【文档说明】浙江省金丽衢十二校2023-2024学年高三上学期第一次联考数学试题 含解析.docx，共(21)页，1.487 MB，由管理员店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-ee23e1cd271d58fa2474f09e29318bc5.html

以下为本文档部分文字说明：

金丽衢十二校2023学年高三第一次联考数学试题选择题部分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合0,1,2,3,5A=，2|20Bxxx=−，则AB=（）A.0,1,2B.0,3,5C.

3,5D.5【答案】C【解析】【分析】由不等式220xx−，解得2x或0x，再运用集合的交集即可.【详解】由不等式220xx−，解得2x或0x，则集合{|2xx或0}x，又0,1,2,3,

5A=，∴3,5AB=.故选：C.2.圆22:240Cxyxy+−+=的圆心C坐标和半径r分别为（）A.()1,2,5Cr−=B.()1,2,5Cr−=C.()1,2,5Cr−=D.()1,2,5Cr−=【答案】A【解析】【分析】将一般方程化为标准方程

即可求解.【详解】圆22:240Cxyxy+−+=，即()()22:125Cxy−++=，它的圆心C坐标和半径r分别为()1,2,5Cr−=.故选：A.3.已知平面向量,ab满足：22,baa==与b的夹角为120，若()()()abab+⊥−R，则

=（）A.0B.1C.32D.52【答案】D【解析】【分析】先计算平面向量,ab的数量积，再利用()()0abab+−=，列式解得即可.【详解】由题意，得1cos1201212abab==−=−，由()()abab+⊥

−，得()()0abab+−=，即()2210aabb+−−=，∴()140−−−=，解得52λ=.故选：D4.已知直线,ab和平面,,ab∥，则“ab”是“aP”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要

条件【答案】A【解析】【分析】由线面平行的判定、面面平行的性质以及充分不必要条件的定义即可求解.【详解】因为bP，则存在c使得bcP且b，若ab且a，则//ac，又a且c，所以aP，充分性成立；设//，,,

baabP=，则有aP，但,ab不平行，即必要性不成立.故选：A.5.5(1)xy+−展开式中含2xy项的系数为（）A.30B.30−C.10D.10−【答案】B【解析】【分析】根据排列组合与二项式定理知识直接计算即可.【详解】由题意得，5(1)xy+−展开式中含2xy的

项为()()()221222532CCC130xyxy−=−，所以5(1)xy+−展开式中含2xy项的系数为30−.故选：B6.已知函数()2sinyx=+，该图象上最高点与最低点的最近距离为5，且点()1,0是函数的一个对称点，则和的值可能是（）A.ππ,33

=−=−B.π2π,33=−=C.ππ,33==D.π2π,33==【答案】D【解析】【分析】由题意首先得π3=，进一步由π,Zkk+=，对比选项即可得解.【详解】由题意函数周期T满足，222π54322T=−==，所以π3=，又点

()1,0是函数的一个对称点，所以π,Zkk+=，所以π3ππ,Z3kk==−或π3ππ,Z3kk=−=+，对比选项可知，只有当π32π3=1k==时满足题意.故选：D.7.一个正

方形网格ABCD由99条竖线和99条横线组成，每个最小正方形格子边长都是1．现在网格中心点O处放置一棋子，棋子将按如下规则沿线移动：12345.OPPPPP→→→→→→．，点O到1P的长度为1，点1P到2P的长度为2，点2P到3P的长度为3，点3P到4P的长度为4，……，每次换方向后的直线移动

长度均比前一次多1，变换方向均为向右转．按此规则一直移动直到移出网格ABCD为止，则棋子在网格上移动的轨迹长度是（）的A.4752B.4753C.4850D.4851【答案】C【解析】【分析】构建一个等差数列，首项为111OPa==，公差为1d=，求981S−（第9

8次移动时只能移动97个单位，即9798981198197PPa−=−=−=）的和.【详解】由题意，设等差数列首项为111OPa==，公差为1d=，∴9898971981148502S−=+−=.故选：C.8.已知,AB分别是双曲线22:14xCy−=的左，右顶点，P是双曲线C上的一

