【文档说明】2023届高考数学一轮复习精选用卷 第四章 平面向量、复数 考点测试19 平面向量的概念及线性运算 含解析【高考】.doc，共(14)页，238.000 KB，由小赞的店铺上传

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1第四章平面向量、复数考点测试19平面向量的概念及线性运算高考概览高考在本考点的常考题型为选择题和填空题，分值为5分，中、低等难度考纲研读1.了解向量的实际背景2．理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义3．理解向量的几何表示4．掌握向量

加法、减法的运算，并理解其几何意义5．掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义6．了解向量线性运算的性质及其几何意义一、基础小题1．给出下列等式：①0－a＝－a；②－(－a)＝a；③a＋(－a)＝0；④a＋0＝a；⑤a－b＝a＋(－b)．其中正确的个数是()A．2B．3

C．4D．5答案D解析由零向量和相反向量的性质，知①②③④⑤均正确．2.如图，在正六边形ABCDEF中，BA→＋CD→＋EF→＝()A．0B.BE→C.AD→D.CF→2答案D解析由图知BA→＋CD→＋EF→＝BA→＋AF

→＋CB→＝CB→＋BF→＝CF→.3．给出下列命题：①向量AB→的长度与向量BA→的长度相等；②向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；③|a|＋|b|＝|a＋b|⇔a与b方向相同；④若非零向量a，b的方向相同或相反，则a＋b与a，b之一的方向

相同．其中叙述错误的命题的个数为()A．1B．2C．3D．4答案C解析对于②，当a＝0时，不成立；对于③，当a，b之一为零向量时，不成立；对于④，当a＋b＝0时，a＋b的方向是任意的，它可以与a，b的方向都不相同．故选C.4．已知

向量a，b不共线，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c与d反向共线，则实数λ的值为()A．1B．－12C．1或－12D．－1或－12答案B解析由于c与d反向共线，则存在实数k使c＝kd(k<0

)，于是λa＋b＝k[a＋(2λ－1)b]．整理得λa＋b＝ka＋(2λk－k)b.由于a，b不共线，所以有λ＝k，2λk－k＝1，整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－12.又因为k<0，所以λ<0，故λ＝－12.

5．已知a，b是不共线的向量，AB→＝λa＋2b，AC→＝a＋(λ－1)b，λ，μ∈R，若A，B，C三点共线，则λ＝()3A．1B．－2C．－2或1D．－1或2答案D解析∵A，B，C三点共线，∴AB→∥AC→，∴存在实数m使得AB→＝mAC→，则λa＋2b＝m[a＋(λ－1)b]，∵a，b不共线

，∴λ＝m，2＝m(λ－1)，解得λ＝2或－1.故选D.6．已知在四边形ABCD中，O是四边形ABCD内一点，OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，OD→＝a－b＋c，则四边形ABCD的形状为()A．梯形B．正方形C．平行四边形D．菱形答案C解析因为O

D→＝a－b＋c，所以AD→＝c－b，又BC→＝c－b，所以AD→∥BC→且|AD→|＝|BC→|，所以四边形ABCD是平行四边形．故选C.7．已知△ABC中，AD→＝2DC→，E为BD的中点，若BC→＝λAE→＋μAB→，则λ－2μ的值为()A．2B．6C．8D．10答

案C解析由已知得，BC→＝BA→＋AC→＝BA→＋32AD→＝BA→＋32(AE→＋ED→)＝BA→＋32(2AE→＋BA→)＝3AE→－52AB→，所以λ＝3，μ＝－52，所以λ－2μ＝8.8．设e1，e

2是平面内两个不共线的向量，AB→＝(a－1)e1＋e2，AC→＝be1－2e2(a＞0，b＞0)，若A，B，C三点共线，则1a＋2b的最小值是()A．2B．4C．6D．84答案B解析因为a>0，b>0，若A，B，C三点共线，设AB→＝λAC→，即(

a－1)e1＋e2＝λ(be1－2e2)，因为e1，e2是平面内两个不共线向量，所以a－1＝λb，1＝－2λ，解得λ＝－12，a－1＝－12b，即a＋12b＝1，则1a＋2b＝1a＋2b

a＋12b＝1＋1＋b2a＋2ab≥2＋2b2a·2ab＝2＋2＝4，当且仅当b2a＝2ab，即a＝12，b＝1时取等号，故1a＋2b的最小值为4.故选B.9．(多选)已知向量a，b是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使a，b共线的

