【文档说明】湖南省长沙市周南教育集团2025届高三上学期10月第二次月考数学试题 Word版含解析.docx，共(19)页，1.395 MB，由小赞的店铺上传

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周南中学2025届高三第二阶段考试数学试卷一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合1{|1216}{|0}6xxAxBxx−==−＜，，则RACB＝（）A.{x|1＜x≤4}B.{x|0＜x≤

6}C.{x|0＜x＜1}D.{x|4≤x≤6}【答案】A【解析】【分析】化简集合,AB，按照补集定义求出RCB，再按交集定义，即可求解.【详解】{|1216}{|04}xAxxx==,1{|0}{|16xBxxxx−==−或6}x，

{|16}RCBxx=，RACB4{|}1xx=.故选:A.【点睛】本题考查集合的混合运算，解题要注意正确化简集合，属于基础题.2.已知复数21izi=+，则||+=zi（）A.2B.2C.5D.5【答案】C【解析】【分析】依复数四则运算法则及

复数模的意义即可得解.【详解】()()()()21212=11112iiiiiziiii−−===+++−,||125zii+=+=,故选:C.3.如图，在ABCV中，1,2ANACP=是BN的中点，若APmABnAC=+，则mn+=（）A.12B.1C.32D.34【答案】D【解析】【分析】利用

向量的线性运算求得1124AABAPC=+，由此求得,mn，进而求得mn+.【详解】因为P是BN的中点，所以12BPBN=．所以11()22APABBPABBNABANAB=+=+=+−11112224ABANABAC=+=+，所以11,24mn

==，所以34mn+=．故选：D4.已知命题:1,3px，230xax−+，则p的一个充分不必要条件是（）A.5aB.5aC.4aD.4a【答案】B【解析】【分析】根据题意求得命题p的充要条件，再结合选项进行选

择即可.【详解】命题:1,3px，230xax−+，等价于3,1,3axxx+恒成立；又()3fxxx=+在)1,3单调递减，在3,3单调递增，()()134ff==，故()fx在1,3上的最大值为4；故

3,1,3axxx+恒成立，即4a，也即命题p的充要条件为4a；结合选项，p的一个充分不必要条件是5a.故选：B.5.已知函数()25,1,1xaxxfxaxx−+=满足对任意实数12xx，都有()()21210fx

fxxx−−成立，则a的取值范围是（）A.(0,3B.)2,+C.()0,+D.2,3【答案】D【解析】【分析】由题意可知函数()fx在R上递减，结合分段函数单调性列式求解即可.【详解】因为函数()fx满足对任意实数12xx，都有21

21()()0fxfxxx−−成立，不妨假设12xx，则210xx−，可得()()210fxfx−，即()()12fxfx，可知函数()fx在R上递减，则1206aaaa−+，解得：23a，所以a的取值范围是2,3.故选：D.6.设

公差0d的等差数列na中，259,,aaa成等比数列，则135147aaaaaa++=++（）A.1011B.1110C.34D.43【答案】A【解析】【分析】由题意可得18da=，根据135331474433

aaaaaaaaaa++==++求解即可.【详解】因为公差0d的等差数列{𝑎𝑛}中，259,,aaa成等比数列，所以2529aaa=，即()()()211148adadad+=++，解得18da=，所以135331147441328

210338311aaaaaadddaaaaaaddd++++=====++++.故选：A.7.已知ππ,π,0,22，若()13sin,cos33+==，则cos2=（）A.13B.13−C.2327D.2327−【答案】D【解析】【分

析】根据角的范围，利用同角的三角函数关系求得cos(),sin+的值，利用两角差的余弦公式即可求得cos，继而利用二倍角的余弦公式求得答案.【详解】由于ππ,π,0,22，则π3π,22

+，而()1sin3+=，故2π22,π,cos()1sin()23++=−−+=−，由3πcos,0,32=，可得6sin3=，则cos

cos[()]cos()cossin()sin=+−=+++92216333363=−+=−，故2223cos22cos12()12769=−=−−=−，故选：D8.已知函数2,1,()eln52,1,xxfxxxxx=−−若函数

2[()](24)()1yfxafx=+−+恰有5个零点，则实数a的取值范围是（）A.949,824B.491,24C.91,8D.9,8+【答案】A【解析】【分析】先研究1x时，()elnxfxx=

