【文档说明】江苏省常州市前黄高级中学2023-2024学年高三上学期期初考试数学试题 含解析.docx，共(21)页，1.773 MB，由小赞的店铺上传

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省前中2024届高三第一学期期初考试数学试卷一、单选题（5分*8）1.已知幂函数()afxx=的图象经过点（4，2），则f（9）的值为（）A.-3B.3C.-9D.9【答案】B【解析】【分析】由条件求出幂函数解析式，利用解析式求函数值即可.【详解】因为幂函数()afxx=的图

象经过点（4，2），所以42=，解得12=，所以12(9)93f==，故选：B2.已知平面向量()()4,2,1,3ab==，则a在b方向上投影向量是（）A.()1,3B.()2,1-C.()5,5D.()4,2【

答案】A【解析】【分析】由向量数量积找到a在b方向上的投影为||cos,||abaabb=，再结合投影向量的定义求解.【详解】a在b方向上的投影为4132||cos,10||19abaabb+===+，又b方向上的单位向量为13,||1010bb=，故a在

b方向上的投影向量是||cos,||baabb=()1,3，故选：A.3.设2iR,iaaz+=，则“1a”是“5z”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】的【分析】根据复数模的计算公式及充分条件、必要条件的定义判断即可【

详解】由题意得22i2iiaza−==−，所以222(2)4zaa=+−=+，因为5z，所以245a+，解得1a或1a−，故“1a”是“5z”的充分不必要条件.故选：A4.在1859年时候，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数

》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想．在此之前，著名数学家欧拉也曾研究过这个问题，并得到小于数字x的素数个数可以表示为()πlnxxx的结论．若根据欧拉得出的结论，估计510以内的素数的个数为（）（素数即质数，lge0.4343，计算结果取整数）A.2172B.

4343C.869D.8686【答案】D【解析】【分析】根据黎曼猜想计算()5π10，从而得出正确答案.【详解】()554551010210π10ln105ln10ln10==44210lge2100.4343243438686===.故选：D5.已知

()()lge1xfx=+，0.32=a，3log2b=，21log4=c，则()fa、()fb、()fc的大小关系为（）A.()()()fcfafbB.()()()fbfafcC.()()()fafbfcD.()()()fcfbfa【答案】A【解析】【分析】研究函数

()()lge1xfx=+的奇偶性、单调性，将abc、、变形到函数的单调区间上且比较大小，然后运用函数单调性可得结论.【详解】因为()()()()lge1lge1xxfxfx−−=+=+=，()fx是偶函数，且0x时，()()lge2xfx=+是增函数，的0.3

122a=，30log21b=，21log24c==−，21()(log)(2)(2)4fcfff==−=，而0.33log222，所以0.33(log2)(2)(2)fff，即()()()fcfafb．故选：A．6.根据以往

的临床记录，某种诊断癌症的试验有如下的效果：若以A表示事件“试验反应为阳性”，以C表示事件“被诊断者患有癌症”，则有(|)0.95PAC=，(|)0.95.PAC=现在对自然人群进行普查，设被试验的人患有癌症的概率为0.005，即()0.005PC=，则(|)PCA

（）A.0.087B.0.950C.0.050D.0.475【答案】A【解析】【分析】根据条件概率的性质及变式可求得(|)PAC，由已知可求得()0.995PC=，根据贝叶斯公式可求得答案．【详解】解：因为(|)0.95PAC=，所

以(|)1(|)0.05PACPAC=−=，因为()0.005PC=，所以()0.995PC=，所以由全概率公式可得()()()(|)(|)PAPACPCPACPC=+，因为()()()(|)(|)PACPCAPAPACPC

==，所以()()()(|)0.950.00519(|)0.950.0050.050.995218(|)(|)PACPCPCAPACPCPACPC===++．所以19(|)0.087218PCA=．故选：A7.设(1＋x)3＋(1＋x)4＋(1

＋x)5＋…＋(1＋x)50＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a50x50，则a3的值是（）A.450CB.2350CC.351CD.451C【答案】D【解析】【分析】由题意可得a3的值是x3的系数，而x3的系数为C33+C43+C53+…+C503＝C44+C4

