【文档说明】内蒙古通辽实验中学2020-2021学年高二（特优班）第一学期自主检测数学（理）试卷 含答案.doc，共(12)页，874.500 KB，由小赞的店铺上传

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2020-2021-1学期自主检测试题理科试卷（特优班）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数311ii++等于()A.1B.1−C.iD.i−2.若p是q的充分不必要条件，则p是q的（）A.允分不必要条件B.必要不允分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条

件3.定积分dxexx−10)2(的值为（）A.e−2B.e−C.eD.e+24.等差数列{an}的公差为d，a1≠0，Sn为数列{an}的前n项和，则“d＝0”是“S2nSn∈Z”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要

条件5.已知()fx在R上连续可导，()fx为其导函数，且()(0)xxfxefe−=+，则()1f=（）A.2eB.12ee+C.3D.1035.已知O为坐标原点，F为抛物线C：242yx=的焦点，P为C上一点，若42PF=，则OPFP=（）A.6B.12C.36D.42

7.若曲线212yxe=与曲线lnyax=在它们的公共点(,)Pst处具有公共切线，则实数a=（）A.-2B.12C.1D.28.已知函数()2fxxlnx=−，则函数()yfx=的大致图象是（）A．B．C．D．9.已知抛物线2:12C

xy=上一点P，直线:3ly=−，过点P作PAl⊥，垂足为A，圆22:(4)1Mxy−+=上有一动点N，则||||PAPN+最小值为（）A.2B.4C.6D.810.在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，BB1的中点，G为棱A1B1

上一点，且A1G＝λ(0<λ<2)，则点G到平面D1EF的距离为()A．23B.2C.223D.25511.已知函数f(x)＝x(lnx－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是()A.(－∞，0)B.C.(0,1)D.(0，＋∞)12.已知4ln3a

=，3ln4b=，34lnc=，则,,abc的大小关系是A.cbaB.bcaC.bacD.abc二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.13.命题“∀x∈（0，+∞），x2﹣2x﹣m≥0“为真命题，则实数m的最大值为14.侧面为等腰直角三角形的正三棱锥的侧

棱与底面所成角的正弦值为________．15.设F是双曲线C：22xa－22yb＝1(a>0，b>0)的一个焦点，若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为________．16.已知A，B，C，D是球O上不共面的四点，

且AB＝BC＝AD＝2，BD＝AC＝2，BC⊥AD，则球O的体积为________.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.在直角坐标系中，直线l的参数方程为1cos1sinxtayta=−+=+

（t为参数），以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为23sin4=+．（1）求曲线C的参数方程；（2）若3=4，直线l与曲线C相交于A、B两点，求线段AB长．18.已知函数3211()(2)(1)(0).32fxxaxaxa=+−+−

（I）求()fx的单调区间；（II）若()fx在[0，1]上单调递增，求a的取值范围。19.已知()2,2E是抛物线2:2Cypx=上一点，经过点()2,0的直线l与抛物线C交于A、B两点（不同于点E）

，直线EA、EB分别交直线2x=−于点M、N.（1）求抛物线方程及其焦点坐标；（2）求证：以MN为直径的圆恰好经过原点.20.如图，三棱锥P－ABC中，PC⊥平面ABC，PC＝3，∠ACB＝π2，D，E分别为线段AB，BC上的点，且CD＝DE＝2，

CE＝2EB＝2.(1)证明：DE⊥平面PCD；(2)求二面角A－PD－C的余弦值．21.已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的离心率为63，左、右焦点分别为1F、2F，A为椭圆C上一点，1AF与y轴交于B

，2||ABFB=，6||6OB=.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过右焦点2F的直线(2)(0)ykxk=−交椭圆于P、Q两点若PQ的中点为N，O为原点，直线ON交直线3x=于点M.求2||PQMF的最大值.22

.已知函数2()(1)(0),()ln2afxxagxxx=−=−，设()()()Fxfxgx=−．（1）求()Fx的极值点；（2）若(1,)ae，求()Fx的零点个数．2020-2021学年高二（上）数学试卷（特优班）一、

