【文档说明】《七年级数学下册期中期末考点大串讲(浙教版)》专题13 反比例函数的图象与性质（知识点串讲）（解析版）.docx，共(17)页，173.205 KB，由管理员店铺上传

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1专题13反比例函数的图象与性质知识网络重难突破知识点一反比例函数的相关概念函数()0,0ky=xkxk为常数，叫做反比例函数，这里的x是自变量，y是关于x的函数，k叫做比例系数。【典例1】（201

8秋•新化县期末）下列函数中，是反比例函数的为（）A．y＝2x+1B．y＝C．y＝D．2y＝x【点拨】根据反比例函数的定义，解析式符合（k≠0）这一形式的为反比例函数．【解析】解：A、是一次函数，错误；B、不是反比例函数，

错误；C、符合反比例函数的定义，正确；D、是正比例函数，错误．故选：C．【点睛】本题考查了反比例函数的定义，注意在解析式的一般式（k≠0）中，特别注意不要忽略k≠0这个条件．【变式训练】1．（2020•复兴区一模）下列关系式中，y是x反比例函数的是（）A．y＝xB．

y＝﹣C．y＝3x2D．y＝6x+12【点拨】根据反比例函数的概念：形如y＝（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数．其中x是自变量，y是函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数进行分析即可．【解析】解：A、不是反比例函数，

故此选项错误；B、是反比例函数，故此选项正确；C、不是反比例函数，故此选项错误；D、不是反比例函数，故此选项错误；故选：B．【点睛】此题主要考查了反比例函数定义，关键是掌握反比例函数的形式．2．（2020春•甘南县期中）下列各选项中，两个量成反比例关系的是（）A．正方形的边长和面积B

．圆的周长一定，它的直径和圆周率C．速度一定，路程和时间D．总价一定，单价和数量【点拨】根据反比例函数定义进行分析即可．【解析】解：A、正方形的面积＝（边长）2，两个量不成反比例函数，故此选项不合题意；B、圆的周长C＝2πr，周长一定，圆周率一定，

不成反比例函数，故此选项不合题意；C、路程＝速度×时间，速度一定，路程和时间成正比例关系，故此选项不合题意；D、总价＝单价×数量，总价一定，单价和数量成反比例关系，故此选项符合题意；故选：D．【点睛】此题主要考查了反比例函数定义，关键是掌握形如y＝（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数．3．（2

019秋•汶上县期末）下列函数中，y是x的反比例函数的是（）A．y＝2xB．y＝﹣x﹣1C．y＝D．y＝﹣x【点拨】根据反比例函数的定义和一次函数的定义对各选项分析判断即可得解．【解析】解：A、y＝2x是正比例函数，故本选项不符合题意．B、y是x的反比例函数，故本选项符合题意；C、y不是x的反

比例函数，故本选项不符合题意；D、y＝﹣x是正比例函数，故本选项不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了反比例函数的定义，熟记一般式y＝（k≠0）是解题的关键．34．（2019秋•龙岗区期末）函数y＝中，自变量x的取值范围是（）A．x＞0B．x＜0C．x≠0的一切实数D．x取任

意实数【点拨】根据分式有意义可得中x≠0．【解析】解：函数y＝中，自变量x的取值范围是x≠0，故选：C．【点睛】此题主要考查了反比例函数的定义，关键是掌握反比例函数的概念形如y＝（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数．其中x是自变量，y是函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实

数．知识点二反比例函数的图象反比例函数()0ky=xk的图象是由两个分支组成的曲线。当k>0时，图象在一、三象限；当k<0时，图象在二、四象限。【典例2】（2020春•偃师市期中）一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝的图象如图所示，则（）A．a＞0，b＞0，c＞0B．a＜0，b＜0，c＜0C．

a＜0，b＞0，c＞0D．a＜0，b＜0，c＞0【点拨】根据比例函数y＝的图象，判断c＞0，根据一次函数y＝ax+b的图象a＞0，令x＝0，则y＝b＞0，故可得出答案．【解析】解：根据反比例函数y＝的图象在一三象限，判断c＞0，根据一次函数

y＝ax+b的图象判断a＞0，b＞0，故a＞0，b＞0，c＞0．故选：A．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的图象问题，属于基础题，关键掌握一次函数y＝ax+b中的4a与反比例函数y＝中的c的几何意义，根据数形结合解题．【变式训练】