动点，直线PA，PB与1x=交于,MN两点，,PMNPAB的外接圆面积分别为12,SS，则12SS的最小值为（）A.316B.34C.34D.1【答案】A【解析】【分析】容易知道14PPABkk=，设直线P

A的方程为：()2ykx=+，则直线PB的方程为：()124yxk=−，求出M，N两点坐标，则134MNkk=+，设,PMNPAB的外接圆的半径分别为1r，2r，由正弦定理得12sinsinMNMNrMPN

APB==，22sinABrAPB=，可知121344krkr+=，再利用基本不等式即可求值.【详解】由已知得，()2,0A−，()2,0B，由双曲线的对称性，不妨设(),Pxy在第一象限，所以2P

Aykx=+，2PBykx=−，所以222211422444PAPBxyyykkxxxx−====+−−−，设直线PA的方程为：()2,0ykxk=+，则直线PB的方程为：()124yxk=−，同时令1x=，则3Myk=，14Nyk=−

，所以13,04MNkkk=+，设,PMNPAB外接圆的半径分别为1r，2r，由正弦定理得，12sinsinMNMNrMPNAPB==，22sinABrAPB=，所以1211233344444kkMNrkkrAB+===，当且仅当134kk=，即36k=时取等号，所以221112

222π3π16SrrSrr===.故选：A【点睛】结论点睛：若A、B分别为双曲线的左、右顶点，P为双曲线上一动点，则直线PA与直线PB的斜率之积为定值.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每

小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．的9.若31i22z=+（i为虚数单位），则下列说法正确的为（）A.1z=B.2zzz=C.3iz=D.20230zz+=【答案】

ACD【解析】【分析】由共轭复数的定义、复数的模长公式、复数的运算对选项一一判断即可得出答案.【详解】对于A，31i22z=+，则31i22z=−，所以2231122z=+−=，故A正确；对于，对于B，22

313131iii1,222222zz=+−=−=22231313113ii2ii22442222z=+=++=+，故B错误；对于C，321331iii2222zzz==++=

，故C正确；对于D，()()()6743376742023202232iizzzzzzzz=====−，所以20230zz+=，故D正确.故选：ACD.10.为调研加工零件效率，调研员通过试验获得加工零件个数x与所用时间y（单位：min）的5组数据为：(

)()()()()10,52,20,67,30,70,40,75,50,86，根据以上数据可得经验回归方程为：0.76yxa=+，则（）A.47.3a=B.回归直线0.76yxa=+必过点()30,70C.加工60个零件的时间大约为92.8minD.若去掉()30,70，剩下4

组数据的经验回归方程会有变化【答案】BC【解析】【分析】求得数据的样本中心点可判断B；结合回归方程可求出ˆ47.2a=可判断A；将60x=代入回归方程求得预测值可判断C；根据0.7642ˆ7.yx=+恒过()30,70，可判

断D.【详解】()11020304050305x=++++=，()15267707586705y=++++=，所以0.76yxa=+恒过()30,70，所以700.760ˆ3a=+，解得：ˆ47.2a=，故A错误；B正确；所以0.7

642ˆ7.yx=+，令60x=，则0.766047.8ˆ292.y=+=，故加工60个零件的时间大约为92.8min，故C正确；因为0.7642ˆ7.yx=+恒过()30,70，所以剩下4组数据的经验回归方程不会有变化，故D错误.故选:B

C.11.设P是抛物线弧2:8(0)Cyxy=上的一动点，点F是C的焦点，()4,4A，则（）A.()2,0FB.若4PF=，则点P的坐标为()2,4C.APAF+的最小值为225+D.满足PFA面积为92的点P有2个【答案】AB【解析】【分析】对于A

，直接由抛物线方程即可判断；对于B，直接由焦半径先求得点P横坐标，代入抛物线方程验算其纵坐标即可判断；对于C，由B选项启发，观察图象，令()3,26P即可举出反例；对于D，由点到直线距离公式将原问题转换为方程的()2192542y−−=

