【文档说明】安徽省蚌埠市2021届高三上学期第一次质量监测（一模）数学（理）试题PDF版含答案.pdf，共(8)页，546.892 KB，由小赞的店铺上传

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蚌埠市２０２１届高三年级第一次教学质量监测数学（理工类）本试卷满分１５０分，考试时间１２０分钟注意事项：１答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上２回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡

上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再涂选其它答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效一、选择题：本大题共１２小题，每小题５分，共６０分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的１设集合Ａ＝｛ｘ｜０≤ｘ－１≤１｝，Ｂ＝｛ｘ｜ｘ槡

－１＞０｝，则Ａ∩Ｂ＝ＡＢ（１，２］Ｃ［１，２］Ｄ（０，２）２已知复数ｚ＝１－ｉ，则｜ｚ２－１｜＝槡槡Ａ５Ｂ５Ｃ７Ｄ７３若单位向量ａ，ｂ满足ａ⊥ｂ，向量ｃ满足（ａ＋ｃ）·ｂ＝１，且向量ｂ，ｃ的夹角为６０°，则｜ｃ｜＝Ａ１２Ｂ

２Ｃ槡２３３槡Ｄ３４函数ｆ（ｘ）＝｜ｘ｜－ｌｇ｜２ｘ｜ｘ２的图象大致为ＡＢＣＤ５设等差数列｛ａｎ｝的前ｎ项和为Ｓｎ，ａ１＜０，且Ｓｎ≥Ｓ５，则下列结论一定正确的是Ａａ５·ａ６≥０Ｂａ５·ａ６≤０Ｃａ４·ａ６＞０Ｄａ４·ａ６＜０６平面α的一条斜线

ＡＰ交平面α于Ｐ点，过定点Ａ的直线ｌ与ＡＰ垂直，且交平面α于Ｍ点，则Ｍ点的轨迹是Ａ一条直线Ｂ一个圆Ｃ两条平行直线Ｄ两个同心圆７防洪期间，要从６位志愿者中挑选５位去值班，每人值班一天，第一天１个人，第二天１个人，第三天１个人，第四

天２个人，则满足要求的排法种数为Ａ９０Ｂ１８０Ｃ３６０Ｄ７２０）页４共（页１第卷试）理（学数级年三高市埠蚌８二项式（ｘ＋１）·（２ｘ－１ｘ）５的展开式中常数项为Ａ－４０Ｂ４０Ｃ－８０Ｄ８０９干支是天干（甲、乙、…、癸）和地支（子、丑、…、亥）的合称，“干支纪年法”是我国

传统的纪年法．如图是查找公历某年所对应干支的程序框图．例如公元２０４１年，即输入Ｎ＝２０４１，执行该程序框图，运行相应的程序，输出ｘ＝５８，从干支表中查出对应的干支为辛酉．我国古代杰出数学家秦九韶出生于公元１２０８年，则该年所对应的

干支为六十干支表（部分）５６７８９戊辰己巳庚午辛未壬申５６５７５８５９６０己未庚申辛酉壬戌癸亥Ａ戊辰Ｂ辛未Ｃ已巳Ｄ庚申１０设ｆ（ｘ）＝槡ｘ，０＜ｘ＜１，槡ｅ·ｌｎｘ，ｘ≥{１若ｆ（ａ）＝ｆ（ｅａ），则ｆ（１ａ）＝槡槡Ａ１Ｂ２Ｃ

ｅＤｅ１１将函数ｙ＝ｃｏｓ（２ｘ－π６）图象上的点Ｇ（π４，ｎ）向右平移ｍ（ｍ＞０）个单位长度得到点Ｇ′，若Ｇ′位于函数ｙ＝ｓｉｎ２ｘ的图象上，则Ａｎ＝槡３２，ｍ的最小值为π３Ｂｎ＝１２，ｍ的最小值为π３Ｃｎ＝槡３２，ｍ的最小值为π６Ｄｎ＝１２，ｍ的最小值为π６１２已

