【文档说明】【精准解析】2021新高考数学（江苏专用）课时精练：7.5空间向量及其应用【高考】.docx，共(10)页，256.309 KB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-ed3187ef8bccff64f55f2d7a459910fd.html

以下为本文档部分文字说明：

1．已知a＝(2,3，－4)，b＝(－4，－3，－2)，b＝12x－2a，则x等于()A．(0,3，－6)B．(0,6，－20)C．(0,6，－6)D．(6,6，－6)答案B解析由b＝12x－2a，得x＝4a＋2b＝(8,12，－16)＋(－8，－6，－4)＝(0,6，－20)．2．已

知a＝(－2,1,3)，b＝(－1,2,1)，若a⊥(a－λb)，则实数λ的值为()A．－2B．－143C.145D．2答案D解析由题意知a·(a－λb)＝0，即a2－λa·b＝0，所以14－7λ＝0，解得λ＝2.3．已知a＝(1,0,1)，

b＝(x,1,2)，且a·b＝3，则向量a与b的夹角为()A.5π6B.2π3C.π3D.π6答案D解析∵a·b＝x＋2＝3，∴x＝1，∴b＝(1,1,2)，∴cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝32×6＝32，又∵〈a，b〉∈[0，π]，∴a与b的夹角为π6，

故选D.4．(2020·北京海淀区模拟)在下列命题中：①若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行；②若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b一定不共面；③若三个向量a，b，c两两共面，则向量a

，b，c共面；④已知空间的三个向量a，b，c，则对于空间的任意一个向量p总存在实数x，y，z使得p＝xa＋yb＋zc.其中正确命题的个数是()A．0B．1C．2D．3答案A解析a与b共线，a，b所在的直线也可能重合，故①不正确；根据自由向量的意义

知，空间任意两向量a，b都共面，故②不正确；三个向量a，b，c中任意两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故③不正确；只有当a，b，c不共面时，空间任意一向量p才能表示为p＝xa＋yb＋zc，故④不正确，综上可知四个命题中正

确的个数为0，故选A.5．已知空间向量a，b满足|a|＝|b|＝1，且a，b的夹角为π3，O为空间直角坐标系的原点，点A，B满足OA→＝2a＋b，OB→＝3a－b，则△OAB的面积为()A.523B.543C.743D.114答案B解析|OA→|＝(2a＋b)2

＝4|a|2＋|b|2＋4a·b＝7，同理|OB→|＝7，则cos∠AOB＝OA→·OB→|OA→||OB→|＝6|a|2－|b|2＋a·b7＝1114，从而有sin∠AOB＝5314，∴△OAB的面积S＝12×7×7×5314＝534，故选B.6.如图，在大小为4

5°的二面角A－EF－D中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是()A.3B.2C．1D.3－2答案D解析∵BD→＝BF→＋FE→＋ED→，∴|BD→|2＝|BF→|2＋|FE→|2＋|ED→|2＋2BF→·FE→＋2FE→·

ED→＋2BF→·ED→＝1＋1＋1－2＝3－2，故|BD→|＝3－2.7．(多选)下列各组向量中，是平行向量的是()A．a＝(1,2，－2)，b＝(－2，－4,4)B．c＝(1,0,0)，d＝(－3,0,0)C．e＝(2,3,0)，f＝(0,0,0)D．g＝(－2,3,5

)，h＝(16，－24,40)答案ABC解析对于A，有b＝－2a，所以a与b是平行向量；对于B，有d＝－3c，所以c与d是平行向量；对于C，f是零向量，与e是平行向量；对于D，不满足g＝λh，所以g与h不是平行向量．8．(多选

)有下列四个命题，其中不正确的命题有()A．已知A，B，C，D是空间任意四点，则AB→＋BC→＋CD→＋DA→＝0B．若两个非零向量AB→与CD→满足AB→＋CD→＝0，则AB→∥CD→C．分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不

是共面向量D．对于空间的任意一点O和不共线的三点A，B，C，若OP→＝xOA→＋yOB→＋zOC→(x，y，z∈R)，则P，A，B，C四点共面答案ACD解析对于A，已知A，B，C，D是空间任意四点，则A