1．（2018秋•临海市期末）反比例函数y＝的图象位于（）A．第一、二象限B．第一、三象限C．第二、三象限D．第二、四象限【点拨】先根据反比例函数的比例系数k的值为3得到k＞0，再根据反比例函数的性质进行解答即可．【解析】解：∵反比例函数y＝中，k＝3＞

0，∴反比例函数y＝的图象在一、三象限．故选：B．【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，即反比例函数y＝（k≠0）的图象是双曲线；当k＞0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限．2．（2020•新田县一模）函数y＝

kx+k与y＝（k≠0）在同一坐标系内的图象可能是（）A．B．C．D．【点拨】分两种情况讨论，当k＞0时，分析出一次函数和反比例函数所过象限；再分析出k＜0时，一次函数和反比例函数所过象限，符合题意者即为正确答案．【解析】解：①当k＞0时，y＝kx+k过一、二、三象限；y＝过一、

三象限；②当k＜0时，y＝kx+k过二、三、四象象限；y＝过二、四象限．观察图形可知只有A符合①．故选：A．【点睛】本题考查了反比例函数的图象和一次函数的图象，熟悉两函数的性质是解题的关键．3．（2020•复兴区二模）若ab＞0，则正比例函数y＝﹣ax与反比例函数y＝

在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（）5A．B．C．D．【点拨】根据ab＞0及正比例函数与反比例函数图象的特点，可以从a＞0，b＞0和a＜0，b＜0两方面分类讨论得出答案．【解析】解：∵ab＞0，∴分两种情况：（1）当a＞0，b＞0时，正

比例函数y＝﹣ax数的图象过原点、第二、四象限，反比例函数y＝图象在第一、三象限，故B选项正确；（2）当a＜0，b＜0时，正比例函数y＝﹣ax的图象过原点、第一、三象限，反比例函数y＝图象在第二、四象限，无选项符合．故选：B．【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象性质和正比例函数的图象性质，要掌握

它们的性质才能灵活解题．4．（2020•江岸区校级模拟）函数y＝的图象可能是（）A．B．C．D．【点拨】函数y＝的图象可以由反比例函数的图象向左平移2个单位得到，根据反比例函数y＝的图象即可判断．【解析】解：函数y＝的图象可以由反比例函数的图

象向左平移2个单位得到，而反比例函数y＝的图象在一三象限，故选：C．【点睛】本题考查了反比例函数的图象，函数图象平移的规律，明确反比例函数y＝的图象是解题的关键．知识点三反比例函数的性质6反比例函数的性质①当k＞0时，图象的两个分支分别在第一、三象限内，在各

自的象限内，y随x的增大而减小．②当k＜0时，图象的两个分支分别在第二、四象限内，在各自的象限内，y随x的增大而增大．③反比例函数图象关于直线y＝±x对称，关于原点对称．【典例3】（2018•杭州）设一次函数y＝kx+b（k，b是常数，k

≠0）的图象过A（1，3），B（﹣1，﹣1）两点．（1）求该一次函数的表达式；（2）若点（2a+2，a2）在该一次函数图象上，求a的值．（3）已知点C（x1，y1）和点D（x2，y2）在该一次函数图象上，设m＝（x1﹣x2）（y1﹣y2

），判断反比例函数y＝的图象所在的象限，说明理由．【点拨】（1）根据一次函数y＝kx+b（k，b是常数，k≠0）的图象过A（1，3），B（﹣1，﹣1）两点，可以求得该函数的表达式；（2）根据（1）中的解析式可以求得a的值；（3）根据题意

可以判断m的正负，从而可以解答本题．【解析】解：（1）∵一次函数y＝kx+b（k，b是常数，k≠0）的图象过A（1，3），B（﹣1，﹣1）两点，∴，得，即该一次函数的表达式是y＝2x+1；（2）点（2a+2，a2）在该一次函数y＝2x+1的图象上，∴a

2＝2（2a+2）+1，解得，a＝﹣1或a＝5，即a的值是﹣1或5；（3）反比例函数y＝的图象在第一、三象限，理由：∵点C（x1，y1）和点D（x2，y2）在该一次函数y＝2x+1的图象上，m＝（x1

﹣x2）（y1﹣y2），∴m＝（x1﹣x2）（2x1+1﹣2x2﹣1）＝2（x1﹣x2）2，∴m+1＝2（x1﹣x2）2+1＞0，∴反比例函数y＝的图象在第一、三象限．【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质、待定系数法求一次函数解析式，解答本题的关键是明确题意，找出所求问

