【文档说明】安徽省宣城市第二中学2021-2022学年高二下学期期末模拟数学试题 含解析.docx，共(27)页，1.567 MB，由小赞的店铺上传

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宣城二中2021—2022学年度第一学期期末调研模拟测试高二数学试题考生注意事项：1．本卷满分150分，考试时间：150分钟．2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．3．回答选择题时，选出每小题答案后，把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后

，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．4．考试结束后，务必将答题卡交回．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的4个选项中，仅有一个正确答案．1.已知集合2

250Axxx=+，142xBx=，则AB=（）A.52xx−B.20xx−C.2xx−D.522xx−−【答案】A【解析】【分析】先化简集合A、B，再去求AB即可【详解】2525002Axxxx

x=+=−，142xBx=2xx=−，则5022ABxxxx=−−=52xx−.故选：A.2.已知,,3i(i)iabab+=+R（i为虚数单位）

，则（）A.1,3ab==−B.1,3ab=−=C.1,3ab=−=−D.1,3ab==【答案】B【解析】【分析】利用复数相等的条件可求,ab.【详解】3i1iab+=−+，而,ab为实数，故1,3ab=

−=，故选：B.3.设(,)axy=，(,)bmn=，且a，b均为非零向量，则“xymn=”是“ab∥”的（）条件A.充分非必要B.必要非充分C.充要D.既非充分又非必要【答案】A【解析】【分析】由向量共线的坐标公式判断充分性和必要性即可求解.【详解

】若xymn=，则nxmy=，则ab∥，满足充分性；反之，若ab∥，则nxmy=，不能推出xymn=，比如0mx==，显然满足nxmy=，但xymn=无意义，不满足必要性；故“xymn=”是“ab∥”的充分非必要条件.故选：A.4.血

氧饱和度是血液中被氧结合的氧合血红蛋白的容量占全部可结合的血红蛋白容量的百分比，即血液中血氧的浓度，它是呼吸循环的重要生理参数．正常人体的血氧饱和度一般不低于95%，在95%以下为供氧不足．当人体长时间处于高原、高空或深海环境

中，容易引发血氧饱和度降低，产生缺氧症状，此时就需要增加氧气吸入量．在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型：0()eKtStS=描述血氧饱和度()St（单位：%）随给氧时间t（单位：时）的变化规律，其中0S为初始血氧饱和度，K为参数．已

知057S=，给氧1小时后，血氧饱和度为76．若使得血氧饱和度达到正常值，则给氧时间至少还需要（）（结果精确到0.1，ln31.1，ln41.4，ln51.6）A.0.4小时B.0.5小时C.0.6小时D.0.7

小时【答案】D【解析】【分析】依据题给条件列出关于时间t的方程，解之即可求得给氧时间至少还需要的小时数【详解】设使得血氧饱和度达到正常值，给氧时间至少还需要1t−小时，由题意可得57e76K=，57e95Kt=，两边同时取自然对数并整理，得764lnlnln4ln3573

K===−，955lnlnln5ln3573Kt===−，则ln5ln31.61.11.7ln4ln31.41.1t−−=−−，则给氧时间至少还需要0.7小时故选：D5.嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行

的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列nb：1111b=+，212111b=++，31231111b=+++，…，依此类推，其中(1,2,)kk=N．则（）A.15bbB.38bbC.62bbD.47bb【答案】D【解析】【分析】

根据()*1,2,kk=N…，再利用数列nb与k的关系判断nb中各项的大小，即可求解.【详解】[方法一]:常规解法因为()*1,2,kk=N，所以1121+，112111+，得到12bb，同理11223111+++，可得23bb，13

bb又因为223411,11++112233411111+++++，故24bb，34bb；以此类推，可得1357bbbb…，78bb，故A错误；178bbb，故B错误；26231111++…，得26bb，故C