选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数311ii++等于()A.1B.1−C.iD.i−【答案】C2.若p是q的充分不必要条件，则p是q的（）A.允分不必要条件B.必要不允分条件C.充要条件D.既不充分也

不必要条件【答案】B3.定积分dxexx−10)2(的值为（）答案AA.e−2B.e−C.eD.e+24.等差数列{an}的公差为d，a1≠0，Sn为数列{an}的前n项和，则“d＝0”是“S2nSn∈Z”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分

也不必要条件答案A5.已知()fx在R上连续可导，()fx为其导函数，且()(0)xxfxefe−=+，则()1f=（）A.2eB.12ee+C.3D.103【答案】B【详解】由题意，()(0)−=−xxfxefe，所以00(

0)(0)1(0)=−=−fefef，因此1(0)2=f，所以1()2−=+xxfxee，故()112=+fee.故选：B5.已知O为坐标原点，F为抛物线C：242yx=的焦点，P为C上一点，若42PF=，则OPFP=（）A.6B.12C.36D.42【答案】C根

据抛物线的性质求出P点的横坐标，代入抛物线方程得出抛物线的纵坐标，从而解出向量的数量积.【详解】抛物线的焦点为(2,0)F，准线方程为2x=−.∵||242PPFx=+=，∴32Px=.不妨设P在第一象限，则2423224Py==，∴26py=.∴(32,26)(22,26)122436OP

FP==+=故选：C.7.若曲线212yxe=与曲线lnyax=在它们的公共点(,)Pst处具有公共切线，则实数a=（）A.-2B.12C.1D.2【答案】C试题分析：根据题意可知：1,ayxyex==，两

曲线在点(),Pst处由公共的切线，所以1ases=即：sae=，代入2ln2sase=解得：1a=，所以答案为C．8.已知函数()2fxxlnx=−，则函数()yfx=的大致图象是（A）A．B．C．D．9.已知抛物线2:12Cxy=上一点P，直线:3ly=−，过点P

作PAl⊥，垂足为A，圆22:(4)1Mxy−+=上有一动点N，则||||PAPN+最小值为（）A.2B.4C.6D.8【答案】B【详解】设抛物线C的焦点为F，则(0,3)F，因为直线:3ly=−为抛物线的准线，所以||||PAPF=，所以||||PAPN+||||

PFPN=+||FN||1FM−223414=+−=，当且仅当N为线段FM与圆M的交点时，等号成立.故选：B.10.在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，BB1的中点，G为棱A1B1上一点，且A1G＝λ(0

<λ<2)，则点G到平面D1EF的距离为()A．23B.2C.223D.255答案D11.已知函数f(x)＝x(lnx－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是()A.(－∞，0)B.C.(0,1)D.(0，＋∞)【答案】B【解析】函数f（x）=x（lnx﹣ax），则f′（x）=lnx﹣a

x+x（﹣a）=lnx﹣2ax+1，令f′（x）=lnx﹣2ax+1=0得lnx=2ax﹣1，函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，等价于f′（x）=lnx﹣2ax+1有两个零点，等价于函数y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象（如图）

当a=时，直线y=2ax﹣1与y=lnx的图象相切，由图可知，当0＜a＜时，y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点．则实数a的取值范围是（0，）．故选B．12.已知4ln3a=，3ln4b=，34lnc

=，则,,abc的大小关系是AA.bcaB.cbaC.bacD.abc二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.13.命题“∀x∈（0，+∞），x2﹣2x﹣m≥0“为真命题，则实数m的最大值为-11

4.侧面为等腰直角三角形的正三棱锥的侧棱与底面所成角的正弦值为________．答案3315.设F是双曲线C：22xa－22yb＝1(a>0，b>0)的一个焦点，若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端

点，则C的离心率为________．【答案】516.已知A，B，C，D是球O上不共面的四点，且AB＝BC＝AD＝2，BD＝AC＝2，BC⊥AD，则球O的体积为___6_____．三、解答题：本大题共6小题，共7

