【文档说明】河南省信阳高级中学2023-2024学年高二上期10月月考试题+数学+含解析.docx，共(26)页，1.301 MB，由小赞的店铺上传

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河南省信阳高级中学2023-2024学年高二上期10月月考数学试题分值:150分时长：120分钟一、单选题1.对于集合,MN，定义|,MNxxMxN−=，()()MNMNNM=−−，设9|,R4Axxx=−，|0,RBxxx=，则AB=（

）A.904,−B.904,−C)4,,90−−+D.()4,,90−−+2.复数13iz=−，则以下为实数的是（）A.22zz+B.22zz−C.23zz+D.23zz−3.对于任意实数

x，用x表示不大于x的最大整数，例如：π3=，0.10=，2.13−=−，则“xy”是“xy”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.若向量()()431ambm=−=，，，的夹角为锐角，则实数m的范

围是（）A.331,,455−B.(1−，4)C.334,,155−D.(4−，1)5.如图，ACBD=，线段AC，BD相互垂直平分，在扇形OAB中，OA=1，将扇形OAB和OCD绕AC所在直线旋转一周所得几何体的表面

积为（）.A.()12π+B.()22π+C.()32π+D.()322π+6.已知椭圆C：()222210xyabab+=的左、右焦点分别为1F，2F，直线()0ykxk=与C交于M，N两点（其中M在第一象限），若四边形12MFNF为矩形，且1

23MFFM，则C的离心率e的取值范围是（）A.2,12B.1,312−C.2,312−D.(0,31−二、多选题7.某公司对2021年的营收来源进行了统计，并绘制饼图如图所示．在华中地区的三省中，湖北省的营收额最多，河南省的营收

额最少，湖南省的营收额约1421万元．则下列说法错误的是（）A.该公司在华东地区的营收额，约为东北地区营收额的三倍B.该公司在华南地区的营收额，比西南地区的营收额和河南省的营收额之和还要多C.该公司2021年营收总额约为2

0300万元D.该公司在湖南省的营收额，在华中地区的营收额的占比约为34.18%8.如图，正四面体ABCD的顶点A，B，C分别在两两垂直的三条射线Ox，Oy，Oz上，则下列结论错误的为（）A.OABC−是正三

棱锥B.直线//OB平面ACDC.直线AD与OB所成的角是45°D.二面角ADCB−−为45°9.设Rk，过定点A的动直线1l：0xky+=，和过定点B的动直线2l：30kxyk−+−=交于点P，M是圆C：()()22244xy−+−=上的任意一点，则下列说法正确的

有（）A直线1l与圆C相切时43k=B.M到1l距离的最大值是225+C.直线2l与圆C相交的最短弦长为22D.PAPB+的最大值为2510.记ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc，已知ABC的周长为3，60B=，则（）A.存在非等边ABC满足2bac=+B.存ABC满足2bac=C.

ABC内部可以放入的最大圆的半径为36D.可以完全覆盖ABC的最小圆的半径为33三、填空题11.直线xsinα＋y＋2＝0倾斜角的取值范围是________________．12.已知函数()sincos2xfxx=−，则函数()fx的值域是______．.在的13.在正三棱锥−PABC中，6A

B=，43PA=，若球O与三棱锥−PABC的六条棱均相切，则球O的表面积为______．14.已知中心在原点的椭圆C的左焦点恰好为圆22:230Fxyx++−=的圆心，有两顶点恰好是圆F与y轴的交点，若椭圆C上

恰好存在两点关于直线yxt=+对称，则实数t的取值范围是___________．四、解答题15.已知函数()fx满足()()11233xxfxfx+−+−=+．（1）求()fx的解析式；（2）若对于任意的xR，不等式()()260fxmfx−+恒成立，求实数m的取值范

围．16.已知ABC的周长为1027+，且7sin7sin5sinABC+=.（1）求AB的长：（2）若ABC的面积为12sinC.求C.17.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，8PAAD==.以AC的中点O为球心，AC为直径的

