【文档说明】湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题 Word版含解析.docx，共(26)页，3.090 MB，由小赞的店铺上传

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华中师大一附中2023-2024学年度第一学期高二年级十月月考数学试卷时限：120分钟满分：150分命题人：沈宇为审题人：钟涛一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合题意）1.直线l过点

()2,1A，(),3Bm的直线的倾斜角的范围是3,44，则实数m的取值范围是（）A.(0,2B.()0,4C.)2,4D.()()0,22,4【答案】B【解析】【分析】当直线的斜率存在时，22k

m=−且1k−或1k；直线的斜率不存在时，2m=，综合即得解【详解】由直线的倾斜角的范围是3,44，得直线的斜率存在时，1k−或1k.当2m时，31222kmm−==−−，21

2m−−或212m−，解得02m或24m.当直线的斜率不存在时，2m=符合题意综上，实数m的取值范围是()0,4.故选：B2.直线1l：10axy+−=，2l：()1210axy−−+=，则“1a=−”是“12ll⊥”的（）条件A.必要

不充分B.充分不必要C.充要D.既不充分也不必要【答案】B【解析】【分析】先求出两直线垂直时a的值，进而可判断充分必要条件．【详解】直线1l：10axy+−=，2l：()1210axy−−+=，当12ll⊥时,有()120aa−−=，解得2

a=或1a=−.所以“1a=−”时“12ll⊥”成立，“12ll⊥”时“1a=−”不一定成立，则“1a=−”是“12ll⊥”的充分不必要条件.故选：B3.已知空间向量()()0,1,2,1,2,2ab==−，则向量a在向量b上的投影向量是（）A.122,,

333−B.244,,333−C.()2,4,4−D.422,,333−【答案】B【解析】【分析】根据已知求出,abb，进而即可根据投影向量求出答案.【详解】由已知可得，6ab=，3b=，所以，向量a在向量b上的投影向

量是244,,23333abbbbb−==.故选：B.4.如图，在平行六面体1111ABCDABCD−中，点M是棱1CC的中点，连接1BM、1BC交于点P，则（）A.12133DPABADAA=−

+B.11233DPABADAA=−+C.12233DPABADAA=++D.11122DPABADAA=−+【答案】B【解析】【分析】推导出123BPBC=，利用空间向量的线性运算可得出DP关于AB、AD、1AA的表达式.【详解】在平行四边形11BBCC中，因为M为1CC的中点，连接1B

M、1BC交于点P，且11//BBCC，所以，11112CPCMBPBB==，则()()111222333BPBCBCBBADAA==+=+，因此，()11212333DPDAABBPADABADAAABADAA=++=−+++=−+.故选：B.5.将一张画了直角坐标系（

两坐标轴单位长度相同）的纸折叠一次，使点()2,0与点()2,4−重合，点()2021,2022与点(),mn重合，则mn+=（）A.1B.2023C.4043D.4046【答案】C【解析】【分析】设()2,0A，()2,4B−，进而根据题意得过点()2021,2022与点(),mn的直线与

直线AB平行，再根据斜率公式计算求解即可.【详解】解：设()2,0A，()2,4B−，则,AB所在直线的斜率为40122ABk−==−−−，由题知过点()2021,2022与点(),mn的直线与直线AB平行，所以202212021nm−=−−，整理得202120224043mn+=+=

故选：C6.如图，在棱长为1的正方体1111ABCDABCD−中，E为线段1DD的中点，F为线段1BB的中点．直线1FC到平面1ABE的距离为（）．A.53B.305C.23D.13【答案】D【解析】【分析】将直线1FC到平面1ABE的

距离转化为点1C到平面1ABE的距离，建立直角坐标系，表示出相应点的坐标以及向量和法向量，利用距离公式即可求出.【详解】11,AEFCFC平面1ABE,AE平面1ABE,1FC平面1ABE,因此直线1FC到平面1ABE的距离等于点1C到平面1ABE的距

离，如图，以D点为坐标原点，DA所在的直线为x轴，DC所在的直线为y轴，1DD所在的直线为z轴，建立直角坐标系.则1111(1,0,0),(1,1,1),(0,1,1),(0,0,),(1,1,)22ABCEF111111(1,0,)

,(1,0,),(0,1,1),(1,0,0)22FCAEABCB=−=−==设平面1ABE的法向量为(,,)nxyz=，则11020nAExznAByz=−+==+=，令2z=，则(1,2,2)n=−设点1C到平面1ABE的距离为d，则1113nCBdn==