知双曲线Ｃ：ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１（ａ＞０，ｂ＞０）上存在点Ｍ，过点Ｍ向圆ｘ２＋ｙ２＝ｂ２做两条切线ＭＡ，ＭＢ若ＭＡ⊥ＭＢ，则双曲线Ｃ的离心率最小值为Ａ１３Ｂ１２Ｃ槡６３Ｄ槡６２二、填空题：本题共４小题，每小

题５分，共２０分１３若实数ｘ，ｙ满足ｘ－ｙ＋３≥０，２ｘ＋ｙ－３≤０，ｙ≥１{，则ｚ＝ｘ＋２ｙ的最小值为１４数列｛ａｎ｝的前ｎ项和Ｓｎ＝３ｎ－１，若ａｋ＝９ａ５，则ｋ＝１５已知椭圆Ｃ：ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１（ａ＞ｂ＞０）的右焦点为Ｆ（１，０），Ａ，Ｂ为椭圆Ｃ的左右顶点，且｜

ＡＦ｜＝３｜ＦＢ｜，则椭圆Ｃ的方程为）页４共（页２第卷试）理（学数级年三高市埠蚌１６如图，Ｅ，Ｆ分别是正方形ＡＢＣＤ的边ＡＢ，ＡＤ的中点，把△ＡＥＦ，△ＣＢＥ，△ＣＦＤ折起构成一个三棱锥Ｐ－ＣＥＦ（Ａ，Ｂ，Ｄ重

合于Ｐ点），则三棱锥Ｐ－ＣＥＦ的外接球与内切球的半径之比是三、解答题：共７０分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第１７～２１题为必考题，每个试题考生都必须作答第２２、２３题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共６０分１７

（１２分）在△ＡＢＣ中，内角Ａ，Ｂ，Ｃ的对边分别为ａ，ｂ，ｃ且（ｂ＋ａ）（ｓｉｎＢ－ｓｉｎＡ）＝（ｃ－ａ）ｓｉｎＣ（１）求Ｂ；（２）若ｂ＝２，△ＡＢＣ的面积为槡３，求△ＡＢＣ的周长１８（１２分）中国网络教育快速发展以来，中学

生的学习方式发生了巨大转变近年来，网络在线学习已成为重要的学习方式之一为了解某学校上个月Ｋ，Ｌ两种网络学习方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了１００人进行调查，发现Ｋ，Ｌ两种学习方式都不使用的有１５人，仅使用Ｋ和仅使用Ｌ的学生的学习时间分布情况如下：

使用时间（小时）人数学习方式（０，１０］（１０，２０］大于２０仅使用Ｋ１５人１２人３人仅使用Ｌ２１人１３人１人（１）用这１００人使用Ｋ，Ｌ两种学习方式的频率来代替概率，从全校学生中随机抽取１人，估计该学生上个月Ｋ，Ｌ两种学习方式都使用的概率；（２）以频率代替概率从全校仅使用Ｋ和仅使用Ｌ的学生

中各随机抽取２人，以Ｘ表示这４人当中上个月学习时间大于１０小时的人数，求Ｘ的分布列和数学期望１９（１２分）如图，在棱柱ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，底面ＡＢＣＤ为平行四边形，∠ＡＢＣ＝６０°，ＡＤ＝２，ＡＢ＝ＡＡ１＝４，Ｆ是ＡＤ的中点，且Ｃ１在底面上的投影Ｅ恰为ＣＤ的中点（１）求证：ＡＤ⊥平

面Ｃ１ＥＦ；（２）若点Ｍ满足Ｃ１Ｍ→＝λＣ１Ｄ１→，试求λ的值，使二面角Ｍ－ＥＦ－Ｃ为１３５°．）页４共（页３第卷试）理（学数级年三高市埠蚌２０（１２分）已知抛物线Ｃ：ｙ２＝２ｐｘ（ｐ＞０），过抛物线Ｃ的焦点Ｆ且垂直于ｘ轴的直线交抛物线Ｃ于Ｐ，Ｑ两点，｜ＰＱ

