【文档说明】【精准解析】第13章三年高考真题与高考等值卷(选修系列-坐标系与参数方程)(文数)-(文理通用)【高考】.docx,共(24)页,1.105 MB,由管理员店铺上传
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2020年领军高考数学一轮复习(文理通用)三年高考真题与高考等值卷(选修系列--坐标系与参数方程)(文科数学)1.坐标系(1)理解坐标系的作用.(2)了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.(3)能在极坐标系中用极坐标表示点的位置,理解在极坐标系和平面直角坐标系
中表示点的位置的区别,能进行极坐标和直角坐标的互化.(4)能在极坐标系中给出简单图形的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程,理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义.(5)了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法,并与空间直角坐标系中表
示点的位置的方法相比较,了解它们的区别.2.参数方程(1)了解参数方程,了解参数的意义.(2)能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.(3)了解平摆线、渐开线的生成过程,并能推导出它们的参数方程.(4
)了解其他摆线的生成过程,了解摆线在实际中的应用,了解摆线在表示行星运动轨道中的作用.1.【2019年新课标3文科22】如图,在极坐标系Ox中,A(2,0),B(,),C(,),D(2,π),弧,,所在圆的圆心分别是(1,0),(1,),(1,π),曲线M
1是弧,曲线M2是弧,曲线M3是弧.(1)分别写出M1,M2,M3的极坐标方程;(2)曲线M由M1,M2,M3构成,若点P在M上,且|OP|,求P的极坐标.【解答】解:(1)由题设得,弧,,所在圆的极坐标方程分别为ρ=2cosθ,ρ=
2sinθ,ρ=﹣2cosθ,则M1的极坐标方程为ρ=2cosθ,(0≤θ),M2的极坐标方程为ρ=2sinθ,(θ),M3的极坐标方程为ρ=﹣2cosθ,(θ≤π),(2)设P(ρ,θ),由题设及(1)值,若0≤θ,由2co
sθ得cosθ,得θ,若θ,由2sinθ得sinθ,得θ或,若θ≤π,由﹣2cosθ得cosθ,得θ,综上P的极坐标为(,)或(,)或(,)或(,).2.【2019年新课标2文科22】在极坐标系中,O为极点,点M(ρ0,θ
0)(ρ0>0)在曲线C:ρ=4sinθ上,直线l过点A(4,0)且与OM垂直,垂足为P.(1)当θ0时,求ρ0及l的极坐标方程;(2)当M在C上运动且P在线段OM上时,求P点轨迹的极坐标方程.【解答】解:(1)当θ0时,,在直线l上任取一点(ρ,θ),则有,故l的
极坐标方程为有;(2)设P(ρ,θ),则在Rt△OAP中,有ρ=4cosθ,∵P在线段OM上,∴θ∈[,],故P点轨迹的极坐标方程为ρ=4cosθ,θ∈[,].3.【2019年新课标1文科22】在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(t为参数).以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标
系,直线l的极坐标方程为2ρcosθρsinθ+11=0.(1)求C和l的直角坐标方程;(2)求C上的点到l距离的最小值.【解答】解:(1)由(t为参数),得,两式平方相加,得(x≠﹣1),∴C的直角坐标方程为(x≠﹣1),由2ρcosθρsinθ+
11=0,得.即直线l的直角坐标方程为得;(2)设与直线平行的直线方程为,联立,得16x2+4mx+m2﹣12=0.由△=16m2﹣64(m2﹣12)=0,得m=±4.∴当m=4时,直线与曲线C的切点到直线的距离最小,为.4.【201
8年新课标2文科22】在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为,(θ为参数),直线l的参数方程为,(t为参数).(1)求C和l的直角坐标方程;(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2),求l的斜率.【解答】解:(1)曲线C的参数方程为(θ为参数),转换为直角坐标方程为:.直线l的参数方程
为(t为参数).转换为直角坐标方程为:xsinα﹣ycosα+2cosα﹣sinα=0.(2)把直线的参数方程(t为参数),代入椭圆的方程得到:1整理得:(4cos2α+sin2α)t2+(8cosα+4
sinα)t﹣8=0,则:,(由于t1和t2为A、B对应的参数)由于(1,2)为中点坐标,所以利用中点坐标公式,则:8cosα+4sinα=0,解得:tanα=﹣2,即:直线l的斜率为﹣2.5.【2018年新课标1文科22】在直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为y=k|x|+2