题需要的条件，利用函数的思想解答．7【变式训练】1．（2019•新抚区三模）对于反比例函数y＝，当x＞1时，y的取值范围是（）A．y＞3或y＜0B．y＜3C．y＞3D．0＜y＜3【点拨】先求出x＝1时y的值，再根据反比例函数的性质即

可得出结论．【解析】解：当x＝1时，y＝3，∵反比例函数y＝中，k＝3＞0，∴在第一象限内y随x的增大而减小，∴0＜y＜3．故选：D．【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数y＝（k≠0）中，当k＞02．（2019•下城区二模）在平

面直角坐标系中，反比例函数y＝（k是常数，且k≠0）的图象经过点A（b﹣1，2）．（1）若b＝4，求y关于x的函数表达式；（2）点B（﹣2，a）也在反比例函数y的图象上：①当﹣2＜a≤3且a≠0时，求b的取值范围；②若B在第二象限，求证：2a﹣b＞﹣1．【点拨】（1）根据

待定系数法求得即可；（2）①根据题意2（b﹣1）＝﹣2a，得出a＝1﹣b，从而得出﹣2＜1﹣b≤3，解不等式即可求得；②由2（b﹣1）＝﹣2a得出﹣b＝a﹣1，因为a＞0，所以a﹣1＞﹣1，即可求得﹣b＞﹣1，进一步证得2a﹣b＞﹣1．【解析】解：（1）∵b＝4，∴A（3，2），∵反比例

函数y＝（k是常数，且k≠0）的图象经过点A．∴k＝3×2＝6，∴y＝；（2）①∵反比例函数y＝（k是常数，且k≠0）的图象经过点A（b﹣1，2），点B（﹣2，a）也在反比例函数y的图象上，8∴2（b

﹣1）＝﹣2a，∴a＝1﹣b，∵﹣2＜a≤3且a≠0，∴﹣2＜1﹣b≤3，解得﹣2≤b＜3且b≠1．②∵a＝1﹣b，∴b＝1﹣a，∵若B在第二象限，a＞0，∴a﹣1＞﹣1，∴﹣b＝a﹣1＞﹣1∴2a﹣b＞﹣1．【点睛】本题考查了反比

例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，反比例图象上点的坐标符合解析式．3．（2019秋•吴兴区期中）对于一个函数给出如下定义：对于函数y，当a≤x≤b，函数值y满足c≤y≤d，且满足k（b﹣a）＝d﹣c，则称此函数

为“k属函数”．例如：正比例函数y＝﹣3x，当1≤x≤3，﹣9≤y≤﹣3，则k（3﹣1）＝﹣3﹣（﹣9），求得：k＝3，所以函数y＝﹣3x为“3属函数”．（1）反比例函数y＝（1≤x≤5）为“k属函数”，求k的值；（2）若一次函数y＝ax﹣1（1≤x≤5）为“2属函数”，求a的值

．【点拨】（1）直接利用“k属和合函数”的定义即可得出结论；（2）分两种情况：利用“k属和合函数”的定义即可得出结论．【解析】解：（1）∵反比例函数y＝中，k＝5＞0，∴y随x的增大而减小，当1≤x≤5时，1≤y≤5

，∴k（5﹣1）＝5﹣1，∴k＝1；（2）①a＞0时，对于一次函数y＝ax﹣1，y随x增大而增大，当1≤x≤5时，a﹣1≤y≤5a﹣1，9∴k（5﹣1）＝4a，∵k＝2，∴a＝2；②当a＜0时，y随x增大而减小，当1≤x≤5时，5a﹣1≤y≤a﹣1，∴k（5﹣1）＝﹣4a，∵k＝2，∴a＝﹣2

．【点睛】此题主要考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．知识点四k的几何意义反比例函数y＝（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数y＝（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为

|k|．【典例4】（2019秋•丰南区期末）如图，已知双曲线经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为（﹣8，6），则△AOC的面积为（）A．20B．18C．16D．12【点拨】先由点A的坐标（﹣8，6）

，O点坐标（0，0），得到斜边OA的中点D的坐标为（﹣4，3），再把D（﹣4，3）代入y＝可确定反比例函数的解析式为y＝﹣，然后确定C点坐标为（﹣8，），则AC＝6﹣＝，然后根据三角形面积公式计算即可．【解析】解：∵点A的坐标为（﹣8，6），O点坐标为（0，0）