错误；11237264111111++++++…，得47bb，故D正确.[方法二]：特值法不妨设1,na=则1234567835813213455b2,bb,bb,bb,b2358132134========，，，，47bb故D正确.6.我国东汉末数学家赵爽在《周髀算

经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图"中，若,,3BCaBAbBEEF===，则BF=（）A.534

5ab+B.3455ab+C.1292525ab+D.16122525ab+【答案】D【解析】【分析】利用平面向量的线性运算及平面向量的基本定理求解即可.【详解】由题意()3344=+=+=++BFBCCFBCEABCEBBA3344=+−+BCBFBA，所以

253164=+BFBCBA，16122525BFBCBA=+，16122525=+BFab.故选：D.7.已知51mxxxx+−的展开式中常数项为20，则m=（）A.3−B.3C.13D.13−【答案】B【解析】【分析】先求51

()xx−展开式中含x和1x项，然后可得51mxxxx+−的展开式中常数项，根据已知解方程可得.【详解】51()xx−展开式中第1r+项5521551C()(1)CrrrrrrrTxxx−−+=−=−，当2r=时，235C10Txx==，3r=时，31

4510CTxx−=−=−，所以51mxxxx+−的展开式中常数项为10101010mxxmxx−=−，所以101020m−=，得3m=.故选：B8.已知各项都为正数的等比数列na满足7652aaa=+，存在两项ma，na使得1

4mnaaa=，则122nmn+++的最小值为（）A.11228+B.2615C.74D.2815【答案】B【解析】【分析】根据等比数列的知识求得,mn的关系式，结合基本不等式求得122nmn+++的最小值.【详解】因

为7652aaa=+，所以2q=或1q=−，又0na，所以2q=.由14mnaaa=可知：221124mnaa+−=，所以6mn+=，则()28mn++=，()2121212112282mnnmnmnmn++++

=++=+++++()22121822mmnnmnmn++=++++++()()222211313218282mmnnmnmn++=+++++++11228+=，

由()222mnmn+=+可得取等号时()22nm=+，但,mnN，无解；又6mn+=，经检验1m=且5n=时有最小值2615.故选:B9.在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保二氧化碳跨临界

直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和lgP的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是bar．下列结论中正确的是（）A.当220T=，1026P=时，二氧化碳处

于液态B.当270T=，128P=时，二氧化碳处于气态C.当300T=，9987P=时，二氧化碳处于超临界状态D.当360T=，729P=时，二氧化碳处于超临界状态【答案】D的【解析】【分析】根据T与lgP的关系图可得正确的选项.【详

解】当220T=，1026P=时，lg3P，此时二氧化碳处于固态，故A错误.当270T=，128P=时，2lg3P，此时二氧化碳处于液态，故B错误.当300T=，9987P=时，lgP与4非常接近，故此时二氧化碳处于固态，对应的是非超临界状态，故C错误.当360T=，729P=时，因2

lg3P,故此时二氧化碳处于超临界状态，故D正确.故选：D10.已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36，且333l，则该正四棱锥体积的取值范围是（）A.8118,4

B.2781,44C.2764,43D.[18,27]【答案】C【解析】【分析】设正四棱锥的高为h，由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关系，由此确定正四棱锥体积的取值范围.【详解】

∵球的体积为36，所以球的半径3R=,[方法一]：导数法设正四棱锥的底面边长为2a，高为h，则2222lah=+，22232(3)ah=+−,所以26hl=，2222alh=−所以正四棱锥的体积42622411214()=3333

66936lllVShahll===−−，所以5233112449696llVll−=−=，当326l时，0V，当2633l时，0V，所以当26l=时，正四棱锥的体积V取最大

值，最大值为643，又3l=时，274V=，33l=时，814V=,所以正四棱锥的体积V的最小值为274，所以该正四棱锥体积的取值范围是276443，.故选：C[方法二]：基本不等式法由方法一故所以()()()3221224211646122(3

33333hhhVahhhhhhh−++==−=−=„当且仅当4h=取到)，当32h=时，得332a=，则22min1133327();33242Vah===当33l=时，球心在正四棱锥高