是()A．2a－3b＝4e且a＋2b＝－2eB．存在相异实数λ，μ，使λa－μb＝0C．xa＋yb＝0(其中实数x，y满足x＋y＝0)D．已知梯形ABCD，其中AB→＝a，CD→＝b答案AB解析对于A，∵向量a，b是两个非零向量，2a－3b＝4e，且a＋2b＝－2e

，∴a＝27e，b＝－87e，此时能使a，b共线，故A正确；对于B，存在相异实数λ，μ使λa－μb＝0，要使非零向量a，b是共线向量，由共线定理可知成立，故B正确；对于C，xa＋yb＝0(其中实数x，y满足x＋y＝0)，如果x＝y＝0，则不能使a，b共线，故C错误；

对于D，已知梯形ABCD中，AB→＝a，CD→＝b，如果AB，CD是梯形的上下底，则正确，否则错误．故选AB.10．(多选)已知等边三角形ABC内接于⊙O，E为边BC的中点，D为线段OA的中点，则BD→＝()A.23BA→＋16BC→B.43

BA→－16BC→5C.BA→＋13AE→D.23BA→＋13AE→答案AC解析如图所示，BD→＝BA→＋AD→＝BA→＋13AE→＝BA→＋13(AB→＋BE→)＝BA→－13BA→＋13×12BC→＝23BA→＋16B

C→.故选AC.11．(多选)已知P为△ABC所在平面内一点，AB→＋PB→＋PC→＝0，|AB→|＝|PB→|＝|PC→|＝2，则()A．△ABC是直角三角形B．△ABC是等腰三角形C．△ABC的面积为23D．△ABC的面积为3答

案AC解析由|PB→|＝|PC→|得，△PBC是等腰三角形，取BC的中点D，连接PD，则PD⊥BC，又AB→＋PB→＋PC→＝0，所以AB→＝－(PB→＋PC→)＝－2PD→，所以PD＝12AB＝1，且PD∥AB，故AB⊥BC，即△ABC是

直角三角形，由|PB→|＝2，|PD→|＝1可得|BD→|＝3，则|BC→|＝23，所以△ABC的面积为12×2×23＝23.12．已知A1，A2，A3为平面上三个不共线的定点，平面上点M满足A1M→＝λ(A1A2→6＋A1A3→)(λ是实数)，且MA1→＋

MA2→＋MA3→是单位向量，则这样的点M有________个．答案2解析由题意得，MA1→＝－λ(A1A2→＋A1A3→)，MA2→＝MA1→＋A1A2→，MA3→＝MA1→＋A1A3→，所以MA1→＋MA2→＋MA3→＝(1－3λ)(A1A2→＋A1A3→)，设D为A2A3的中点

，则(1－3λ)·(A1A2→＋A1A3→)为与A1D→共起点且共线的一个向量，显然直线A1D与以A1为圆心的单位圆有两个交点，故这样的点M有2个，即符合题意的点M有2个．二、高考小题13．(2018·全国Ⅰ卷)在△ABC中，AD为BC边上的中

线，E为AD的中点，则EB→＝()A.34AB→－14AC→B.14AB→－34AC→C.34AB→＋14AC→D.14AB→＋34AC→答案A解析如图，在△ABC中，根据向量的运算法则，可得EB→＝A

B→－AE→＝AB→－12AD→＝AB→－14(AB→＋AC→)＝34AB→－14AC→.故选A.14．(2015·全国Ⅰ卷)设D为△ABC所在平面内一点，BC→＝3CD→，则()A.AD→＝－13AB→＋43AC→B.AD→＝13AB→－43AC→

7C.AD→＝43AB→＋13AC→D.AD→＝43AB→－13AC→答案A解析AD→＝AB→＋BD→＝AB→＋BC→＋CD→＝AB→＋43BC→＝AB→＋43(AC→－AB→)＝－13AB→＋43AC→.故选A.15．(2015·北京高

考)在△ABC中，点M，N满足AM→＝2MC→，BN→＝NC→.若MN→＝xAB→＋yAC→，则x＝________；y＝________.答案12－16解析如图，在△ABC中，MN→＝MA→＋AB→＋BN→＝－23AC→＋AB→＋12BC→

＝－23AC→＋AB→＋12(AC→－AB→)＝12AB→－16AC→.∴x＝12，y＝－16.三、模拟小题16．(2021·辽宁东北育才学校三模)在△ABC中，若AB→＋AC→＝4AP→，则CP→＝()A.34AB→－14AC→B．