，∴斜边OA的中点D的坐标为（﹣4，3），把D（﹣4，3）代入y＝得k＝﹣4×3＝﹣12，∴反比例函数的解析式为y＝﹣，10∵AB⊥x轴，∴C点和横坐标为点A相同，都为﹣8，把x＝﹣8代入y＝﹣得y＝，∴C点坐标为（﹣8，），∴

AC＝6﹣＝，∴△AOC的面积＝AC•OB＝××8＝18．故选：B．【点睛】本题考查了反比例函数y＝（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数y＝（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．也考查了反比例函数

的性质．【变式训练】1．（2018秋•椒江区期末）如图，A、B两点在双曲线y＝上，分别经过A、B两点向坐标轴作垂线段，已知S阴影＝1.7，则S1+S2等于（）A．4B．4.2C．4.6D．5【点拨】根据反比例函数系数k的

几何意义可得S四边形AEOF＝4，S四边形BDOC＝4，根据S1+S2＝S四边形AEOF+S四边形BDOC﹣2×S阴影，可求S1+S2的值．【解析】解：如图，∵A、B两点在双曲线y＝上，11∴S四边形AEOF＝4，S四边形BDOC＝4，∴S1+S2＝S四边形AEOF+S四边形BDOC﹣2

×S阴影，∴S1+S2＝8﹣3.4＝4.6故选：C．【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，熟练掌握在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．2．（202

0•温州模拟）如图，点A在双曲线y＝的第一象限的那一支上，AB垂直于y轴与点B，点C在x轴正半轴上，且OC＝2AB，点E在线段AC上，且AE＝3EC，点D为OB的中点，若△ADE的面积为3，则k的值为．【点拨】由AE＝3EC，△ADE的面积为3，得到△CDE的面积为1，则△ADC的面积为4，设A

点坐标为（a，b），则k＝ab，AB＝a，OC＝2AB＝2a，BD＝OD＝b，利用S梯形OBAC＝S△ABD+S△ADC+S△ODC得（a+2a）×b＝a×b+4+×2a×b，整理可得ab＝，即可得到k的值．【解析】解：连DC，如图，∵AE＝3EC

，△ADE的面积为3，∴△CDE的面积为1，∴△ADC的面积为4，设A点坐标为（a，b），则AB＝a，OC＝2AB＝2a，12而点D为OB的中点，∴BD＝OD＝b，∵S梯形OBAC＝S△ABD+S△ADC+S△ODC，∴（

a+2a）×b＝a×b+4+×2a×b，∴ab＝，把A（a，b）代入双曲线y＝，∴k＝ab＝．故答案为：．【点睛】本题考查了反比例函数综合题：点在反比例函数图象上，则点的横纵坐标满足其解析式；利用三角形的面积公式和梯形的面

积公式建立等量关系．巩固训练1．（2019春•嘉兴期末）下列y关于x的函数中，属于反比例函数的是（）A．y＝﹣3xB．y＝C．y＝D．y＝【点拨】反比例函数的一般形式是（k≠0）．【解析】解：A、该函数属于正比例

函数，故本选项错误．B、该函数属于正比例函数，故本选项错误．C、该函数是y关于x+1的函数，故本选项错误．D、该函数属于反比例函数，故本选项正确．故选：D．【点睛】本题考查了反比例函数的定义，注意区分：正比例函数的一般形式是y＝kx（k≠0），反比例函数的一般形式是（k≠0）．2

．（2019春•乐清市期末）反比例函数y＝的图象如图所示，则k的值可能是（）13A．﹣3B．1C．2D．4【点拨】由于点A（1，2），不在反比例函数的图象上，而在反比例函数图象的内侧，因此k＞1×2，通过筛选得出答案．【解析】解：由图象可知：k＞1×2，故选：D．【点睛】考查对反比例

函数图象上点的坐标特点的理解，也是灵活应用，点A（1，2）在第一象限反比例函数图象的内侧，说明k＞1×2，通过比较得出答案，3．（2019春•长兴县期末）关于反比例函数，下列说法中错误的是（）A．它的图象分布在一、三象限B．它的图象过点

（﹣1，﹣3）C．当x＞0时，y的值随x的增大而增大D．当x＜0时，y的值随x的增大而减小【点拨】根据k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限对A进行判断；根据反比例函数图象上点的坐标特征对B进行判断；根据反比例函数的增减性

