【文档说明】河南省许昌高级中学2024-2025学年高二上学期8月月考试题 数学 Word版含解析.docx，共(12)页，1.276 MB，由小赞的店铺上传

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2024-2025学年高二上学期7月暑期检测数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答

题卡的相应位置上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1．已知π1cos46+=，则πsinsin?24

−+=（）A．79B．109C．29−D．49−2．已知三棱锥−PABC中，PCAB⊥，4PC=，43AB=，E，F分别是PA，BC的中点，则EF与AB所成的角大小为（）A．6B．3C．4D．23．

已知两个非零向量a，b满足||||abab+=−，则2ab−在b方向上的投影向量为（）A．12bB．2bC．12b−D．2b−4．如图，实心正方体1111ABCDABCD−的棱长为2，其中上、下底面的中心分别为,QR．若

从该正方体中挖去两个圆锥，且其中一个圆锥以R为顶点，以正方形1111DCBA的内切圆为底面，另一个圆锥以Q为顶点，以正方形ABCD的内切圆为底面，则该正方体剩余部分的体积为（）A．5π848−B．7π848−C．25π824−D．7π86−5．我国古代数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，后人称

为“赵爽弦图”.他用数形结合的方法给出了勾股定理的证明，极富创新意识.“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.如图，若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则ADGB=（）A．9B．9−C．12D．12−6．在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(

)222tan3acbBac+−=，则角B的值为（）．A．6B．3C．6或56D．3或237．已知圆锥的高为3，底面半径为3，若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的体积与圆锥的体积的比值为A．

53B．329C．43D．2598．筒车是一种水利灌溉工具（如图1所示），筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转轮的中心为O，筒车的半径为r，筒车转动的周期为24s，如图2所示，盛水桶M在0P处距水

面的距离为0h.4s后盛水桶M在1P处距水面的距离为1h，若1022hhr−=，则直线0OP与水面的夹角为（）A．π12B．π6C．π4D．π3二．多选题（共3小题，每题6分，共18分。在每题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，

部分选对得3分，有选错的得0分。）9．某市举办了“爱国爱党”知识竞赛.把1000名参赛者的成绩（满分100分，成绩取整数）按)60,70，)70,80，)80,90，90,100分成四组，并整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法错误的

为（）A．a的值为0.035B．估计这组数据的众数为90C．估计这组数据的第70百分位数为89D．估计成绩低于80分的有350人10．已知平面向量()1,2a=，()2,bx=−，则（）A．当2x=时，()1,4ab+=−B．若ab，则

=1x−C．若ab⊥，则1x=D．若a与b的夹角为钝角，则()(),44,1x−−−11．在ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，且()2cos1cbA=+，则下列结论正确的有（）A．2AB=B．若3ab=，则ABC为直角三角形

C．若ABC为锐角三角形，11tantanBA−的最小值为1D．若ABC为锐角三角形，则ca的取值范围为223,23三．填空题（共3小题，每题5分，共15分。）12．有一个正六棱柱的机械零件，底面边长为4cm，高为1cm，则这个正

六棱柱的机械零件的表面积为2cm.13．设i是虚数单位，复数12aii+−为纯虚数，则实数a为14．如图，三棱柱111ABCABC-中，1AA⊥底面ABC，90ACB=，16,2,===ACBCCCP是1BC上一动点，则1CPPA+的最小值是

．四．解答题（共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）（15分）15．如图，在四棱柱1111ABCDABCD−中，侧棱1AA⊥平面ABCD，//ABCD，ABAD⊥，1ADCD==，12AAAB==，E为棱1AA的中点，M为棱CE的中点．(1)证明：1BCCE⊥；(2

)求异面直线BM与AD所成角的余弦值；(3)求点1C到平面1BMB的距离．（14分）16．近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱，目前已经成为推动消费的一种流行营销形式，某直播平台有1000个直播商家，对其进行调查统计，发现所售商品多为小吃、

衣帽、生鲜、玩具、饰品类等，各类直播商家所占比例如图①所示，为了更好地服务买卖双方，该直播平台打算用分层抽样的方式抽取80个直播商家进行问询交流．(1)应抽取小吃类商家多少家？(2)在问询了解直播商家的利润状况时，工作人员对抽取的80个商家的平均日利润进行了统