线上，此时39322h=+=，23333222aa==，正四棱锥体积221113398164()332432Vah===，故该正四棱锥体积的取值范围是2764[,].4311.已知椭圆2241253xy+=的左、右焦点分别为1F、

2F，第一象限内的点M在椭圆上，且满足12MFMF⊥，点N在线段1F、2F上，设12FNNF=，将12MFF△沿MN翻折，使得平面1MNF与平面2MNF垂直，要使翻折后12FF的长度最小，则=（）.A.32B.2C.49

D.94【答案】A【解析】【分析】利用椭圆的定义、勾股定理可求得1MF、2MF，翻折前，过点1F作1FAMN⊥，垂足为点A，过点2F作2FBMN⊥，垂足为点B，设2NMF=，其中02，翻折后，利用勾股定理求出212FF关于

的表达式，利用正弦型函数的有界性可求得212FF的最小值及的值，再利用角平分线的性质可求得的值.【详解】在椭圆2241253xy+=中，52a=，3b=，22132cab=−=，12213FFc==，因为12MFMF⊥，且点M为第一象限内的点，则122221212122513M

FMFaMFMFFFMFMF+==+==，可得1232MFMF==，翻折前，过点1F作1FAMN⊥，垂足为点A，过点2F作2FBMN⊥，垂足为点B，设2NMF=，其中02

，则22sinBF=，2cosBM=，13sin3cos2AF=−=，3cos3sin2AM=−=，所以，3sin2cosABAMBM=−=−，翻折后，如下图所示：因为平面2MNF⊥平面1MNF，平面1

MNF平面2MNFMN=，2BF平面2MNF，2BFMN⊥，2BF⊥平面1MNF，1BF平面1MNF，21BFBF⊥，又因为1AFMN⊥，222222121212FFBFBFAFABBF=+=++()

2229cos3sin2cos4sin1312sincos136sin2=+−+=−=−，02，则02，故当22=时，即当4=时，12FF取得最小值7，则在翻折前，在12MFF△中，MN为12FMF的角平分线，所以，12112232MNFMNFSN

FMFSNFMF===△△，即32=.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题考查线段长度最值的求解，解题的关键就是将引入某角为自变量，将12FF的长度表示为该角为自变量的三角函数，结合三角函数的有界性来求解.12.设0.110.1e,ln0.99abc===−，

，则（）A.abcB.cbaC.c<a<bD.acb【答案】C【解析】【分析】构造函数()ln(1)fxxx=+−，导数判断其单调性，由此确定,,abc的大小.【详解】方法一：构造法设()ln(1)(1)fxxxx=+−−，因为1()111xfxxx=−=−++

，当(1,0)x−时，()0fx，当,()0x+时()0fx，所以函数()ln(1)fxxx=+−在(0,)+单调递减，在(1,0)−上单调递增，所以1()(0)09ff=，所以101ln099−，故110lnl

n0.999=−，即bc，所以1()(0)010ff−=，所以91ln+01010，故1109e10−，所以11011e109，故ab，设()eln(1)(01)xgxxxx=+−，则()()21

e11()+1e11xxxgxxxx−+=+=−−,令2()e(1)+1xhxx=−，2()e(21)xhxxx=+−，当021x−时，()0hx，函数2()e(1)+1xhxx=−单调递减，当211x−时，()0hx，函数2()

e(1)+1xhxx=−单调递增，又(0)0h=，所以当021x−时，()0hx，所以当021x−时，()0gx，函数()eln(1)xgxxx=+−单调递增，所以(0.1)(0)0gg=，即0.10.1eln0

.9−，所以ac故选：C.方法二：比较法解：0.10.1ae=，0.110.1b=−，ln(10.1)c=−−，①lnln0.1ln(10.1)ab−=+−，令()ln(1),(0,0.1],fxxxx=+−则1()10