0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.在直角坐标系中，直线l的参数方程为1cos1sinxtayta=−+=+（t为参数），以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为23sin4=+．（1）求曲线C的参数方程；（

2）若3=4，直线l与曲线C相交于A、B两点，求线段AB的长．【详解】（1）由23=sin4+得，2234xyy+=+，即22112xy+−=，∴曲线C的参数方程为12xcosysin==+（为参数）．（2）解法一：若3=4，则直线l的

参数方程为212212xtyt=−−=+，代入2234xyy+=+，整理得246210tt++=，560=，12322tt+=−，1214tt=，∴()21212121442ABtttttt=−=+−=．解法二：若34=，则直线l的直

角坐标方程为0xy+=，∵曲线C为圆，它的直角坐标方程为22112xy+−=，圆心为10,2，半径1r=，圆心到直线l的距离12242d==，∴221142182ABrd=−=−=．18.已知函数3211()(2)(1)(0).32fxxaxaxa=+−+−

（I）求()fx的单调区间；（II）若()fx在[0，1]上单调递增，求a的取值范围。【解析】（I）2()(2)1(1)(1).fxxaxaxxa=+−+−=++−20,()(1)0,afxx==+当时恒成立当且仅当1x=−时取“=”号，()(,)fx−+在单调递增。12120,(

)0,1,1,,afxxxaxx==−=−当时由得且当x变化时，()fx、()fx的变化如下表：x(,1)−−—1(1,1)a−−1a−(1,)a−+()fx+0—0+()fx极大值极小值()(

,1),(1,1),(1,).fxaa−−−−−+在单调递增在单调递减在单调递增（II）当0,()[0,1],()(0)1afxfxf==时在上单调递增恒成立。0,a当时由（I）可知01,()[0,1],afx若时则在上单调递增若1,()[0,1]af

xa−则在上单调递减，()[0,1]fx在上不单增，不符合题意；综上，a的取值范围是[0，1]19.已知()2,2E是抛物线2:2Cypx=上一点，经过点()2,0的直线l与抛物线C交于A、B两点（不同于点E），直线EA、EB分别交直线2x=−

于点M、N.（1）求抛物线方程及其焦点坐标；（2）求证：以MN为直径的圆恰好经过原点.【答案】（1）抛物线方程为22yx=，焦点坐标为1,02；（2）证明见解析.（1）将()2,2E代入22ypx=，得1p=，因此，抛物线方

程为22yx=，焦点坐标为1,02；（2）设211,2yAy，222,2yBy，()2,Mm−、()2,Nn−.因为直线l不经过点E，所以直线l一定有斜率，设直线l方程为(

)20xtyt=+，与抛物线方程联立得到222xtyyx=+=，消去x，得2240yty−−=，则由韦达定理得122yyt+=，124yy=−.2112,22yEAy=−−，()4,2EMm

=−−，//EAEM，()()21122422ymy−−=−−，即()()()()111222422myyy−−+=−−，显然，12y，()()1228my−+=−，()111228222ymyy−=−=++，则

点()11222,2yMy−−+，同理可求得点N的坐标为()22222,2yy−−+，所以，()()()()()()121212121212424422442224yyyyyy

OMONyyyyyy−++−−=+=++++++()442440424tt−−+=+=−++，OMON⊥，因此，以MN为直径的圆过原点.20.如图，三棱锥P－ABC中，PC⊥平面ABC，PC＝3，∠ACB＝π2，D，E分别为线段AB，BC上的点，且CD＝DE＝2，CE＝2EB＝2.(

1)证明：DE⊥平面PCD；(2)求二面角A－PD－C的余弦值．【解析】(1)证明：由PC⊥平面ABC，DE⊂平面ABC，得PC⊥DE.由CE＝2，CD＝DE＝2得△CDE为等腰直角三角形，故CD⊥DE.由PC∩CD＝C

