【文档说明】《中考数学必考的十五种类型大题夺分技巧再训练》专题02 四边形问题（解析版）.docx，共(18)页，231.896 KB，由管理员店铺上传

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以下为本文档部分文字说明：

1专题02四边形问题1．已知：如图，在▱ABCD中，点O是CD的中点，连接AO并延长，交BC的延长线于点E，求证：AD＝CE．【答案】见解析。【解析】只要证明△AOD≌△EOC（ASA）即可解决问题；证明：∵O是CD的中点，∴OD＝CO，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD

∥BC，∴∠D＝∠OCE，在△ADO和△ECO中，{∠𝐷=∠𝑂𝐶𝐸𝑂𝐷=𝑂𝐶∠𝐴𝑂𝐷=∠𝐸𝑂𝐶，∴△AOD≌△EOC（ASA），∴AD＝CE．2．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点M，N分别为OA、OC的中点，延长BM至点E，使E

M＝BM，连接DE．（1）求证：△AMB≌△CND；（2）若BD＝2AB，且AB＝5，DN＝4，求四边形DEMN的面积．【答案】见解析。2【分析】（1）依据平行四边形的性质，即可得到△AMB≌△CND；（2）依据全等三角形的性质，即可得出四边形DEMN是平行四边形，再根据等腰三

角形的性质，即可得到∠EMN是直角，进而得到四边形DEMN是矩形，即可得出四边形DEMN的面积．【解析】（1）∵平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∴AO＝CO，又∵点M，N分别为OA、OC的中点，∴AM＝CN，∵

四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠BAM＝∠DCN，∴△AMB≌△CND（SAS）；（2）∵△AMB≌△CND，∴BM＝DN，∠ABM＝∠CDN，又∵BM＝EM，∴DN＝EM，∵AB∥CD，∴∠ABO＝∠CDO

，∴∠MBO＝∠NDO，∴ME∥DN,∴四边形DEMN是平行四边形，∵BD＝2AB，BD＝2BO，∴AB＝OB，又∵M是AO的中点，∴BM⊥AO，∴∠EMN＝90°，∴四边形DEMN是矩形，∵AB＝5，DN＝BM＝4，∴AM＝3＝MO，∴MN＝6，∴矩形DEMN的面积＝6×4＝24．33．

如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O作EF⊥AC，分别交AB、DC于点E、F，连接AF、CE．（1）若OE=32，求EF的长；（2）判断四边形AECF的形状，并说明理由．【答案】见解析。【分析】（1）判定△AOE≌△COF（ASA），即可得OE＝OF=32，进

而得出EF的长；（2）先判定四边形AECF是平行四边形，再根据EF⊥AC，即可得到四边形AECF是菱形．【解析】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AO＝CO，∴∠FCO＝∠EAO，又∵∠AOE＝∠COF，∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE＝OF=32，∴EF＝2O

E＝3；（2）四边形AECF是菱形，理由：∵△AOE≌△COF，∴AE＝CF，又∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，又∵EF⊥AC，∴四边形AECF是菱形．44．如图，点E是▱ABCD的边CD的中点，连结AE并延长，交BC的延长线于点F．（1）若AD的长为2，求CF的长

．（2）若∠BAF＝90°，试添加一个条件，并写出∠F的度数．【答案】见解析。【分析】（1）由平行四边形的性质得出AD∥CF，则∠DAE＝∠CFE，∠ADE＝∠FCE，由点E是CD的中点，得出DE＝CE，由A

AS证得△ADE≌△FCE，即可得出结果；（2）添加一个条件当∠B＝60°时，由直角三角形的性质即可得出结果（答案不唯一）．【解析】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CF，∴∠DAE＝∠CFE，∠ADE＝∠FCE，∵点E是CD的中点，∴DE＝CE，在△ADE和△FCE中，{∠𝐷𝐴

𝐸=∠𝐶𝐹𝐸∠𝐴𝐷𝐸=∠𝐹𝐶𝐸𝐷𝐸=𝐶𝐸，∴△ADE≌△FCE（AAS），∴CF＝AD＝2；（2）∵∠BAF＝90°，添加一个条件：当∠B＝60°时，∠F＝90°﹣60°＝30°（答案不唯一）．5．如图，在▱ABCD