3+C53+…+C503利用二项式系数的性质求得结果．【详解】解：由题意可得a3的值是x3的系数，而x3的系数为C33+C43+C53+…+C503＝C44+C43+C53+…+C503＝C514，故选：D．【点睛】本题考查二项式系数的性质的应用，求展开式中某项的系数，求出x

3的系数为C33+C43+C53+…+C503，是解题的关键．8.已知函数()fx的定义域为R，图象恒过()0,1点，对任意12,xxR当12xx时，都有()()12121fxfxxx−−，则不等式()()

ln11ln1xxfee−+−的解集为（）A.()ln2,+B.(),ln2−C.()ln2,1D.()0,ln2【答案】D【解析】【分析】由()()12121fxfxxx−−，设12xx，得到()()11

22fxxfxx−−，令()()gxfxx=−，然后将不等式()()ln11ln1xxfee−+−，转化为()()ln10xgeg−，利用()gx的单调性求解.【详解】因为()()12121fxfxxx−−，不妨设12xx，则()()1122fxxfxx−−，令

()()gxfxx=−，在R上递增，又()01f=，所以不等式()()ln11ln1xxfee−+−，即为()()()ln1ln1100xxfeef−−−=−，即()()ln10xgeg−，所以()ln10xe−，则011xe

−，解得0ln2x，故选：D【点睛】关键点点睛：本题关键是由()()12121fxfxxx−−，构造函数()()gxfxx=−，利用其单调性得解.二、多选题（5分*4，漏选得2分）9.下列命题中，真命题有（）A.数据6，2，3，4，5，7，8，9，1，10

的70%分位数是8.5B.若随机变量1~(6,)3XB，则()43Dx=C.若事件A，B满足0(),()1PAPB且()()[1()]PABPAPB=−，则A与B独立D.若随机变量2~(2,)XN，(1)0.68PX=，则(23)0.18Px=【答案】B

CD【解析】【分析】对于A：根据百分位数运算求解；对于B：根据二项分布的方差公式运算求解；对于C：根据对立事件结合独立事件概率公式运算求解；对于D：根据正态分布的对称性运算求解.【详解】对于选项A：将这组数据按从小到大排序为：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，因为1070%7

=，所以该组数据70%分位数是787.52+=，故A错误；对于选项B：因为随机变量1~(6,)3XB，所以()11461333DX=−=，故B正确；对于选项C：因为()()()1PABPA

PB=−，则()()()()1PAPABPAPB−=−，整理得()()()PABPAPB=，所以A与B独立，故C正确；对于选项D：若随机变量2~(2,)XN，(1)0.68PX=，可知正态曲线关于2x=对称

，所以(23)(12)(1)(2)0.680.50.18PXPXPXPX==−=−=，故D正确故选：BCD.10.如图，在正方体1111ABCDABCD−中，13AA=，点M，N分别在棱AB和1BB上运动（不含端点），若1D

MMN⊥，下列命题正确的是（）.A.1MNAM⊥B.MN⊥平面1DMCC.线段BN长度的最大值为34D.三棱锥111CADM−体积不变【答案】ACD【解析】【分析】以点D为原点，射线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴建立坐标系，设出动点M，N的坐标，利用空间向量运算判断选项

A，B，C，利用等体积法的思想判断选项D即可得解.【详解】在正方体1111ABCDABCD−中，以点D为原点，射线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图：A1(3,0,3)，D1(0,0,3)，C(0,3,0)，B

(3,3,0)，设M(3,y,0)，N(3,3,z)，,(0,3)yz，1(3,,3),(0,3,)DMyMNyz=−=−，而1DMMN⊥则11(3)30(3)3DMMNyyzzyy=−−==−，对于A选项：1(0

,,3)AMy=−，则11(3)30AMMNyyzAMMN=−−=⊥，1MNAM⊥，A正确；对于B选项：(3,3,0)CMy=−，2(3)(3)(3)0CMMNyyy=−−=−−，即CM与MN不垂直，从而MN与平面D1MC不垂直，B不正确；对于C选项

