【文档说明】2023届高考数学一轮复习精选用卷 第四章 平面向量、复数 考点测试21 平面向量的数量积及应用 含解析【高考】.doc，共(11)页，199.500 KB，由小赞的店铺上传

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1考点测试21平面向量的数量积及应用高考概览高考在本考点的常考题型为选择题、填空题，分值为5分，中、低等难度考纲研读1.理解平面向量数量积的含义及其几何意义2．了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算4

．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系一、基础小题1．若单位向量e1，e2的夹角为60°，a＝λe1－e2，且|a|＝3，则实数λ＝()A．－1B．2C．0或－1D．2或－1答案D解

析由于|a|＝3，所以a2＝3，即(λe1－e2)2＝3，λ2e21－2λe1·e2＋e22＝λ2－2λcos60°＋1＝3，即λ2－λ－2＝0，解得λ＝2或λ＝－1.故选D.2．已知向量a＝(1,2)，A(6,4)，B(4

,3)，b为向量AB→在向量a上的投影向量，则|b|＝()A.5B.255C.455D．2答案C解析AB→＝(－2，－1)，由投影公式可知|b|＝AB→·a|a|＝－2×1＋(－1)×25＝455.23

．若O为△ABC所在平面内任一点，且满足(OB→－OC→)·(OB→＋OC→－2OA→)＝0，则△ABC的形状为()A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形答案A解析因为(OB→－OC→)·(OB→＋OC→

－2OA→)＝0，即CB→·(AB→＋AC→)＝0，所以(AB→－AC→)·(AB→＋AC→)＝|AB→|2－|AC→|2＝0，即|AB→|＝|AC→|，所以△ABC是等腰三角形．故选A.4．已知a，b是两个非零

向量，其夹角为θ，若(a＋b)⊥(a－b)，且|a＋b|＝2|a－b|，则cosθ＝()A.12B.35C．－12D．－32答案B解析由(a＋b)⊥(a－b)，得(a＋b)·(a－b)＝0，可得|a|2－|b|

2＝0，即|a|＝|b|.由|a＋b|＝2|a－b|，可得|a＋b|2＝4|a－b|2，即|a|2＋2a·b＋|b|2＝4(|a|2－2a·b＋|b|2)．整理得a·b＝35|a|2，cosθ＝a·b|a||b|＝35|a|2|a|2＝35.故选B

.5．在△ABC中，AB→·AC→＝0，|AB→|＝4，|BC→|＝5，D为线段BC的中点，E为线段BC垂直平分线l上任一异于D的点，则AE→·CB→＝()A.72B.74C．－74D．7答案A解析如图所示，|

AC→|＝|BC→|2－|AB→|2＝3，AE→·CB→＝(AD→＋DE→)·CB→＝AD→·CB→＋DE→·CB→＝AD→·CB→＝12(AB→＋AC→)·(AB→－AC→)＝12(AB→2－AC→2)＝72.故选

A.36．(多选)已知e1，e2是两个单位向量，λ∈R时，|e1＋λe2|的最小值为32，则下列结论正确的是()A．e1，e2的夹角是π3B．e1，e2的夹角是π3或2π3C．|e1＋e2|＝1或3D．|e1＋e2|＝1或32答案B

C解析设向量e1，e2的夹角为θ，则e1·e2＝cosθ，因为|e1＋λe2|＝1＋λ2＋2λcosθ＝(λ＋cosθ)2＋1－cos2θ，且当λ＝－cosθ时，|e1＋λe2|min＝1－cos2θ＝32，得cosθ＝±12，故θ＝π3或2π3，且|e1＋e2|＝

2＋2cosθ＝1或3.7．(多选)已知向量a＝(3，1)，b＝(cosα，sinα)，α∈0，π2，则下列结论正确的有()A．|b|＝1B．若a∥b，则tanα＝3C．a·b的最大值为2D．|a－

b|的最大值为3答案AC解析对于A，|b|＝cos2α＋sin2α＝1，A正确；对于B，若a∥b，则3sinα－cosα＝0，∴tanα＝33，B错误；对于C，a·b＝3cosα＋sinα＝2sinα＋π3，最大值为2，C

正确；对于D，∵a－b＝(3－cosα，1－sinα)，∴|a－b|＝(3－cosα)2＋(1－sinα)2＝5－2(sinα＋3cosα)＝5－4sinα＋π3，∵4α∈0，π2，∴α＋π3∈π3，

5π6，∴sinα＋π3的最小值为12，则|a－b|的最大值为3，D错误．故选AC.8．已知△ABC的三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，P为AB边上任意一点，则CP→·(BA→－BC→)的最大值为________．答案9解析根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，∴A

(0，3)，B(4,0)，C(0,0)，∴AB→＝(4，－3)，CP→＝CA→＋AP→＝CA→＋λAB→＝(0,3)＋(4λ，－3λ)＝(4λ，3－3λ)，λ∈[0,1]，∴CP→·(BA→－BC→)＝CP→·CA→