中，点E、F分别在BC、AD上，AC与EF相交于点O，且AO＝CO．（1）求证：△AOF≌△COE；5（2）连接AE、CF，则四边形AECF（填“是”或“不是”）平行四边形．【答案】见解析。【分析】（1）由ASA证明△AOF≌△COE即可；（2）由全等三角形的性质得出FO＝EO，再由AO

＝CO，即可得出结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠OAF＝∠OCE，在△AOF和△COE中，{∠𝑂𝐴𝐹=∠𝑂𝐶𝐸𝐴𝑂=𝐶𝑂∠𝐴𝑂𝐹=∠𝐶𝑂𝐸，∴△AOF≌△COE

（ASA）（2）解：四边形AECF是平行四边形，理由如下：由（1）得：△AOF≌△COE，∴FO＝EO，又∵AO＝CO，∴四边形AECF是平行四边形；故答案为：是．6．如图，在菱形ABCD中，将对角线AC分别向两端延长到点E和F

，使得AE＝CF．连接DE，DF，BE，BF．求证：四边形BEDF是菱形．【答案】见解析。【解析】四边形ABCD是菱形，可得AB＝BC＝CD＝DA，∠DCA＝∠BCA，∠DAC＝∠BAC，可以证明△C

DF6≌△CBF，△DAE≌△BFC，△DCF≌△BEA，进而证明平行四边形BEDF是菱形．证明：∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝CD，∠DCA＝∠BCA，∴∠DCF＝∠BCF，∵CF＝CF，∴△CDF≌△

CBF（SAS），∴DF＝BF，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠BCF，∵AE＝CF，DA＝AB，∴△DAE≌△BFC（SAS），∴DE＝BF，同理可证：△DCF≌△BEA（SAS），∴DF＝BE，∴四边形BEDF是平行四边形，∵D

F＝BF，∴平行四边形BEDF是菱形．7．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点M、N．（1）求证：四边形BNDM是菱形；（2）若BD＝24，MN＝10，求菱形

BNDM的周长．【答案】见解析。【解析】（1）证△MOD≌△NOB（AAS），得出OM＝ON，由OB＝OD，证出四边形BNDM是平行四边形，进而得出结论；（2）由菱形的性质得出BM＝BN＝DM＝DN，OB=12BD＝12

，OM=12MN＝5，由勾股定理得BM＝13，即可得出答案．7（1）证明：∵AD∥BC，∴∠DMO＝∠BNO，∵MN是对角线BD的垂直平分线，∴OB＝OD，MN⊥BD，在△MOD和△NOB中，{∠𝐷𝑀𝑂=∠𝐵𝑁𝑂∠

𝑀𝑂𝐷=∠𝑁𝑂𝐵𝑂𝐷=𝑂𝐵，∴△MOD≌△NOB（AAS），∴OM＝ON，∵OB＝OD，∴四边形BNDM是平行四边形，∵MN⊥BD，∴四边形BNDM是菱形；（2）解：∵四边形BNDM是菱形，BD＝24，MN＝10，∴BM＝BN＝DM＝DN，OB=12BD＝12，

OM=12MN＝5，在Rt△BOM中，由勾股定理得：BM=√𝑂𝑀2+𝑂𝐵2=√52+122=13，∴菱形BNDM的周长＝4BM＝4×13＝52．8．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是线段BC、AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．（1）求

证：△BDE≌△FAE；（2）求证：四边形ADCF为矩形．【答案】见解析。【解析】（1）根据平行线的性质得到∠AFE＝∠DBE，根据线段中点的定义得到AE＝DE，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到AF＝BD，推出四边形ADCF是平行四边形，根

据等腰三角形的性质得到∠8ADC＝90°，于是得到结论．证明：（1）∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，∵E是线段AD的中点，∴AE＝DE，∵∠AEF＝∠DEB，∴△BDE≌△FAE（AAS）；（2）∵△BDE≌△FAE，∴AF＝BD，

∵D是线段BC的中点，∴BD＝CD，∴AF＝CD，∵AF∥CD，∴四边形ADCF是平行四边形，∵AB＝AC，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴四边形ADCF为矩形．9．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上

，EF⊥AB，OG∥EF．（1）求证：四边形OEFG是矩形；（2）若AD＝10，EF＝4，求OE和BG的长．【答案】见解析。【解析】（1）∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，∠DAO＝∠BAO，∵E是AD的中点，9∴AE＝OE