计（单位：元），所得频率直方图如图②所示．①估计该直播平台商家平均日利润的第75百分位数；②若将平均日利润超过480元的商家称为“优质商家”，估计该直播平台“优质商家”的个数．（15分）17．已知向量12ee，，且1211,eee=

=与2e的夹角为12π3mee=+，，1232nee=−(1)求证：()1222eee−⊥(2)若mn=，求的值；(3)若m与n的夹角为π3，求的值．（15分）18．如图，已知四棱台1111ABCDABCD−的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，

14AA=，且1AA⊥底面ABCD，点P，Q分别在棱1DD、BC上.(1)若P是1DD的中点，证明：1ABPQ⊥；(2)若//PQ平面11ABBA，二面角PQDA−−的余弦值为49，求四面体ADPQ的体积.（18分）

19．我校南门有条长500米，宽6米的道路（如图1所示的矩形ABCD），路的一侧划有100个长5米，宽2.5米的停车位（如矩形AEFG），由于停车位不足，放学时段道路拥堵，学校保安李师傅提出一个改造方案，在不改变停车位形状大

小、不改变汽车通道宽度的条件下，可通过压缩道路旁边绿化带及改变停车位方向来增加停车位，记绿化带被压缩的宽度AMd=（米），停车位相对道路倾斜的角度EAM=，其中ππ,63.(1)若3cos5=，求EE和EM的长；(2)求d

关于的函数表达式()d；(3)若3d=，按照李老师的方案，该路段改造后的停车位比改造前增加多少个？数学答案1．A【详解】令π4t+=，则π4t=−，1cos6t=，所以πππsinsin2sinsin2422tt−+=−+−

2coscos2cos12costttt=−−=−+−11716189=−+−=.2．A【详解】取PB的中点G，连接GF，GE，如图，又E为PA的中点，所以//EGAB，1232EGAB==，同理可得//GFPC，122GFPC==，又PCAB⊥，所以E

GFG⊥，则GEF为EF与AB所成的角，RtGEF中，2tan3233GFGEFEG===，所以EF与AB所成的角为π6.3．D4．D【详解】两圆锥的体积都为221112ππ12π333Vrh===，则其公共部分为2211π2π1326V=

=，故该正方体剩余部分的体积为3124ππ7π2288366VVV=−+=−+=−.5．B【详解】由题意可知，5,1ADHE==，设AHx=，由勾股定理可得()22215xx++=，解得3x=，所以3sin5ABH=，所以()3cosπ5395ADGBBCGBGBC=

−=−=−，6．D【详解】解：()222tan3acbBac+−=，()2223cos22sinacbBacB+−=，即3coscos2sinBBB=，3sincos02BB−=且tanB有意义即2B

，3sin2B=，在ABC中，B为3或23，7．B【详解】如图所示：设球半径为R，则()22233RR=−+，解得2R=.故求体积为：3143233VR==，圆锥的体积：2213333V==，故12329VV=.故选：B.8．A【详解】如图，过O作直线l与水面平行，过0P

作0PAl⊥，垂足为点A，过1P作1PBl⊥，垂足为点B，设0AOP=，1BOP=，则4π2π243−==，其中π02，则0sinPAr=，1sinPBr=，所以，10102sinsin2PBPAhhrr−

−−===，所以π1313π2sinsinsincossinsincossin3222232+−=+−=−−=−−=，整理可得π2sin32−=−，因为π02，则ππ36π3−−，所以，ππ34−=−，解得π12

=.9．ABD【详解】易知100.0050.020100.05010101a+++=，解得0.025a=，所以A错误；由频率分布直方图可知众数落在)80,90区间，用区间中点表示众数即85，所以B错误；由

频率分布直方图可知前两组频率之和为0.005100.020100.25+=，前三组频率之和为0.005100.020100.050100.75++=.故第70百分位数落在区间)80,90，设第70百分位数为x，则()0.25800.0500.