，DE垂直于平面PCD内两条相交直线，故DE⊥平面PCD.(2)由(1)知，△CDE为等腰直角三角形，∠DCE＝π4，如图，过点D作DF⊥CE于点F，易知DF＝FC＝FE＝1，又已知EB＝1，故FB＝2.由∠ACB＝π2，得DF∥AC，所以DFAC＝FBBC＝23，故AC＝32DF＝32.以

C为坐标原点，分别以CA→，CB→，CP→的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则P(0,0,3)，A32，0，0，E(0,2,0)，D(1,1,0)，ED→＝(1，－1,0)，DP→＝(－1，－1,3

)，DA→＝12，－1，0.设平面PAD的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，由n1·DP→＝0，n1·DA→＝0，得－x1－y1＋3z1＝0，12x1－y1＝0，故可取n1＝(2,1,1)．由(1)可知DE⊥平面PCD，故平面PCD的法向量n

2可取为ED→，即n2＝(1，－1,0)．所以cos〈n1，n2〉＝n1·n2|n1|·|n2|＝36，故所求二面角A－PD－C的余弦值为36.21.已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的离心率为63，左、右焦点分别为1F、2F，A为相圆C上一点，1A

F与y轴交于B，2||ABFB=，6||6OB=.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过右焦点2F的直线(2)(0)ykxk=−交椭圆于P、Q两点若PQ的中点为N，O为原点，直线ON交直线3x=于点M.求2||PQMF的最大值.【答案】（I）22162xy+=；（II）3【详解】（I

）连接2AF，由题意得21||ABFBFB==，所以BO为12FAF的中位线，又因为12BOFF⊥，所以212AFFF⊥，且2262||3bAFBOa===又63cea==，222abc=+，得26a=，22b=，故所求椭圆方程为22162xy+=.（II）联立22162(2

)xyykx+==−，可得()222231121260kxkxk+−+−=.设()11,Pxy、()22,Qxy，则21221231kxxk+=+，212212631kxxk−=+，所以为()121224

431kyykxxkk−+=+−=+所以PQ的中点N坐标为22262,3131kkkk−++，222261||131kPQkk+=++因此直线ON的方程为13yxk=−，从而点M为13,k−，2211MFk=+，设()()2222222241||31kkP

QIMFk+==+，令231uk=+，则2(1)(2)83uuIu−+=216111322uu=−−−2161193416u=−−−，因此当4u=，即1k=时2||PQMF取得最大值3.【点睛】本题考查了椭圆标准方程、直线与椭圆的

位置关系，以及椭圆弦长公式，考查了数学运算能力.22.已知函数2()(1)(0),()ln2afxxagxxx=−=−，设()()()Fxfxgx=−．（1）求()Fx的极值点；（2）若(1,)ae，求()Fx的零

点个数．【详解】（1）由题，2()(1)ln2aFxxxx=−−+，定义域为(0,)+，则1()(1)1Fxaxx=−−+21()(1)(1)1axxaxaxaxx−−−++==，当1a=时，()0Fx≥，()Fx

在(0,)+递增，无极值点．当01a时，()Fx在(0,1)递增，1(1,)a递减，1(,)a+递增，故()Fx的极大值点为1，极小值点为1a当1a时，()Fx在1(0,)a递增，1(,1)a递

减，(1,)+递增，故()Fx的极大值点为1a，极小值点为1.（2）当1ae时，()Fx在10,a上递增，在1,1a上递减，在(1,)+上递增，所以()Fx的极小值为(1)10,()FFx=−的极大值为1()Fa,且2111111lnln1

222aaFaaaaaa=−−+=−−−．设1()ln122ahaaa=−−−，其中(1,)ae，则2222211121(1)()02222aaahaaaaa−+−=+−==，所以()h

a在(1,)e上是增函数，所以1()()2022ehahee=−−．因为211(4)(41)4ln494ln4ln40222aF=−−+−+=+，所以有且仅有1个0(1,4)x，使得()00Fx=．故当1ae时，()Fx有且仅有1个零点．