【文档说明】《中考数学必考的十五种类型大题夺分技巧再训练》专题07 锐角三角函数应用问题（解析版）.docx，共(18)页，212.668 KB，由管理员店铺上传

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以下为本文档部分文字说明：

1专题07锐角三角函数应用问题1.如图所示，某施工队要测量隧道长度BC，AD=600米，AD⊥BC，施工队站在点D处看向B，测得仰角为45°，再由D走到E处测量，DE∥AC，ED=500米，测得仰角为53°，求隧道BC长．（sin53°≈45，cos53°≈35，t

an53°≈43）．【答案】隧道BC长为700米．【解析】如图，在Rt△ABD中，AB=AD=600，作EM⊥AC于M，则AM=DE=500，∴BM=100，在Rt△CEM中，tan53°=CMEM=600CM=43，∴CM=800，∴BC=

CM–BM=800–100=700（米）．答：隧道BC长为700米．2.如图是某区域的平面示意图，码头A在观测站B的正东方向，码头A的北偏西60°方向上有一小岛C，小岛C在观测站B的北偏西15°方向上

，码头A到小岛C的距离AC为10海里．（1）填空：∠BAC=__________度，∠C=__________度；（2）求观测站B到AC的距离BP（结果保留根号）．2【答案】（1）30，45；（2）观测站B到AC的距离BP为

（53–5）海里．【解析】（1）由题意得：∠BAC=90°–60°=30°，∠ABC=90°+15°=105°，∴∠C=180°–∠BAC–∠ABC=45°；故答案为：30，45；（2）∵BP⊥AC，∴∠B

PA=∠BPC=90°，∵∠C=45°，∴△BCP是等腰直角三角形，∴BP=PC，∵∠BAC=30°，∴PA=3BP，∵PA+PC=AC，∴BP+3BP=10，解得BP=53–5．答：观测站B到AC的距离BP为（53–5）海里．3．如图，海岛B在海岛A的北偏东3

0方向，且与海岛A相距20海里，一艘渔船从海岛B出发，以5海里/时的速度沿北偏东75°方向航行，同时一艘快艇从海岛A出发，向正东方向航行．2小时后，快艇到达C处，此时渔船恰好到达快艇正北方向的E处．（1）求∠ABE的

度数；（2）求快艇的速度及C，E之间的距离．（参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，√3≈1.73）3【答案】见解析。【分析】（1）过点B作BD⊥AC于点D，作BF⊥CE于点E，

由平行线的性质得出∠ABD＝∠NAB＝30°，求出∠DBE＝105°，则可得出答案；（2）在Rt△BEF中，解直角三角形求出EF，BF，在Rt△ABD中，解直角三角形求出AD，BD，证明四边形BDCF为矩形，得出D

C，FC，求出CE的长，则可得出答案．【解析】（1）过点B作BD⊥AC于点D，作BF⊥CE于点E，由题意得，∠NAB＝30°，∠GBE＝75°，∵AN∥BD，∴∠ABD＝∠NAB＝30°，而∠DBE＝180°﹣∠GBE＝180°﹣75°＝105°，∴∠ABE＝∠ABD+∠DBE＝3

0°+105°＝135°；（2）BE＝5×2＝10（海里），在Rt△BEF中，∠EBF＝90°﹣75°＝15°，4∴EF＝BE×sin15°≈10×0.26＝2.6（海里），BF＝BE×cos15°≈10×0.97＝9.7（海里），在Rt△ABD中，AB＝20，∠ABD＝30°，

∴AD＝AB×sin30°＝20×12=10（海里），BD＝AB×cos30°＝20×√32=10√3≈10×1.73＝17.3，∵BD⊥AC，BF⊥CE，CE⊥AC，∴∠BDC＝∠DCF＝∠BFC＝90°，∴四边形BDCF为矩形，∴DC＝B

F﹣9.7，FC＝BD＝17.3，∴AC＝AD+DC＝10+9.7＝19.7，CE＝EF+CF＝2.6+17.3＝19.9，设快艇的速度为v，则v=19.72=9.85（海里/小时）．答：快艇的速度为9.85海里/小时，C，E之间的距离为19.9海里．

4．共抓长江大保护，建设水墨丹青新岳阳，推进市中心城区污水系统综合治理项目，需要从如图A，B两地向C地新建AC，BC两条笔直的污水收集管道，现测得C地在A地北偏东45°方向上，在B地北偏西68°向上，AB的距离为7km，求新建管道的总长度．（结果精确到0.1km，sin22°≈0.37，cos2