70x+−=，解得89x=，所以C正确；成绩低于80分的频率为0.005100.020100.25+=，所以估计成绩低于80分的有10000.25250=人.故D错误.10．ACD【详解】对A，

当2x=时，()2,2b=−，所以()1,4ab+=−，故A正确；对B，若ab，则()220x−−=，解得4x=−，故B错误；对C，若ab⊥，则()1220x−+=，解得1x=，故C正确；对D，若a与b的夹角为钝角，则22

0abx=−+且a与b不共线，解得1x且4x−，即()(),44,1x−−−，故D正确，11．ABD【详解】对于A,ABC中，由正弦定理得sin2sincossinCBAB=+，由()sinsinCAB=+，得s

incoscossinsinABABB−=，即()sinsinABB−=，由0,πAB，则sin0B，故0πAB−，所以ABB−=或πABB−+=，即2AB=或πA=（舍去），即2AB=，A正确；对于B，若3ab=，结合2

AB=和正弦定理知33,cossinsin2sin2abbBABB===，又0,πAB，所以可得ππ2,32ABC===，B正确；对于C，在锐角ABC中，πππ0,02,0π3222BABCB==−，即ππ3,t

an1643BB.故221111tan1tan1tantantan2tan2tanBBBABBB−+−=−=，C错误；对于D，在锐角ABC中，由ππ23,cos6422BB，sinsin3

sin2coscos2sin12cossinsin2sin22coscCBBBBBBaABBB+====−，令23cos,22Bt=，则()122cfttat==−，易知函数()122fttt

=−单调递增，所以可得223,23ca，D正确；12．48324+/24483+【详解】223616243cm,41624cm,4SS====侧底22(48324)cmSSS=+=+表侧底13．2

【详解】21(1)(2)222122(2)(2)555aiaiiiaiaiaaiiii++++−+−−===+−−+，它为纯虚数，则205a−=且1205a−，解得2a=．14．52【详解】把平面11ACB沿着1BC展开与1CBC△

在同一平面上，连接1AC，则1CPPA+的最小值是1AC，因为90ACB=，三棱柱111ABCABC-是直三棱柱，16,2ACBCCC===，222221111111113622210ABABBBACBCBB=+=++=++=，221111222BCBBBC=+=+=，因为2221111ACB

CAB+=，所以111ACBC⊥，所以111190,6ACBAC==，所以114590135CCA=+=，由余弦定理得22211111112cos13550ACACCCACCC=+−=，所以125AC=，故

1CPPA+的最小值是52.15．(1)证明见解析；(2)1111；(3)105.【详解】（1）由1AA⊥底面ABCD，,ADAB平面ABCD，得11,AAADAAAB⊥⊥，而ABAD⊥，即直线1,,ADAAAB两两垂直，

以点A为坐标原点，直线1,,ADAAAB分别为,,xyz轴建立空间直角坐标系，如图，则11111(1,0,0),(1,0,1),(1,2,1),(0,2,2),(0,1,0),(,,)(0,0,0),(0,0,2)22

,2ABDCCBEM，1(1,1,1)EC=，(1,0,1)BC=−，显然101111BCEC==−，即1BCEC⊥，所以1BCCE⊥.（2）113(,,),(1,0,0)222BMAD=−=，2221112cos,11113()()()222BMADBMADBMAD===++−，所以

异面直线BM与AD所成角的余弦值为1111.（3）1113(,,),(0,2,0)222BBBM=−=，11(1,0,1)CB=−，设平面1BMB的法向量(,,)nxyz=，则1201130222nBBynBMxyz===+−=，令1z=，得(

3,0,1)n=，所以点1C到平面1BMB的距离11||2105||10nCBdn===.16．(1)28家(2)①487.5元；②280【详解】（1）根据分层抽样知：应抽取小吃类()80130%15%10%5%5%28−−−−−=家；（2）①根据题意可得()0.002320.006501

a++=，解得0.004a=，设75百分位数为x，因为()0.0020.0040.006500.60.75++=，()0.0020.0040.0060.004500.80.75+++=，所以()4500.0040.60.75x−+=，解得487.5x=

