比为1∶2，则圆C的方程可能为()A．x2＋y＋332＝43B．x2＋y－332＝43C．(x－3)

2＋y2＝4317D．(x＋3)2＋y2＝43答案AB解析由已知圆心在y轴上，且被x轴所分劣弧所对圆心角为2π3，设圆心(0，a)，半径为r，则rsinπ3＝1，rcosπ3＝|a|，解得r＝23，即r2＝43，|a|＝33，即a＝±33，故圆C的

方程为x2＋y±332＝43.故选AB.12．(2022·烟台模拟)设有一组圆Ck：(x－k)2＋(y－k)2＝4(k∈R)，下列命题正确的是()A．不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上B．所有圆Ck均不经过点(3,0)C．经过点(2,2)的圆Ck有且

只有一个D．所有圆的面积均为4π答案ABD解析圆心坐标为(k，k)，在直线y＝x上，A正确；令(3－k)2＋(0－k)2＝4，化简得2k2－6k＋5＝0，∵Δ＝36－40＝－4<0，∴2k2－6k＋5＝0无实数根，B正确；由(2－k)2＋(2－k)2＝4，化简得k2－4k＋2＝0，∵Δ＝16－8＝

8>0，有两个不相等实根，∴经过点(2,2)的圆Ck有两个，C错误；由圆的半径为2，得圆的面积为4π，D正确．故选ABD.三、填空题13．已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标为________，半径为________.答案(－

2，－4)5解析由题可得a2＝a＋2，解得a＝－1或a＝2.当a＝2时，方程不表示圆，舍去．当a＝－1时，方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，表示圆，圆心坐标为(－2，－4)，半径为5.14.如图所示，两根杆分别绕着定点A和B(AB＝

2a)在平面内转动，并且转18动时两杆保持互相垂直，则杆的交点P的轨迹方程是________.答案x2＋y2＝a2解析如图，以AB所在直线为x轴，以线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则A(－a

,0)，B(a,0)．设P(x，y)，因为PA⊥PB，所以yx＋a·yx－a＝－1(x≠±a)．化简，得x2＋y2＝a2(x≠±a)．当x＝±a时，点P与A或B重合，此时y＝0，满足上式．故杆的交点P的轨迹方程是x2＋y2＝a2.15．已知圆C：(x－3)2＋(

y－4)2＝1，设点P是圆C上的动点．记d＝|PB|2＋|PA|2，其中A(0，1)，B(0，－1)，则d的最大值为________.答案74解析设P(x0，y0)，则d＝|PB|2＋|PA|2＝x20＋(y0＋1)2＋x20＋(y0－1)2＝2(x20＋y20)＋2，x20＋y20

表示圆上任一点到原点距离的平方，∴(x20＋y20)max＝(5＋1)2＝36，∴dmax＝74.16．如图，已知圆C与x轴相切于点T(1,0)，与y轴正半轴交于两点A，B(B在A的上方)，且|AB|＝2.(1)圆C的标准方程为_____________

_____；(2)圆C在点B处的切线在x轴上的截距为________.答案(1)(x－1)2＋(y－2)2＝2(2)－2－1解析(1)记AB的中点为D，在Rt△BDC中，易得圆C的半径r＝BC＝2，19则圆心C的坐标为(1，2)，所

以圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝2.(2)因为点B的坐标为(0，2＋1)，点C的坐标为(1，2)，所以直线BC的斜率为－1，所以所求切线的斜率为1.由点斜式得切线方程为y＝x＋2＋1，故切线在x轴上的截距为－2－1.四、解答题17．在平

面直角坐标系xOy中，曲线Γ：y＝x2－mx＋2m(m∈R)与x轴交于不同的两点A，B，曲线Γ与y轴交于点C.(1)是否存在以AB为直径且过点C的圆？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由；(2)求证：过A，B，C三点的圆过定点．解令y＝

0，得x2－mx＋2m＝0.设点A(x1,0)，B(x2,0)，则Δ＝m2－8m>0，即m<0或m>8，x1＋x2＝m，x1x2＝2m.令x＝0，得y＝2m，故点C(0,2m)．(1)若存在以AB为直径且过点C的圆，则AC→·BC→＝0，得x1x2＋4m2＝0，即2m＋

4m2＝0，解得m＝0或m＝－12.因为m<0或m>8，所以m＝－12，此时点C(0，－1)，所求圆的圆心为线段AB的中点M－14，0，半径r＝|CM|＝174，故所求圆的方程为x＋142＋y2＝1716.(2)证明：设过A，B两点

的圆的方程为x2＋y2－mx＋Ey＋2m＝0，将点C(0,2m)的坐标代入，可得E＝－1－2m，所以过A，B，C三点的圆的方程为x2＋y2－mx－(1＋2m)y＋2m＝0，整理得x2＋y2－y－m(x＋2y－2)＝0.20令x2＋

y2－y＝0，x＋2y－2＝0，解得x＝0，y＝1或x＝25，y＝45.故过A，B，C三点的圆过定点(0,1)和25，45.18．已知点P(2,2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A

，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．(1)求M的轨迹方程；(2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积．解(1)圆C的方程可化为x2＋(y－4)2＝16，所以圆心为C(0,4)，半径为4.设M(x

，y)，则CM→＝(x，y－4)，MP→＝(2－x,2－y)．由题设知CM→·MP→＝0，故x(2－x)＋(y－4)·(2－y)＝0，即(x－1)2＋(y－3)2＝2.由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程为(x－1)2＋(y－3)2＝

2.(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心，2为半径的圆．由于|OP|＝|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ON⊥PM.因为ON的斜率为3，所以l的斜率为－13，故l的方程为x＋3y－8＝0.又|OM

|＝|OP|＝22，O到l的距离为4105，所以|PM|＝4105，S△POM＝12×4105×4105＝165，故△POM的面积为165.