球面交PD于点M.（1）证明：M为PD的中点.（2）若二面角B-AM-C的余弦值为33，求AB.18.已知圆M与圆N：228120xyy+−+=相外切，与y轴相切原点O．（1）求圆M的方程；（2）若圆M与圆N切点在第一象限，过原点O的两条直线与圆M分别

交于P，Q两点，且两直线互相垂直，求证：直线PQ过定点，并求出该定点坐标．19.甲､乙进行射击比赛，两人轮流朝一个靶射击，若击中靶心得3分，击中靶心以外的区域得1分，两人得分之和大于或等于6分即结束比赛，且规定最后射击的人获胜，假设

他们每次击中靶心的概率均为14且的不会脱靶，经过抽签，甲先射击.（1）求甲需要射击三次的概率.（2）比赛结束时两人得分之差最大为多少？求这个最大值发生的概率.（3）求乙获胜的概率.20.已知椭圆22221(0)xyabab+

=的离心率为22，点()2,1在椭圆上．（1）求椭圆的标准方程；（2）若椭圆过原点O的弦,ACBD相互垂直，求四边形ABCD面积的最大值．河南省信阳高级中学2023-2024学年高二上期10月月考数学试题分值:150分时长：120分钟一、单选题1.对于集合,MN，定义

|,MNxxMxN−=，()()MNMNNM=−−，设9|,R4Axxx=−，|0,RBxxx=，则AB=（）A.904,−B.904,−C.)4,,90−−+

D.()4,,90−−+【答案】C【解析】【分析】根据题中集合新定义的特性结合集合的基本运算可求解出结果.【详解】集合9|,R4Axxx=−，|0,RBxxx=，则RAð9,R4xxx=−

，RBð|0,Rxxx=，由定义可得：ABxxA−=且xBA=RBð)|0,R0,xxx==+，BAxxB−=且xAB=RAð99,R,44xxx=−=−

−，所以()())9,0,4ABABBA=−−=−−+，选项ABD错误，选项C正确.故选：C．2.复数13iz=−，则以下为实数的是（）A.22zz+B.22zz−C.23zz+D.23zz−【答案】B【解析】【分

析】根据复数的乘方和四则运算即可得到答案.【详解】对A，()()22213i213i43izz+=−+−=−，其不是实数，故A错误；对B，()()22213i213i4zz−=−−−=−，则其为实数，故B正确；对C，()()22313i313i

153izz+=−+−=−，其不是实数，故C错误；对D，()()2213i313i533izz−−−==+−−，其不是实数，故D错误.故选：B.3.对于任意实数x，用x表示不大于x的最大整数，例如：π3=，0.10=，2.13−=−，则“

xy”是“xy”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】对任意的xR，记xxx=−，则01x，利用题中定义、不等式的基本性质、特殊值法结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.【详解】对任意的xR，记

xxx=−，则01x，若xy，则1xy+，即1xxyy−−+，则1xyxy−−+，因为01x，01y，则10y−，由不等式的基本性质可得11xy−−，所以，012xy−+，

所以，10xyxy−−+，即xy，所以，“xy”“xy”；若xy，如取2.5x=，2.3y=，则2xy==，故“xy”“xy”.因此，“xy”是“xy”的充分不必要条件.故选

：A.4.若向量()()431ambm=−=，，，的夹角为锐角，则实数m的范围是（）A.331,,455−B.(1−，4)C.334,,155−D.(4−，1)【答案】A【解析】【分析】由题0ab且,ab不共线，据此可得答

案.【详解】因向量()()431ambm=−=，，，的夹角为锐角，则2034014abmmm−−−，且,ab不共线，即3345mmm−.综上可知，315m−或345m.故选：A5.如图，ACBD=，线段AC，BD相互垂

直平分，在扇形OAB中，OA=1，将扇形OAB和OCD绕AC所在直线旋转一周所得几何体的表面积为（）A.()12π+B.()22π+C.()32π+D.()322π+【答案】B【解析】【分析】根据旋转体特征可知所得几何体是一个半球体和一个圆锥构成的组合体，结合球的表面积和圆锥侧面积公式可求