－34AB→＋14AC→C.14AB→－34AC→D．－14AB→＋34AC→答案C8解析由题意得AB→＋AC→＝4AP→＝4(AC→＋CP→)，解得CP→＝14AB→－34AC→.故选C.17．(2021·

广东茂名市高三期中)已知向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ为()A．2B．1C.12D.14答案C解析因为λa＋b与a＋2b平行，则存在k∈R，使得λa＋b＝k(a＋2b)，因为向量a，b不平行，则k＝λ，2k＝1，解得λ＝1

2.故选C.18．(2021·山西太原高三模拟)平面向量a，b共线的充要条件是()A．a·b＝|a||b|B．a，b两向量中至少有一个为零向量C．∃λ∈R，b＝λaD．存在不全为零的实数λ1，λ2，λ1a＋λ2b＝0答案D解析对于A，a·b＝|a||b|成立时，说明

两个非零向量的夹角为零度，但是两个非零向量共线时，它们的夹角可以为平角，故A错误；对于B，两个非零向量也可以共线，故B错误；对于C，只有当a不是零向量时才成立，故C错误；对于D，当平面向量a，b共线时，若a＝0，则存在λ1≠

0，λ2＝0，λ1a＋λ2b＝0，若a≠0，则存在一个λ，使得b＝λa成立，令λ＝－λ1λ2(λ2≠0)，则b＝－λ1λ2a，所以λ1a＋λ2b＝0，因此存在不全为零的实数λ1，λ2，λ1a＋λ2b＝0；当存在不全为零的实数λ1，λ2，λ1a＋λ2b＝0成立时，若实数λ1，λ2都不为零，则有

a＝－λ2λ1b成立，显然a，b共线，若实数λ1，λ2有一个为零，不妨设λ1＝0，则有λ2b＝0⇒b＝0，所以平面向量a，b共线，所以D正确．故选D.19．(2021·安徽高三二模)△ABC中，D是BC的中点，点E在边AC上，

且满足3AE→＝AC→，BE交AD于点F，则BF→＝()9A．－34AB→＋14AC→B.34AB→－14AC→C．－13AB→＋23AC→D．－23AB→＋13AC→答案A解析由题设画出几何示意图，设BF→＝λBE→，AF→＝μAD→，∵BE→＝AE→－AB→＝13AC→－AB→，∴BF→＝λB

E→＝λ3AC→－λAB→，∵AD→＝12(AB→＋AC→)，∴AF→＝μAD→＝μ2(AB→＋AC→)．由AB→＋BF→＝AF→知(1－λ)AB→＋λ3AC→＝μ2(AB→＋AC→)，∴1－λ＝μ2，λ3＝μ2，得λ＝34，μ＝

12，∴BF→＝34BE→＝14AC→－34AB→.故选A.20.(2021·滨海县八滩中学高三期中)如图，在△ABC中，D是BC的中点，H是AD的中点，过H作一直线分别与边AB，AC交于M，N两点，若AM→＝xAB→，AN

→＝yAC→，则x＋4y的最小值为()A.52B.73C.94D.1410答案C解析因为D是BC中点，所以AD→＝12AB→＋12AC→，由题知，AB→＝1xAM→，AC→＝1yAN→，AD→＝2AH→，所

以2AH→＝12xAM→＋12yAN→，AH→＝14xAM→＋14yAN→，因为M，H，N三点在同一直线上，所以14x＋14y＝1.x＋4y＝(x＋4y)14x＋14y＝145＋

xy＋4yx，因为x>0，y>0，所以由基本不等式得xy＋4yx≥2xy·4yx＝4，所以x＋4y≥94，当且仅当x＝34，y＝38时等号成立．故选C.21．(2021·湖南天心长郡中学高三月考)在△ABC中，D为三角形所在平面内一点，且AD→＝13AB→＋12AC→，则S△BCDS△ACD＝(

)A.16B.12C.13D.23答案B解析如图，设AD交BC于E，且AE→＝xAD→＝x3AB→＋x2AC→，由B，E，C三点共线可得x3＋x2＝1⇒x＝65，∴AE→＝25AB→＋35AC→，∴25(A

E→－AB→)＝35(AC→－AE→)⇒2BE→＝3EC→.设S△CED＝2y，则S△BED＝3y，∴S△BCD＝5y.又AE→＝65AD→⇒AD→＝5DE→，∴S△ACD＝10y，∴S△BCDS△ACD＝5y10y＝12.故选B.22．(多选)(2021·福建龙岩高三月考)瑞士数学家欧拉在176