的单调性和极值，画出分段函数的图象，换元后数形结合转化为二次函数根的分布情况，列出不等式组，求出实数a的取值范围.【详解】当1x时，()elnxfxx=，则()2ln1elnxfxx−=，当1ex时，()0

fx，()fx单调递减，当ex时，()0fx，()fx单调递增，则1x时，()(e)1fxf=.当1x时，22()52(1)66fxxxx=−−=−++.作出()fx大致图象，函数2[()](42)()1yfxafx=−−+恰有5个不同零

点，即方程2[()](24)()10fxafx+−+=恰有5个根.令()fxt=，则需方程2(24)10(*)tat+−+=.（l）在区间(,1)−和[2,6)上各有一个实数根，令函数2()(24)1uttat=+−+，

则(1)12410,(2)42(24)10,(6)366(24)10,uauaua=+−+=+−+=+−+解得949824a.（2）方程（*）在(1,2)和(6,)+各有一根时，则(1)12410,(2)42(24)10,(6)366(24)10,ua

uaua=+−+=+−+=+−+即1,9,849,24aaa无解.（3）方程（*）的一个根为6时，可得4924a=，验证得另一根为16，不满足.（4）方程（*）

的一个根为1时，可得1a=，可知不满足.综上，949824a.故选：A【点睛】复合函数与分段函数结合问题，要利用数形结合思想和转化思想，这道题目中要先研究出分段函数的图象，再令()fxt=，换元后转化为二次函数根的分布问题，接下来就迎刃而解了.二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分

.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.已知函数()sin(2)(0π)fxx=+的图象关于点4π,03中心对称，则（）A.π3=B.直线5π6x=是曲线()yfx=的对称轴C.(

)fx在区间π13π,1212有两个极值点D.()fx在区间π0,12单调递增【答案】AD【解析】【分析】根据正弦型函数的对称性、单调性，结合函数极值的定义逐一判断即可.【详解】()sin(2)fxx=+

代入点4π,03，得4sin203+=，∴42()3kk+=Z，0π，∴π3=，故A正确．B选项：代入56x=，5sin2063+=，故B错误．由13,1212x，52,322x+

，显然32,322x+时，函数sin23yx=+单调递减，当352,322x+，函数sin23yx=+单调递增，π3π7π23212xx+==，所以该函数()fx

在区间π13π,1212有且仅有一个极值点，C错误．π0,12x，πππ2,332x+处于正弦函数的递增区间ππ,22−内，D正确．故选：AD10.在单位圆中，O为圆心，AB为直径，P为圆上任意一点，MN、为直径AB上（含端点）

相异的两点.下列说法正确的是（）A.||2PAPB+=B.若||3OAOP+=，则向量OA，OP的夹角为π6C.||(0,4)PMPN+D.若PMPN=，则[0,1)PMPN【答案】ACD【解析】【分析】对于A，利用加法

法则可得；对于B，将||3OAOP+=，两边平方，可得向量OA，OP的夹角的余弦，即可得向量OA，OP的夹角；对于C，设MN的中点为D，则2PMPNPD+=，由MNP、、三点的相对位置关系可得||PMPN+的范围；对于D，因为PMPN=，当MN、分别为直径AB上两个端点时，PMPN取得

最小值0，当MN、无限靠近原点时，PMPN最大，趋近于1，即得PMPN范围.【详解】由已知，|||2|2PAPBPO+==，A正确.若||3OAOP+=，则2||3OAOP+=，设向量OA，OP的夹角为，则222cos3OAOPOAOP++=，∵1OAOP==，解得1c

os2=，π3=，故B错误.设MN的中点为D，则2PMPNPD+=，则2PMPNPD+=，当MNP、、三点很贴近时，||PD长度接近0，所以0PMPN+；当MN、很贴近且PN为直径时，||PD的长度接近直径，所以4PMPN+，故C正确.因PMPN=，由已知，当MN、分别为直径

AB上两个端点时，PMPN⊥，则0PMPN=，此时PMPN取得最小值，当MN、无限靠近AB的中点，即原点时，PMPN最大，趋近于1，所以[0,1)PMPN，故D正确．故选：ACD.11.已知()fx，()gx分别为定义在R上函数()fx和()gx的导函数，

且()()1fxgx−=，()(2)1fxgx+−=，若()gx是奇函数，则下列结论正确的是（）A.函数()fx的图象关于直线1x=对称B.()gx的最小正周期为8C.(3)1f−=D.20251(2)4