=12AD，∴∠EAO＝∠AOE，∴∠AOE＝∠BAO，∴OE∥FG，∵OG∥EF，∴四边形OEFG是平行四边形，∵EF⊥AB，∴∠EFG＝90°，∴四边形OEFG是矩形；（2）∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，AB＝AD＝10，∴∠AOD＝90°，∵E是AD的中点，∴OE＝AE=1

2AD＝5；由（1）知，四边形OEFG是矩形，∴FG＝OE＝5，∵AE＝5，EF＝4，∴AF=√𝐴𝐸2−𝐸𝐹2=3，∴BG＝AB﹣AF﹣FG＝10﹣3﹣5＝2．10．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接

BE，CE．（1）求证：△BAE≌△CDE；（2）求∠AEB的度数．10【答案】见解析。【解析】（1）证明：∵△ADE为等边三角形，∴∠AD＝AE＝DE，∠EAD＝∠EDA＝60°，∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA＝90°，∴∠EAB＝∠EDC＝150°，在△BA

E和△CDE中{𝐴𝐵=𝐷𝐶∠𝐸𝐴𝐵=∠𝐸𝐷𝐶𝐴𝐸=𝐷𝐸，∴△BAE≌△CDE（SAS）；（2）∵AB＝AD，AD＝AE，∴AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB，∵∠EAB＝150°，∴∠ABE=12（180°﹣150°）＝15°．11．如图，在边长

为4的正方形ABCD中，点E为对角线AC上一动点（点E与点A、C不重合），连接DE，作EF⊥DE交射线BA于点F，过点E作MN∥BC分别交CD、AB于点M、N，作射线DF交射线CA于点G．（1）求证：EF＝DE；（2）当AF＝2时，求GE的长．【答案】见解析。11【分析】（1）要

证明EF＝DE，只要证明△DME≌△ENF即可，然后根据题目中的条件和正方形的性质，可以得到△DME≌△ENF的条件，从而可以证明结论成立；（2）根据勾股定理和三角形相似，可以得到AG和CG、CE的长，然后即可得到GE的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，

AC是对角线，∴∠ECM＝45°，∵MN∥BC，∠BCM＝90°，∴∠NMC+∠BCM＝180°，∠MNB+∠B＝180°，∴∠NMC＝90°，∠MNB＝90°，∴∠MEC＝∠MCE＝45°，∠DME＝∠ENF＝90°，∴MC＝ME，∵CD＝M

N，∴DM＝EN，∵DE⊥EF，∠EDM+∠DEM＝90°，∴∠DEF＝90°，∴∠DEM+∠FEN＝90°，∴∠EDM＝∠FEN，在△DME和△ENF中{∠𝐸𝐷𝑀=∠𝐹𝐸𝑁𝐷𝑀=𝐸𝑁∠𝐷

𝑀𝐸=∠𝐸𝑁𝐹，∴△DME≌△ENF（ASA），∴EF＝DE；（2）如图1所示，由（1）知，△DME≌△ENF，∴ME＝NF，∵四边形MNBC是矩形，∴MC＝BN，又∵ME＝MC，AB＝4，AF＝2，∴BN＝MC＝NF＝1，∵∠EMC＝90°，∴CE=√2，12∵AF

∥CD，∴△DGC∽△FGA，∴𝐶𝐷𝐴𝐹=𝐶𝐺𝐴𝐺，∴42=𝐶𝐺𝐴𝐺，∵AB＝BC＝4，∠B＝90°，∴AC＝4√2，∵AC＝AG+GC，∴AG=4√23，CG=8√23，∴GE＝GC﹣CE=8√23−√2=5√23；如图2所示，同理可得，F

N＝BN，∵AF＝2，AB＝4，∴AN＝1，∵AB＝BC＝4，∠B＝90°，∴AC＝4√2，∵AF∥CD，∴△GAF∽△GCD，∴𝐴𝐹𝐶𝐷=𝐺𝐴𝐺𝐶，即24=𝐴𝐺𝐴𝐺+4√2，解得，AG＝4√2，∵AN＝NE＝1，∠ENA＝90°，∴AE=√2，∴GE＝GA+AE＝

5√2．1312．如图，正方形ABCD的边长为6，E、F分别是边CD、AD上的动点，AE和BF交于点G．（1）如图（1），若E为边CD的中点，AF＝2FD，求AG的长；（2）如图（2），若点F在AD上从A向D运动，点E在DC上从D向C运动．两点同时出发，同时到达各自终点，求在