.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣3=0.(1)求C2的直角坐标方程;(2)若C1与C2有且仅有三个公共点,求C1的方程.【解答】解:(1)曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣3=0.转换为直角坐标方程为:x2+y
2+2x﹣3=0,转换为标准式为:(x+1)2+y2=4.(2)由于曲线C1的方程为y=k|x|+2,则:该射线关于y轴对称,且恒过定点(0,2).由于该射线与曲线C2的极坐标有且仅有三个公共点.所以:必有一直线相切,一直线相交.则:圆心到直线y=kx+2的距离等于半径2.故:,
或解得:k或0,当k=0时,不符合条件,故舍去,同理解得:k或0经检验,直线与曲线C2没有公共点.故C1的方程为:.6.【2018年新课标3文科22】在平面直角坐标系xOy中,⊙O的参数方程为,(θ为参数),过点(0,)且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A
,B两点.(1)求α的取值范围;(2)求AB中点P的轨迹的参数方程.【解答】解:(1)∵⊙O的参数方程为(θ为参数),∴⊙O的普通方程为x2+y2=1,圆心为O(0,0),半径r=1,当α时,过点(0,)且倾斜角为α的直线l的方程为
x=0,成立;当α时,过点(0,)且倾斜角为α的直线l的方程为y=tanα•x,∵倾斜角为α的直线l与⊙O交于A,B两点,∴圆心O(0,0)到直线l的距离d1,∴tan2α>1,∴tanα>1或tanα<﹣1,∴或,综上α的取值范围是(,).(2)l的参数方程为,(t为参数,),设A,
B,P对应的参数分别为tA,tB,tP,则,且tA,tB满足,∴,∵P(x,y)满足,∴AB中点P的轨迹的参数方程为:,(α为参数,).7.【2017年新课标2文科22】在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极
轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为ρcosθ=4.(1)M为曲线C1上的动点,点P在线段OM上,且满足|OM|•|OP|=16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程;(2)设点A的极坐标为(2,),点B在曲线
C2上,求△OAB面积的最大值.【解答】解:(1)曲线C1的直角坐标方程为:x=4,设P(x,y),M(4,y0),则,∴y0,∵|OM||OP|=16,∴16,即(x2+y2)(1)=16,∴x4+2
x2y2+y4=16x2,即(x2+y2)2=16x2,两边开方得:x2+y2=4x,整理得:(x﹣2)2+y2=4(x≠0),∴点P的轨迹C2的直角坐标方程:(x﹣2)2+y2=4(x≠0).(2)点A的直角坐标为A(1,),显然点A
在曲线C2上,|OA|=2,∴曲线C2的圆心(2,0)到弦OA的距离d,∴△AOB的最大面积S|OA|•(2)=2.8.【2017年新课标1文科22】在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为,(θ为参数),直线l的参数方程为,(t为参数).(1)若
a=﹣1,求C与l的交点坐标;(2)若C上的点到l距离的最大值为,求a.【解答】解:(1)曲线C的参数方程为(θ为参数),化为标准方程是:y2=1;a=﹣1时,直线l的参数方程化为一般方程是:x+4y﹣3=0;联立方程,解得
或,所以椭圆C和直线l的交点为(3,0)和(,).(2)l的参数方程(t为参数)化为一般方程是:x+4y﹣a﹣4=0,椭圆C上的任一点P可以表示成P(3cosθ,sinθ),θ∈[0,2π),所以点P到直线l的
距离d为:d,φ满足tanφ,且的d的最大值为.①当﹣a﹣4≤0时,即a≥﹣4时,|5sin(θ+φ)﹣a﹣4|≤|﹣5﹣a﹣4|=|5+a+4|=17解得a=8和﹣26,a=8符合题意.②当﹣a﹣4>0时,即a<﹣4时|5sin(θ+φ)﹣a﹣4|≤|5﹣a﹣4|=
|5﹣a﹣4|=17,解得a=﹣16和18,a=﹣16符合题意.9.【2017年新课标3文科22】在直角坐标系xOy中,直线l1的参数方程为,(t为参数),直线l2的参数方程为,(m为参数).设l1与l2的交点为P,当k变化时,P的轨迹为曲线C.(1)写出C的普通方程;(2)以坐标
原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设l3:ρ(cosθ+sinθ)0,M为l3与C的交点,求M的极径.【解答】解:(1)∵直线l1的参数方程为,(t为参数),∴消掉参数t得:直线l1的普通方程为:y=k(x﹣2)①;又直线l2的参