2°≈0.93，tan22°≈0.40，√2≈1.41）【答案】见解析。5【分析】过点C作CD⊥AB于点D，根据锐角三角函数即可求出新建管道的总长度．【解析】如图，过点C作CD⊥AB于点D，根据题意可知：

AB＝7，∠ACD＝45°，∠CBD＝90°﹣68°＝22°，∴AD＝CD，∴BD＝AB﹣AD＝7﹣CD，在Rt△BCD中，∵tan∠CBD=𝐶𝐷𝐵𝐷，∴𝐶𝐷7−𝐶𝐷≈0.40，∴CD＝2，∴AD＝CD＝2，BD＝7﹣2＝5，∴AC＝2√2≈2.83，BC=𝐶𝐷𝑠𝑖�

�22°≈20.37≈5.41，∴AC+BC≈2.83+5.41≈8.2（km）．答：新建管道的总长度约为8.2km．5．某高速公路管理部门工作人员在对某段高速公路进行安全巡检过程中，发现该高速公路旁的一斜坡存在6

落石隐患．该斜坡横断面示意图如图所示，水平线l1∥l2，点A、B分别在l1、l2上，斜坡AB的长为18米，过点B作BC⊥l1于点C，且线段AC的长为2√6米．（1）求该斜坡的坡高BC；（结果用最简根式表示）（2）为降低落石风险，该管理部门计划对该斜坡进行改造，改造后的斜坡坡角α为60°，过

点M作MN⊥l1于点N，求改造后的斜坡长度比改造前的斜坡长度增加了多少米？【答案】见解析。【分析】（1）运用勾股定理解题即可；（2）根据勾股定理列出方程，求出AM，问题得解．【解析】（1）在Rt△ABC中，𝐵𝐶=√𝐴𝐵2−𝐴𝐶2=√3

24−24=10√3；（2）∵∠α＝60°，∴∠AMN＝30°，∴AM＝2MN，∵在Rt△ABC中，AN2+MN2＝AM2，∴AN2+300＝4AN2,∴AN＝10，∴AM＝20，∴AM﹣AB＝20﹣18＝2．综上所述，长度增加了2米．76．实验学校某班开展数学“

综合与实践”测量活动．有两座垂直于水平地面且高度不一的圆柱，两座圆柱后面有一斜坡，且圆柱底部到坡脚水平线MN的距离皆为100cm．王诗嬑观测到高度90cm矮圆柱的影子落在地面上，其长为72cm；而高圆柱的部分影子落在坡上，

如图所示．已知落在地面上的影子皆与坡脚水平线MN互相垂直，并视太阳光为平行光，测得斜坡坡度i＝1：0.75，在不计圆柱厚度与影子宽度的情况下，请解答下列问题：（1）若王诗嬑的身高为150cm，且此刻她的影子完全落在地面上，则影子长为多少cm？（2）猜想：此刻高圆柱和它的影子与斜坡的某个横截面一定

同在一个垂直于地面的平面内．请直接回答这个猜想是否正确？（3）若同一时间量得高圆柱落在坡面上的影子长为100cm，则高圆柱的高度为多少cm？【答案】见解析。【分析】（1）根据同一时刻，物长与影从成正比，构建方程即可解决问题．（2）根据落在地面上的影子皆

与坡脚水平线MN互相垂直，并视太阳光为平行光，结合横截面分析可得；（3）过点F作FG⊥CE于点G，设FG＝4m，CG＝3m，利用勾股定理求出CG和FG，得到BG，过点F作FH⊥AB于点H，再根据同一时刻身高与影长的比例，求出AH的长度，即可得到AB．

【解析】（1）设王诗嬑的影长为xcm，8由题意可得：9072=150𝑥，解得：x＝120，经检验：x＝120是分式方程的解，王诗嬑的的影子长为120cm；（2）正确，因为高圆柱在地面的影子与MN垂直，所以太阳光的光线与MN垂直，则在斜坡上的影子也与MN垂直，则过斜坡上的影子

的横截面与MN垂直，而横截面与地面垂直，高圆柱也与地面垂直，∴高圆柱和它的影子与斜坡的某个横截面一定同在一个垂直于地面的平面内；（3）如图，AB为高圆柱，AF为太阳光，△CDE为斜坡，CF为圆柱在斜坡上的影子，过点F作FG⊥CE于点G，由题意可得：BC＝1

00，CF＝100，∵斜坡坡度i＝1：0.75，∴𝐷𝐸𝐶𝐸=𝐹𝐺𝐶𝐺=10.75=43，∴设FG＝4m，CG＝3m，在△CFG中，（4m）2+（3m）2＝1002，解得：m＝20，∴CG＝60，FG＝80，∴BG＝BC+CG＝160，过点F作FH

