【文档说明】【精准解析】2021新高考数学（江苏专用）课时精练：7.4空间几何体及其表面积、体积【高考】.docx，共(11)页，403.569 KB，由小赞的店铺上传

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1．将一个等腰梯形绕它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体包括()A．一个圆台、两个圆锥B．两个圆台、一个圆柱C．两个圆柱、一个圆台D．一个圆柱、两个圆锥答案D解析从较短的底边的端点向另一底边作垂线，两条垂线把等腰梯形

分成了两个直角三角形，一个矩形，所以一个等腰梯形绕它的较长的底边所在直线旋转一周形成的是由一个圆柱，两个圆锥所组成的几何体，如图．2．(2020·徐州模拟)用长为8，宽为4的矩形做侧面围成一个圆柱，则圆柱的轴截面的面积为()A．3

2B.32πC.16πD.8π答案B解析若8为底面周长，则圆柱的高为4，此时圆柱的底面直径为8π，其轴截面的面积为32π；若4为底面周长，则圆柱的高为8，此时圆柱的底面直径为4π，其轴截面的面积为32π.3．(2019·辽宁部分重点中学协

作体模拟)在一个密闭透明的圆柱筒内装一定体积的水，将该圆柱筒分别竖直、水平、倾斜放置时，指出圆柱桶内的水平面可以呈现出的几何形状不可能是()A．圆面B．矩形面C．梯形面D．椭圆面或部分椭圆面答案C解析将圆柱桶竖放，水面为圆面；将圆柱桶斜放，水面为椭圆面或部分椭圆面；将圆柱桶水

平放置，水面为矩形面，所以圆柱桶内的水平面可以呈现出的几何形状不可能是梯形面，故选C.4．棱长为a的正四面体的表面积是()A.36a2B.312a2C.34a2D.3a2答案D解析棱长为a的正四面体的四个面都是正三角形，正四面体的表面积是4×34a2＝

3a2.5．(2019·江西重点中学联考)《算术书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典著，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出圆锥的底面周长l与高h，计算其体积V的近似公式V＝1

36l2h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取3，那么，近似公式V≈25942l2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取()A.227B.258C.15750D.355113答案C解析V＝13πr2h＝13π×l2π2h＝

112πl2h，由112π≈25942，得π≈15750，故选C.6．用一个平面去截正方体，则截面不可能是()A．直角三角形B．等边三角形C．正方形D．正六边形答案A解析用一个平面去截正方体，则截面的情况为：①截面为三角形时，可以是锐角三角

形、等腰三角形、等边三角形，但不可能是钝角三角形、直角三角形；②截面为四边形时，可以是梯形(等腰梯形)、平行四边形、菱形、矩形，但不可能是直角梯形；③截面为五边形时，不可能是正五边形；④截面为六边形时，可以是正六边形．7.(多选)将正三棱锥P－

ABC置于水平反射镜面上，得一“倒影三棱锥”P－ABC－Q，如图．下列关于该“倒影三棱锥”的说法中，正确的有()A．PQ⊥平面ABCB．若P，A，B，C在同一球面上，则Q也在该球面上C．若该“倒影三棱锥”存在外接球，则AB＝2PAD．若AB＝62PA，则PQ的中点必为“倒影三棱

锥”外接球的球心答案AD解析由“倒影三棱锥”的几何特征可知PQ⊥平面ABC，A正确；当P，A，B，C在同一球面上时，若△ABC的外接圆不是球的最大圆，则点Q不在该球面上，B错误；若该“倒影三棱锥”存在外接球，则三棱锥

P－ABC的外接球的半径与等边三角形ABC外接圆的半径相等，设其为R，则AB＝3R，PA＝2R，则AB＝62PA，C错误；由C的推导可知该“倒影三棱锥”外接球的球心为△ABC的中心，即PQ的中点，D正确，故选AD.8．(多选)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为3，

线段B1D1上有两个动点E，F，且EF＝1，则当E，F移动时，下列结论正确的是()A．AE∥平面C1BDB．四面体ACEF的体积不为定值C．三棱锥A－BEF的体积为定值D．四面体ACDF的体积为定值答

案ACD解析对于A，如图1，AB1∥DC1，易证AB1∥平面C1BD，同理AD1∥平面C1BD，且AB1∩AD1＝A，AB1，AD1⊂平面AB1D1，所以平面AB1D1∥平面C1BD，又AE⊂平面AB1D1，所以AE∥平面C1BD，A正确．对于B，如图2，S△AEF＝12×1

×(32)2－3222＝364，点C到平面AEF的距离为点C到平面AB1D1的距离d为定值，所以VA－CEF＝VC－AEF＝13×364×d＝64d为定值，所以B错误；对于C，如图3，S△BEF＝12×1×3＝32，点A到平面BEF的距

离为A到平面BB1D1D的距离d′为定值，所以VA－BEF＝13×32×d′＝12d′为定值，C正确；对于D，如图4，四面体ACDF的体积为VA－CDF＝VF－ACD＝13×12×3×3×3＝92为定值，D正确．9．给出下列命题：①

棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；②若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；③在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；④存在每个面都是直角三角形的四面体．其中正确命题的序号是________．答案②③④解析①不正确，根据棱柱的定义，棱

柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；②正确，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则三个侧面所在的三个平面的二面角都是直二面角；③正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；④正确，如图，

正方体ABCD－A1B1C1D1中的三棱锥C1－ABC，四个面都是直角三角形．10．(2020·武汉模拟)已知四面体ABCD中，AB＝AD＝BC＝DC＝BD＝5，AC＝8，则四面体ABCD的体积为__