050kgk==【答案】AC【解析】【分析】由题意首先得(2)()2fxfx−+=，结合()fx是偶函数可得()fx的周期，由此即可判断C，对(2)()2fxfx−+=求导即可判断A，首先得4是()gx的周期，进一步即可判断B，注意到为的20251(

2)1012[(2)(4)](2)kgkggg==++，由此即可判断D.【详解】∵()gx是奇函数，∴()gx是偶函数，∴()()gxgx=−，()()1()xxfxgxfx→−−=⎯⎯⎯→−−()1(1)gx−=，

又()()1fxgx−=，故()()fxfx=−，∴()fx是偶函数．2()()1xxfxgx→−−=⎯⎯⎯→(2)(2)1(2)fxgx−−−=，又()(2)1(3)fxgx+−=，(2)(3)+：(2)()2fxfx−+=

，故()fx关于点(1,1)对称，所以()()()()224fxfxfxfx=−=−−=−，(2)()0fxfx−−+=，∴4是()fx的周期，函数()fx的图象关于直线1x=对称，A正确；2(3)(1)12ff−

===，C正确．4()()1(4)xxfxgxfx→+−=⎯⎯⎯→+−(4)1gx+=，()(4)gxgx=+，4是()gx的周期，由于求导不改变函数的周期，4也是()gx的周期，B错误．20251(2)1012[(2)(4)](2)kgkggg==++，因为

(2)g，(4)g均未知，故不选D．故选：AC.【点睛】关键点点睛：首先得4是()gx的周期，结合求导不改变周期即可判断B选项，由此即可顺利得解.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12.已知(1,sin)a=，(2,cos)b=，若//ab，则22sinco

s−=________．【答案】35-##-0.6【解析】【分析】根据两个向量共线的性质可得1tan2=，再把要求的式子利用同角三角函数的基本关系化为22tan1tan1−+，运算求得结果.【详解】∵//ab，∴sincos12=，∴1tan2=，

∴22222222sincostan13sincossincostan15−−−===−++．故答案为：35−13.若曲线ln(22)yx=+在1,02−处的切线也是曲线exyxa=++的切线，则a=________．【答案】0【解析】【分析】根据导数的几何意义，结

合直线的点斜式方程进行求解即可.【详解】曲线21ln(22)221yxyxx=+==++，所以曲线ln(22)yx=+在1,02−的切线的斜率为12112=−+，故切线为12212yxyx=+=+．ee1xxyxay=++=+，所以曲线exyxa=++在

()000,exxxa++处的切线的斜率为0e1x+，所以切线方程为：()()()0000ee1xxyxaxx−++=+−，化简，得()0000e1eexxxyxxa=+−++，令000000e120ee1xxxxaxa=+==−

++=，故答案为：014.已知数列{𝑎𝑛}中11a=，234a=，且满足()1144N,2nnnaaann+−=−，则na=________．【答案】12nn+【解析】【分析】先根据已知递推公式构造12

nnaa+−是等比数列，再得出2nna为等差数列，计算即可.【详解】由题意可得11134nnnnaaaa++−=−+−，即()111222nnnnaaaa+−−=−，又21122aa−=，所以12nnaa+−是首项为12，公比为12的等比数列，所以

1122nnnaa+−=，则11221nnnnaa++−=，又122a=，所以2nna为首项为2，公差为1的等差数列，则21nnan=+，则12nnna+=．故答案为：12nn+四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程

或演算步骤.）15.已知ABCV的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且232cosbcaC−=.（1）求A；（2）若ABCV的面积为43，sin1cosBC=+，点D为边BC上靠近B的四等分点，求AD的长.【答案】（1）π6A=（2

）37AD=【解析】【分析】（1）由已知结合余弦定理角化边得2223bcabc+−=，接着由余弦定理222cos2bcaAbc+−=即可得解.（2）先由π6A=和5πsin1cos1cos6BCB=+=+−求出角B，接着由正弦定理

形式的面积公式1sin2ABCSabC=求出,ab，再由余弦定理2222cosADACCDACCDC=+−即可求解.【小问1详解】因232cosbcaC−=，所以由余弦定理可得222232?2abcbcaab+−−=，整理得2223bcabc+−=.为

所以由余弦定理可得22233cos222bcbcAbcbca+===−，又(0,π)A，所以π6A=.【小问2详解】因为π6A=，sin1cosBC=+，所以5π5π5π31sin1cos1coscossinsin1cossin666

22BBBBBB=+−=++=−+，即13πsincossin1223BBB+=+=，又0πB，故ππ4π333B+，则2ππ3B+=，所以π6B=，所以π2ππ263