：(0,0,)BNz=，则线段BN长度21393||[()]3244BNzy==−−+，当且仅当32y=时取“=”，C正确；对于D选项：不论点M如何移动，点M到平面A1D1C1的距离均为3，而111111CADMMADCVV−−=11119332ADCS==，三棱锥

111CADM−体积为定值，即D正确.故选：ACD11.已知函数()fx是定义在R上的奇函数，()1fx+是偶函数，当()20,1,xfxxx=+，则下列说法中正确的有（）A.函数()fx关于直线1x=对称B.4是函数()fx的周期C.()()202220230ff+=D.

方程()lnfxx=恰有4不同的根【答案】ABD【解析】【分析】根据奇偶性的定义，结合函数的对称性，即可判断A的正误；根据题意，结合函数的周期性，可判断B的正误；根据函数的周期性，结合解析式，即可判断C的正误；分别作出()yfx=和lnyx=的图象，即可判断D的正误，即可得答案.【详解

】对于A：因为()()1gxfx=+是偶函数，所以()()gxgx−=，即()()11fxfx−=+所以()fx关于1x=对称，故A正确.对于B：因为()()11fxfx−=+，所以()()()()()211fxfxfxf

x+=−+=−=−，所以()()()()()42fxfxfxfx+=−+=−−=，即周期4T=，故B正确对于C：()()()()()()()2022200,20233112,fffffff==−===−=−=−所以()()2022202320ff+=−，故C错误；对于D：因为

()20,1,xfxxx=+，且()fx关于直线1x=对称，根据对称性可以作出1,2x上的图象，又()()2fxfx+=−，根据对称性，可作出2,4x上的图象，又()fx的周期4T=，作出()yfx=图象与

lnyx=图象，如下图所示：所以()fx与lnyx=有4个交点，故D正确.故选：ABD12.已知3824ab==，则,ab满足的关系是（）A.abab+=B.4ab+C.()()22112ab−+−D.226ab+【答案】ABD【解析】【分析】根据指数与对数互化的关系求出,a

b，取倒数相加即可判断A选项是否正确；将,ab代入B、C、D选项式子的左端化简,并利用基本不等式即可判断是否正确.【详解】3824ab==Q，38log24,log24ab==，2424381111log3,log8log24log24ab====，对于A选项：242

42411log3log8log241ab+=+==，111ab+=，abab+=，故A选项正确；对于B选项：()()383388log24log24log3log8log8log3ab+=+=+++，3

8382log8log322log8log34ab+=+++=，故B选项正确；对于C选项：38log24,log24ab==Q，()()()()2222338811log3log81log8log31ab−+−=+−++−,()()

()()()()2222838311log3log82log3log82ab−+−=+=，故C选项错误；对于D选项：38log24,log24ab==Q，()()38338883log24log24=log3log8log8log32log

3log8224ab=++=+++=，4ab，2228abab+，故D选项正确；故选：ABD三、填空题（5分*4）13.2521(2)(1)xx+−的展开式的常数项是_______【答案】3【解析】【分析】写出2521(2)(1)xx+−的通

项公式，分别计算两个式子对应的常数项，再相加即可.【详解】由题意，2521(2)(1)xx+−的通项公式为：()()28210551C21C,0,1,2,3,4,5rrrrrrxxr−−−+−=，当280r−=，即4r=时，()44051C5x−=，当2100r−=，即=5

r时，()550521C2x−=−所以展开式的常数项是5(2)3+−=．故答案为：314.如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若ABAF＝2，则AEBF的值是________．【

答案】2【解析】【分析】根据矩形的垂直关系和长度关系，先利用平面向量加法的运算律求解1DF=，21CF=−，再利用运算律转化求AEBF即可.【详解】∵AFADDF=+，0ABAD=uuuruuur，

∴()22ABAFABADDFABADABDFABDFDF=+=+===，∴1DF=，21CF=−，∴()()AEBFABBEBCCFABBCABCFBEBCBECF=++=+++，∵()0,0,221ABBCBECFABCFABCF

cos====−−,122BEBCBEBC===,()22122222AEBFABCFBEBC=+=−−+=−++=，故答案为：2.15.已知函数()11max,fxxxxx=−+