＝(4λ，3－3λ)·(0,3)＝9－9λ∈[0,9]，∴CP→·(BA→－BC→)的最大值为9.二、高考小题9．(2020·全国Ⅲ卷)已知向量a，b满足|a|＝5，|b|＝6，a·b＝－6，则cos〈a，a＋b〉＝()A．

－3135B．－1935C.1735D.1935答案D解析∵|a|＝5，|b|＝6，a·b＝－6，∴a·(a＋b)＝|a|2＋a·b＝52－6＝19，|a＋b|＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝25－2×6

＋36＝7，∴cos〈a，a＋b〉＝a·(a＋b)|a||a＋b|＝195×7＝1935.故选D.10．(2021·全国甲卷)已知向量a＝(3,1)，b＝(1,0)，c＝a＋kb.若a⊥c，则k＝5________.答案－103解析c＝a＋kb＝(3,1)＋k(1,0)＝(k＋3,1)，

由a⊥c，得a·c＝0，所以3(k＋3)＋1＝0，解得k＝－103.11．(2021·新高考Ⅱ卷)已知向量a＋b＋c＝0，|a|＝1，|b|＝|c|＝2，a·b＋b·c＋c·a＝________.答案－92解析由已知可得(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝9

＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，因此，a·b＋b·c＋c·a＝－92.12．(2021·天津高考)在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，DE⊥AB且交AB于点E.DF∥AB且交AC于点F，则|2BE→＋DF→|

的值为________；(DE→＋DF→)·DA→的最小值为________．答案11120解析设BE＝x，x∈0，12，∵△ABC为边长为1的等边三角形，DE⊥AB，∴∠BDE＝30°，BD＝2x，DE＝3x，DC＝1－2x，∵DF∥AB，∴

△DFC为边长为(1－2x)的等边三角形，DE⊥DF，∴(2BE→＋DF→)2＝4BE→2＋4BE→·DF→＋DF→2＝4x2＋4x(1－2x)×cos0°＋(1－2x)2＝1，∴|2BE→＋DF→|＝1，∵(DE→＋DF→)·DA→＝(DE→＋DF→)

·(DE→＋EA→)＝DE→2＋DF→·EA→＝(3x)2＋(1－2x)(1－x)×cos0°＝5x2－3x＋1＝5x－3102＋1120，∴当x＝310时，(DE→＋DF→)·DA→取得最小值1120.613．(2021·浙江高考)已

知平面向量a，b，c(c≠0)满足|a|＝1，|b|＝2，a·b＝0，(a－b)·c＝0.记平面向量d在a，b方向上的投影的数量分别为x，y，d－a在c方向上的投影的数量为z，则x2＋y2＋z2的最小值是________．答案25解析由

|a|＝1，|b|＝2，a·b＝0，不妨设a＝(1,0)，b＝(0,2)，所以a－b＝(1，－2)．因为(a－b)·c＝0，所以可取c＝(2m，m)(m≠0)．因为向量d在a，b方向上的投影的数量分别为x，y，所以可得d＝(x，y)，所以d－a＝(x－1，y)

，则z＝(d－a)·c|c|＝2x＋y－25.故x2＋y2＋z2＝x2＋y2＋(2x＋y－2)25＝15[6y2－(4－4x)y＋9x2－8x＋4]≥1561－x32－(4－4x)·1－x3＋9x2－8x＋4＝5x2－4x＋23≥2

5，当且仅当x＝25，y＝15，z＝－55时取等号，故x2＋y2＋z2的最小值为25.14．(2020·浙江高考)设e1，e2为单位向量，满足|2e1－e2|≤2，a＝e1＋e2，b＝3e1＋e2，设a，b的夹角为θ，则cos2θ的最小值为________．答案2829解析

∵|2e1－e2|≤2，∴4－4e1·e2＋1≤2，∴e1·e2≥34，∴cos2θ＝(a·b)2a2·b27＝(4＋4e1·e2)2(2＋2e1·e2)(10＋6e1·e2)＝4(1＋e1·e2)5＋3e1·e2＝4

31－25＋3e1·e2≥43×1－25＋3×34＝2829.15.(2020·天津高考)如图，在四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，BC＝6，且AD→＝λBC→，AD→·AB→＝－32，则

实数λ的值为________，若M，N是线段BC上的动点，且|MN→|＝1，则DM→·DN→的最小值为________．答案16132解析∵AD→＝λBC→，∴AD∥BC，∴∠BAD＝180°－∠B＝120°，AD→·AB→＝λBC→·

AB→＝λ|BC→||AB→|cos120°＝λ×6×3×－12＝－9λ＝－32，解得λ＝16.以点B为坐标原点，BC所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系xBy，∵BC＝6，∴C(6,0)，∵AB＝3，∠ABC＝60°，∴点A的坐标