运动过程中，点G运动的路径长；（3）如图（3），若E、F分别是边CD、AD上的中点，BD与AE交于点H，求∠FBD的正切值．【解答】（1）AG＝；（2）点G运动的路径长＝；（3）∴tan∠FBD＝【解析】（1）如图（1），延长BF、CD交于点H，∵E为边CD

的中点，14∴DE＝DC＝3，由勾股定理得，，∵四边形ABCD为正方形，∴AB∥CD，∴△AFB∽△DFH，∴＝2，∵AB＝6，∴DH＝3，∴EH＝6，∴AB∥CD，∴△AGB∽△EGH，∴＝1，∴AG＝AE＝；（2）如图（2），取AB的中点O，连接OG，由题意得，AF＝DE，在△

BAF和△ADE中，，∴△BAF≌△ADE（SAS）∴∠ABF＝∠DAE，∵∠BAG+∠DAE＝90°，15∴∠BAG+∠ABG＝90°，即∠AGB＝90°，∵点O是AB的中点，∴OG＝AB＝3，当点E与点C重合、点F与得D重合时，∠AOG＝90°，∴点G运动的路径长＝；（

3）如图（3），作FQ⊥BD于Q，设正方形的边长为2a，∵点F是边AD上的中点，∴AF＝DF＝a，∵四边形ABCD为正方形，∴BD＝AB＝2a，∠ADB＝45°，∴QF＝QD＝a，∴BQ＝BD﹣DQ＝a，∴tan

∠FBD＝．13．在平行四边形ABCD中，AF平分∠BAD交BC于点F，∠BAC＝90°，点E是对角线AC上的点，连结BE．（1）如图1．若AB＝AE，BF＝3，求BE的长；（2）如图2，若AB＝AE，点G是BE的中点，∠FAG＝∠BFG，求证：AB＝FG；（3）如图3，以点E为直角顶点，在BE的

右下方作等腰直角△BEM，若点E从点A出发，沿AC运动到点C停止，设在点E运动过程中，BM的中点N经过的路径长为m，AC的长为n，请直接写出的值．16【解答】（1）BE＝3；（2）见解析；（3）【解析】（1）如图1中，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAF＝∠AFB，∵

AF平分∠BAD，∴∠DAF＝∠BAF，∴∠BAF＝∠AFB，∴AB＝BF＝3，∵AB＝AE，∠BAE＝90°，∴BE＝AB＝3．（2）证明：连接EF，过点G作GH⊥EF交EF的延长线于H．设BG＝a，FG＝b．∵AB＝AE，∠BAE＝9

0°，BG＝GE，∴AG⊥BE，AG＝GB＝GE，∴AB＝BG＝a，∵BF＝AB＝a，17∴BF2＝2a2，BG•BE＝2a2，∴BF2＝BG•BE，∴，∵∠FBG＝∠EBF，∴△GBF∽△FBE，∴，∠BFG＝∠BEF，∴EF＝GF＝b，∵∠BAF＝∠BFA，∠GAF＝∠BFG

，∴∠AFG＝∠BAG＝45°，∠GAF＝∠GEF，∴∠AGE＝∠AFE＝90°，∴∠GFH＝45°，∵GH⊥EH，∴GH＝FH＝b，∴EH＝FH+EF＝b，∴，∴AB＝AE＝GE＝b，∴AB＝GF．（3）如图3中，在AC上取一点T，使得AT＝AB，连接BT，TM，取BT的中点J，

连接NJ．∵△ABT，△BEM都是等腰直角三角形，∴BT＝AB，BM＝BE，∠ABT＝∠EBM＝45°，∴，∠ABE＝∠TBM，∴△ABE∽△TBM，18∴，∠AEB＝∠BMT，∵∠AEB+∠BET＝180°，∴∠BMT+∠B

ET＝180°，∴∠EBM+∠ETM＝180°，∵∠EBM＝∠ETB＝45°，∴∠ETM＝135°，∠BTM＝90°，∵BJ＝JT，BN＝NM，∴NJ∥TM，NJ＝TM，∴∠BJN＝∠BTM＝90°，∴点N的运动轨迹是

线段JN，JN＝TM＝AE，∵点E从A运动到C时，AE＝AC＝n，∴m＝n，∴．