，关于x的方程()()()240Rfxafxa−+=恰有2个不同实数解，则a的取值范围为________．【答案】4a=或4a<-【解析】【分析】先求得()fx的解析式并画出图象，利用换元法，结合一元二次方程的解列不等式，由此求得a的取值范围.【详解】对于函数()()110,0yxxyxx

xx=−=+，112xxxxx−−+=−，所以当0x时，11xxxx−+；当0x时，11xxxx−+.所以()1,01,0xxxfxxxx+=−，令()tfx=，则方程()()()240Rfxafxa−+=可化为240ta

t−+=①，作出函数()fx的图象如下图所示，则方程①有两个相等的实根或者两个小于2的不等实根，即04a==，2t=（符合），或2Δ0224820422aaaa−+=−−.所以a

的取值范围是4a=或4a<-.故答案为：4a=或4a<-16.在三棱锥−PABC中，,2,24,23PACPABPAPBACABBC======.若三棱锥−PABC的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为__________.【答案】22π【解析】【分析】根据勾股定理可得PAB是等腰直角三角

形，从而求出PAC，在PAC△中利用余弦定理求出PC，根据勾股定理可判断PBPC⊥，从而得知PB⊥平面PAC，从而可将三棱锥−PABC补为直三棱柱11BACPAC−，外接球球心为12OO的中点O，根据几何关系

即可求解.【详解】由题意得222PAPBAB+=，所以PAPB⊥，且PAB45=，所以45PACPAB==.在PAC△中，由余弦定理得22222cos162242102PCACPAACPAPAC=+−=+−=，所以22221012PBPCBC+=+==，所以P

BPC⊥.又PAPCP=，,PAPC平面PAC，所以PB⊥平面PAC，故可将三棱锥−PABC补为直三棱柱11BACPAC−，如图所示，则直三棱柱11BACPAC−的外接球即为三棱锥−PABC的外接球.设PAC△外接圆圆心为2O，11ABCV的外接圆圆心为1O，则直三棱柱的外接球

球心为12OO的中点O，连接OA，则OA即为外接球的半径.在PAC△中，根据正弦定理可得210225sin22PCOAPAC===，所以25OA=，所以222222122222115222OOOAOOOAOA

=+=+=+=，所以该外接球的表面积为2114π4π22π2OA==.故答案为：22π.四、解答题17.已知Ra，全集RU=，集合1|284xaAx−=，函数()12log32yx=−的定义域为B.（1）当2a=时，求()UABð；（2）若xB是xA成

立的充分不必要条件，求a的取值范围.【答案】（1）(20,1,53（2）82,3−【解析】【分析】(1)求得集合A和集合B，根据补集和交集的定义即可求解；(2)由xB是xA的充分不必要条件，可知集合B是集合A的真子集.根据真包含

关系建立不等式求解即可.【小问1详解】231|28|222|234−−−===−+xaxaAxxxaxa，即](2,3=−+Aaa.由12log(32)0,−x，得0321x−，解得213x，即]2(,13=B.当2a=时，(()20,5,,1,3UA

B==−+ð.∴()(20,1,53UBA=ð.【小问2详解】由xB是xA的充分不必要条件，可知集合B是集合A的真子集.所以22,331aa−+解得823a−，经检验符合集合B是集

合A的真子集，所以a的取值范围是82,3−.18.一个完美均匀且灵活的平衡链被它的两端悬挂，且只受重力的影响，这个链子形成的曲线形状被称为悬链线（如图所示）.选择适当的坐标系后，悬链线对应

的函数近似是一个双曲余弦函数，其解析式可以为()eexxfxab−=+，其中a，b是常数.（1）当0ab=时，判断并证明()fx的奇偶性；（2）当(),0,1ab时，若()fx的最小值为2，求1211ab+−−的最小值.【答案】（1）偶函数（2）10【解析】【分析】