故直线1FC到平面1ABE的距离为13.故选：D.7.过点()3,4P在两坐标轴上的截距都是非负整数的直线有多少条（）A.4B.5C.6D.7【答案】D【解析】【分析】截距为零时单独考察，在截距不为零时，设截距分别为,,ab利用截距式写出直线方程，根据过定点P,得

到,ab的关系，判定,ab的范围，然后求得43aba=−后分离常数得到1243ba=+−，进而得出3a−应当为12正因数，从而解决问题.【详解】当截距为0时，是直线OP,只有一条，当截距大于0时，设截距分别为,,ab则直

线方程为1xyab+=，∵直线过点()3,4P,∴341+ab=①，∵0,0ab,∴3400>,>ab,结合①可得，34<1<1,ab,∴3,4ab,又∵,ab为整数，45ab，，由①解得412433abaa==+−−,3a−为12的因数，∴31,2,

3,4,6,12a−=,对应4,5,6,7,9,15a=,相应16,10,8,7,6,5,b=对应的直线又有6条，综上所述，满足题意的直线共有7条，故选：D.【点睛】本题考查直线的截距和直线方程的截距式，涉及整除问题，关键有两点：一是要注意截距为零的情况，而是在截距不为零时，得到43aba=−后分

离常数得到1243ba=+−，进而得出3a−应当为12正因数，本题属中档题.8.在四棱锥PABCD−中，棱长为2的侧棱PD垂直底面边长为2的正方形ABCD，M为棱PD的中点，过直线BM的平面分别与侧棱PA、PC相交于点E、F，当PEPF=时，截面MEBF的面积为（）A.

22B.2C.33D.3【答案】A【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用向量共面确定点的坐标，利用向量数量积及三角形面积公式即可求出.【详解】由题意，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，如图，建立空间直角坐标系D-xyz，则()0

,2,0C，()002P,,，()2,0,0A，()0,0,1M，()2,2,0B，()2,0,2PA=−，()2,2,1BM=−−，设()2,0,2PEtPAtt==−，01t，则()2,0,22Ett−，又PEPF=

，PAPC=，所以()0,2,2PFtPCtt==−，则()0,2,22Ftt−，由题意，MEBF、、、四点共面，所以BMxBEyBF=+，所以2(22)222(22)1(22)(22)txyxtytxty−=−−−=−+−=−+−，解得32,43xyt===，所以42,0,33E

，420,,33F，所以2222,2,,2,,3333BEBF=−−=−−，所以2879cos,114444449999BEBFBEBFBEBF===++++，即7cos11EBF=，所以262sin1cos11EBFEBF=−

=，所以11446242sin229113EBFSBEBFEBF===，又4141,0,,0,,3333MEMF=−=−，所以119cos,17161161009999MEMFMEMFMEMF===++++，即1cos17EMF=，所以2122

sin1cos17EMFEMF=−=，所以111712222sin229173EMFSMEMFEMF===，所以截面MEBF的面积为42222233EBFEMFSSS=+=+=.故选：A二、多项选择题（每题有两个或者两个以上正确答案，每题5分，少选得2分，共20分）9.下列说法中

不正确的是（）A.经过定点000(,)Pxy的直线都可以用方程00()yykxx−=−来表示B.经过定点(0,)Ab的直线都可以用方程ykxb=+来表示C.不与坐标轴重合或平行的直线其方程一定可以写成截距式D.不与坐标轴重合或平行的直线其方程一定可以写成两点式【

答案】ABC【解析】【分析】根据直线方程五种形式的限制条件解决即可.【详解】对于A，点斜式方程适用斜率存在的直线，故A错误；对于B，斜截式方程适用斜率存在的直线，故B错误；对于C，截距式方程适用不与坐标轴重合或平行且不过原点的直线，故C错误；对于D，两点式

方程适用不与坐标轴重合或平行的直线，故D正确；故选：ABC10.下列命题中正确的是（）A.若,,,ABCD是空间任意四点，则有0ABBCCDDA+++=uuuruuuruuuruuurrB.若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角等于130，则直线l与平面所成的角