或()2192542y−−=−的正根的个数和即可判断.【详解】对于A，抛物线弧2:8(0)Cyxy=的焦点为()2,0F，故A正确；对于B，若42PPFx==+，解得2Px=，所以8164PPyx===，即点P的坐标为()2,4，故B正确；对于C，取()3,26P，则()2142616441

16625APAF+=+−++=−+，因为22566371670−=，所以16637，即()2401664263−=−，所以4116642−=，即225APAF++，故C错误；对于D，直线AF斜率为4242k==−，所以它的方程为()22yx=−，点(),Pxy到它的距离为245

xyh−−=，注意到16425AF=+=，若PFA面积为92，则241925225xy−−=，又2204yx=，所以()2192542y−−=或()2192542y−−=−，解得238y=+或22y=，所以满足PFA面积为

92的点P有3个，故D错误.故选：AB.12.对于集合A中的任意两个元素,xy，若实数(),dxy同时满足以下三个条件：①“(),0dxy=”的充要条件为“xy=”；②()(),,dxydyx=；③zA，都有()()(),,,dxydxzdyz+．则称(),dxy为集合A上的距

离，记为Ad．则下列说法正确的是（）A.(),dxyxy=−为dRB.(),sinsindxyxy=−为dRC.若()0,A=+，则(),lnlndxyxy=−为AdD.若d为Rd，则1ed−也为Rd（e为自然对数的底数）的【答案】AC【解析】【分析】由Ad的定义对选项一一判断即可得出答案.【

详解】对于A，(),dxyxy=−，即xy=，①，(),0dxy=，即(),0dxyxy=−=，即xy=，若xy=，则(),0dxyxyxx=−=−=，所以“(),0dxy=”的充要条件为“xy=”.②，()(),,dxyxyyxdyx=−=−=，成立，③，,

,Rxyz，()()xyxzzyxzzy−=−+−−+−，故A正确；对于B，(),sinsindxyxy=−，①，(),0dxy=，即(),sinsin0dxyxy=−=，即sinsinxy=，此时若0,πxy==，则xy，故B

错误；对于C，(),lnlndxyxy=−，①，(),0dxy=即lnlnln0xxyy−==，即1xy=，得xy=，若xy=，则(),lnlnlnln0dxyxyxx=−=−=，所以“(),0dxy=”的充要条件为“xy=”.②，()(),lnlnlnln,dxyxy

yxdyx=−=−=，成立；③，()()(),lnlnlnlnlnlndxyxyxzzy=−=−+−()()lnlnlnln,,xzzydxzdyz−+−=+，故成立，故C正确；对于D，设,xyR，(),dxyxy=−，则()1,1e

exydxy−−−=，①,若(),0dxy=，则0xy−=，即xy=，111ee0xyde−−−−==，故D错误.故选：AC.【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提

供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决．

非选择题部分三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知圆台的上下底面半径分别是1，4，且侧面积为10π，则该圆台的母线长为__________．【答案】2【解析】【分析】利用圆台侧面积公式求解即可.【详解】设母线长度为l，由圆台侧面积公式得110

π(2π12π4)2l=+，解得2l=，故圆台母线长度为2.故答案为：214.若函数()33,02,0xaxxfxbxxx+=−是R上的偶函数，则ab+=__________．【答案】1【解析】【分析】根据函数()fx是R上的偶函数，利用特殊值可得答案.【详解】若函数

()fx是R上的偶函数，则有()()()()1122ffff−=−=，即218482baba−+=+−+=+，解得21ab==−，当21ab==−时，此时()332,02,0xxxfxxxx+=−−

，()00f=，当0x时，0x−，()()32−=+=fxxxfx，当0x时，0x−，()()32−=−−=fxxxfx，所以函数()fx是R上的偶函数，符合题意，则211ab+=−=.故答案为：1.15.已知是第二象限角，ππ10,,tan244+=−

，现将角的终边逆时针旋转后得到角，若1tan7=，则tan=__________．【答案】198##2.375【解析】【分析】由两角和的正切公式先得5tan3=−，进一步由两角差的正切公式即可

求解.【详解】由题意πtan11tan41tan4++==−−，且=+，()1tantan7=+=，解得5tan3=−，所以()151973tantan518137−−=+−==+−故答案为：198.1