B→＋BC→＋CD→＋DA→＝0，错误；对于B，若两个非零向量AB→与CD→满足AB→＋CD→＝0，则AB→∥CD→，正确；对于C，分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量是共面向量，不正确；对于D，对于空间的任意一点O和不共线的三点A，B，C，若OP→

＝xOA→＋yOB→＋zOC→(x，y，z∈R)，当且仅当x＋y＋z＝1时，P，A，B，C四点共面，故错误．9．已知V为矩形ABCD所在平面外一点，且VA＝VB＝VC＝VD，VP→＝13VC→，VM→＝23VB→，VN→＝23VD→

.则VA与平面PMN的位置关系是________．答案平行解析如图，设VA→＝a，VB→＝b，VC→＝c，则VD→＝a＋c－b，由题意知PM→＝23b－13c，PN→＝23VD→－13VC→＝23a－23b＋13c.因此

VA→＝32PM→＋32PN→，∴VA→，PM→，PN→共面．又VA⊄平面PMN，∴VA∥平面PMN.10．(2019·广州调研)已知ABCD－A1B1C1D1为正方体，①(A1A→＋A1D1—→＋A1B1—→)2＝3A1B1→2；②A1C→·(A1B1—→－A1A

→)＝0；③向量AD1→与向量A1B→的夹角是60°；④正方体ABCD－A1B1C1D1的体积为|AB→·AA1→·AD→|.其中正确的序号是________．答案①②解析①中，(A1A→＋A1D1—→＋A1B1—→)2＝A1A→2＋A1D1—→2＋A1B1—→2＝3A1B

1—→2，故①正确；②中，A1B1—→－A1A→＝AB1→，因为AB1⊥A1C，故②正确；③中，两异面直线A1B与AD1所成的角为60°，但AD1→与A1B→的夹角为120°，故③不正确；④中，|AB→·AA1→·AD→|

＝0，故④也不正确．11.如图，在直三棱柱ABC－A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D，E分别为棱AB，BB′的中点．(1)求证：CE⊥A′D；(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值．方法一∵CC′⊥平面ABC且CA

⊥CB，∴以点C为原点，分别以CA，CB，CC′所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(图略)．令AC＝BC＝AA′＝2，则A(2,0,0)，B(0,2,0)，C′(0,0,2)，A′(2,0,2)，B′(0,2,2)，E(0,2,1)，D(1,1,

0)，(1)证明∴CE→＝(0,2,1)，A′D—→＝(－1,1，－2)，∵CE→·A′D—→＝0＋2－2＝0，∴CE→⊥A′D—→，∴CE⊥A′D.(2)解AC′→＝(－2,0,2)，∴cos〈CE→，AC′→〉＝CE→·AC′→|CE→||AC′→|＝25·8＝1010，即异面

直线CE与AC′所成角的余弦值为1010.方法二设CA→＝a，CB→＝b，CC′→＝c，根据题意得|a|＝|b|＝|c|，且a·b＝b·c＝c·a＝0.(1)证明CE→＝b＋12c，A′D—→＝－c＋12b－12

a，∴CE→·A′D—→＝－b·c－12c2＋12b2＋14b·c－12a·b－14a·c＝0，∴CE→⊥A′D—→，即CE⊥A′D.(2)解∵AC′→＝－a＋c，|AC′→|＝2|a|，|CE→|＝52|a|，AC′→·CE→＝(－a＋c)·b＋12c＝

12c2＝12|a|2，∴cos〈AC′→，CE→〉＝AC′→·CE→|AC′→||CE→|＝12|a|22×52|a|2＝1010，即异面直线CE与AC′所成角的余弦值为1010.12.如图，正方形ABCD的

边长为22，四边形BDEF是平行四边形，BD与AC交于点G，O为GC的中点，FO＝3，且FO⊥平面ABCD.(1)求证：AE∥平面BCF；(2)求证：CF⊥平面AEF.证明取BC中点H，连结OH，则OH∥BD，又四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD，∴OH⊥AC，故以O为原

点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则A(3,0,0)，C(－1,0,0)，D(1，－2，0)，F(0,0，3)，B(1,2,0)．BC→＝(－2，－2,0)，CF→＝(1,0，3)，BF→＝(－1，－2，3)．(1)设平面BCF