等于50C.已知向量,,abc组是空间的一个基底，则,,abbcabc++++也是空间的一个基底D.对空间任意一点O与不共线的三点,,ABC，若OPxOAyOBzOC=++（其中,,xyzR,,xyzR），则,,,PABC四点共面【答案】AC【解析】【分析】根据空间向量加

法的运算法则，线面角的定义，结合空间向量基底的性质、四点共面的性质逐一判断即可.【详解】A：因为0ABBCCDDA+++=uuuruuuruuuruuurr，所以本选项命题正确；B：因为直线l的方向向量与平面的法向量的夹角等于130，所以直线l与平面所成的角等于()9018013040

−−=，因此本选项命题不正确；C：假设,,abbcabc++++不是空间一个基底，所以有()()abcxabybc++=+++成立，因为,,abc组是空间的一个基底，所以可得111xxyy==+=，显然该方程组没有实数解，因此假设不成立，所以,,abbcabc

++++也是空间的一个基底，因此本选项命题正确；D：因为只有当1xyz++=时，,,,PABC四点才共面，所以本选项命题不正确，故选：AC11.已知点()1,1M−，()2,1N，且点P在直线l：20xy++=上

，则（）A.存在点P，使得PMPN⊥B.存在点P，使得2PMPN=C.PMPN+的最小值为29D.PMPN−最大值为3【答案】BCD【解析】【分析】设(),2Paa−−，利用斜率公式判断A，利用距离公式判断B，化折线为直线，利用两点之间线段最短判断C，

根据几何意义判断D.【详解】对于A：设(),2Paa−−，若1a=−时()1,1P−−，此时PM的斜率不存在，203PNk=，PM与PN不垂直，同理2a=时PM与PN不垂直，当1a−且2a时31PMaka−−=+，32PNaka−−=−，若PMPN⊥，则33121PMPNaakkaa−

−−−==−−+，去分母整理得22570aa++=，2Δ54270=−，方程无解，故PM与PN不垂直，故A错误；对于B：设(),2Paa−−，若2PMPN=，则()()()()222221323a

aaa++−−=−+−−，即221090aa++=，由2Δ10429280=−=，所以方程有解，则存在点P，使得2PMPN=，故B正确；对于C：如图设()1,1M−关于直线l的对称点为(,)Mmn，则111112022nmmn−=

+−+++=，解得31mn=−=−，即(3,1)M−−，所以()()22321129PMPNPMPNMN+=+=+−−−−=，当且仅当M、P、N三点共线时取等号（P在线段MN之间），故C正确；对于D：如下图，3P

MPNMN−=，当且仅当P在NM的延长线与直线l的交点时取等号，故D正确.故选：BCD12.如图，四边形ABCD中，90BAD=，25ABAD==，45ACB=，1tan2BAC=，将ABC沿AC折到BAC位置，使得平面BAC⊥平面

ADC，则以下结论中正确的是（）A.三棱锥BACD−的体积为8B.三棱锥BACD−的外接球的表面积为44C.二面角BADC−−的正切值为54D.异面直线AC与BD所成角的余弦值为55【答案】ABC【解析】【分析】对于A，先四边形ABCD中，利用已知条件结正弦定理求出,BCAC的长，过

B作BEAC⊥于E，则可求出BE，从而可求出三棱锥BACD−的体积，对于B，在ACD中利用余弦定理求出CD，再利用正弦定理求出ACD外接圆的半径，设O为ACD的外心，三棱锥BACD−外接球的半径为R，球心为'O，设'OOx=，则222222(2)ROExRxOC=++=+，

从而可求出R，进而可得三棱锥BACD−的外接球的表面积，对于C，过E作EFAD⊥于F，连接'BF，则可得'BFE为二面角BADC−−的平面角，从而可求得结果，对于D，如图建立空间直角坐标，利用空间向量求解即可【详解】过B作BEAC⊥于E，在ABC中，因为1tan2B

AC=，所以5sin5BAC=，25cos5BAC=，由正弦定理得sinsinABBCACBBAC=,即252525BC=，解得22BC=，所以2sin2222BEBCACB===，2CE=，因为()ABCACBBAC=−+,所以

sinsin()ABCACBBAC=+sincoscossinACBBACACBBAC=+52252310525210=+=，由正弦定理得sinsinACABABCACB=，即253102102AC=，解得6AC=，所以11

sinsin(90)22ACDSACADDACACADBAC==−1125cos62512225ACADBAC===，因为平面BAC⊥平面ADC，平面'BAC平面ADCAC=，BEAC⊥，所以'BE⊥平面ADC，所以三棱锥

