【文档说明】福建省福州市福州一中2022届高三上学期第一学段半期考试卷 数学word版含答案.docx，共(9)页，697.789 KB，由小赞的店铺上传

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福州一中2021—2022学年第一学期第一学段模块考试高三数学半期考试卷（完卷时间：120分钟满分150分）一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设43izi=−(i为虚数单位)，则复数

z的虚部为（）A.4−B.4C.4i−D.4i2.已知全集15,UxxxZ=−，集合0,1,2,3,4A=，1,0,1,2B=−，则()UAB=ð（）A.0,1,2B.1,2C.3,4D.3,4,53.已知21log

4a=，3log2b=，322c=，则,,abc的大小关系为（）A.abcB.acbC.cabD.bca4.已知数列na的前n项和为nS，则“数列na是等比数列”为“存在R，使得11nnSaS+=+”的（）A.充分不必要条件B.必要不充

分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.已知2sin33+=，则sin26+=（）A．19B．19−C．19D．89−6.已知数列na满足：()*12211,nnna

aaaanN++===+.若35759611kaaaaaa++++++=，则k=（）A.2021B.2022C.62D.637.设a、b、c为非零不共线向量，若()()1atctbactR−+−−，则（）A.()()caba−⊥+B.()()cbba+⊥+C.

()()caba−⊥−D.()()cbca+⊥−8.若对任意的1x，()2,xm+，且12xx，都有122121lnln2xxxxxx−−，则m的最小值是（）A.1eB.eC.1D.3e二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中.

有多项符合要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9.已知0ab，则（）A．222abab+≥B．2abab+−C．()0aab−D．||2baab+≥10.设函数()fx的定义域为D，xD，yD，使得()()fyfx=−成立，则称()fx为“美丽函数”.

下列所给出的函数，其中是“美丽函数”的是（）A．()2fxx=B．()11fxx=−C．()()ln23fxx=+D．()2cosfxx=11.若正三棱锥VABC−和正四棱锥11111VABCD−的所有棱长均为a，将其中两个正三角形侧面VAB与111VAB按对应顶点粘合成一个正三角形以

后，得到新的组合体是（）A.五面体B.七面体C.斜三棱柱D.正三棱柱12.数学家欧拉于1765年在其著作《三角形中的几何学》首次指出：ABC的外心O，重心G，垂心H，依次位于同一条直线上，GH与GO的比值为定值，该直线被称为欧拉线.若4AB=，2AC=

，则下列各式正确的是（）A.20GOGH+=B.4AGBC=C.6AOBC=−D.OHOAOBOC=++三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知正项等比数列na，若1317aS==，，则6S=______.14.在ABC

中，已知3,5ABAC==，23BAC=，点D在边BC上，且满足ADBD=，则BC=__________，sinDAC=__________.15.如图，在平面直角坐标系xOy中，质点,MN间隔3分钟先后

从点P出发，绕原点按逆时针方向作角速度为6弧度/分钟的匀速圆周运动，则M与N的纵坐标之差第5次达到最大值时，N运动的时间为_________分钟.16.函数()intx是计算机程序中一个重要函数，它表示不超过x的最大整数，例如()int3.94

−=−，()int2.42=.已知函数()()()int,0,log,0axxxfxxx−=−（0a，且1a），若()fx的图象上恰有3对点关于原点对称，则实数a的取值范围是___________.OPxy四、

解答题：本题共6小题，共70分.17.（10分）已知函数()()()sin0,0,0fxAxA=+的图象如图所示.（1）求函数()fx的解析式；（2）首先将函数()fx的图象上每一点横坐标缩短为原来的12

，然后将所得函数图象向右平移按8个单位，最后再向上平移1个单位得到函数()gx的图象，求函数()gx在02，内的值域.18．（12分）如图，在正三棱柱111ABCABC−中，124ACAA==，E、F分别是BC、11AB的中点．（1）求证：//E

F平面11ACCA；（2）求直线AF与直线1BC所成角的余弦值．19.（12分）在①三边长成等差数列，②三边长为连续奇数，③22244cab+=，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求出cosC的值；若问题中的三角形不存

在，说明理由.问题：是否存在ABC，它的内角,,ABC对边分别是,,abc，且abc，2CA=，_____？注：选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.20.（12分）已知数列na的前n项和是nS，1=1a，点()*,nSnnNn

均在斜率为12的直线上.数列na、nb满足()111222+12nnnabababn+++=−.（1）求数列nnab、的通项nnab、；（2）若数列na中去掉数列nb的项后，余下的项按原来的顺序组成数列nc，且数列nc的前n项和E