6.已知曲线:elnxCyaax=−，直线:1lykx=+，若对任意0a，直线l始终在曲线C下方，则实数k的取值范围为__________．【答案】1,1e−−【解析】【分析】首先将原问

题转换为eln1xaaxkx−+恒成立，()()eln1,0xaaxgkxaa=−−+（先固定0x），得对任意0x，ln1xkx−恒成立，由此即可利用导数求解.【详解】由题意,0xa，有eln1xaaxk

x−+恒成立，不妨设()()eln1,0xaaxgkxaa=−−+（先固定0x），即()eln10xaagxkxa−=−+恒成立，则()1exgaa=−，令()1e0xgaa=−=得exa−=，当0exa−时，()1e0xgaa=−

，()ga单调递减；.当exa−时，()1e0xgaa=−，()ga单调递增；所以()()mine1lneln1ln0xxgagxkxxxkx−−==−−−−=−−，即ln1xkx−，由于这里0x且任意，即对任意0x，ln1xkx−恒成立，所以设()()ln1,0xfxxx=−

，()()221lnln1,0xxfxxxx−−=−=，令()2ln10xfxx−==得ex=，当0ex时，()0fx，()fx单调递减；当xe时，()0fx¢>，()fx单调递增；所以()()min1e1efxf==−，所以()()min1e1ekfxf==−，综

上所述，实数k的取值范围为1,1e−−.故答案为：1,1e−−.【点睛】关键点睛：双变量恒成立问题，首先固定0x，通过导数将原问题转换为对任意0x，ln1xkx−恒成立，由此即可顺利得解.四、解答题：本大题共6小题，共70分

.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.在ABC中，内角,,ABC所对的边分别是,,abc，已知2222sinsincCbcaB=+−．（1）求角A；（2）设边BC的中点为D，若7a=，且ABC的面积为334

，求AD的长．【答案】（1）π3A=（2）132【解析】【分析】（1）根据正弦定理和题中所给式子化简计算得到222bcabc+−=，再结合余弦定理即可求出角A；（2）根据三角形面积公式得到3bc=和2210bc+=，再结合中线向量公式计算即可.【小问1详解】在ABC中，由正弦定理得，s

insinCcBb=，因为2222sinsincCbcaB=+−，所以2222ccbcab=+−，化简得，222bcabc+−=，在ABC中，由余弦定理得，2221cos22bcaAbc+−==，又因为0πA，所以π3A=【小问2详解】

由1333sin244ABCSbcAbc===△，得3bc=，由2222cosabcbcA=+−，得2273bc=+−，所以2210bc+=．又因为边BC的中点为D，所以()12ADABAC=+，所以222111113()2cos10232

2222ADABACbcbcA=+=++=+=18.在三棱柱111ABCABC-中，四边形11BCCB是菱形，ABC是等边三角形，点M是线段AB的中点，160ABB=．（1）证明：1BC⊥平面1ABC；（2）若平面11ABBA⊥平面ABC，求直线1BC与平面11AMC所成角

的正弦值．【答案】18.证明见解析19.34【解析】【分析】（1）根据四边形11BCCB是菱形，可得11BCBC⊥；在1ACB中，根据题意可证1ABAC=，又N是1BC的中点，得1BCAN⊥，即可得到结论.（2）根据题意，建立空间直角坐标系，求得平面11AM

C的法向量，利用线面角公式即可.【小问1详解】设1BC与1BC交点为N，连接1,ABAN．四边形11BCCB是菱形，111,,BCBCBBBCN⊥=是1BC的中点．在1ABB中，111,60,BBABABBABB==△是等边三角形，1ABAB=．在1AC

B中，1,ABACN=是1BC的中点，1BCAN⊥．又1111,,,BCBCANBCNANBC⊥=平面1ABC，1BC⊥平面1ABC．【小问2详解】连接1BM，1ABB是等边三角形，M是线段AB的中点，1.BMAB⊥