数方程为,(m为参数),同理可得,直线l2的普通方程为:x=﹣2+ky②;联立①②,消去k得:x2﹣y2=4,即C的普通方程为x2﹣y2=4(y≠0);(2)∵l3的极坐标方程为ρ(cosθ+sinθ)0,∴其普通方程为:x+y0,联
立得:,∴ρ2=x2+y25.∴l3与C的交点M的极径为ρ.方程的互化和几何意义的应用是考查的重点,解题时常用到参数方程与普通方程的互化,极坐标方程与直角坐标方程的互化,利用几何意义将原问题转化三角函数的问题,考查学生的数学逻辑推理能力、数学运算能力,题型以选择填空题和解答题为主,
中等难度.1.在直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为32cos12sinxy=+=+(为参数),以直角坐标系的原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求圆C的极坐标方程;(2)设曲
线1l的极坐标方程为(0)6=,曲线2l的极坐标方程为(0)3=,求三条曲线C,1l,2l所围成图形的面积.【答案】(1)4sin()3=+;(2)233+.【解析】(1)由条件得圆C的直角坐标方程为()()22314xy−+−=,得222320xyxy+−−=,将cosx
=,siny=代入,得223cos2sin0−−=,即23cos2sin=+,则4sin3=+,所以圆C的极坐标方程为4sin3=+.(2)由条件知曲线1l和2l是过原点O的两条射线,设
1l和2l分别与圆C交于异于点O的点A和B,将6=代入圆C的极坐标方程,得4,6A,所以4OA=;将3=代入圆C的极坐标方程,得23,3B,所以23OB=.由(1)得圆C的圆心为()3,1C,其极坐标为2,6C,故射线1l经过圆心C,所以
366COB=−=,23ACBCOB==.所以11sinsin3246COBSOCOBCOBOAOB===,扇形CAB的面积为2122233CABS==,故三条曲线C,1
l,2l所围成图形的面积为233COBCABSS+=+.2.在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为1cos3sinxtyt=+=+(t为参数).(Ⅰ)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求曲线C的极坐标方程;(Ⅱ)若射线=与C有两个不同的交点M
、N,求OMON+的取值范围.【答案】(Ⅰ)22(cos3sin)30−++=(Ⅱ)(23,4]【解析】解:(Ⅰ)曲线C的直角坐标方程为22(1)(3)1xy−+−=,即2222330xyxy+−−+=,又222xy+=,cosx=,siny=,所以曲线C
的极坐标方程为22(cos3sin)30−++=.(Ⅱ)联立射线=与曲线C,得22(cos3sin)30−++=,设1,()M,2,()N,12||||2(cos3sin)4sin6OMON+=+=+=+
,又圆心(1,3)C的极坐标为2,3,所以的取值范围是62,所以2363+,3sin126+,234sin46+,所以OMON+的取值范围为(23,4].3.选修4-4:坐标系与参数方程:在平面直角坐标系xoy中,
已知曲线C的参数方程为,xcosysin==(为参数),直线l的参数方程为242,131013xtyt=−+=(t为参数),点P的坐标为()2,0−.(1)若点Q在曲线C上运动,点M在线段PQ上运
动,且2PMMQ=,求动点M的轨迹方程.(2)设直线l与曲线C交于,AB两点,求PAPB的值.【答案】(1)222439xy=++(2)3【解析】(1)设()Qcos,sin,(),M
xy,则由2PMMQ=,得()()2,2cossin+=−−xyx,y,即323cos,32sin.xy+==消去,得222439xy=++,此即为点M的轨迹方程.(2)曲线C的普通方程为221xy+=,直线l的普通方程()5212y=x+,设为直
线l的倾斜角,则5tan12=,512sin,cos1313==,则直线l的参数方程可设为122,13513xtyt=−+=(t为参数),代入曲线C的普通方程,得2483013tt+=
−,由于24827612013169=−−=,故可设点,AB对应的参数为1t,2t,则21213PAPBtttt===.4.在直角坐标系xoy中,曲线1C的参数方程为31011010310xtyt=−=+(t为参数),以坐标原点为极点,x轴正
半轴为极轴建立极坐标系,曲线2C的极坐标方程为8sin6cos=+.(1)求2C的直角坐标方程;(2)已知()1,3P,1C与2C的交点为,AB,求PAPB的值.【答案】(1)()()223425xy−+−=;(2)20【解析】(1)由8sin6cos
=+,得28sin6cos=+,∴22680xyxy+−−=,即()()223425xy−+−=.(2)设11310101,31010Att−+,22310101,31010Btt−+把310110103