质对C、D进行判断．【解析】解：A、k＝3＞0，反比例函数的图象分布在第一、第三象限，所以A选项的说法正确；B、由于﹣1×（﹣3）＝3，所以B选项的说法正确；C、当x＞0时，y的值随x的增大而减小，所以C选项的说法错误；

D、当x＜0时，y的值随x的增大而减小，所以D选项的说法正确．故选：C．【点睛】本题考查了反比例函数的性质：y＝（k≠0）的图象是双曲线；当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增

大．4．（2018•上城区二模）y关于x的函数y＝（n＞0，m＜0）的图象可能是（）14A．B．C．D．【点拨】根据反比例函数的性质，可得图象位于一，三象限，根据函数图象的平移规律，可得答案．【解析】解：由n＞0，得y＝位于一三象限，m＜0，得y＝的图象向右平移|m|，即，故选：A．【点睛】本题考

查了反比例函数图象，利用函数图象的平移规律：左加右减是解题关键，又利用了反比例函数的性质．5．（2018•南湖区一模）当﹣2≤x≤﹣1时，反比例函数y＝的最大值y＝4，则k＝﹣4．【点拨】根据自变量的取值范围、函数的最大值，可得图象位于第

二象限，根据第二象限内反比例函数y随x的增大而增大，可得最大值时的自变量，根据待定系数法，可得反比例函数解析式．【解析】解：由当﹣2≤x≤﹣1时有最大值y＝4，得图象位于第二象限，x＝﹣1时，y＝4．k＝﹣1×4＝﹣4．故答案是：

﹣4．【点睛】本题考查了反比例函数的性质，利用当﹣2≤x≤﹣1时有最大值y＝4得出函数图象位于第二象限是解题关键．6．（2018春•滨江区期末）对于反比例函数y＝，当x＞2时，y的取值范围是0＜y＜3．【点拨】先求出x＝2时y的值，再根

据反比例函数的性质即可得出结论．【解析】解：当x＝2时，y＝3，∵反比例函数y＝中，k＝6＞0，15∴在第一象限内y随x的增大而减小，∴0＜y＜3．故答案为：0＜y＜3．【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，熟

知反比例函数y＝（k≠0）中，当k＞0时，反比例函数图象的两个分支分别位于一三象限是解答此题的关键．7．（2018•昆都仑区二模）如图，A．B是双曲线y＝上的两点，过A点作AC⊥x轴，交OB于D点，垂足为C．若△ADO的面积为1，D为OB的中点，则k的值为．【点拨】过点B作BE⊥x轴于点E，

根据D为OB的中点可知CD是△OBE的中位线，即CD＝BE，设A（x，），则B（2x，），故CD＝，AD＝﹣，再由△ADO的面积为1求出y的值即可得出结论．【解析】解：过点B作BE⊥x轴于点E，∵D为OB的中点，∴CD是△OBE的中位线，即CD＝BE．设A（x，），则B（2x

，），CD＝，AD＝﹣，∵△ADO的面积为1，∴AD•OC＝1，（﹣）•x＝1，解得k＝，故答案是：．16【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|．本知识点

是中考的重要考点，同学们应高度关注．8．（2019春•永康市期末）如图，平行四边形OABC的顶点O在原点上，顶点A，C分别在反比例函数y＝﹣（k≠0，x＞0），y＝﹣（x＜0）的图象上，对角线AC⊥y轴于D

，已知点D的坐标为D（0，5）（1）求点C的坐标；（2）若平行四边形OABC的面积是55，求k的值．【点拨】（1）由AC⊥y轴交反比例函数的图象与点A、C，与y轴交于D（0，5），因此点C、A的纵坐标都是5，代入可求出C的坐标，（2）根据平行四边形被对角线分成的两个三角形全等，可得三角形AO

C的面积，进而求出AC的长，确定点A的坐标，最后求出k的值．【解析】解：（1）当y＝5时，代入y＝﹣得，x＝﹣2，∴C（﹣2，5），（2）∵四边形OABC是平行四边形，∴OC＝AB，OA＝BC，∵AC＝AC，∴△OAC≌△ABC（SSS

），∴S△OAC＝SOABC＝，即：AC•DO＝，∵DO＝5，∴AC＝11，又∵CD＝2，∴AD＝11﹣2＝9，17∴A（9，5）代入y＝﹣（k≠0，x＞0）得：k＝﹣45答：k的值为﹣45．【点睛】

考查反比例函数的图象和性质，平行四边形的性质，以及三角形全等知识，把点的坐标代入关系式是常用的方法．