C=−=.所以2133sin43244ABCSabCaba====，所以4ab==，所以ACD中，4AC=，3CD=，由余弦定理可得222222π12cos432433732ADACCDACCD=+−=+−−=，即37AD=.16.已知数

列na的前n项和为nS，11a=，满足12nnSna+=．（1）求na；（2）若3nnnba=，求数列nb的前n项和nT．【答案】（1）nan=（2）1(21)3344nnnS+−=+【解析】【分析】（1）由,nnSa的关系得1,nnaa+的递推式，由累乘法即可求解；（2）直

接由等比数列求和公式、错位相减法即可求解.【小问1详解】12nnSna+=，当2n时，12(1)nnSna−=−，在两式作差得12(1)nnnanana+=−−，即1(1)nnnana++=，所以11nnanan++=，所以132121nnaann==−，当1n=时也成立，所以nan=；

【小问2详解】由（1）得3nnbn=，所以1231132333(1)33nnnSnn−=++++−+，所以23413132333(1)33nnnSnn+=++++−+，所以()2341111313312333333333

1322nnnnnnnSnnn++++−−=+++++−=−=−+−−，所以111333(21)3344244nnnnnnS+++−=−+=+.17.如图，已知SA垂直于梯形ABCD所在的平面，矩形SADE的对

角线交于点F，G为SB的中点，π2==ABCBAD，112SAABBCAD====.（1）求证：//BD平面AEG；（2）在线段EG（不含端点）上是否存在一点H，使得平面ABH与平面SCD所成角的正弦值为306？若存在，求出GH的长；若不存在，说明理由.【答案】（1）证明见

解析；（2）存在满足题意的点H，此时32||4GH=.【解析】【分析】（1）由题意以A为原点建立空间直角坐标系Axyz−，接着求出BD和平面AEG的一个法向量m，计算0BDm=即可得证.（2）设,01GHGE=求出AH，由SC和CD求

出平面SCD的一个法向量1n，由AB和AH求出平面ABH的一个法向量2n，接着由平面ABH与平面SCD所成角的正弦值为306得126cos,6nn=，进而求出，从而得解.【小问1详解】由题意可以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz−，∴(1,0,0)B，(0,2,0)D，(0,2,1)

E，11,0,22G，()0,0,1S，𝐶(1,1,0)，𝐴(0,0,0)∴(1,2,0)BD=−，(0,2,1)AE=，11,0,22AG=，设平面AEG的法向量为(,,)mxyz=，则mAEmAG⊥⊥，所以2011022mAEyzmAGxz=

+==+=，令1x=，则11,,12m=−，∴()11120102BDm=−++−=，∵BD平面AEG，∴//BD平面AEG.【小问2详解】由（1）得11,2,22GE=−，11,0,22AG=，(1,1,1)SC=−，(1,1,0)C

D=−，(1,0,0)AB=，假设在线段EG（不含端点）上存在一点H，使得平面ABH与平面SCD所成角的正弦值为306，则11,2,,0122GHGE==−，11(1),2,(1)22AH

AGGE=+=−+，设平面SCD法向量𝑛1⃗⃗⃗⃗=(𝑥1,𝑦1,𝑧1)，则11nSCnCD⊥⊥，所以111111100nSCxyznCDxy=+−==−+=，令11x=，则1(1,1,2)n=

，设平面ABH法向量()2222,,nxyz=，则22nAHnAB⊥⊥，所以22222211(1)2(1)0220nAHxyznABx=−+++===，令21+y=，则2(0,1,4

)n=+−，设平面ABH与平面SCD所成角，则30sin6=，所以()()()()12122222221210+11+24176coscos,==6617211+1+21+4nnnnnn

+−−===+++−，整理得(21)0−=，∵01，∴12=.故存在满足题意的点H，此时222111111132,2,=+2+=22222224GHGHGE===−−.18.已知椭圆C：()222210+=xyabab的离心率为

12，右顶点Q与C的上，下顶点所围成的三角形面积为23．（1）求C的方程．（2）不过点Q的动直线l与C交于A，B两点，直线QA与QB的斜率之积恒为14．（i）证明：直线l过定点；（ii）求QAB面积的最大值．【答案】（

1）22143xy+=；（2）（i）证明见解析；（ii）332.【解析】【分析】（1）根据椭圆的离心率及三角形面积，列出方程组求解即得.为（2）（i）设出直线l的方程，与椭圆方程联立，利用斜率坐标公式，结合韦达定理推理即得；（ii）由（i）的信息，借助三角形面积建