得结果.【详解】由题意知：所得几何体是一个以1为半径的半球体和一个底面半径为1，高为1的圆锥构成的组合体；半球体表面积2114π12π2S==；圆锥侧面积222π1112πS=+=；所得几何体的表面积()1222πSSS=+=+.故

选：B.6.已知椭圆C：()222210xyabab+=的左、右焦点分别为1F，2F，直线()0ykxk=与C交于M，N两点（其中M在第一象限），若四边形12MFNF为矩形，且123MFFM，则C的

离心率e的取值范围是（）A.2,12B.1,312−C.2,312−D.(0,31−【答案】C【解析】【分析】设椭圆的半焦距为c，依题意以12FF为直径的圆与椭圆C有公共点，得到c和b的关系，再利用123MFFM

，结合椭圆的定义，得到关于a，c的不等关系，求解即可得到答案．【详解】解：设椭圆的半焦距为c，因为四边形12MFNF为矩形，所以以12FF为直径的圆与椭圆C有公共点，则cb，所以22cb，又222cab=−，即222acb−=，即222cac−所以222c

a，故212e，因为123MFFM，又12||||2FMFMa+=，所以222||3||aFMFM−„，则2||(31)FMa−…，又22122||||4FMFMc+=，即22222(2||)||4aFMFMc−+=，且222ca，所以222||2FMaca=−−，故22

2(31)acaa−−−…，即()22232aca−−，即()2227432aca−−解得031e−„，所以椭圆C的离心率e的取值范围是2,312−．故选：C．二、多选题7.某公司对2021年的营收来源进行了统计，并绘制饼图如图所示．在华中地区的三省中，

湖北省的营收额最多，河南省的营收额最少，湖南省的营收额约1421万元．则下列说法错误的是（）A.该公司在华东地区的营收额，约为东北地区营收额的三倍B.该公司在华南地区的营收额，比西南地区的营收额和河南省的营收额之和还要多C.该公司2021年

营收总额约为20300万元D.该公司在湖南省的营收额，在华中地区的营收额的占比约为34.18%【答案】ACD【解析】【分析】根据饼图，结合选项逐一判断即可.【详解】A：因为35.17%3.0311.60%，所以本选项正确；B：因为在华中地区的三省中，河南省的营收额最少，所以河南省的营收额为6

.19%，因为()19.34%13.41%6.19%0.26%0−+=−，所以本选项不正确；C：因为在华中地区的三省中，湖北省的营收额最多，河南省的营收额最少，湖南省的营收额约1421万元．所以有1421203007.00%=，因此本选项正确；D：因为在华中地区的三省中，河南省的营收

额最少，所以公司在湖南省的营收额，在华中地区的营收额的占比为7.00%34.18%6.19%7.00%7.29%++，因此本选项说法正确；故选：ACD8.如图，正四面体ABCD的顶点A，B，C分别在两两垂直的三条射线Ox，Oy，Oz上，则下列结论错误的为（）A.OABC−是正三棱锥B.直线//

OB平面ACDC.直线AD与OB所成的角是45°D.二面角ADCB−−为45°【答案】BD【解析】【分析】根据题设有ABC为正三角形，结合勾股定理得到OAOBOC==判断A；将几何体补全为正方体AEBOGDFC−，H为CD的中点，连接

,HAHB，由正方体性质、异面直线、二面角的定义判断B、C、D.【详解】由ABCD为正四面体，则ABC为正三角形，又,,OAOBOC两两垂直，所以222222OAOBOBOCOAOC+=+=+，则OAOBOC==，综上，OABC−是正三棱锥，A对

；将上图几何体补全为正方体如下：显然//OBAE，而AE面ACDA=，故直线//OB平面ACD不成立，B错；直线AD与OB所成的角，即为45DAE=∠，C对；H为CD的中点，连接,HAHB，结合题设易知

：,HACDHBCD⊥⊥，所以二面角ADCB−−的平面角为AHB，若正方体的棱长为2，则6,22HAHBAB===，AHB中2221cos23HAHBABAHBHAHB+−==，显然AHB不等于45，D错.故选：BD9.设Rk，过定点A的动直线1l：0xky+=，和过定点B的动