11xfxxx−=−=−−，故()fx在(0,0.1]上单调递减，可得(0.1)(0)0ff=，即lnln0ab−，所以ab；②0.10.1ln(10.1)ace−=+−，令()ln(1),(0,0.1],xgxxexx=+−则()()(

)1111'11xxxxxegxxeexx+−−=+−=−−，令()(1)(1)1xkxxxe=+−−，所以2()(12)0xkxxxe=−−，所以()kx在(0,0.1]上单调递增，可得()(0)0k

xk，即()0gx，所以()gx在(0,0.1]上单调递增，可得(0.1)(0)0gg=，即0ac−，所以.ac故.cab二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13.已知向量a，b满足2a=，1b=，3ab+=rr，则ab−=___

______.【答案】7【解析】【分析】根据数量积的性质求向量的模长，解得1ab=−，再次利用数量积的性质，求得答案.【详解】由3ab+=rr可得，2223aabb++=，即4213ab++=，解得：1ab=−，所以2242217aababb−=+

++−==．故答案为：7．14.若圆A：(x－1)2＋(y－4)2＝a上至少存在一点P落在不等式组10,310,70xyxyxy−+−−−+−表示的平面区域内，则实数a的取值范围是____．【答案】2,45【解析】【分析】圆A与不等式组10,310,70xyxyx

y−+−−−+−表示的平面区域有交点，作出图象易求得a的取值范围.【详解】作出不等式组的图象，如下图，圆A与不等式组10,310,70xyxyxy−+−−−+−表示的平面区域有交点，可知圆的圆心为()1,4A到直线310xy−−=的距离为：314110510

−−=，由+7010xyxy−=−+−=，解得：34xy==，所以()3,4B，同理()1,2D，则圆心A与可行域内的点的距离的最大值为2ABAD==，所以1025a，即实数a的取值范围是：2,45.故答

案为：2,45.15.已知0，点A，B，C是函数()()cosπfxx=与()πcosπ3gxx=−的图象中连续相邻的三个公共点，若△ABC是钝角三角形，则的取值范围是________.【答案】30,3【解析】【分析】画出图象，求出1CD=

，根据两函数相等得到()3cosπ2x=，从而求出23BBDy==，根据ABC为钝角三角形，只需π4ACB，从而得到31，求出303.【详解】如图，记,,ABC为连续三交点（不妨设点B在x轴下方），D为AC的中点.由对称性可得ABC是以B为

顶角的等腰三角形，2π2πACTCD===，1CD=，由()πcosπcosπ3xx=−，整理得()()cosπ3sinπxx=，得()3cosπ2x=，则32CByy=−=，所以23BBDy==，

要使ABC为钝角三角形，只需π4ACB即可，由tan31BDACBDC==，所以303.故答案为：30,316.已知()fx为奇函数，当(0,1x时，()lnfxx=，且()fx关于直线1x=对称，设()1fxx=+

的正数解依次为1x、2x、3x、、nx、，则1lim()nnnxx+→−=________【答案】2【解析】【分析】根据题意可得函数()fx是以4为周期的周期函数，作出函数()fx的图像，结合图像可知1l

im()nnnxx+→−的几何意义为函数()fx两条渐近线之间的距离，从而可得出答案.【详解】解：因为()fx为奇函数，所以()()fxfx=−−，且()00f=，又()fx关于直线1x=对称，所以()()11fxfx+=−，所以()()()2+==f

xfxfx−−，则()()()42fxfxfx+=−+=，所以函数()fx是以4为周期的周期函数，作出函数()yfx=和1yx=+的图像如图所示：由()1fxx=+的正数解依次为1x、2x、3x、、nx、，则1

lim()nnnxx+→−的几何意义为函数()fx两条渐近线之间的距离为2，所以1lim()2nnnxx+→−=.故答案为：2.三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步

骤．17.某社区为庆祝中国共产党成立100周年，举办一系列活动，通过调查得知其中参加文艺活动与体育活动的居民人数如下表：男性女性合计文艺活动1530体育活动2010合计（1）补全上表，并判断能否在犯错