⊥AB于点H，∵同一时刻，90cm矮圆柱的影子落在地面上，其长为72cm，9FG⊥BE，AB⊥BE，FH⊥AB，可知四边形HBGF为矩形，∴9072=𝐴𝐻𝐻𝐹=𝐴𝐻𝐵𝐺，∴AH=9072×𝐵𝐺=9072×160=200，∴AB＝AH+BH＝

AH+FG＝200+80＝280，故高圆柱的高度为280cm．7．小红和爸爸绕着小区广场锻炼．如图，在矩形广场ABCD边AB的中点M处有一座雕塑．在某一时刻，小红到达点P处，爸爸到达点Q处，此时雕塑在小红的南偏东45°方向，爸爸在小红的北偏东60°方向，若小红到雕塑的距离PM＝30m，求小红与爸

爸的距离PQ．（结果精确到1m，参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73，√6≈2.45）【答案】见解析。【分析】作PN⊥BC于N，则四边形ABNP是矩形，得PN＝AB，证出△APM是等腰直角三角形，得AM=√22PM＝15√2m，则PN＝AB＝2AM＝30√2m，在Rt△PNQ中，由含

30°角的直角三角形的性质得NQ=√33PN＝1010√6m，PQ＝2NQ≈49m即可．【解析】作PN⊥BC于N，如图：则四边形ABNP是矩形，∴PN＝AB，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，∵∠APM＝45°，∴△APM是等腰直角三角形，∴AM=√2

2PM=√22×30＝15√2（m），∵M是AB的中点，∴PN＝AB＝2AM＝30√2m，在Rt△PNQ中，∠NPQ＝90°﹣∠DPQ＝90°﹣60°＝30°，∴NQ=√33PN＝10√6m，PQ＝2NQ＝20√6≈49（m

）；答：小红与爸爸的距离PQ约为49m．8.2020年5月5日，为我国载人空间站工程研制的长征五号运载火箭在海南文昌首飞成功．运較火箭从地面O处发射，当火箭到达点A时，地面D处的雷达站测得AD＝4000米，仰角为30°．3秒后

，火箭直线上升到达点B处，此时地面C处的雷达站测得B处的仰角为45°．已知C，D两处相距460米，求火箭从A到B处的平均速度（结果精确到1米/秒，参考数据：√3≈1.732，√2≈1.414）．11【答案】见解析。【分析】设火箭从A到B处的平均速

度为x米/秒，根据题意可得AB＝3x，在Rt△ADO中，∠ADO＝30°，AD＝4000，可得AO＝2000，DO＝2000√3，在Rt△BOC中，∠BCO＝45°，可得BO＝OC，即可得2000+3x＝2000√3−460，进而解得x的值

．【解析】设火箭从A到B处的平均速度为x米/秒，根据题意可知：AB＝3x，在Rt△ADO中，∠ADO＝30°，AD＝4000，∴AO＝2000，∴DO＝2000√3，∵CD＝460，∴OC＝OD﹣CD＝2000√3−460，在Rt△BOC中，∠BCO＝45°，∴BO＝OC，∵OB＝OA+A

B＝2000+3x，∴2000+3x＝2000√3−460，解得x≈335（米/秒）．答：火箭从A到B处的平均速度为335米/秒．129．如图所示，小明家与小华家住在同一栋楼的同一单元，他俩想测算所住楼对面商业大厦的高MN．他俩在小明家的窗台B处，测得商业大厦顶部N的仰角∠1的度数，

由于楼下植物的遮挡，不能在B处测得商业大厦底部M的俯角的度数．于是，他俩上楼来到小华家，在窗台C处测得大厦底部M的俯角∠2的度数，竟然发现∠1与∠2恰好相等．已知A，B，C三点共线，CA⊥AM，NM⊥AM，AB＝31m，BC＝18m，试求商业大厦的高MN．【答案】见解析。【分析】过点

C作CE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F，可得四边形AMEC和四边形AMFB均为矩形，可以证明△BFN≌△CEM，得NF＝EM＝49，进而可得商业大厦的高MN．【解析】如图，过点C作CE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F，∴∠CEF＝∠BF

E＝90°，∵CA⊥AM，NM⊥AM，∴四边形AMEC和四边形AMFB均为矩形，∴CE＝BF，ME＝AC，13∠1＝∠2，∴△BFN≌△CEM（ASA），∴NF＝EM＝31+18＝49，由矩形性质可知：EF＝CB＝18，∴

MN＝NF+EM﹣EF＝49+49﹣18＝80（m）．答：商业大厦的高MN为80m．10．鄂州市某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度CD．如图所示，一架水平飞行的无人机在A处测得正前方河流的左岸C