，所以该直播平台商家平均日利润的75百分位数为487.5元．②5004800.0040.0020.00250100028050−++=，所以估计该直播平台“优秀商家”的个数为280．17．(1)证明见解(2)3−或2(3)2【详解】（1）因为

1211eee==，与2e的夹角为π3，所以121212π1cos,11cos32eeeeee===，所以()221221221222102eeeeee−=−=−=，所以()1222eee−⊥.（2）由（1）知，1212ee=，因为121ee==，mn=，

所以()()22121232eeee+=−，即222122112222129124eeeeeeee++=−+，于是有2222211211219124172++=+−=，即()()26320+−=+−

=，解得3=−或2=,所以的值为3−或2.（3）由（1）知，1212ee=，因为121,ee==所以()222222221211221212112meeeeee=+=++=++=++，()22222

121122132912491124172neeeeee=−=−+=−+=，()()()22212121122132332222mneeeeeeee=+−=+−−=−，因为m与n的夹角为π3，所以()21212cos,0271mnmnmn

−===++，即()()224171−=++，且14，于是有()()23523120−−=+−=，解得2=或13=−（舍）,所以的值为2.18．(1)证明见解析(2)83【详解】（1）以A为坐标原点，AB，

AD，1AA所在直线分别为x，y，x轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0A，()12,0,4B，()0,4,0D，()10,2,4D，设()4,,0Qm，其中mBQ=，04m，若P是1DD的中点，

则()0,3,2P，()12,0,4AB=，()4,3,2PQm=−−，于是1880ABPQ=−=，∴1ABPQ⊥，即1ABPQ⊥.（2）由题设知，()4,4,0DQm=−，()10,2,4DD=−

是平面PDQ内的两个不共线向量.设()1,,nxyz=是平面PDQ的一个法向量，则()111440,240,nDQxmynDDyz=+−==−+=取4y=，得()14,4,2nm=−.又平面AQD的一个法向量是()20,0,1n=，∴121222221222cos,(4)

42(4)20nnnnnnmm===−++−+，而二面角PQDA−−的余弦值为49，因此2249(4)20m=−+，解得72m=或92m=（舍去），此时74,,02Q.设1DPDD=（

01），而()10,2,4DD=−，由此得点()0,42,4P−，14,2,42PQ=−−，∵//PQ平面11ABBA，且平面11ABBA的一个法向量是()30,1,0n=，∴30PQn=，即12

02−=，解得14=，从而70,,12P.将四面体ADPQ视为以ADQ△为底面的三棱锥PADQ−，则其高1h=，故四面体ADPQ的体积11184413323ADQVSh===.19．(1)3EE=，2ME=(2)()555coss

in22d=+−，ππ,63(3)59个【详解】（1）注意到90EAMAEM+=，又90AEF=，则90AEMAEEMAEAEF+===.则3cos

535EEEF===，又ππ,63，则4sin5=，54sin225MEAE===；（2）由图，dAMEEAEME==−+，又由（1），则55cossin2.52dAM==+−，即()555co

ssin22d=+−，ππ,63；（3）由（2），5535cossin10cos5sin1122=+−+=.则1110cossin5−=，则22221110cossincos()cos15−+=+=，化简得：2125cos220cos960−+=，解

得4cos5=或24cos25=.因ππ,63，则13cos22，故4cos5=，3sin5=设改造后停车位数量最大值为n.如图，过停车位顶点nG做射线MA垂线，垂足为nH.则顶点nG到线段ME距离为：2231nn

nnndMAAAAAAAAH−=++++.又由图及题意可得：2231nnAAAAAA−===，2233nnAHAHAH===，则()2221ndMAAHnAA+=+−.注意到222222EAMEAAEAAEAA+=+，则

22EAMEAAθ==.22222222222EAAGAHGAHAGH+=+，则22222EAAAGHθ==.则22225cos8AEAA==，2222sin3AHAG==，又cos2MAAE==.则(

)()222251518ndMAAHnAAn=++−+=−，令()255001495159.48ndnn−,即改造后最大停车位数量为159，则改造后的停车位比改造前增加59个.