误的概率不超过0.5%的前提下认为参加活动的类型与性别有关？（2）在参加活动的男性居民中，用分层抽样方法抽取7人，再从这7人中随机抽取3人接受采访，记抽到参加文艺活动的人数为X，求X的分布列与期望．附：()20PKk0.050.0250.0100.0050.00

10k3.8415.0246.6357.87910.828()()()()22()nadbcKabcdacbd−=++++，其中nabcd=+++．【答案】（1）填表见解析；在犯错概率不超过0.5%的前提下，可以认为参加活动的类型与性别有关（2）分布列见

解析；期望为97【解析】【分析】（1）先直接补齐联列表，然后计算2K，即可求解；（2）先求出参加文艺活动的应抽取3人，参加体育活动的有4人，则X的可能取值为0，1，2，3，再求出每个值所对应的概率即可求解【小问1详解】依题意，22列联表如下：男生女生合计文艺活动153045体育活动2010

30合计3540752275(15103020)2258.0367.8794530354028K−==，故在犯错的概率不超过0.5%的前提下，可以认为参加活动的类型与性别有关．【小问2详解】因为男性居民中参加文艺活动的有15名，参加体育活动的有20名

，用分层抽样方法抽取7人，则参加文艺活动的应抽取3人，参加体育活动的有4人，则X的可能取值为0，1，2，3，所以()()031234343377CCCC4180,1C35C35PXPX======，()()213343

3377CCC1212,3C35C35PXPX======．所以X的分布列为的X0123P43518351235135所以()41812190123353535357EX=+++=．18.如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD为矩形

，2,1,5ADPDCDPC====，点E为线段PC上的点，且BCDE⊥.（1）证明：平面PCD⊥平面ABCD；（2）若3CECP=，且在线段BC上存在一点Q，使得//PA平面DEQ.请确定点Q的位置.并

证明你的结论.【答案】（1）证明见解析（2）Q为BC中点，证明见解析【解析】【分析】（1）先证明BC⊥面PCD即可证明结论；（2）取AC三等分点H，使得2AHCH=，连接EH，进而得//PA平面EHD，再延长DH交BC于点Q，利用

三角形相似求解即可.【小问1详解】证明：ABCD为矩形BCCD⊥又,BCDECDDED⊥=BC⊥平面PCD，BC平面ABCD平面PCD⊥平面ABCD【小问2详解】解：取AC三等分点H，使得2AHCH=，连接,,EHEHPAEH∥平面,EHDPA平面,

EHD则//PA平面EHD延长DH交BC于点Q，DHAQHC∽，∴12CQCHADAH==，即1122CQADBC==Q为BC中点19.记ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc，已知sinsin()sinsin()CABBCA−=−．（1）证明：2222abc=+；（2）若255

,cos31aA==，求ABC的周长．【答案】（1）见解析（2）14【解析】【分析】（1）利用两角差的正弦公式化简，再根据正弦定理和余弦定理化角为边，从而即可得证；（2）根据（1）的结论结合余弦定理求出bc，从而可求得bc

+，即可得解.【小问1详解】证明：因为()()sinsinsinsinCABBCA−=−，所以sinsincossinsincossinsincossinsincosCABCBABCABAC−=−，所以2222222222222acb

bcaabcacbcabacbcab+−+−+−−=−，即()22222222222acbabcbca+−+−−+−=−，所以2222abc=+；【小问2详解】解：因为255,cos31aA==，由（1）得22

50bc+=，由余弦定理可得2222cosabcbcA=+−，则50502531bc−=，所以312bc=，故()2222503181bcbcbc+=++=+=，所以9bc+=，所以ABC的周长为14abc++=.20.记n

S为数列na的前n项和，nb为数列nS的前n项积，已知212nnSb+=．（1）证明：数列nb是等差数列;（2）求na的通项公式．【答案】（1）证明见解析；（2）()3,121,21nnannn==