BACD−的体积为11122833ACDSBE==，所以A正确，设O为ACD的外心，ACD外接圆半径为r，由余弦定理得2222cosCDACADACADDAC=+−22222cos(90)2sin536202625325AC

ADACADBACACADACADBAC=+−−=+−=+−=所以42CD=，由正弦定理得422210sin255CDrDAC===，所以10r=，取AC的中点M，连接,,OMOEOC，则221091OMOCCM

=−=−=，222OEEMOM=+=，设三棱锥BACD−外接球的半径为R，球心为'O，设'OOx=，则222222(2)ROExRxOC=++=+，即22222(2)10RxRx=++=+，解得1x=，211R=，所以三棱锥BACD−外接球的表面积为2444R=，所以

B正确，过E作EFAD⊥于F，连接'BF，因为'BE⊥平面ADC，AD平面ADC，所以'BEAD⊥，因为'BEEFE=，所以AD⊥平面'EBF，因为'BF平面'EBF，所以'BFAD⊥，所以'BFE为二面角BADC−−的平面角，因为2585sin4

55EFAEDAC===，所以''25tan4855BEBFEEF===，所以C正确，如图，以E为坐标原点，建立空间直角坐标系，过D作DGAC⊥于G，则5cos2525AGADCAD===，25sin

2545DGADCAD===，则'(2,0,0),(4,0,0),(2,4,0),(0,0,2)CADB−−所以'(6,0,0),(2,4,2)ACBD==−−设异面直线AC与BD所成角为，则''126cos664164ACBDACBD−===++，所以D错

误，故选：ABC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13.直线1:230lmxy+−=与直线()2:3160lxmym+−+−=平行，则m=_________.【答案】－2【解析】【分析】利用两直线平行：斜率相等，纵截距不等即可求出结

果.【详解】由1:230lmxy+−=，得到12:32mlyx=−+，因为12ll//，所以10m−，由()3160xmym+−+−=，得到3611myxmm−=−−−−所以3213621mmmm−=−−−−

−，即2603mmm−−=，解得2m=−，故答案为：2−.14.如图，平行六面体1111ABCDABCD−的底面ABCD是矩形，2AB=，2AD=，122AA=，且1160AADAAB==，则线段1AC的长为_________

______.【答案】25【解析】【分析】根据给定条件，可得11ACACCC=+，再求出相关向量的模长，然后结合空间向量数量积运算，即可得到结果.【详解】依题意，11ACACCC=+，得22221111()2ACACCCACACC

CCC=+=++，由底面ABCD为矩形，2AB=，2AD=，得222224ACABAD=+=+=，显然22118CCAA==，又1111()ACCCABADCCABAAADAA=+=+1111cos60cos6022222

2422ABAAADAA=+=+=，因此21424820AC=++=，所以125AC=.故答案为：2515.已知正方形的中心为直线220xy−+=，10xy++=的交点，正方形一边所在的直线方程为350xy+−=，则它

邻边所在的直线方程为___________．【答案】390,330xyxy−+=−−=【解析】【分析】先求出中心坐标为(1,0)M−，再根据邻边所在直线与1l垂直设34,ll方程为230xyd−+=，进而结合点(1,0)M−到这两条

直线距离相等且为3105即可求解.【详解】解：22010xyxy−+=++=，解得10xy=−=，∴中心坐标为(1,0)M−，点M到直线1:350lxy+−=的距离2215310513d−−==+设与1l垂直两线分

别为34ll、，则点(1,0)M−到这两条直线距离相等且为3105，设34,ll方程为230xyd−+=∴23310510d−+=，解得23d=−或9，∴它邻边所在的直线方程为390,330xyxy−

+=−−=．故答案为：390,330xyxy−+=−−=16.已知a，0bRa，，曲线221ayyaxbx+==++，，若两条曲线在区间34，上至少有一个公共点，则22ab+的最小值为________．【答案】1100【

解析】【分析】由题意两条曲线在区间34，上至少有一个公共点，得到221aaxbx+=++有解，转化为关于a，b的直线方程()21220xabxx−++−=，得到22ab+表示原点到点()ab，的距离的平方，转化为2222221xab

dx−+=+，巧换元，构造函数，利用函数的单调性质，求出最值．【详解】曲线221ayyaxbx+==++，，221aaxbx+=++，222aaxbxx+=++，()21220xabxx−++−=