(1)根据偶函数定义直接判断可知；(2)由基本不等式求得()fx的最小值，得到a、b的关系，然后代入目标式，分离常数，然后可得.【小问1详解】当0ab=时，()(ee)xxfxa−=+，定义域为R，因为()(ee)()xxfxafx−−=+=所以

()fx为偶函数.【小问2详解】因为(),0,1ab，所以()e2exxbfaxab−=+，当且仅当eexxab−=，即1ln2bxa=时，取等号.由题知22ab=，即12ba=，因为(),0,1ab，所以1012a，即112a所以22212124611211112312311

2aaabaaaaaa−++=+==−−−−−+−+−令2231taa=−+，1(,1)2a，则108t−，所以18t−，所以1210t−，当18t=−，即34a=时，取等号.所以1211ab+−−的最小值为10.19.如图，在三棱柱111ABCABC-，2BABC==，120ABC

=，114AAAC==，160AAB=.（1）证明：1AB⊥平面ABC；（2）若123BPBB=，求二面角1PACA−−的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）31313【解析】【分析】（1）利用勾股定理证明1ABAB⊥，1ABBC⊥

，从而可证1AB⊥平面ABC；（2）由题意建立空间直角坐标系，写出对应点的坐标及向量坐标，求出与平面1ACA的法向量，利用向量的夹角公式计算二面角1PACA−−的余弦值，从而可得正弦值.【小问1详解】证明：14AA=，2AB

=，160AAB=，11164224232AB=+−=，222111ABABAAABAB+=⊥，而222111ABBCACABBC+=⊥，又ABBCB=，1AB⊥平面ABC.【小问2详解】如图建系，其中BQAB⊥，则(

)10,0,23A，()1,3,0C−，()2,0,0A，443,0,33P−∴1423,0,33PA=，()11,3,23AC=−−，()12,0,23AA=−.设平面1PAC与平面1ACA的一个法向量分

别为()1111,,xnyz=，()2222,,nxyz=，∴()1111111111423003,3,23303230xznPAnnACxyz+===−−=−+−=，()222122122

2223003,3,103230xznAAnnACxyz−====−+−=设二面角1PACA−−平面角为，所以12128213cos13413nnnn===得313sin13=.【点睛】本题考查了立体几何中的线面垂直的判定和二面角的求解

问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理证明垂直，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.20.已知函数()()()log46(0afxxa

xaa=−−且1)a．（1）当2a=时，求()fx的单调增区间；（2）是否存在，()0,4a，使()fx在区间,上的值域是log,logaa？若存在，求实数a的取值范围；若不存在，试说明理由．【答案】（1）()12,+（2）存在，51726a−【解

析】【分析】（1）先求得()fx的定义域，然后根据复合函数单调性同增异减求得()fx的单调增区间.（2）对a进行分类讨论，根据函数的单调性以及()fx在区间,上的值域，利用构造函数法，结合一元二次方程根的个数列不等式组，由此求得a的取值范围.【小问1详解】2a=

时，()()()2log812fxxx=−−，由()()8120xx−−解得8x或12x，所以()fx定义域为()(),812,−+，的函数()()28122096yxxxx=−−=−+图象开口向上，对称轴为10x=，2logyx=在()0,+上单调递增，根据复合函数

单调性同增异减可知：()fx的增区间为()12,.+【小问2详解】令()()()46gxxaxa=−−，则()gx在()0,4a上单调递减，当1a,且()fx在区间,上的值域是log,logaa，即()gx在区间,上的值域是,.故必须()()g

g==，即,是()gxx=的在()0,4a上的两个不等实根.而()ygx=与yx=在()0,4a上只有一个交点，不符合（舍）.当01a，且()fx在区间,上的值域是log,logaa，即()gx在

区间,上的值域是,.故必须()()gg==，即()()()()4646aaaa−−=−−=①②，−①②得101a+−=−，得101a=−+−，代入①得：()22110241010aaa+−+−+=，同理()22

110241010aaa+−+−+=，令()()2211024101hxxaxaa=+−+−+，则()hx在()0,4a有两个零点，即()()()()22202410104610101042Δ1104241010haahaaaaaaa=−+