直线2l：30kxyk−+−=交于点P，M是圆C：()()22244xy−+−=上的任意一点，则下列说法正确的有（）A.直线1l与圆C相切时43k=B.M到1l距离的最大值是225+C.直线2l与圆C相交的最短弦长为22D.PAPB+的最大值为25【答案】BCD【解析】【分析】对于A，根据

直线与圆相切判定，利用点到直线的距离公式，建立方程，可得答案；对于B，根据圆上点到圆外直线最值问题，作图，根据图中几何性质，可得答案；对于C，根据点到过定点直线的距离问题，作图，利用弦长公式，可得答案；对于D，根据直线的方程明确直线的位置关系，利用基本不等式，可得答案.【详解

】对于A，由圆()()22:244−+−=Cxy，则圆心()2,4C，半径2r=，圆心C到直线1l的距离为2241kk++，由圆C与直线1l相切，则22421kk+=+，化简可得：2340kk+=，解得0k=或43−，故A错误；对于B，由直线

1:0lxky+=，当0y=时，0x=，则()0,0A，当1lCA⊥时C到1l的距离最大，如下图：最大值为()()22204025CA=−+−=，此时M到1l距离的最大值为225+，故B正确；对于C，由选项A所得：圆心()2,4C，半径2r=

，由直线2:30lkxyk−+−=，整理可得：()130kxy−−+=，当1x=时，3y=，则()1,3B，当2lCB⊥时所得弦长最短，如下图：则C到直线2l的距离为()()22123422CB=−+−=，所

以弦长为22224222rCB−=−=，故C正确；对于D，由1:0lxky+=，2:30lkxyk−+−=，当0k=时，1l的斜率不存在，2:3ly=的斜率为零，则12ll⊥；当0k时，1l的斜率为1k−，2l的

斜率为k，由11kk−=−，则12ll⊥.所以APBP⊥，如下图：在RtABP中，()()22222103010APBPAB+==−+−=，由,0APBP，则()()222222220APBPAPAPBPBPAPBP+=+++=，所以25A

PBP+，当且仅当5PAPB==时等号成立，故D正确.故选：BCD.10.记ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc，已知ABC的周长为3，60B=，则（）A.存在非等边ABC满足2bac=+B.存在ABC满足2bac=C.ABC内部可以放入的最大圆的半径为36

D.可以完全覆盖ABC的最小圆的半径为33【答案】BCD【解析】【分析】由2bac=+，结合余弦定理，求得abc==，可判定A错误；由2bac=，结合余弦定理，求得abc==，可判定B正确；根据题意，得到()23acac=+−，结合基本不等式，求得ABC的面积34S≤，进而

求得放入的最大圆的半径为36，可判定C正确；设ABC外接圆的半径为R，利用基本不等式求得2ac+，进而得到1b，再由正弦定理，求得完全覆盖ABC的最小圆的半径为33，可判定D正确．【详解】因为ABC的周长为3，且60B=，可得3abc

++=，由余弦定理得222222cosbacacBacac=+−=+−，对于A中，因为2bac=+，所以222()4acacac+=+−，即2()0ac−=，则abc==，所以A错误；对于B中，因为2bac=，所以22acacac=+−，即2()0ac−=，则abc==，此时ABC为等边三角形

，所以B正确；对于C中，由2222(3)bacacac=+−=−−，可得()2343acacac=+−−，当且仅当ac=时等号成立，解得1ac或9ac（舍去），所以ABC的面积13sin24SacB=，A

BC的内切圆半径236Sabc++，所以ABC内部可以放入最大圆的半径为36，所以C正确；对于D中，设ABC外接圆的半径为R，因为()2232acacac++−=，所以()2()8acac+−++120，解得2ac+或6ac+（舍去），由22(3)1bac=

−−，可得1b，因为2sin60bR=，所以33R，所以可以完全覆盖ABC的最小圆的半径为33，所以D正确．故选：BCD.三、填空题11.直线xsinα＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是________________．【答案】π30,,π44