10xtyt=−=+代入()()223425xy−+−=,得210200tt+−=,则12,tt是该方程的两个实数根,∴1220tt=−,故1220PAPBtt==.5.在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为1cossinxtyt=
+=(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为2sin=,直线l与x轴交于点P,与曲线C交于两点M,N.(1)求曲线C的直角坐标方程;(2)求2211PMPN+的取值范围.【答
案】(1)2220xyy+−=(2)(2,6]【解析】解:(1)由ρ=2sinθ,得ρ2=2ρsinθ,把ρ2=x2+y2,y=ρsinθ代入,可得x2+y2﹣2y=0.∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣2y=0;(2)将直线l的参数方程1xtcosytsin
=+=代入圆的方程,得t2+(2cosα﹣2sinα)t+1=0.由△=(2cosα﹣2sinα)2﹣4>0,得sin2α<0,且t1+t2=﹣2cosα+2sinα,t1t2=1.∴2221212122222221212()211242||||ttt
tttsinPMPNtttt++−+===−.sin2α<0∴242sin−(2,6]即2211||||PMPN+的取值范围是(2,6].6.在直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为1cossinxy=+=(为参数)
,以O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为3sincos13+=.(1)求C的极坐标方程和直线l的直角坐标方程;(2)射线11,63=−与圆C的交点
为O,M,与直线l的交点为N,求OMON的取值范围.【答案】(1)圆C的极坐标方程为2cos=.直线l的直角坐标方程为3103xy+−=.(2)[1,3]【解析】(1)圆C的普通方程是22(1)1xy−+=,将cosx=,siny=代入上式:222(cos1
)sin1−+=,化简得:2cos=,所以圆C的极坐标方程为2cos=.直线l的极坐标方程为3sincos13+=,将cosx=,siny=代人上式,得:3103xy+−=,∴直线l的直角坐标方程为3103xy+−=.(2)设()11,M
,因为点M在圆:2cosC=上,则有112cos=,设()21,N,因为点N在直线3:sincos13l+=,则有21113sincos3=+,所以12||||OMON=1112cos3sincos3=+123ta
n13=+,∵1,63−,∴13tan33−剟,∴123tan1233+剟,∴12133tan13+剟,即1||||3OMON剟,故||||OMON的范围为[1,3].7.选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴
,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为2sin2cos(0)aa=+;直线l的参数方程为22222xyt=−+=,(t为参数).直线l与曲线C分别交于M、N两点.(1)写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程;(2)若点P的
直角坐标为()2,0−,52PMPN+=,求a的值.【答案】(1)曲线C的直角坐标方程为222()(1)1xaya−+−=+,直线l的普通方程为20xy−+=.(2)2a=【解析】(1)由2sin2cos(
0)aa=+,得22sin2cos(0)aa=+,所以曲线C的直角坐标方程为2222xyyax+=+,即222()(1)1xaya−+−=+,由直线l的参数方程得直线l的普通方程为20xy−+=.(2)将直线l的参数方程22,22,2xtyt=−+=
代入2222xyyax+=+,化简并整理,得2(322)440tata−+++=.因为直线l与曲线C分别交于M、N两点,所以2(322)4(44)0aa=+−+,解得1a,由一元二次方程根与系数的关系,得12322tta
+=+,1244tta=+,又因为0a,所以120tt.因为点P的直角坐标为()2,0−,且在直线l上,所以12||||32252PMPNtta+=+=+=,解得2a=,此时满足0a,故2a=.8.曲线1C的参数方程为1cos2
1122xysin==+(为参数),以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线2C的极坐标方程为2cos3sin=.(1)求曲线1C的极坐标方程和曲线2C的直角坐标方程;(2)若直线:lykx=与曲线1C,2C的交点分别为
A、B(A、B异于原点),当斜率3[,3]3k时,求1OAOB+的最小值.【答案】(1)1C的极坐标方程为sin=;曲线2C的直角坐标方程23xy=.(2)223【解析】(1)由题曲线的参数方程为1cos21122xysin