______．答案10113解析取BD中点O，AC中点E，连结AO，CO，OE，∵四面体ABCD中，AB＝AD＝BC＝DC＝BD＝5，AC＝8，∴AO⊥BD，CO⊥BD，AO＝CO＝25－254＝532

，∴OE⊥AC.又AO∩CO＝O，∴BD⊥平面AOC，∴S△AOC＝12×8×754－16＝211，VA－BCD＝2VB－AOC＝2×13×52×211＝10113.11．若圆锥的表面积是15π，侧面展开图的圆心角是60°，求圆锥的体积．解设

圆锥的底面半径为r，母线为l，则2πr＝13πl，得l＝6r.又S圆锥＝πr2＋πr·6r＝7πr2＝15π，得r＝157，则圆锥的高h＝l2－r2＝36r2－r2＝35·r＝35·157＝53，所以圆锥的体积V＝13πr2h＝13π×157×53＝2537π

.12．若E，F是三棱柱ABC－A1B1C1侧棱BB1和CC1上的点，且B1E＝CF，三棱柱的体积为m，求四棱锥A－BEFC的体积．解如图所示，连结AB1，AC1.因为B1E＝CF，所以梯形BEFC的面积等于梯形B1EFC1的面积．又四棱锥A－BEFC的高与四

棱锥A－B1EFC1的高相等，所以VA－BEFC＝11ABEFCV－＝1211ABBCCV－.又111AABCV－＝13111ABCS·AA1，111ABCABCV－＝111ABCS·AA1＝m，所以111AABCV－＝m3，所以11ABBCC

V－＝111ABCABCV－－111AABCV－＝2m3，所以VA－BEFC＝12×2m3＝m3，即四棱锥A－BEFC的体积是m3.13.(多选)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝2，AB＝BC＝1

，∠ABC＝90°，外接球的球心为O，点E是侧棱BB1上的一个动点．下列判断中正确的是()A．直线AC与直线C1E是异面直线B．A1E一定不垂直AC1C．三棱锥E－AA1O的体积为定值D．AE＋EC1的最小值

为22答案ACD解析如图，∵直线AC经过平面BCC1B1内的点C，而直线C1E在平面BCC1B1内且不过点C，∴直线AC与直线C1E是异面直线，故A正确；假设BB1上存在点E，使A1E⊥AB1，连结AB1，交A1E于点F

，又B1C1⊥A1E，AB1∩B1C＝B1，AB1，B1C⊂平面AB1C1，又AC1⊂平面AB1C1，∴A1E⊥AC1.由题意知AB1＝5，A1F＝255，B1F＝55，AF＝455，∵BB1∥AA1，∴△B1FE∽△AFA1，则B1E

AA1＝AFB1F，∴B1E＝12，即BB1上存在点E，且B1E＝12时，A1E⊥AC1；由题意知，直三棱柱ABC－A1B1C1的外接球的球心为O，则O是AC1与A1C的交点，则△AA1O的面积为定值，由BB1∥平面AA1C1C，∴E到平面AA1O的距离为定值

，∴三棱锥E－AA1O的体积为定值，故C正确；将直三棱柱侧面展开可知，AE＋EC1的最小值为侧面展开图中AC1的长度，AC1＝22，即AE＋EC1的最小值为22，故D正确．故选ACD.14.如图，一立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为4m，一只小虫从圆锥的底面

圆上的点P出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点P处．若该小虫爬行的最短路程为42m，则圆锥底面圆的半径等于________m.答案1解析把圆锥侧面沿过点P的母线展开成如图所示的扇形，由题意OP＝4m，PP′＝42m，则cos∠POP′＝42＋42－

(42)22×4×4＝0，且∠POP′是三角形的内角，所以∠POP′＝π2.设底面圆的半径为rm，则2πr＝π2×4，所以r＝1.15．(2019·唐山质检)已知过球面上A，B，C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB＝18，BC＝24，AC＝30，

求球的表面积和体积．解因为AB∶BC∶AC＝18∶24∶30＝3∶4∶5，所以△ABC是直角三角形，∠B＝90°.又球心O在截面△ABC上的投影O′为截面圆的圆心，也即是Rt△ABC的外接圆的圆心，所以斜边AC为截面圆O′的直径(如图所示

)，设O′C＝r，OC＝R，则球半径为R，截面圆半径为r，在Rt△O′CO中，由题设知sin∠O′CO＝OO′OC＝12，所以∠O′CO＝30°，所以rR＝cos30°＝32，即R＝23r，(*)又2r＝AC＝30⇒r＝15，代入(*)得R＝103.所以球的表面积为S＝4πR2＝4π×

(103)2＝1200π.球的体积为V＝43πR3＝43π×(103)3＝40003π.16．如图，△ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，DC⊥平面ABC，AB＝4，EB＝23.(1)求证：DE⊥平

面ACD；(2)设AC＝x，V(x)表示三棱锥B－ACE的体积，求函数V(x)的解析式及最大值．(1)证明∵四边形DCBE为平行四边形，∴CD∥BE，BC∥DE.∵DC⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴DC⊥BC.∵AB是圆O的直径，∴BC⊥AC，又DC∩AC＝C，DC，A

C⊂平面ADC，∴BC⊥平面ADC.∵DE∥BC，∴DE⊥平面ADC.(2)解∵DC⊥平面ABC，DC∥BE，∴BE⊥平面ABC.在Rt△ABE中，AB＝4，EB＝23.在Rt△ABC中，∵AC＝x，∴BC＝16－x2(0<x<4)，∴S△ABC＝12AC·BC＝12x

·16－x2，∴V(x)＝V三棱锥E－ABC＝33x·16－x2＝33x2(16－x2)(0<x<4)．∵x2(16－x2)≤x2＋16－x222＝64，当且仅当x2＝16－x2，即x＝22时取等号，∴当x＝22时，体积有最大值833.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号ww

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