【解析】【详解】因为sinα∈[－1，1]，所以－sinα∈[－1，1]，所以已知直线斜率范围为[－1，1]，由倾斜角与斜率关系得倾斜角范围是π30,,π44

．的的答案：π30,,π4412.已知函数()sincos2xfxx=−，则函数()fx的值域是______．【答案】1,1−【解析】【分析】根据题意，把原函数转化为两点间的斜率问题，结合直线与圆的位置关系，即可求解.【详解】函数()sincos2

xfxx=−表示单位圆221xy+=上的点()cos,sinxx与点()2,0连线的斜率.设过点()2,0的与单位圆相切的方程为()02ykx−=−，由圆心()0,0到切线的距离等于半径，可得200211kk−−=+，

解得1k=，故点()cos,sinxx与点()2,0连线的斜率范围是1,1−，因此函数()fx的值域是1,1−.故答案为：1,1−.13.在正三棱锥−PABC中，6AB=，43PA=，若球O与三棱锥−PABC的六条棱均相切，则球O的表面积为______．【答案】()76π323−

【解析】【分析】先判断出球心和半径，利用表面积公式直接求解.【详解】如图示：取ABC的中心E，连接PE，则PE⊥平面ABC，且与棱均相切的球的球心O在PE上.连接AE并延长交BC于D，则D为BC的中点，ADBC⊥，连接OD.因为P

E⊥平面ABC，所有PEBC⊥.因为PE平面PAE，AD平面PAE，ADPEE=I，所有BC⊥平面PAE.因为OD平面PAE，所有BCOD⊥.过O作OFPA⊥，交PA于点F.球O的半径为r，则ODOFr==.由题意：ABC为正三角形，因为6AB=，所以3sin606332ADA

B===，2233AEAD==，3ED=.因为43PA=，23AE=，所以()()222243236PEPAAE=−=−=，所以30APE=.设()06OEtt=，所以22POOFr==，因为23rt=+

，所以2236tt++=，解得:232t=−，所以()2223231983r=−+=−，故球O的表面积为()76π323−．故答案为：()76π323−14.已知中心在原点的椭圆C的左焦点恰好为圆22:230Fxyx++−=的圆心，有两顶点恰好是圆F与y轴的交点，若椭圆C上

恰好存在两点关于直线yxt=+对称，则实数t的取值范围是___________．【答案】77,77−【解析】【分析】求得圆F的圆心，可得椭圆的c，求得圆F与y轴的交点，可得b，进而得到a，可得椭圆方程，设出椭

圆上关于直线yxt=+对称的两点连线AB的方程为yxp=−+，设两点的坐标为()()1122,,,AxyBxy联立椭圆方程，运用判别式大于0，以及韦达定理和中点坐标公式，可得中点坐标代入已知直线，可得,pt的关系，进而得到所求范围.【详解】圆22:230Fxyx++−=的圆心为(1,0)−

，得椭圆的1c=，圆F与y轴的交点为(0,3)，可得椭圆的3b=，故222abc=+=，椭圆的方程为22143xy+=，设椭圆C上关于直线yxt=+对称两点连线AB方程为yxp=−+，设()()1122,,,AxyBxy，的由223412x

yyxp+==−+，得22784120xpxp−+−=，()2264284120pp=−−，77p−，1287pxx+=，设,AB的中点()00,xy，则047px=，037yp=，中点在yxt=+，7pt=−，777t−−，即7777t−.故答案为：77,77

−.【点睛】本题主要考查的是椭圆方程的求法和性质的应用，考查直线方程和椭圆的位置关系，椭圆与直线联立，运用韦达定理和中点坐标公式，考查化简整理的运算能力，是中档题.四、解答题15.已知函数()fx满足()()1123

3xxfxfx+−+−=+．（1）求()fx的解析式；（2）若对于任意的xR，不等式()()260fxmfx−+恒成立，求实数m的取值范围．【答案】（1）()33xxfx−=+（2）4m【解析】【分析】（1）由()()11233xxfxfx+−+−=+①，可得()()11