FC1B1ABCA1为nT，求100T.21.（12分）如图所示，在底半径为R、高为H（,HR为定值，且HR）的圆锥内部内接一个底半径为r、高为h的圆柱，甲、乙两位同学采用两种不同的方法来解决.甲采用圆柱底面与圆锥底面重合的“竖放”方式（图甲），乙采用圆柱母线

与圆锥底面直径重合的“横放”方式（图乙）.（1）设1V、2V分别“竖放”、“横放”时内接圆柱的体积，用内接圆柱的底半径r为自变量分别表示1V、2V；（2）试分别求1V、2V的最大值()1maxV、()2maxV，并比较()1maxV、()2maxV的大小.22．（12分）形如()()kxyh

x=的函数称为幂指函数，幂指函数在求导时，可以利用对数法：在函数解析式两边取对数得()lnln()()ln()kxyhxkxhx==，两边对x求导数，得()()()ln()()hxykxhxkxyhx=+，于是()()()()()ln()()kxhxyh

xkxhxkxhx=+.已知()()()0,xfxxx=+，()21()22agxxaR=+（1）求曲线()yfx=在1x=处的切线方程；（2）若()()0,,()xfxgx+

恒成立，求a的取值范围.横放竖放MNFBCDEQCBAA福州一中2021—2022学年第一学期第一学段模块考试高三数学半期考试卷（完卷时间：120分钟满分150分）一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共4

0分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.题号12345678答案ACAABCDA二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中.有多项符合要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.题号9101112答案ACDBCDAC

ACD三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.____63____;14.（1）___7____（2）___437___;15.___49.5____;16.__11,54__四、解答题：本题共6

小题，共70分.17【解析】（1）由图象得2A=，13332,212344T−===，........................2分.由()13522,21223kkkZ

+=+=−+........................3分.0,3=.......................4分()2sin23fxx=+...........

............5分（2）()2sin412sin41836gxxx=−++=−+.......................8分当0,2x时，114,666x−−，sin41,16x

−−，......9分()1,3gx−....10分18.【解析】（Ⅰ）证明：如图，取11BC的中点G，连接EG，FG，...................1分因为E，F分别是BC，11AB

的中点，所以1//EGCC，11//FGAC，...................2分又1111111,,//EGACCACCACCAEGACCA平面平面平面，同理11//FGACAC平面.................

..4分又EGFGG=，1111CCACC=，所以平面//EFG平面11ACCA，...................5分又EF平面EFG，所以//EF平面11ACCA．...................6分（Ⅱ）法一：（几何法）取AB中点M，

因连结1BM，因为F为11AB中点，所以1//AFBM，1CBM（或其补角）为直线AF与直线1BC所成角....................8分124ACAA==，E，F分别是BC，11AB的中点在1

MBC中，1=22MB，1=25BC，=23MC，设直线AF与直线1BC所成角根据余弦定理得()()()22222+252310cos522225−==...................10分所以直线AF与直线1BC所成角的余弦值为105．...................12

分法二：（向量法）如图所示，在平面ABC内过A作直线AXAE⊥.以A为原点，分别以1AXAEAA，，的方向为x轴，y轴，，z轴的正方向，建立空间直角坐标系....................7分则(0A，0，0)，(1F，3，

2)，()12,232B，，(2C−，23，0)，...................9分所以(1AF=，3，2)，()14,0,2BC=−−，设直线AF与直线1BC所成角.............

......10分所以1110cos=5AFBCAFBC=...................11分所以直线AF与直线1BC所成角的余弦值为105．...................12分

19【解析】选①，不妨设()(),,0,,,0+abdbbcbddabc=−==+，..................1分由正弦定理得sin2sinbdbdAA+−=，得2sincossinbdbdAAA+−=，()cos2b

dAbd+=−，..................4分由余弦定理得()()()()()222244cos222bbdbdbbdbdAbbdbbdbd++−−++===+++..................7分所以()()422bd

bdbdbd++=−+，整理的25bdd=，因为0d，所以5bd=..................9分而三边长为()45,60dddd，能构成三角形，所以()()()2224561cos2458dddCdd+−==..................11分即1cos8C=......

.............12分(用正弦定理将三边关系转化为角的关系、结合三倍角公式也可解决此问题)另解：由2bac=+得，2sinsinsinBAC=+，..................1分即()323sin4sin

sin2sincosAAAAA−=+，..................5分sin0A，化简得28cos2cos30AA−−=，()()2cos14cos30AA+−=，..................9分2cos10,A+解得3cos4A=，....