又平面11ABBA⊥平面ABC，平面ABC平面11ABBAAB=，1BM平面11ABBA，1BM⊥平面ABC．以M为原点，,MBMC所在直线分别为x轴，y轴如图建立空间直角坐标系，不妨设2AB=，则()()()()0,0,0,1,0,0,1,0,0,0,3,0

MABC−，()()112,0,3,0,0,3AB−，于是()()()()1112,0,3,0,0,3,1,3,0,0,3,3MAMBBCBC=−==−=−，()111111,3,3MCMBBCMBBC=+=+=−设平面11AMC的法向

量为(),,nxyz=，则1100nMAnMC==，即230330xzxyz−+=−++=，令3x=，得1,2yz=−=，所以平面11AMC的一个法向量为()3,1,2n=−．设直线1BC与平面1

1AMC所成角大小，则11333sin431433BCnBCn===+++，故直线1BC与平面11AMC所成角的正弦值为34.19.袋中有2个黑球和1个白球，现随机从中有放回地取球，每次取1个，约定：连续两次取到黑球或者取满

5次，则取球结束．在取球过程中，计分规则如下：若取到1次黑球，得2分；取到1次白球，得1分．小明按照如上约定和规则进行取球，最终累计积分为X．（1）求小明取球次数不超过4次的概率；（2）求X的分布列和期望．【答案】（1）2027（2）分布列见解析，()145

27EX=【解析】【分析】（1）由独立乘法公式和互斥加法公式即可求解.（2）由题意得4,5,6,7,8X，依次求出相应的概率，进而得分布列以及数学期望.【小问1详解】记小明取球次数为Y，则()()22241242,3393327PYPY

======，()2124413327PY===．因此()()()()20423427PYPYPYPY==+=+==，故小明取球次数不超过4次的概率为2027．【小问2详解】由题意得4,5,6,7,8X，()2244;39

PX===得5积分有两类情况：第一次摸出白球且第二第三次摸出黑球，或是5次摸出白球，由此可得为()25121375333243PX==+=；同理可得()()()22412212252865,7,8333

324324381PXPXPX==+=====．因此随机变量X的分布列如下：X45678P49372432224352243881期望为：()43722528145456789

2432432438127EX=++++=.20.已知数列na满足()*1222332222nnnaaann++++=−N，记数列na的前n项和为nS．（1）求nS；（2）已知*Nnk且121,2kk==，若数列nka是等比数列，记nk的前n项

和为nT，求使得nnST成立的n的取值范围．【答案】（1）2nSn=（2）1,2,3．【解析】【分析】（1）由递推关系首先得21nan=−结合等差数列求和公式即可求解.（2）由题意首项得1312nnk−+=，进一步有通过等比数列求和将原问题转换为求()24211*3nnn−+不等

式的正整数解集.【小问1详解】1222332222nnnaaan++++=−①()11221121322222nnnaaann−−−++++=−②②-①得，nnna2n122−=，得21nan=−．当1n=时，①式为121

3222a=−=，得11a=，也满足上式．21nan=−，数列na是等差数列，所以()21212nnnSn+−==．【小问2详解】12121,3kkaaaa====，则数列nka是以1为首项，3为公比的等比数列，13nnka−

=，又121,213nnknnakk−=−−=，得1312nnk−+=，得1133212134nnnnTn−+−=+=−．令nnST，即23214nnn+−，即()24211*3nnn−+．当1,2,3n=时，经验证，（*）式

满足要求．令()24213nnnfn−+=，则()()()()22114(1)2114324211333nnnnnnnnnfnfn+++−++−−++−=−=，所以当4n时，()()574181fnf=，即当4n时，()*式不成立．使得nnST成立的n

的取值范围是1,2,3．21.已知椭圆22:143xyC+=的左右焦点分别为12,FF，点()00,Pxy为椭圆C上异于顶点的一动点，12FPF的角平分线分别交x轴、y轴于点MN、．（1）若012x=，求1PF；（2）求证：PMPN为定值；（3）当1FNP面积取到最大值时，求点P的横坐标0

x．【答案】（1）194PF=（2）证明见解析（3）031x=−【解析】【分析】（1）根据两点间距离公式化简即可.（2）根据角平分线定理知1122PFMFPFMF=得01,04Mx，由PMMHPNOH=即可求出PMPN为定值（3）表示出1FNP的面积，利用导函数求出面积表达式的单调