233xxfxfx−++−+=+解方程组即可得出结果；（2）由（1）可得()()260fxmfx−+等价于()22333360xxxxm−−+−++，只需证明43333xxxxm−−+++恒成立，求得43333xxxx−−+++的最小值即可得出结果.【小问1详解】因为()()1

1233xxfxfx+−+−=+①，所以()()11233xxfxfx−++−+=+①2−②得：()11333xxfx+−=+所以()33xxfx−=+【小问2详解】因为()()260fxmfx−+所以(

)22333360xxxxm−−+−++因为332332xxxx−−+=（当且仅当0x=时等号成立）所以()222332336633333333xxxxxxxxxxxxm−−−−−−+−++=+++++即43333xxxxm−−+++对xR恒成立因43324433xxxx

−−++=+（当且仅当0x=时等号成立）所以，所求实数m的取值范围为4m16.已知ABC的周长为1027+，且7sin7sin5sinABC+=.（1）求AB的长：（2）若ABC的面积为12sinC.求C.【答案】（1）27（2）π3C=【解析】【分析】（1）由7sin7si

n5sinABC+=，得到()75abc+=，再由ABC的周长为1027+求解；（2）由ABC的面积为1sin12sin2abCC=，得到24ab=，再由10ab+=结合余弦定理求解.【小问1详解】解：设ABC内角A，B，C所对的边分

别为a，b，c.因为7sin7sin5sinABC+=，所以()75abc+=.因为1027abc++=+，所以27ABc==；为【小问2详解】因为ABC的面积为1sin12sin2abCC=，且sin0C，所以24ab=.由（1）可得10

ab+=.则222()252ababab+=+−=.由余弦定理可得22252281cos2482abcCab+−−===.因为()0,πC，所以π3C=.17.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，8PAAD==.以AC的中点O为球心，AC为直

径的球面交PD于点M.（1）证明：M为PD的中点.（2）若二面角B-AM-C的余弦值为33，求AB.【答案】（1）证明见解析（2）4【解析】【分析】（1）由几何关系依次证AMMC⊥、PACD⊥、CD⊥平面PAD、CDAM⊥、AM⊥平面PCD、AMPD⊥

，结合PAAD=即可得证（2）以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设ABt=，由向量法建立二面角B-AM-C余弦值的方程，即可求解.【小问1详解】证明：因为A

C是所作球面的直径，所以AMMC⊥.因为PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，所以PACD⊥.因为CDAD⊥，,PDADDPDAD、=平面PAD，所以CD⊥平面PAD，因为AM平面PAD，所以CDAM⊥，因为,CDMCCCDMC、=平面PCD，所以AM⊥平面PCD，因为PD平面PCD

，所以AMPD⊥.因为PAAD=，所以M为PD的中点.【小问2详解】以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设ABt=，则()()()0,4,4,,8,0,,0,0MCtBt设平面ABM的法向量为()111,,nxyz=，因为(,0,0)

ABt=，(0,4,4)AM=，所以1110,440,nABtxnAMyz===+=令1y=，则()0,1,1n=−.设平面ACM的法向量为()222,,mxyz=，因为(,8,0)ACt=，(0,4,4)AM=，所以222280,440,mACtxymAMyz

=+==+=令21y=，得8,1,1mt=−−.设二面角B-AM-C为α，则2||23cos|cos,|||||36422nmnmnmt====+，解得4t=，即4AB=.18.已知圆M与圆N：2281

20xyy+−+=相外切，与y轴相切原点O．（1）求圆M的方程；（2）若圆M与圆N的切点在第一象限，过原点O的两条直线与圆M分别交于P，Q两点，且两直线互相垂直，求证：直线PQ过定点，并求出该定点坐标．.【答案】（1）M

：()2239xy++=或M：()2239xy−+=（2）证明见解析，()3,0【解析】【分析】（1）由题意可设圆M的方程为()222xaya−+=，由两圆外切建立等式：()()220402aa−+−=+，求解a值可得圆的方

程.（2）由切点在第一象限可知圆M：()2239xy−+=，设OP所在直线方程为()0ykxk=，与圆联立求出P点坐标，把k换做1k−，可求出Q点坐标，点斜式计算直线PQ方程化简可求出过定点.【小问1详解】由题意知，圆M与y轴