的法向量为n＝(x，y，z)，则n·BC→＝0，n·CF→＝0，即－2x－2y＝0，x＋3z＝0，取z＝1，得n＝(－3，3，1)．又四边形BDEF为平行四边形，∴DE→＝BF→＝

(－1，－2，3)，∴AE→＝AD→＋DE→＝BC→＋BF→＝(－2，－2,0)＋(－1，－2，3)＝(－3，－4，3)，∴AE→·n＝33－43＋3＝0，∴AE→⊥n，又AE⊄平面BCF，∴AE∥平面BCF.(2)AF→＝(－3,0，3)，∴CF→·AF→＝－3＋3＝0，CF→·AE→

＝－3＋3＝0，∴CF→⊥AF→，CF→⊥AE→，即CF⊥AF，CF⊥AE，又AE∩AF＝A，AE，AF⊂平面AEF，∴CF⊥平面AEF.13．A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足AB→·AC→＝0，AC→·AD→＝0，AB→·AD→＝0，M为BC中点，则△AMD是()A．钝

角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．不确定答案C解析∵M为BC中点，∴AM→＝12(AB→＋AC→)，∴AM→·AD→＝12(AB→＋AC→)·AD→＝12AB→·AD→＋12AC→·AD→＝0.∴AM⊥AD，△AMD为直角三角形．14.如图，已知空间

四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别为OA，BC的中点，点G在线段MN上，且MG→＝2GN→，若OG→＝xOA→＋yOB→＋zOC→，则x＋y＋z＝________.答案56解析连结ON，设OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，则MN→＝ON→－OM→＝12(OB

→＋OC→)－12OA→＝12b＋12c－12a，OG→＝OM→＋MG→＝12OA→＋23MN→＝12a＋2312b＋12c－12a＝16a＋13b＋13c.又OG→＝xOA→＋yOB→＋zOC→，所以x＝16

，y＝13，z＝13，因此x＋y＋z＝16＋13＋13＝56.15．已知O(0,0,0)，A(1,2,1)，B(2,1,2)，P(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，当QA→·QB→取最小值时，点Q的坐标是________．答案(1,1,2)解析由题意，设OQ→＝λOP→，则OQ→＝(λ

，λ，2λ)，即Q(λ，λ，2λ)，则QA→＝(1－λ，2－λ，1－2λ)，QB→＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，∴QA→·QB→＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(1－2λ)(2－2λ)＝6λ2－12λ＋6＝6(λ－1)2，当λ＝1时取最小值，此时

Q点坐标为(1,1,2)．16.如图所示，已知四棱锥P－ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD，平面PBC⊥底面ABCD.求证：(1)PA⊥BD；(2)平面PAD⊥平面PAB.证明(1)取

BC的中点O，连结PO，∵△PBC为等边三角形，∴PO⊥BC，∵平面PBC⊥底面ABCD，平面PBC∩底面ABCD＝BC，PO⊂平面PBC，∴PO⊥底面ABCD.以BC的中点O为坐标原点，以BC所在直线为x轴，过点O与A

B平行的直线为y轴，OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．不妨设CD＝1，则AB＝BC＝2，PO＝3，∴A(1，－2,0)，B(1,0,0)，D(－1，－1,0)，P(0,0，3)，∴BD→＝(－2，－1,0)，PA→＝(1，－2，－3)，∵BD→·P

A→＝(－2)×1＋(－1)×(－2)＋0×(－3)＝0，∴PA→⊥BD→，∴PA⊥BD.(2)取PA的中点M，连结DM，则M12，－1，32.∵DM→＝32，0，32，PB→＝(1,0，－3)，∴DM→·PB→＝32×1＋0×0＋32×(－3)＝0.∴DM→⊥PB→，即D

M⊥PB.∵DM→·PA→＝32×1＋0×(－2)＋32×(－3)＝0，∴DM→⊥PA→，即DM⊥PA.又∵PA∩PB＝P，PA⊂平面PAB，PB⊂平面PAB，∴DM⊥平面PAB.∵DM⊂平面PAD，∴平面PAD⊥平

面PAB.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com