..............11分1coscos28CA==...................12分选②，不妨设()2,,23anbncnn=−==+，且n为奇数..................1分由正弦定理得22sin2sinnnAA+−=，

222sincossinnnAAA+−=，得()2cos22nAn+=−..................5分由余弦定理得()()()222228cos2224nnnnAnnn++−−+==++..................9分所以()()82=2222nnnn+++−，整理的(

)()()2822nnn+−=+，所以10n=..................11分因为10n=不为奇数，不合题意，故不存在奇数满足要求..................12分选③，2CA=，222sinsin2=2sincos=2sin2bcaCAAAAbc

+−=，..................3分由正弦定理得()2222222=22bcaacacbcabcb+−=+−..................6分222222222114544,,4456aabcabbacc

ccbbc+=−==+==，，..................11分1cos8C=.................12分20【解析】（1）数列na的前n项和是nS，1=1a，点()*,nSnnNn均在斜率为12直线上，()*112,12n

nSSnnNnn−−=−，数列nSn是1以首项，12为公差的等差数列..................1分()2*1+,=22nnSnnnSnNn+=..................1分当

2n时，1nnnaSSn−=−=，1=1a满足上式，故()*nannN=.................4分数列na、nb满足()111222+12nnnabababn+++=−2n时，()1122-1-12+22nnnabababn++=−，

两式相减得，2nnnabn=，1n=满足上式，故()*2nnnabnnN=..................6分()*2nnbnN=nan=，()*2nnnabnnN=.............

....8分（2）设数列na中前p项中有数列nb的q项，则100pq−=，2qp，即求满足2100qq+的最大正整数q，易得6q=，所以数列na中前106项有数列nb的6项，..............

....10分所以()()()6261001062121106106=2225545212TS−+−+++=−=−..................11分1005545T=.................12分21.【解析

】（1）如图，设,,,ACHCBRDExEFy====，................1分根据三角形相似得，1,1,1xHyyyxxRyHRHHHR−==−=−=−................2分①若圆柱“竖放”，则(),10rx

rhyhHrRR===−，()3222110rrVrhrHHrrRRR==−=−................4分②若圆柱“横放”，则22,21022hrHxyrhRrH

===−，322222221202rrHVrhrRRrrHH==−=−...............6分（2）①()221320rVHrrRR=−

，由2132=0rVHrR=−，解得23rR=当203rR，时，10V；当23rRR，时，10V；()221max243327HVRRH==.............

....8分xyFCBEDA②()226220rVRrrRH=−由22622=0rVRrH=−解得13rH=当103rH，时，20V；当132HrH

，时，20V；()222max223327HVRRH==.................10分()()()2212maxmax4222272727VVRHRHRHRH−=−=−....

...11分()()12maxmax,HRVV.................12分22【解析】（1）由()xyfxx==，不妨设()hxx=，()kxx=..............1分由幂指函数导数公式得()(ln1)xfxxx=+，..............2分所以(1

)1f=，又(1)1f=，所以，曲线()yfx=在1x=处的切线方程为yx=..................3分（2）先寻找必要条件：若()()0,,()xfxgx+恒成立，则()(1)1fg，解得1a..

...............4分证明充分性：当1a时，若()()0,,()xfxgx+恒成立，构造()()()Fxfxgx=−，(0,)x+，则()()()(ln1)xFxfxgxxxax=−=+−，...........

...5分令()()(ln1),(0,)xMxFxxxax==+−+，所以()21ln2(1)ln()ln11(ln1)xxxxxxMxxxxexea−−=++−=++−，因为1x−与lnx同号，所以(1)ln0xx−…，所以(1)ln1xxea−，.....

.........7分（也可以对()0,1x)1+x，分类讨论）ln2(ln1)0xxex+所以()0Mx…，所以()Mx即()Fx为(0,)+上增函数，.................

8分又因为(1)0F=，所以，当(0,1)x时，()(1)0FxF=；当(1,)x+时，()(1)0FxF=.所以，()Fx为(0,1)上减函数，为(1,)+上增函数，.................10分所以，min()(1)0FxF==

，无最大值.又因为(1)0F=，所以，当(0,1)x时，()(1)0FxF=；当(1,)x+时，()(1)0FxF=.()()0,,()xfxgx+恒成立，.................12分