相切原点O，所以设圆M的方程为()222xaya−+=，因为圆M与圆N：228120xyy+−+=相外切，且N：()2244xy+−=，所以()()220402aa−+−=+，所以3a=或3a=−，所以M：()2239xy++=或M：()2239xy−+=；【小问2详解】由题意知M

：()2239xy−+=，设OP所在直线方程为()0ykxk=，联立()2239xyykx−+==，得261Pxk=+，261Pkyk=+，同理把k换做1k−，可得2261Qkxk=+，261Qkyk−=+，所以PQ所在直线方程为222

626111kkyxkkk−=−+−+，化简为：()2231kyxk=−−故直线PQ过定点()3,0．19.甲､乙进行射击比赛，两人轮流朝一个靶射击，若击中靶心得3分，击中靶心以外的区域得1分，两人

得分之和大于或等于6分即结束比赛，且规定最后射击的人获胜，假设他们每次击中靶心的概率均为14且不会脱靶，经过抽签，甲先射击.（1）求甲需要射击三次的概率.（2）比赛结束时两人得分之差最大为多少？求这个最大值发生的概率.（3）

求乙获胜的概率.【答案】（1）81256；（2）364；（3）8471024.【解析】【分析】（1）依题意甲需要射击三次，则两人前四次射击均只得1分，根据相互独立事件的概率公式计算可得；（2）比赛结束时，两人得分之差最大为5分，即甲3分

，乙1分，甲3分，再根据相互独立事件的概率公式计算可得；（3）要使乙获胜，即到乙射击之和积分之和恰好满足大于或等于6分，分四种情况讨论，分别计算所对应的概率，最后相加即可；【详解】解：（1）甲需要射击三次，则两人前四

次射击均只得1分，所以甲需要射击三次的概率为43814256=.（2）比赛结束时，两人得分之差最大为5分，他们得分情况为：甲3，乙1，甲3，所以这个最大值发生的概率为131344464

=.（3）根据他们轮流射击的得分，分四种情况：①甲3，乙3，概率为211416=；②甲1，乙1，甲1，乙3，概率为3312744256=；③前三次射击中有一次3分，两次1分，概率为2131327C4464=；④前五次射击均得1分，概率为532434

1024=.所以乙获胜的概率为12727243847162566410241024+++=.20.已知椭圆22221(0)xyabab+=的离心率为22，点()2,1在椭圆上．（1）求椭圆的标准方程；（2）若椭圆过原点O的弦,ACBD相互垂直，求四边形ABCD面积的最大值．

【答案】（1）22142xy+=（2）42【解析】【分析】（1）通过离心率，可得a与c的关系；再利用点()2,1，得到a与b的关系；通过方程组求得椭圆方程；（2）先分斜率是否存在分类讨论，再设直线AC方程，与椭圆方程联立，通过根与系数关系可利用弦长公式和点到直线距离公式得,OAOB再结合椭

圆的对称性将四边形ABCD面积转化为求解2ABCDSOAOB=,结合不等式求四边形ABCD面积的最大值．【小问1详解】由22ca=，得222ac=，则22bc=，故椭圆方程可化为22222ycx+=，将

()2,1代入上式得22c=，则224,2ab==，故椭圆的标准方程为22142xy+=．【小问2详解】由题意得，四边形ABCD为菱形，则菱形ABCD的面积12ABCDSAC=12222BDOAOBOAOB==

当直线AC的斜率不存在或为0时，易得142242;2ABCDS==当直线AC的斜率存在且不为0时，设直线AC的方程为ykx=，则BD的方程为1=−yxk，设()()1122,,,AxyBxy，将11221,ykxy

xk==−代入22142xy+=，得22122244,2211xxkk==++，则()()222222111241121OAxkxkxkk=+=+=++，22222222111OBxxxkk=+=+=2214121kk++则2ABCDSOAOB=()2

242121kk=++222222121414221512kkkkkk+++=+++42．综上，ABCDS的最大值为42．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com