−+.【解析】【分析】（1）由已知212nnSb+=得221nnnbSb=−,且0nb，取1n=,得132b=,由题意得1212222212121nnnbbbbbbb=−−−,消积得到项的递推关系111221nnnnbbbb+++=−,进而证明数

列nb是等差数列;（2）由（1）可得nb的表达式,由此得到nS的表达式,然后利用和与项的关系求得()3,121,21nnannn==−+.详解】（1）[方法一]：【由已知212nnSb+=得221nnnbSb=−,且0nb，12nb,取1n=,由11Sb=得132b

=,由于nb为数列nS的前n项积，所以1212222212121nnnbbbbbbb=−−−,所以1121121222212121nnnbbbbbbb+++=−−−，所以111221nnnnbbbb+++=−,由于10nb+所以12121nnbb+

=−，即112nnbb+−=,其中*nN所以数列nb是以132b=为首项，以12d=为公差等差数列;[方法二]【最优解】：由已知条件知1231−=nnnbSSSSS①于是11231(2)−−=nnbSSSS

n．②由①②得1nnnbSb−=．③又212nnSb+=，④由③④得112nnbb−−=．令1n=，由11Sb=，得132b=．所以数列nb是以32为首项，12为公差的等差数列．[方法三]：由212nnSb+=，得22=−nnnSbS，且0

nS，0nb，1nS．又因为111−−==nnnnnbSSSSb，所以1122−==−nnnnbbSS，所以()1111(2)2222212−−−=−==−−−nnnnnnnSSbbnSS

S．在212nnSb+=中，当1n=时，1132==bS．故数列nb是以32为首项，12为公差的等差数列．[方法四]：数学归纳法由已知212nnSb+=，得221nnnbSb=−，132b=，22b=，352=b，猜想数列nb是以32为首项，12为公差的等差数列，且112nbn=+．下

面用数学归纳法证明．当1n=时显然成立．假设当nk=时成立，即121,21+=+=+kkkbkSk．那么当1nk=+时，11112++==+kkkbbSk331(1)1222kkkk++==+++．综上，猜想对任意的nN

都成立．即数列nb是以32为首项，12为公差的等差数列．（2）由（1）可得，数列nb是以132b=为首项，以12d=为公差的等差数列，()3111222nnbn=+−=+22211nnnbnSbn+==−+,当n

=1时，1132aS==,当n≥2时,()121111nnnnnaSSnnnn−++=−=−=−++,显然对于n=1不成立,,∴()3,121,21nnannn==−+.【整体点评】（1）方法一从212nnSb+=得221nnnbSb=−，然后利用nb的定义，得到数列n

b的递推关系，进而替换相除消项得到相邻两项的关系，从而证得结论；方法二先从nb的定义，替换相除得到1nnnbSb−=，再结合212nnSb+=得到112nnbb−−=，从而证得结论，为最优解；方法三由212nnSb+=，得22=−nnnSb

S，由nb的定义得1122−==−nnnnbbSS，进而作差证得结论；方法四利用归纳猜想得到数列112nbn=+，然后利用数学归纳法证得结论．（2）由（1）的结论得到112nbn=+，求得nS的表达式,然后利用和与项的关系求得na的通项公式；2

1.圆O：224xy+=与x轴的两个交点分别为()12,0A−，()22,0A，点M为圆O上一动点，过M作x轴的垂线，垂足为N，点R满足12NRNM=（1）求点R的轨迹方程；（2）设点R的轨迹为曲线C，直

线1xmy=+交C于P，Q两点，直线1AP与2AQ交于点S，试问：是否存在一个定点T，当m变化时，2ATS为等腰三角形【答案】（1）2214xy+=（2）存在，证明见解析【解析】【分析】（1）设点()00,Mxy在圆224xy+=上，