==+(为参数),消去参数,可得曲线1C的直角坐标方程为2211()24xy+−=,即220xyy+−=,则曲线1C的极坐标方程为2sin0−=,即sin=,又因为曲线2C的极坐标方程为2cos
3sin=,即22cos3sin=,根据cossinxy==,代入即可求解曲线2C的直角坐标方程23xy=.(2)解法1:设直线l的倾斜角为,则直线l的参数方程为cosxtytsin==
(为参数,63),把直线l的参数方程代入曲线1C的普通坐标方程得:2sin0tt−=,解得10t=,2sint=,2sinOAt==,把直线l的参数方程代入曲线2C的普通坐标方程得
:22cos3sintt=,解得10t=,223sincost=,223sincosOBt==,21cossin3sinOAOB+=+11(2sin)3sin=+,3[,3]3k,即3tan[,3]3,63
,13sin22,112sin22sin22sinsin+=,当且仅当12sinsin=,即2sin2=时去等号,故1OAOB+的最小值为223.解法2:设直线l的极坐标方程为=63),代入
曲线1C的极坐标方程,得sin=,sinOA==,把直线l的参数方程代入曲线2C的极坐标方程得:2cos3sin=,23sincos=,即23sincosOB==,21cossi
n3sinOAOB+=+11(2sin)3sin=+,曲线1C的参3[,3]3k,即3tan[,3]3,63,13sin22,112sin22sin22sinsin+=,当且仅当12sinsin=,即2sin2=时去等号,故1OAOB+的
最小值为223.9.在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程是24cos4sinxy=+=(为参数),把曲线C向左平移2个单位,再把图象上的每一点纵坐标缩短为原来的一半(横坐标不变),得到曲线1C,直线l的普通方程是320xy+−=,以坐标
原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.(1)求直线l的极坐标方程和曲线1C的普通方程;(2)记射线06()=与1C交于点A,与l交于点B,求AB的值.【答案】(1)πρsinθ13+=,22416xy+=;(2)8717−.【解析
】(1)曲线C的普通方程为:22(2)16xy−+=,经过变换后得到1C的方程为:22(2)16xy+=,即1C的普通方程为:22416xy+=.直线l的极坐标方程为:3ρcosθρsinθ20+−=,即:πρsin(θ)
13+=.(2)由(1)可求1C的极坐标方程为:()()22ρcosθ4ρsinθ16+=,令πθ6=解得:264ρ7=,即:87ρ7=,∴87(0)7A=,同理直线l的极坐标方程中令πθ6=有:1B=,故8717ABAB=−=−8717=−.10.在平面
直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为2222cos3sin12+=,点P的极坐标为(2,),倾斜角为的直线l经过点P.(1)写出曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程;(2)设直线l与曲线C交于
,AB两点,求11PAPB+的取值范围.【答案】(1)221124xy+=,2cossinxtyt=−+=;(2)36,22.【解析】(1)由2222cos3sin12+=可得,22312+=xy,即221124xy+=.设点(,)
Pxy,则2cos2x==−,2sin0y==,即点(2,0)P−,∴直线l的参数方程为2cossinxtyt=−+=(t为参数)(2)将直线l的参数方程代入22312+=xy得,()2212sin4cos80tt+−−=,24848
sin0=+恒成立,设点A对应的参数为1t,点B对应的参数为2t,则1224cos12sintt+=+,1228012sintt−=+,则12121212121111||||ttttPAPBtttttt+−+=+==()22121212433sin36,22
2tttttt+−+==.11.选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为22cos2sinxy=+=(为参数),以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为cos13
−=.(1)求圆C的极坐标方程;(2)已知射线:,0,2m=,若m与圆C交于点A(异于点O),m与直线l交于点B,求||||OAOB的最大值.【答案】(1)4cos=;(2)
3【解析】(1)由圆C的参数方程为22cos2sinxy=+=消去参数,得到圆的普通方程为22(2)4xy−+=,即2240xyx+−=,所以其极坐标方程为24cos0−=,即4cos=;(2)由题意,将=代入圆C的极坐标方程得4cosAOA