｜＝４（１）求抛物线Ｃ的方程，并求其焦点Ｆ的坐标和准线ｌ的方程；（２）过点Ｆ的直线与抛物线Ｃ交于不同的两点Ａ，Ｂ，直线ＯＡ与准线ｌ交于点Ｍ连接ＭＦ，过点Ｆ作ＭＦ的垂线与准线ｌ交于点Ｎ求证：Ｏ，Ｂ，Ｎ三点共线（Ｏ为坐标原点）２１

（１２分）已知函数ｆ（ｘ）＝ｘ（ａｘ－ｔａｎｘ），ｘ∈－π２，π()２（１）当ａ＝１时，求ｆ（ｘ）的单调区间；（２）若ｘ＝０是函数ｆ（ｘ）的极大值点，求实数ａ的取值范围（二）选考题（共１０分，请考生在第２２、２３题中任选一题作答，如果多做

，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号）２２［选修４－４坐标系与参数方程］（１０分）在极坐标系中，已知Ａ（ρ１，５π６）在直线ｌ：ρ·ｓｉｎθ＝２上，点Ｂ（ρ２，π３）在圆Ｃ：ρ＝４ｃｏｓθ上（其中ρ≥０，θ∈［０，２π））（１）求｜ＡＢ｜；（２）求出直线ｌ与圆Ｃ的公共点的

极坐标２３［选修４－５不等式选讲］（１０分）已知函数ｆ（ｘ）＝｜ｘ－ａ２｜＋｜ｘ－ａ＋１｜（１）当ａ＝１时，求不等式ｆ（ｘ）≥３的解集；（２）若ｆ（ｘ）≥３，求实数ａ的取值范围）页４共（页４第卷试）理（学数级年三高市埠蚌蚌埠市２０２１届高三年级第一次教学质量监测数学（理工类）参考答案及

评分标准一、选择题题号１２３４５６７８９１０１１１２答案ＢＡＢＣＢＡＣＡＡＣＤＤ二、填空题１３０１４７１５ｘ２４＋ｙ２３槡＝１１６２６三、解答题１７（１２分）（１）由正弦定理得：（ｂ＋ａ）（ｂ－ａ）＝（ｃ－ａ）ｃ，即ａ２＋ｃ２－ｂ２＝ａｃ２分……………………由余弦定理

可得：ｃｏｓＢ＝１２４分…………………………………………………………∵Ｂ∈（０，π），∴Ｂ＝π３；６分………………………………………………………………（２）∵Ｓ△ＡＢＣ槡＝３，∴ａｃ＝４由余弦定理２ａｃｃｏｓＢ＝ａ２＋ｃ２－ｂ２，９分……………………

……………………………得ａ２＋ｃ２＝８，即（ａ＋ｃ）２－２ａｃ＝８∴ａ＋ｃ＝４１１分……………………………………………………………………………∴△ＡＢＣ的周长为６１２分………………………………………………………………１８

（１２分）（１）记：该学生上个月Ｋ，Ｌ两种学习方式都使用为事件Ａ由题意可知，两种学习方式都使用的人数为：１００－３０－３５－１５＝２０人，２分…………该学生上个月Ｋ，Ｌ两种学习方式都使用的概率Ｐ（Ａ）＝２０１００＝１５４分………………（２）由题意可知，仅使用Ｋ学习方式的学生中，学

习时间不大于１０小时的人数占１２，时间大于１０小时的人数占１２，仅使用Ｌ学习方式的学生中，学习时间不大于１０小时的人数占３５，时间大于１０小时的人数占２５，６分……………………………………………………………Ｘ可能的取

值为０，１，２，３，４Ｐ（Ｘ＝０）＝()１２２×()３５２＝９１００，Ｐ（Ｘ＝１）＝２·()１２２·()３５２＋()１２２·２·３５·２５＝３０１００＝３１０，Ｐ（Ｘ＝２）＝()１２２·()３５２＋２·()１２２·２·３５×２５＋()１２２·()２５２＝３７１００，Ｐ（Ｘ＝３）＝()