性，即可求出1FNP面积取到最大值时，求点P的横坐标.【小问1详解】由已知得()11,0F−，22220000313434xyxy+==−则()2210001122PFxyx=++=+．所以当012x=时，1

94PF=；【小问2详解】设(),0Mm，在12FPF△中，PM是12FPF的角平分线，所以1122PFMFPFMF=，由（1）知10122PFx=+，同理()2220001122PFxyx=−+=−，即0012121122xmmx++=

−−，解得014mx=，所以01,04Mx，过P作PHx⊥轴于H．所以34PMMHPNOH==．【小问3详解】记1FNP面积的面积为S，由（1）可得，()()()221000000111334444236412SFMyyxxx

x=+=+−=+−，其中()()02,00,2x−，则()2002032264Sxxx−=+−−，当()()02,00,31x−−时，0,SS单调递增；当()031,2x−时，0,SS单调递减．所以当0

31x=−时，S最大．【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是利用导函数求解面积表达式的最值，注意函数的定义域.22.已知函数()()ln2fxxmxm=−R有两个不同的零点12,xx．（1）求实数m的取值范围；（2）证明：4121exxm

．【答案】（1）10em（2）证明见解析【解析】【分析】（1）先求出导函数，当0m时，不满足题意；当0m时，求出函数的单调性，再求出极大值21()2ln20fxfmm==−−极大值，即可得解；（2）要证4121xxm，即证1212121lnl

nttttmtt−=−121221ln0tttttt−+，构建函数()12lnguuuu=−+，即可得证，再证412exx，即证212ett，只需证()122mtt+，即()1121212112221lnln2ln201tttt

tttttttt−−+−−+，构建函数()1ln21vhvvv−=−+，即可得证.【小问1详解】由题意，()11(0)mmxfxxxxx−=−=，当0m时，()0fx¢>，函数()fx单调递增，不满

足要求；当0m时，令()0fx=，得21xm=，x210,m21m21,m+()fx+0−()fx递增极大值递减令21()2ln20fxfmm==−−极大值，得10em．设()24lngmmm=−−，于是()2242240mgmmmm−=−+=

，所以()gm在10,em上单调递增，故()142e0egmg=−，故()412120,4ln0fmfmmm=−=−−，所以由零点存在定理可知，存在1210,xm，使得()

10fx=；存在221,xm+，使得()20fx=.故当10em时，函数()fx有两个不同的零点12,xx．【小问2详解】由题意，令1122,xtxt==，且不妨令12xx，则有1122lnlntmttmt==（*）两式相减可得，

1212lnlnttmtt−=−，要证4121xxm．即证1212121lnlnttttmtt−=−．121221ln0tttttt−+（**）令12tut=，则（**）即为12ln0(01)uuuu−+．设()12lnguuuu=−+，则()222212110uuguu

uu−+−=−−=，所以()gu在()0,1上单调递减，所以()()10gug=，即有4121.xxm（*）两式子相加得，()1212lnttmtt=+，则要证412exx即证212ett，由上式只需证()122mtt+，即证()1121212112221lnln

2ln201tttttttttttt−−+−−+（***）令12tvt=（***）1ln20(01)1vvvv−−+．设()()1ln2011vhvvvv−=−+，则()22(1)0(1)vhvvv+−=

，所以()hv在()0,1上单调递增，所以()()10hvh=，即有412exx．故4121exxm.【点睛】方法点睛：极值点偏移问题的一般题设形式：1.若函数()fx存在两个零点12,xx且12xx，求证：1202xxx+（0x为函数()fx的极

值点）；2.若函数()fx中存在12,xx且12xx满足2()()1fxfx=，求证：1202xxx+（0x为函数()fx的极值点）；3.若函数()fx存在两个零点12,xx且12xx，令1202xxx+=，求证：()00fx；4.若函数()fx中存在12,xx且12xx满足2()()

1fxfx=，令1202xxx+=，求证：()00fx.