处的俯角为α，无人机沿水平线AF方向继续飞行50米至B处，测得正前方河流右岸D处的俯角为30°．线段AM的长为无人机距地面的铅直高度，点M、C、D在同一条直线上．其中tanα＝2，MC＝50√3米．（1）求无人机的飞行高度AM；（结果保留根号）（2）求河流的宽度

CD．（结果精确到1米，参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73）【答案】见解析。【分析】（1）在Rt△ACM中，由tanα＝2，MC＝50√3，可求出AM即可；（2）在Rt△BND中，∠BDM＝30°，BN＝100√3，可求出DN，进而求出DM和CD即可．【解析】过点B作BN⊥MD，垂足为N

，由题意可知，14∠ACM＝α，∠BDM＝30°，AB＝MN＝50，（1）在Rt△ACM中，tanα＝2，MC＝50√3，∴AM＝2MC＝100√3=BN，答：无人机的飞行高度AM为100√3米；（2）在Rt△BND中，∵tan∠BDN=𝐵𝑁𝐷𝑁，即：tan30

°=100√3𝐷𝑁，∴DN＝300，∴DM＝DN+MN＝300+50＝350，∴CD＝DM﹣MC＝350﹣50√3≈264，答：河流的宽度CD约为264米．11．如图，我国某海域有A，B两个港口，相距80海里，港口B在港口A的东北方向，点C处有

一艘货船，该货船在港口A的北偏西30°方向，在港口B的北偏西75°方向，求货船与港口A之间的距离．（结果保留根号）15【答案】见解析。【分析】过点A作AD⊥BC于D，求出∠ABC＝60°，在Rt△ABD中，∠DAB＝30°，由三角函数定义求出AD＝AB•sin∠ABD＝40√3，求出∠DAC＝∠C

AB﹣∠DAB＝45°，则△ADC是等腰直角三角形，得出AC=√2AD＝40√6海里即可．【解析】过点A作AD⊥BC于D，如图所示：由题意得：∠ABC＝180°﹣75°﹣45°＝60°，∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，在Rt△ABD中，∠DAB＝90°﹣60°＝

30°，AD＝AB•sin∠ABD＝80×sin60°＝80×√32=40√3，∵∠CAB＝30°+45°＝75°，∴∠DAC＝∠CAB﹣∠DAB＝75°﹣30°＝45°，∴△ADC是等腰直角三角形，∴AC=√2AD=√2×40√3=40√6（海里）．答：货船与港口A之间的距离是40

√6海里．1612．如图，在港口A处的正东方向有两个相距6km的观测点B、C．一艘轮船从A处出发，沿北偏东26°方向航行至D处，在B、C处分别测得∠ABD＝45°、∠C＝37°．求轮船航行的距离AD．（参考数据：sin26°≈0.44，cos26°

≈0.90，tan26°≈0.49，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．）【答案】见解析。【分析】过点D作DH⊥AC于点H，根据锐角三角函数即可求出轮船航行的距离AD．【解析】如图，过点D作DH⊥AC于点H

，在Rt△DCH中，∠C＝37°，∴CH=𝐷𝐻𝑡𝑎𝑛37°，17在Rt△DBH中，∠DBH＝45°，∴BH=𝐷𝐻𝑡𝑎𝑛45°，∵BC＝CH﹣BH，∴𝐷𝐻𝑡𝑎𝑛37°−𝐷𝐻𝑡𝑎𝑛45°=6，解得DH≈18，在R

t△DAH中，∠ADH＝26°，∴AD=𝐷𝐻𝑐𝑜𝑠26°≈20．答：轮船航行的距离AD约为20km．13.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图1，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理．如图2，筒车盛水桶的运行轨迹

是以轴心O为圆心的圆．已知圆心在水面上方，且圆被水面截得的弦AB长为6米，∠OAB=41.3°，若点C为运行轨道的最高点（C，O的连线垂直于AB），求点C到弦AB所在直线的距离．（参考数据：sin41.3°≈0.66，cos41.3°≈0.75，tan41.3°≈0.88）【答案】点C

到弦AB所在直线的距离为6.64米．【解析】如图，连接CO并延长，与AB交于点D，18∵CD⊥AB，∴AD=BD=12AB=3（米），在Rt△AOD中，∠OAB=41.3°，∴cos41.3°=ADOA，即OA=3cos41.3

=30.75=4（米），tan41.3°=ODAD，即OD=AD•tan41.3°=3×0.88=2.64（米），则CD=CO+OD=4+2.64=6.64（米）．