１２２·２·３５·２５＋２·()１２２·()２５２＝２０１００＝１５，Ｐ（Ｘ＝４）＝()１２２·()２５２＝４１００＝１２５．９分………………………………………………∴Ｘ的分布列：）页４共（页１第案答考参）理（学数级年三高市埠蚌Ｘ０１２３４Ｐ９１００３１０３７１００１５１２５数学期望Ｅ（Ｘ）＝０

×９１００＋１×３１０＋２×３７１００＋３×１５＋４×１２５＝１８１２分……………１９（１２分）（１）分别连结ＦＥ，ＦＣ１在△ＦＥＤ中，ＥＦ＝ＦＤ２＋ＥＤ２－２ＦＤ·ＥＤ·ｃｏｓ６０槡°槡＝３∴ＦＤ２＋ＥＦ２＝ＤＥ２，因此∠ＥＦＤ＝９０°，即ＥＦ⊥Ａ

Ｄ，２分………………………………∵Ｃ１在底面上的投影Ｅ恰为ＣＤ的中点，∴Ｃ１Ｅ⊥平面ＡＢＣＤ，又ＡＤ平面ＡＢＣＤ，∴Ｃ１Ｅ⊥ＡＤ，４分……………………………………………………又ＥＦ⊥ＡＤ，ＥＦ∩Ｃ１Ｅ＝Ｅ，ＥＦ，Ｃ１Ｅ平面Ｃ１Ｅ

Ｆ，∴ＡＤ⊥平面Ｃ１ＥＦ６分……………（２）连结ＥＡ，ＥＢ，在平行四边形ＡＢＣＤ中，∵ＡＤ＝ＤＥ＝ＥＣ＝ＢＣ＝２，∠ＥＤＡ＝６０°，∠ＢＣＥ＝１２０°，∴∠ＣＥＢ＝３０°，∠ＤＥＡ＝６０°，故∠ＡＥＢ＝９０°，即ＥＡ⊥ＥＢ，６分………………………分别以ＥＡ→，ＥＢ→，ＥＣ１→的方向为ｘ，ｙ，ｚ

轴的正方向建立空间直角坐标系Ｅ－ｘｙｚ，Ｅ（０，０，０），Ｃ１（０，０，槡２３），Ｃ（－１，槡３，０），Ｄ（１，槡－３，０），Ｄ１（２，槡－２３，槡２３），Ｆ（３２，－槡３２，０），ＥＦ→＝（３２，－槡３２，０），８分………Ｃ１Ｍ→＝λＣ１Ｄ１→＝λ（２，槡－２３，０）

＝（２λ，槡－２３λ，０），ＥＭ→＝ＥＣ１→＋Ｃ１Ｍ→＝（２λ，槡－２３λ，槡２３），易得平面ＣＥＦ的一个法向量为ｍ＝（０，０，１）设ｎ＝（ｘ，ｙ，ｚ）为平面ＭＥＦ的一个法向量，则：ｎ·ＥＦ→＝０ｎ·ＥＭ→{＝０，即槡３ｘ－ｙ＝０２λ

ｘ槡－２３λｙ槡＋２３ｚ{＝０，令ｘ槡＝３，得ｎ＝（槡３，３，２λ），１０分………………………………………………………∵二面角Ｍ－ＥＦ－Ｃ为１３５°，∴｜ｃｏｓ＜ｍ，ｎ＞｜＝｜ｃｏｓ１３５°｜，即｜ｍ·ｎ｜｜ｍ｜·｜ｎ｜＝｜－槡２２｜，∴｜２λ｜１２＋４λ槡２＝槡２２，即λ２＝３，又

∵二面角Ｍ－ＥＦ－Ｃ的大小为钝角，∴λ槡＝３１２分………………………………２０（１２分）（１）｜ＰＱ｜＝２ｐ＝４，则ｐ＝２，２分………………………………………………………………故抛物线Ｃ的方程为ｙ２＝４ｘ，３

分………………………………………………………其焦点Ｆ坐标为（１，０），４分………………………………………………………………准线ｌ方程为ｘ＝－１５分…………………………………………………………………（２）设直线ＡＢ：ｘ＝ｔｙ＋