，于是可以看作关于a，b的直线方程，则()ab，是该直线上点，22ab+表示原点到点()ab，的距离的平方，设原点到直线的距离为d，的根据点到直线的距离公式得到()222214xdxx−=−+，()()222222222211xxabdxx−−+==++，令234txx=

−，，，则12t，，则2xt=+，()222222221545214ttabdttttt+===++++++，设()5412ftttt=++，，，可知函数()ft在12，上为减函数，当1t=时，()()11

5410maxftf==++=，当1t=时，22ab+最小值为1100．故答案为:1100．【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于，根据点到直线距离公式，结合题意，得到2222221xabdx−+=+，利用换元法，进行求解即可.四、解答题：（

本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（1）求证：动直线()()222231310mmxmmym++++−++=（其中Rm）恒过定点，并求出定点坐标；（2）求经过两直线1:240l

xy−+=和2:20lxy+−=的交点P，且与直线3:3450xly−+=垂直的直线l的方程.【答案】（1）证明见解析，()1,2A−；（2）4360xy+−=.【解析】【分析】（1）解法一：利用特值法，可得定点()1,2A−

，再验证满足题意；解法二：动直线转化为()()232310xymxymxy−++++++=，利用Rm，则关于m的方程系数为0，列出方程解得即可.（2）解法一：联立两直线求出交点P，又与直线3:3450xly−+=垂直的直线斜率43k=−，写出直线即可；解法二：利用垂

直直线系，得直线方程为430xym++=，再代入交点P解得m的值，即可得到答案；解法三：利用交点系得直线()():2420lxyxy−+++−=，又3ll⊥，得方程()()()31420++−−=，解得的值，即可得到

答案.【详解】(1)证明：解法一：令0m=，则直线方程为310xy++=①再令1m=时，直线方程为640xy++=②①和②联立方程组310640xyxy++=++=，得12xy=−=，将点()

1,2A−代入动直线()()222231310mmxmmym++++−++=中，即()()()()()22222311231312222130mmmmmmm++−++−++=−−+−+++−=故动直线()()222231310mmxmmym++++−++=恒过

定点()1,2A−.解法二：将动直线方程按m降幂排列整理，得()()232310xymxymxy−++++++=①不论m为何实数，①式恒为零，∴有3020310xyxyxy−+=+=++=，解得12xy=−=，故动直线恒过

点()1,2A−．(2)解法一：联立方程24020xyxy−+=+−=，解得()0,2P，直线3:3450xly−+=的斜率为34，由3ll⊥，则直线l的斜率为43k=−，故直线l的方程为4360xy+

−=.解法二：设所求直线方程为430xym++=，将解法一中求得的交点()0,2P代入上式可得6m=−，故所求直线方程为4360xy+−=.解法三：设直线l的方程为()()2420xyxy−+++−=，即

()()12420xy++−+−=，又3ll⊥，∴()()()31420++−−=，解得11=，故直线l的方程为4360xy+−=.18.在ABC中，()()()3,4,1,3,5,0ABC−.（1）求BC边的高线所在的直线的方程；（

2）已知直线l过点A，且BC、到l的距离之比为1:2，求直线l的方程.【答案】（1）220xy−−=（2）10xy−+=，或5230xy+−=【解析】【分析】（1）根据互相垂直两直线斜率的关系，结合直线的点斜式方程进行求解即可；（2）根

据点到直线距离公式，结合直线的点斜式方程进行求解即可.【小问1详解】设BC边的高线所在的直线为m，所以由3011215mBCmmkkkk−=−=−=−−，所以直线m的方程为()423220yxxy−=−−−=；

【小问2详解】当直线l不存在斜率时，直线l方程为3x=，显然BC、到l的距离之比为2:1，不符合题意；当直线l存在斜率时，设为k，方程为()43430ykxkxyk−=−−+−=，因为BC、到l的距离之比为1:2，所以()()22223435431121

1kkkkkkk−−+−+−==+−+−，或15k=−，方程为10xy−+=，或5230xy+−=，综上所述：直线l方程10xy−+=，或5230xy+−=.19.如图，在四棱锥PABCD−中，PA⊥平面ABCD，//ADBC，BCCD⊥，π4AB