为32，332.又AD→＝16BC→，∴D52，332.设M(x,0)，则N(x＋1,0)(其中0≤x≤5)，DM→＝x－52，－332，DN→＝x－32，－332，DM→·DN→＝

x－52x－32＋－3322＝x2－4x＋212＝(x－2)2＋132，∴当x＝2时，DM→·DN→取得最小值132.8三、模拟小题16．(2021·山东日照市高三二模)已知|a|＝2，|b|＝4，当b⊥(4a－

b)时，向量a与b的夹角为()A.π6B.π4C.2π3D.3π4答案B解析∵b⊥(4a－b)，|a|＝2，|b|＝4，∴b·(4a－b)＝0，即4a·b－b2＝4a·b－|b|2＝0，∴a·b＝4，∴cos〈a，b〉＝a·

b|a||b|＝42×4＝22，所以向量a与b的夹角为π4.故选B.17.(2022·江苏泰州中学高三开学考试)如图，在△ABC中，∠BAC＝π3，AD→＝2DB→，P为CD上一点，且满足AP→＝mAC→＋12AB→，若AC＝3，AB＝4，则AP→·

CD→＝()A.125B.1213C.1312D．－1312答案C解析因为AD→＝2DB→，所以AB→＝32AD→，所以AP→＝mAC→＋12AB→＝mAC→＋34AD→，因为C，P，D三点共线，所以m＋34＝

1，即m＝14，所以AP→＝14AC→＋12AB→，又CD→＝AD→－AC→＝23AB→－AC→，所以AP→·CD→＝14AC→＋12AB→·23AB→－AC→＝13AB→2－14AC→2－13AB→·AC→＝13|AB→|2－14|AC→|

2－13|AB→||AC→|cosπ3＝13×16－14×9－13×4×3×12＝1312.故选C.18．(2021·江苏扬州高三月考)已知向量a，b满足|a－b|＝2，且b＝(1，3)，9则|a|的取值范围是()A．[0,2]B．[0,4]C．[2,4]D．[1,4]答案B解析由|a－

b|＝2，得(a－b)2＝4，即a2＋b2－2a·b＝4，设向量a，b夹角为θ，则θ∈[0，π]，所以|a|2＋|b|2－2|a||b|cosθ＝4，因为b＝(1，3)，所以|b|＝1＋3＝2，所以|a|2－4|a|cosθ＝0，当|a|＝0时，显然成立；当|a|≠0时，可得|a|＝4c

osθ∈[－4,4]，又|a|＞0，所以0<|a|≤4，所以0≤|a|≤4，所以|a|的取值范围是[0,4]．故选B.19.(2021·河北省衡水中学高三期中)平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝1，AB→·AD→＝－1，点M在边CD上，则MA→·MB→的最大值为()A.2

－1B.3－1C．0D．2答案D解析∵平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝1，AB→·AD→＝－1，点M在边CD上，∴|AB→|·|AD→|cos∠DAB＝－1，∴cos∠DAB＝－12，∴∠DAB＝120°，以A为原点，AB所在的直线为x轴

，AB的垂线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，∴A(0,0)，B(2,0)，D－12，32，设Mx，32，则－12≤x≤32，∴MA→＝－x，－32，MB→＝2－x，－32，∴MA→·MB→＝x(x－2)

＋34＝x2－2x＋34＝(x－1)2－14，设f(x)＝(x－1)2－14，则f(x)在－12，1上单调递减，在101，32上单调递增，∴f(x)min＝f(1)＝－14，f(x

)max＝f－12＝2，则MA→·MB→的最大值为2.故选D.20．(多选)(2022·河北武强中学高三月考)已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－1)，c＝(m－2，－n)，其中m，n均为

正数，且(a－b)∥c，下列说法正确的是()A．a与b的夹角为钝角B．向量a在b方向上的投影的数量为55C．2m＋n＝4D．mn的最大值为2答案CD解析对于A，由题意知，a·b＝1>0，又a与b不共线，所以a与b的夹角

为0，π2，故A错误；对于B，向量a在b方向上的投影的数量为a·b|b|＝12＝22，故B错误；对于C，a－b＝(1,2)，因为(a－b)∥c，m，n均为正数，所以c为非零向量，且－n＝2m－4，即2m＋n＝4，故C正确；对于D，由基本不等式知，4＝2m＋

n≥22mn，mn≤2，当且仅当2m＝n＝2时取等号，故mn的最大值为2，故D正确．故选CD.21．(2021·北京高三二模)已知单位向量a，b的夹角为60°，a－kb与b垂直，则k＝________.答案12解析∵单位向量a，b的夹角为60°，∴a

·b＝1×1×cos60°＝12，∵a－kb与b垂直，∴(a－kb)·b＝a·b－kb2＝12－k＝0，∴k＝12.22.(2021·河北唐山一中高三模拟)如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝3，

D，E与M，N分别是AB，AC的三等分点，且DN→·ME→＝－1，则tanA＝________，AB→·BC→＝________.11答案43－185解析∵DN→＝AN→－AD→＝23AC→－13AB→，ME→＝AE→－AM→＝23AB→

－13AC→，∴DN→·ME→＝23AC→－13AB→·23AB→－13AC→＝59AB→·AC→－29AB→2－29AC→2＝5cosA－4＝－1，∴cosA＝35，∴0<A<π2，sinA＝1－cos2A＝45，tanA＝sinAcosA＝43，∴AB→·BC

→＝AB→·(AC→－AB→)＝AB→·AC→－AB→2＝3×3×35－32＝－185.本考点在近三年高考中未涉及此题型．