１，联立ｘ＝ｔｙ＋１ｙ２＝４{ｘ，得ｙ２－４ｔｙ－４＝０设Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２），则ｙ１＋ｙ２＝４ｔ，ｙ１ｙ２＝－４７分…………………………………直线ＯＡ：ｙ＝ｙ１ｘ１ｘ，由ｙ２１＝４ｘ１得ｙ＝４ｙ１ｘ，故Ｍ－１，－４ｙ()１）页４共

（页２第案答考参）理（学数级年三高市埠蚌直线ＭＦ的斜率ｋＭＦ＝－４ｙ１－０－１－１＝２ｙ１，直线ＦＮ的斜率ｋＦＮ＝－ｙ１２直线ＦＮ：ｙ＝－ｙ１２（ｘ－１），则Ｎ（－１，ｙ１）９分……………………………………………直线ＯＮ的斜率ｋＯＮ＝

－ｙ１，直线ＯＢ的斜率ｋＯＢ＝ｙ２ｘ２，由ｙ２２＝４ｘ２得ｋＯＢ＝４ｙ２则ｋＯＢ－ｋＯＮ＝４ｙ２－（－ｙ１）＝４＋ｙ１ｙ２ｙ２＝４－４ｙ２＝０∴Ｏ，Ｂ，Ｎ三点共线１２分………………………………………………………………２１（１２分）（１）（方法一）当ａ＝１时，ｆ（ｘ）＝ｘ

２－ｘｓｉｎｘｃｏｓｘ，∴ｆ′（ｘ）＝２ｘ－ｘｃｏｓ２ｘ－ｔａｎｘ＝ｘ１－１ｃｏｓ２()ｘ＋（ｘ－ｔａｎｘ），２分…………………………令ｕ（ｘ）＝ｘ－ｔａｎｘ，则ｕ′（ｘ）＝１－１ｃｏｓ２ｘ≤０，ｕ（ｘ）在－π２，π()２上单调递减，∵ｕ（０）

＝０，∴ｘ∈－π２，()０时，ｕ（ｘ）＞０，ｘ∈０，π()２时，ｕ（ｘ）＜０４分…………………当ｘ∈－π２，()０时，ｘ１－１ｃｏｓ２()ｘ＞０，ｘ－ｔａｎｘ＞０，∴ｆ′（ｘ）＞０，ｆ（ｘ）单调递增，当ｘ∈０，π()２

时，ｘ１－１ｃｏｓ２()ｘ＜０，ｘ－ｔａｎｘ＜０，∴ｆ′（ｘ）＜０，ｆ（ｘ）单调递减，综上，ｆ（ｘ）的单调递增区间为－π２，()０，单调递减区间为０，π()２．６分………………（方法二）当ａ＝１时，ｆ（ｘ）＝ｘ２－ｘｓｉｎｘｃｏｓｘ，∴ｆ′（ｘ）＝２ｘｃｏｓ２ｘ－ｓｉｎ２ｘ２ｃｏｓ２ｘ，２

分…………………………………………………………记ｇ（ｘ）＝２ｘｃｏｓ２ｘ－ｓｉｎ２ｘ，ｘ∈－π２，π()２，则ｇ′（ｘ）＝－４ｘｓｉｎ２ｘ≤０（当且仅当ｘ＝０时取等号），∴ｇ（ｘ）单调递减，４分……………………………………………………………………又ｇ（０）＝０，∴当ｘ∈－π２，

()０时，ｇ（ｘ）＞０即ｆ′（ｘ）＞０，ｆ（ｘ）单调递增，当ｘ∈０，π()２时，ｇ（ｘ）＜０，即ｆ′（ｘ）＜０，ｆ（ｘ）单调递减．故ｆ（ｘ）的单调递减区间为０，π()２，单调递增区间为－π２，()０．６分……………………（２）令ｇ（ｘ）＝ａｘ－ｔａｎｘ，则ｆ（ｘ）＝ｘｇ