C=，的的112CDCEBE===，2PAAD==，F为PD的中点．（1）证明：ABPE⊥；（2）求二面角AEFD−−的平面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）13−.【解析】【分析】（1）根据给定条件，证明ABAE⊥，再利用线面垂直的性质、判

定推理作答.（2）由（1）中信息，以点A作原点建立空间直角坐标系，再利用空间向量求解作答.【小问1详解】在四边形ABCD中，//ADBC，取BE中点G，连接,AGAE，由112CDCEBE===，得2CGAD==，则四边形AGCD是平行四边形，又BCCD⊥，因此AGCD是矩形，即有AGBC⊥，有A

EAB=，π4AEBABC==，从而π2BAE=，即ABAE⊥，而PA⊥平面ABCD，AB平面ABCD，则ABPA⊥，又,,PAAEAPAAE=平面PAE，于是AB⊥平面PAE，而PE平面PAE，所以ABPE⊥.【小问

2详解】由（1）知,,AGADAP两两垂直，以点A为原点，直线,,AGADAP分别为,,xyz轴建立空间直角坐标系，依题意，(0,0,0),(1,1,0),(0,2,0),(0,1,1)AEDF，(1,1,0),(1,0,1

),(1,1,0)AEEFED==−=−，设平面AEF的一个法向量(,,)mxyz=，则00mAExymEFxz=+==−+=，令1x=，得(1,1,1)m=−，设平面DEF的一个法向量111(,,)nxyz=，则111100nEDxynEFxz=−+=

=−+=，令11x=，得(1,1,1)n=，因此1111111cos,3||||33mnmnmn−+===，显然二面角AEFD−−的平面角为钝角，所以二面角AEFD−−平面角的余弦值为13−.20.如图1，边长为2

的菱形ABCD中，120DAB=，E，O，F分别是AB，BD，CD的中点.现沿对角线BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，连接AC，如图2.（1）求cosEOF；（2）若过E，O，F三点的平面交AC于点G，求四棱锥AOEGF−的体积.【答案】（1）34

−（2）312【解析】【分析】（1）证明OA⊥平面BCD，建立空间直角坐标系，得到310,,22OE=−，13,,022OF=，再计算夹角得到答案.（2）计算平面OEGF的法向量为()3,3,3n=−，再计算A到平面OEGF的距离为217h=，最后计

算体积得到答案.【小问1详解】连接OA，OC，平面ABD⊥平面BCD，平面ABD平面BCDBD=，OABD⊥，OA平面ABD，故OA⊥平面BCD，分别以OC，OD，OA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，的则()0,0,1

A，()0,3,0B−，()1,0,0C，()0,3,0D，因为E，F分别是AB，CD的中点，所以310,,22OE=−，13,,022OF=，所以334cos114OEOFEOFOEO

F−===−.【小问2详解】连接EG，FG，AF，设平面OEGF的法向量为(,,)nxyz=，则0nOE=，0nOF=，即11113102213022yzxy−+=+=，令13y=，则13x=−，13z=，所以()3,3,3n=−，设A到平面OEGF的距离为h，而31

0,,22AE=−−，321721AEnhn===，依题意得四边形OEGF是一个菱形，()0,πEOF，97sin1164EOF=−=，所以72sin4OEFOEGFSSOEOFEOF==

=四边形，所以117213334712AOEGFOEGFVSh−===四边形.21.在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，AB，AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，点A与坐标原点重合(如图所示).将矩形折叠，使

点A落在线段DC上．（1）若折痕所在直线的斜率为k，试求折痕所在直线的方程;（2）当230k−+时，求折痕长的最大值．【答案】（1）2122kykx=++；（2）()262.−【解析】【分析】()1当0k=时，此时A点与D点重合，折痕所在的直线方程1.2y=当0k时，将矩形折叠后A点落

在线段DC上的点记为()1Ga，，可知：A与G关于折痕所在的直线对称，有1OGkk=−，解得.ak=−故G点坐标为()1Gk−，，从而折痕所在的直线与OG的交点坐标即线段OG的中点为122kM−，，即可得出．()2当0k=时

，折痕长为2.当230k−+时，折痕所在直线交BC于212222kk++，，交y轴于210.2kQ+，利用两点之间的距离公式、二次函数的单调性即可得出．【详解】解：（1）①当0k=时，此时点A与点D重合，折痕所在直线的方程为12y=．②当0k时，