立函数关系，再求出最大值.【小问1详解】令椭圆2222:1xyCab+=的半焦距为c，由离心率为12，得12ca=，解得222,3acbacc==−=，由三角形面积为23，得23=ab，则1c=，2,3ab==，所以C的方程是22143xy+=.【小问2详解】（i）由（1）知，点(2,0)Q，

设直线l的方程为xmyn=+，设1122()AxyBxy,,(,)，由223412xmynxy=++=消去x得：222(34)63120mymnyn+++−=，则21212226312,3434mnnyyyymm−+=−=++，直线QA与QB的斜率分别为11

2QAykx=−，222QBykx=−，于是121222121212(2)(2)(2)()(2)QAQByyyykkmynmynmyymnyyn==+−+−+−++−()()2222222312343126223434

nmnmnmmnnmm−+=−−−+−++223121416164nnn−==−+，整理得2280nn+−=，解得n=−4或2n=，当2n=时，直线2xmy=+过点Q，不符合题意，因此n=−4，直线l：4xmy=−恒

过定点(4,0)P−.（ii）由（i）知，1212222436,3434myyyymm+==++，则2221212122222576144124||()4(34)3434mmyyyyyymmm−−=+

−=−=+++，因此QAB的面积2122222136436||||1623(4)16344QABmSPQyymmm−=−==−+−+−3633283=，当且仅当2216344mm−=−，即2213m=时取等号，所以QAB面积的最大值为332.

【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的几何图形面积范围或最值问题，可以以直线的斜率、横(纵)截距、图形上动点的横(纵)坐标为变量，建立函数关系求解作答.19.已知1()lnfxxx=+，()()gxfxx=−.（1）求函数()fx的单调区间；（2）若数列e(enna=为自然底数），()nn

bfa=，13521nnSbbbb−=++++，21nniiTb==，*,inN，求使得不等式：2ee+nnnST成立的正整数n的取值范围；（3）数列{}nc满足101c，1()nncfc+=，*

Nn.证明：对任意的*Nn，1223()0nnnnccgcc++++−−.【答案】（1）()fx的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+（2）*|ennN（3）证明见解析【解析】【分

析】（1）求导，利用导数求原函数的单调区间；（2）利用分组求和法求,nnST，代入不等式运算求解即可；（3）利用导数可求得当1x时，()(1)0gxg=，结合根据函数(),()fxgx的单调性分析证明.【小问1详

解】因为1()lnfxxx=+，定义域为(0,)+，且22111()xfxxxx−=−=，令()0fx，解得01x；令()0fx，解得1x；所以函数()fx的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+.【小问2详

解】因为enna=，则()1lneee−==+=+nnnnnbfan，可得()()()2111233511e3e21e−−−−−=+=+++++−++++nnnbnSbbb()()21131321eee−−−−=+++−+++

+nn()()122222e1e121e1121ee1e−−−−+−=+=+−−−nnnnn，21nniiTb==()()()24224622e4e2e−−−=++++=++++++nnnbbbb(

)()242242eee−−−=++++++nn()()()22222e1e22111121ee1e−−−−+=+=++−−−nnnnnn，对于不等式：2ee+nnnST，即()22

2222e1e1111e1e1eeee++−++−−−nnnnnn，整理得en，所以使得不等式：2ee+nnnST成立的正整数n的取值范围*|ennN.【小问3详解】因为1()()lngxfxxxxx=−=+−，的定义域为(0,)+，且222

222213111124()10xxxxxgxxxxxx−+−+−−+=−−==−=−恒成立，且(1)0g=，所以当1x时，()(1)0gxg=，由（1）可知数()fx在(0,1)单调递减，在(1,)+单调递增，因为1(0,1)

c，所以21()1=cfc，32()1=cfc，，1()1+=nncfc，又因为()(1)0gxg=，则2111()0++++−=−nnnnccfcc，所以21++nncc，又因为()gx在(1,)

+单调递减，所以()()21++nngcgc，即22112111lnln+++++++−+−nnnnnncccccc，即32210++++−−nnnncccc，所以12230++++−−nnnncccc，则1

2231++++−−nnnncccc，所以12230nnnnccgcc++++−−.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式()()fxgx（或()()fxgx

）转化为证明()()0fxgx−（或()()0fxgx−），进而构造辅助函数()()()hxfxgx=−；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.