（ｘ），ｇ′（ｘ）＝ａ－１ｃｏｓ２ｘ，ｆ′（ｘ）＝ｘｇ′（ｘ）＋ｇ（ｘ），当ａ≤１，ｘ∈－π２，π()２时，ｇ′（ｘ）≤０，ｇ（ｘ）单调递减，７分……………………………∴ｘ∈－π２，()０时，ｇ（ｘ）＞ｇ（０）＝０，ｘｇ′（ｘ）≥０，）页４共（页３第案答考参）理（学数级年

三高市埠蚌∴ｆ′（ｘ）＞０，即ｆ（ｘ）在－π２，()０上单调递增，ｘ∈０，π()２时，ｇ（ｘ）＜ｇ（０）＝０，ｘｇ′（ｘ）≤０，∴ｆ′（ｘ）＜０，即ｆ（ｘ）在０，π()２上单调递减，故ｘ＝０是函数ｆ（ｘ）

的极大值点，ａ≤１满足题意；１０分………………………………当ａ＞１时，存在ｔ∈０，π()２使得ｃｏｓｔ＝１槡ａ，即ｇ′（ｔ）＝０，又ｇ′（ｘ）＝ａ－１ｃｏｓ２ｘ在０，π()２上单调递减，∴ｘ∈（０，ｔ）时，ｇ（ｘ）＞ｇ（０）＝０，∴ｆ（ｘ）＝ｘ

ｇ（ｘ）＞０，这与ｘ＝０是函数ｆ（ｘ）的极大值点矛盾综上，ａ≤１１２分…………………………………………………………………………２２（１０分）（１）∵Ａρ１，５π()６在直线ｌ：ρ·ｓｉｎθ＝２上，∴ρ１·ｓｉｎ５π６＝２，解得ρ１＝４∵点Ｂρ２，π(

)３在圆Ｃ：ρ＝４ｃｏｓθ上，∴ρ２＝４ｃｏｓπ３，解得ρ２＝２３分…………………∵５π６－π３＝π２，∴ＯＡ⊥ＯＢ，∴｜ＡＢ｜＝ρ２１＋ρ槡２２槡＝２５．５分……………………………（２）由直线ｌ与圆Ｃ的方程联立得，得ρ·ｓｉｎθ＝２

ρ＝４ｃｏｓ{θ，故ｓｉｎ２θ＝１，７分……………………ρ≥０，θ∈［０，２π），∴２θ＝π２，∴θ＝π４，８分………………………………………………∴ρ＝４×ｓｉｎπ４槡＝２２９分………………………………………………………………∴公共点的极坐标为槡２２，π()４１０分………

…………………………………………２３（１０分）（１）当ａ＝１时，ｆ（ｘ）＝｜ｘ－１｜＋｜ｘ｜＝－２ｘ＋１，ｘ≤０１，０＜ｘ＜１２ｘ－１，ｘ≥{１１分…………………………………∴当ｘ≤０时，不等式ｆ（ｘ）≥３化为－２ｘ＋１≥３，即ｘ≤－

１，当０＜ｘ＜１时，不等式ｆ（ｘ）≥３化为１≥３，此时无解，当ｘ≥１时，不等式ｆ（ｘ）≥３化为２ｘ－１≥３，即ｘ≥２，４分………………………………综上，当ａ＝１时，不等式ｆ（ｘ）≥３的解集为｛ｘ｜ｘ≤－

１或ｘ≥２｝５分…………………（２）ｆ（ｘ）＝｜ｘ－ａ２｜＋｜ｘ－ａ＋１｜≥｜（ｘ－ａ２）－（ｘ－ａ＋１）｜＝｜ａ２－ａ＋１｜＝ａ２－ａ＋１当ｘ＝ａ２＋ａ－１２时，ｆ（ｘ）ｍｉｎ＝ａ２－ａ＋１７分………………………………………………又ｆ（ｘ）≥３，ａ２－ａ＋１≥３

，即ａ２－ａ－２≥０解得ａ≥２或ａ≤－１９分………………………………………………………………综上，若ｆ（ｘ）≥３，则ａ的取值范围是｛ａ｜ａ≤－１或ａ≥２｝１０分……………………（以上答案仅供参考，其它解法请参考以上评分标准酌情赋分））页４共（页４第案答考参）理（学数级年三高

市埠蚌