将矩形折叠后点A落在线段DC上的点记为(),1Ga，02a，所以点A与点G关于折痕所在的直线对称，有1·11OGkkkaka=−=−=−，故点G的坐标为(),1k−，从而折痕所在的直线与OG的交点(线段OG的中点)为122kP−,，故折痕所在直

线的方程为122kykx−=+，即2122kykx=++．综上所述，折痕所在直线的方程为2122kykx=++．()2当0k=时，折痕的长为2;当230k−+时，折痕所在的直线交直线BC于点

212222kMk++,，交y轴于点2102kN+,．()22023743k−+=−,()2118431=2232=12222k+−−,则N在AD上，221132(2)2222kkk+

+=+−，230k−+，21222kk++的取值范围为10,2，故点M在线段BC上．()22222211||22444474332163222kkMNkk+=+−++=++−=−，折痕长度

最大值为()32163262.−=−而()2622−，故折痕长度的最大值为()262.−【点睛】思路点睛：关于折叠问题可转化为轴对称问题，利用中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系.22.如图，P为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AC为底面直径，ABD△为底面圆O的内接正三

角形，且ABD△的边长为3，点E在母线PC上，且3AE=，1CE=．的（1）求证：直线//PO平面BDE，并求三棱锥PBDE−的体积：（2）若点M为线段PO上的动点，当直线DM与平面ABE所成角的正弦值最大时，求此时点M到平面ABE的距离．【答案】（1

）证明见解析；18PBDEV−=（2）714【解析】【分析】（1）设ACBDF=，由正弦定理和三角形相似关系可证得EFAC⊥，结合面面垂直的性质可证得EF⊥平面ABD，由此可得//POEF，由线面平行的判定可得结论；由平行关系可得PBDEOBDEVV−−=，根据棱锥体积公式可求得结果

；（2）以F为坐标原点可建立空间直角坐标系，设OMOP=，根据线面角的向量求法，可确定当12=时，sin取得最大值，由此可确定MA，利用点到面的距离的向量求法可求得结果.【小问1详解】设ACBDF=，连接EF，ABD为底面圆O的内接正三角形，32πsin3AC==，F为B

D中点，又33342AF=−=，31222CF=−=，213AOAF==；3AE=，1CE=，222AECEAC+=，AEEC⊥，AFAEAEAC=，AEF∽ACE△，AFEAEC=，EFAC⊥；PO⊥平面A

BD，PO平面PAC，平面PAC⊥平面ABD，平面PAC平面ABDAC=，EF平面PAC，EF⊥平面ABD，又PO⊥平面ABD，//EFPO，PO平面BDE，EF平面BDE，//PO平面BDE；F为BD中点，AFBD

⊥，即OFBD⊥，又EF⊥平面ABD，,OFBD平面ABD，EFOF⊥，EFBD⊥，EFBDF=，,EFBD平面BDE，OF⊥平面BDE，2293342EFAEAF=−=−=，EFBD⊥，113332224BDESBDE

F===，又1122OFAF==，//PO平面BDE，1131133428PBDEOBDEBDEVVSOF−−====.【小问2详解】12OFCF==，F为OC中点，又//POEF，E为PC中点，2POEF=，3PO=，2PC=，以F为坐标原点，,,F

BFCFE正方向为,,xyz轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则30,,02A−，3,0,02B，30,0,2E，3,0,02D−，10,,02O−，10,,32

P−，33,,022AB=，330,,22AE=，()0,0,3OP=，31,,022DO=−，33,,022DA=−，设()()0,0,301OMOP==

，31,,322DMDOOM=+=−；设平面ABE的法向量(),,nxyz=，则3302233022ABnxyAEnyz=+==+=，令1y=−，解得：3x=，3z=，()3,1,3n=−，设直线DM与

平面ABE所成角为，()222231sin73131732DMnDMn+===+++，令32t=+，则2,5t，23t−=，()()2222222213147174313332ttttttt

−++−+===−++，111,52t，当127t=，即12=时，()22min313114497324++==+，()max1sin1177==，此时313,,222DM=−，30,1,2MADADM=−=−−

，点M到平面ABE的距离172147MAndn===.【点睛】关键点点睛：本题求解点到面距离的关键是能够通过共线向量和线面角的向量求法，将线面角的正弦值表示为关于变量的函数的形式，通过

函数最值的求法确定正弦值的最大值，从而确定动点的位置.