==;将=代入线l的极坐标方程,得1cos3BOB==−,所以||134coscos4coscossin||322OAOB=−=+22cos23sincos3sin2cos212sin(2)16=+=++=++,因为0
,2,所以72,666+,因此,当262+=,即6=时,||||OAOB取得最大值3.12.选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中,曲线C的方程为22(23)(1)16xy−
++=,直线l的参数方程为3xtyt==(t为参数),以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴,建立极坐标系.(1)求直线l和曲线C的极坐标方程;(2)设直线l与曲线C交于A,B两点,求AB的值.【答案】(1)
l:()6R=,C:243cos2sin30−+−=;(2)37【解析】(1)由3xy=得33yx=,所以l的极坐标方程为()6R=,由22(23)(1)16xy−++=得2243230xyxy+−+−=,又
因为222xy+=,cosx=,siny=,所以曲线C的极坐标方程为243cos2sin30−+−=.(2)将6=代入243cos2sin30−+−=,可得2630−+−=,即2530−−=,所以125+=,123=−,由极坐标几何意义得(
)2121212||4AB=−=+−251237=+=.13.在直角坐标系xOy中,曲线C的方程为22(2)4xy−+=,过点(2,0)−且斜率为(0)kk的直线l与曲线C相切于点A.(1)以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,求曲线C的极坐标方程和点
A的极坐标;(2)若点B在曲线C上,求OAB面积的最大值.【答案】(1)4cos=;点A的极坐标为(2,)3或5(2,)3.(2)32+【解析】解(1)由22(2)4xy−+=得2240xyx+−=故曲线C的极坐标方程为24cos0−=,即4cos=,
如图:当PA与圆相切时,CAPA⊥,∴122OAPC==,∴AOC为等边三角形,∴2OA=,3AOC=,∴点A的极坐标为(2,)3或5(2,)3.(2)由于圆、点P、点B均关于x轴对称,故不论点A在何处,都不会影响OAB面积最大值的取得.不妨取(2,)3A,设(,)()22B
−,则4cos=,∴1|sin|2AOBSOAOBAOB=4cos|sin()|3=−+|33cos2sin2||32cos(2)|6=+−=++,∵22−,∴2−,∴572666−+,∴cos(2)[1,1]6+−,
∴206+=,即12=−时,面积取得最大值32+.14.在直角坐标系xOy中,曲线1C的参数方程为cos1sinxtyt==+(t为参数).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,圆24:Ccos=的圆心为2C.(1)说明1C是哪一种曲线,并将1C的方
程化为极坐标方程;(2)过原点且与直线2cos3sinxtyt=+=+(t为参数,0)平行的直线3C与2C的交点为M,N,且2CMN△的面积为2,求的值.【答案】(1)1C是以()0,1为圆心,1为半径的圆;极坐标方程为2sin=;(2)4=或34【
解析】(1)消去参数t得到1C的普通方程为:()2211xy+−=1C是以()0,1为圆心,1为半径的圆将cosx=,siny=代入1C的普通方程中得到1C的极坐标方程为:2sin=(2)直线3C的极坐标方
程为=,与2C的交点分别为()4cos,M,()0,N214cos2sin22CMNS==,得()sin210=得:4=或3415.在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为1xtcosytsin==+(t为参数,)[0,).
以坐标原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为223cos=+.(l)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程:(2)若直线l与曲线C相交于A,B两点,且22AB=.求直线l的方程.【答案】(1)见解析(2)10x
y−+=【解析】(1)由1xtcosytsin==+消去参数t得0xsinycoscos−+=()[0,),由223cos=+得曲线C的直角坐标方程为:22230xyx+−−=(2)由22230xyx+−−=得()2214xy-+
=,圆心为(1,0),半径为2,圆心到直线的距离为22sincossincossincosd+=++=,∴22422ABd=−=,即224(sincos)=−+,整理得21sin=,∵)[0,,∴)2[02,,,4=,所以直线l的方程为:10xy
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