故有22004xy+=，设(),Rxy，根据题意得0xx=，012yy=，再代入圆224xy+=即可求解；（2）先判断斜率不存在的情况；再在斜率存在时，设直线l的方程为1xmy=+，与椭圆联立得：()224230mymy++−=，12224myym−+=+，1

2234yym−=+，再根据题意求解判断即可.【小问1详解】设点()00,Mxy在圆224xy+=上，故有22004xy+=，设(),Rxy，又12NRNM=，可得0xx=，012yy=，即0xx=，02yy=代入2200

4xy+=可得()2224xy+=，化简得：2214xy+=，故点R的轨迹方程为：2214xy+=.【小问2详解】根据题意，可设直线l的方程为1xmy=+，取0m=，可得31,2P，31,2Q−，可得直线1AP的方程为3363yx=+，直线

2AQ的方程为332yx=−联立方程组，可得交点为()14,3S；若31,2P−，31,2Q，由对称性可知交点()24,3S−，若点S在同一直线上，则直线只能为l：4x=上，以下证明：对任意的m，直线1AP与直线

2AQ的交点S均在直线l：4x=上.由22114xmyxy=++=，整理得()224230mymy++−=设()11,Pxy，()22,Qxy，则12224myym−+=+，12234yym−=+设1AP与l交于点()004,Sy，由011

422yyx=++，可得10162yyx=+设2AQ与l交于点()004,Sy，由022422yyx=−−，可得20222yyx=−，因为()()()()1221120102126123622222ymyymyyyyyxxxx−−+−=−=+−+−()()()()()22121211

121212464402222mmmyyyymmxxxx−−−−+++===+−+−，因为00yy=，即0S与0S重合，所以当m变化时，点S均在直线l：4x=上，因为()22,0A，()4,Sy，所以要使2ATS恒为等腰三角形，只需要4x

=为线段2AT的垂直平分线即可，根据对称性知，点()6,0T.故存在定点()6,0T满足条件.【点睛】求定点问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定点，再证明这个点与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定点．

22.已知函数()()xfxxexR−=（Ⅰ）求函数()fx的单调区间和极值；（Ⅱ）已知函数()ygx=的图象与函数()yfx=的图象关于直线1x=对称，证明当1x时，()()fxgx（Ⅲ）如果

12xx，且12()()fxfx=，证明122xx+【答案】（Ⅰ）f(x)在(,1−)内是增函数，在(1,+)内是减函数．函数f(x)在x=1处取得极大值f(1)且f(1)=1e（Ⅱ）见解析（Ⅲ）见解析【解析】【详解】（Ⅰ）解：f’(

)(1)xxxe−=−令f’(x)=0,解得x=1当x变化时，f’(x)，f(x)的变化情况如下表X(,1−)1(1,+)f’(x)+0-f(x)极大值所以f(x)在(,1−)内是增函数，在(1,+)内是减函数．函数f(x)在x=1处取得极大值f(1)且f(1)=1e（Ⅱ）证明：

由题意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x)2xe−令F(x)=f(x)-g(x),即2()(2)xxFxxexe−−=+−于是22'()(1)(1)xxFxxee−−=−−当x>1时，2x-2>0,从而2x-2e10,0,Fx

e−−又所以’(x)>0,从而函数F（x）在[1,+∞)是增函数．又F(1)=0，所以x>1时，有F(x)>F(1)=0,即f(x)>g(x).（Ⅲ）证明：（1）若121212(1)(1)0,)),1.xxxxxx−−====1

2由（）及f(xf(x则与矛盾。（2）若121212(1)(1)0,)),.xxxxxx−−==12由（）及f(xf(x得与矛盾。根据（1）（2）得1212(1)(1)0,1,1.xxxx−−不妨设由（Ⅱ）可知，2()fx>2()gx,则2()gx=)2f(2-x，所

以2()fx>)2f(2-x,从而1()fx>)2f(2-x.因为21x，所以221x−，又由（Ⅰ）可知函数f(x)在区间（-∞，1）内事增函数，所以1x>22x−,即12xx+>2.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公

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