5年发表的《三角11形的几何学》一书中有这样一个定理：“三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上，而且外心和重心的距离是垂心和重心距离之半．”这就是著名的欧拉线定理．设△ABC中，点O，H，G分别是外心、垂心、重心，BC边的中点为D，则下列四个结论中错

误的是()A.GH→＝2OG→B.GA→＋GB→＋GC→＝0C.AH→＝3OD→D.OA→＝OB→＝OC→答案CD解析如图，由题意，得GH→＝2OG→，故A正确；∵D为BC的中点，G为△ABC的重心，∴A

G→＝2GD→，GB→＋GC→＝2GD→＝－GA→，∴GA→＋GB→＋GC→＝0，故B正确；∵AG→＝2GD→，GH→＝2OG→，∠AGH＝∠DGO，∴△AGH∽△DGO，∴AH→＝2OD→，故C错误；向量

OA→，OB→，OC→的模相等，方向不同，故D错误．故选CD.23．(2021·江苏省高三一模)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝12AB，BE＝23BC，若DE→＝λ1CB→＋λ2CA→(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ

2＝________.答案－23解析因为AD＝12AB，BE＝23BC，所以DE→＝DB→＋BE→＝12AB→＋23BC→＝12(CB→－CA→)－23CB→＝－16CB→－12CA→，所以λ1＝－16，λ

2＝－12，则λ1＋λ2＝－23.12一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型．二、模拟大题1．(2022·银川摸底)已知向量a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，其中e1，e2不共线，向量c＝2e1－9e2，问是否存在这样的实数λ，μ，使向量d＝λa＋μb与c共线？

解∵d＝λ(2e1－3e2)＋μ(2e1＋3e2)＝(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2，要使d与c共线，则应有实数k，使d＝kc，即(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2＝2ke1－9ke2，即2λ＋2μ＝2k，－3λ＋3μ＝－9k，得λ＝－2μ.故存在这样

的实数λ，μ，只要λ＝－2μ，就能使d与c共线．2.(2022·内江市市中区天立学校高三月考)如图所示，在▱ABCD中，AB→＝a，AD→＝b，BM＝23BC，AN＝14AB.(1)试用向量a，b来表示DN→，AM→；(2)AM交DN于O点，求

AO∶OM的值．解(1)∵AN＝14AB，∴AN→＝14AB→＝14a，DN→＝AN→－AD→＝14a－b，∵BM＝23BC，∴BM→＝23BC→＝23b，∴AM→＝AB→＋BM→＝a＋23b.(2)∵A，O，M三点共线，设AO→＝λAM→＝λa＋2λ3b，∵D，O，N三

点共线，∴DO→＝μDN→，AO→－AD→＝μAN→－μAD→，∴AO→＝μAN→＋(1－μ)AD→＝μ4a＋(1－μ)b.13∵a，b不共线，∴λ＝μ4，2λ3＝1－μ，解得λ＝314，μ＝67，∴AO→＝314AM→，OM→＝1114AM→，∴AO∶OM＝3∶11.3

.(2021·河南安阳模拟)如图，已知△ABC的面积为14，D，E分别为边AB，BC上的点，且AD∶DB＝BE∶EC＝2∶1，AE与CD交于点P.设存在λ和μ，使AP→＝λAE→，PD→＝μCD→，AB→＝a，BC→＝b.(1)求λ及μ；(2)用a，b表示BP→；(3)求△PA

C的面积．解(1)由于AB→＝a，BC→＝b，则AE→＝a＋23b，DC→＝13a＋b，AP→＝λAE→＝λa＋23b，DP→＝μDC→＝μ13a＋b，AP→＝AD→＋DP→＝23AB→＋DP→，∴23a＋μ13a＋b＝λa＋23

b，∴λ＝23＋13μ，①23λ＝μ，②由①②，得λ＝67，μ＝47.(2)BP→＝BA→＋AP→＝－a＋67×a＋23b＝－17a＋47b.14(3)由|PD→|∶|CD→|＝μ＝47，得S△PAB＝47S△ABC＝8，由|PE→|∶|AE→|＝1

－λ＝17，得S△PBC＝17S△ABC＝2，∴S△PAC＝S△ABC－S△PAB－S△PBC＝14－8－2＝4.