=−+−=−−−+，222410101600101842030aaaaaaa−+−−+−，()()416101611081527527022aaaaaaa−−+−−−+−−，解得51

726a−.21.某社区为丰富居民的业余文化生活，打算在周一到周五连续为该社区居民举行“社区音乐会”，每晚举行一场，但若遇到风雨天气，则暂停举行.根据气象部门的天气预报得知，在周一到周五这五天的晚上，前三天每天出现风雨天气的概率均为1p，后两天每天出现风雨天气的概率均为2p，

每天晚上是否出现风雨天气相互独立.已知前两天的晚上均出现风雨天气的概率为14，且这五天至少有一天晚上出现风雨天气的概率为199200.（1）求该社区能举行4场音乐会概率；（2）求该社区举行音乐会场数X的数学期望.【答案】（1）11200；（2）1.9.【解析】【分析

】（1）根据已知条件求得12,pp，根据相互独立事件概率计算公式计算出所求概率.（2）求得X的分布列，由此求得X的数学期望.【详解】（1）依题意()()32211221111994,114222005pppp==−−==.所以该社区能举行4场音乐会的概率为:2

23122313232114144111111225255200CCCC−−+−−=.（2）X的可能取值为0,1,2,3,4,5，()03020032114420

11225525PXCC==−−=，()1202103211441112255PXCC=

=−−031101321144711225525CC+−−=，()2102203211442112255PXCC==

−−032002321144112255CC+−−12111132114473112255200CC

+−−=，()3002303211443112255PXCC==−−2111213211441

12255CC+−−的12201232114443112255200CC+−−=，()11420

0PX==，()3214151125200PX==−−=，所以X的分布列为：X012345P2257257320043200112001200()2773431110123451.92525200200200200EX=+++++

=.【点睛】求解此类题目，要注意分类加法计数原理的应用.22.已知函数1()()21xfxxR=+.（1）求证：函数()fx是R上的减函数；（2）已知函数()fx的图像存在对称中心(,)ab的充要条件是()()gxfxab=+−的图像关于原

点中心对称，判断函数()fx的图像是否存在对称中心，若存在，求出该对称中心的坐标，若不存在，说明理由；（3）若对任意1[1,]xn，都存在23[1,]2x及实数m，使得112(1)()1fmxfxx−+=，求实数n的最大值.【答案】（1）证明见解析（2）存在，1

0,2（3）2【解析】【分析】（1）根据函数单调性的定义证明即可；（2）假设函数()fx的图像存在对称中心(,)ab，进而根据题意将问题转化为2(12)(22)22220xaxaabbb+−+−++−−=恒成立，进而得212022220abbb−=−−=

，解方程即可得答案；（3）根据题意得11210mxxx−+=，进而结合已知条件得以131,1,,2mmn−−所以min131()22mn−=，故2n.【小问1详解】解：设对于任意的实数12,xx，12xx

，则()()()()()()()()21211212121221211122212121212121xxxxxxxxxxfxfx+−+−−=−==++++++，因为1212,,xxRxx，所以()()211

22221210,0xxxx++−，所以()()120fxfx−，即()()12fxfx所以函数()fx是R上的减函数【小问2详解】解：假设函数()fx的图像存在对称中心(,)ab，则()(21)1xagxfxabb+=+−−+=的图像关于原点中心对称，由于函数的定义域为R，所

以()()1102121xaxabxbggx−++−++++−==−恒成立，即2(12)(22)22220xaxaabbb+−+−++−−=恒成立，所以212022220abbb−=−−=，解得10,2ab==，所以

函数()fx的图像存在对称中心10,2【小问3详解】解：因为对任意1[1,]xn，都存在231,2x及实数m，使得112(1)()1fmxfxx−+=，所以12111112121

mxxx−+=++，即112121mxxx−+=，所以11210mxxx−+=，即111211mxxmxx−==−因为1[1,]xn，所以1111,mmmxn−−−因为231,2x，所以131,1,,2mmn−−

所以11132mmn−−，即2132mmn−获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com