【文档说明】【精准解析】第13章三年高考真题与高考等值卷（选修系列-坐标系与参数方程）（理数）-（文理通用）【高考】.docx，共(29)页，1.197 MB，由小赞的店铺上传

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2020年领军高考数学一轮复习(文理通用)三年高考真题与高考等值卷(选修系列--坐标系与参数方程)(理科数学)1.坐标系(1)理解坐标系的作用.(2)了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.(3)能在极坐标系中用极坐标表示点的位置,理解在极坐标系和平面直角

坐标系中表示点的位置的区别,能进行极坐标和直角坐标的互化.(4)能在极坐标系中给出简单图形的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程,理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义.(5)了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法,并与空间直角

坐标系中表示点的位置的方法相比较,了解它们的区别.2.参数方程(1)了解参数方程,了解参数的意义.(2)能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.(3)了解平摆线、渐开线的生成过程,并能推导出它们的参数方程.(4)了解其他摆线的生成过程,了解摆线

在实际中的应用,了解摆线在表示行星运动轨道中的作用.1．【2019年北京理科03】已知直线l的参数方程为（t为参数），则点（1，0）到直线l的距离是（）A．B．C．D．【解答】解：由（t为参数），消去t，可得4x﹣3y+2＝0．则点

（1，0）到直线l的距离是d．故选：D．2．【2019年天津理科12】设a∈R，直线ax﹣y+2＝0和圆（θ为参数）相切，则a的值为．【解答】解：∵a∈R，直线ax﹣y+2＝0和圆（θ为参数）相切，∴圆心（2，1）到直线ax﹣y+2＝0的距离：d2＝r，解得a．故答案为：．3．【

2018年北京理科10】在极坐标系中，直线ρcosθ+ρsinθ＝a（a＞0）与圆ρ＝2cosθ相切，则a＝．【解答】解：圆ρ＝2cosθ，转化成：ρ2＝2ρcosθ，进一步转化成直角坐标方程为：（x﹣1）2+y2＝1，把直线ρ（cosθ+sinθ）＝a的方程转化成直角坐标方程为：x+y﹣a

＝0．由于直线和圆相切，所以：利用圆心到直线的距离等于半径．则：1，解得：a＝1±．a＞0则负值舍去．故：a＝1．故答案为：1．4．【2018年天津理科12】已知圆x2+y2﹣2x＝0的圆心为C，直线，（t为参数）与该圆相交于A，B两点，则△ABC的面积为．

【解答】解：圆x2+y2﹣2x＝0化为标准方程是（x﹣1）2+y2＝1，圆心为C（1，0），半径r＝1；直线化为普通方程是x+y﹣2＝0，则圆心C到该直线的距离为d，弦长|AB|＝222，∴△ABC的面积为S•|AB|•d．

故答案为：．5．【2017年北京理科11】在极坐标系中，点A在圆ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+4＝0上，点P的坐标为（1，0），则|AP|的最小值为．【解答】解：设圆ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+4＝0为圆C，将圆C的极坐标方程化为：x2+y2﹣2x﹣4y+4＝0，再化为标准方程：（x

﹣1）2+（y﹣2）2＝1；如图，当A在CP与⊙C的交点Q处时，|AP|最小为：|AP|min＝|CP|﹣rC＝2﹣1＝1，故答案为：1．6．【2017年天津理科11】在极坐标系中，直线4ρcos（θ）+1＝0与圆ρ＝2sinθ的公共点的个数为．【解答】解：直线4ρcos（θ）+1＝0展开为：

4ρ1＝0，化为：2x+2y+1＝0．圆ρ＝2sinθ即ρ2＝2ρsinθ，化为直角坐标方程：x2+y2＝2y，配方为：x2+（y﹣1）2＝1．∴圆心C（0，1）到直线的距离d1＝R．∴直线4ρcos（θ）+1＝0与圆ρ＝2sinθ的公共点的个数为2．故答案为：2．7．【2019

年新课标3理科22】如图，在极坐标系Ox中，A（2，0），B（，），C（，），D（2，π），弧，，所在圆的圆心分别是（1，0），（1，），（1，π），曲线M1是弧，曲线M2是弧，曲线M3是弧．（1）分别写出M1，M2，M3的极坐标方程；（2）曲线M由M1，M2，M

3构成，若点P在M上，且|OP|，求P的极坐标．【解答】解：（1）由题设得，弧，，所在圆的极坐标方程分别为ρ＝2cosθ，ρ＝2sinθ，ρ＝﹣2cosθ，则M1的极坐标方程为ρ＝2cosθ，（0≤θ），M2的极坐标方程为ρ＝2sinθ，（θ），M3的极坐标方程为ρ＝﹣2cosθ，（θ≤π

），（2）设P（ρ，θ），由题设及（1）值，若0≤θ，由2cosθ得cosθ，得θ，若θ，由2sinθ得sinθ，得θ或，若θ≤π，由﹣2cosθ得cosθ，得θ，综上P的极坐标为（，）或（，）或（，）或（，）．8．【2019年全

国新课标2理科22】在极坐标系中，O为极点，点M（ρ0，θ0）（ρ0＞0）在曲线C：ρ＝4sinθ上，直线l过点A（4，0）且与OM垂直，垂足为P．（1）当θ0时，求ρ0及l的极坐标方程；（2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标

方程．【解答】解：（1）当θ0时，，在直线l上任取一点（ρ，θ），则有，故l的极坐标方程为有；（2）设P（ρ，θ），则在Rt△OAP中，有ρ＝4cosθ，∵P在线段OM上，∴θ∈[，]，故P点轨迹的极坐标方程为ρ＝

4cosθ，θ∈[，]．9．【2019年新课标1理科22】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρcosθρsinθ+11＝0．（1）求C和

l的直角坐标方程；（2）求C上的点到l距离的最小值．【解答】解：（1）由（t为参数），得，两式平方相加，得（x≠﹣1），∴C的直角坐标方程为（x≠﹣1），由2ρcosθρsinθ+11＝0，得．即直线l的直角坐标方程为得；（2）设与直线平行的直线方程为

，联立，得16x2+4mx+m2﹣12＝0．由△＝16m2﹣64（m2﹣12）＝0，得m＝±4．∴当m＝4时，直线与曲线C的切点到直线的距离最小，为．10．【2019年江苏22】在极坐标系中，已知两点A（3，），B（，），直线1的方程为ρsin（θ）＝3．（1）求A，B两点间的

距离；（2）求点B到直线l的距离．【解答】解：（1）设极点为O，则在△OAB中，由余弦定理，得AB2＝OA2+OB2﹣2OA，∴AB；（2）由直线1的方程ρsin（θ）＝3，知直线l过（3，），倾斜角为，又B（，），∴点B到直线l的距离为．11．【2018年江苏23】在极坐标系中，直线l

的方程为ρsin（θ）＝2，曲线C的方程为ρ＝4cosθ，求直线l被曲线C截得的弦长．【解答】解：∵曲线C的方程为ρ＝4cosθ，∴ρ2＝4ρcosθ，⇒x2+y2＝4x，∴曲线C是圆心为C（2，0）

，半径为r＝2得圆．∵直线l的方程为ρsin（θ）＝2，∴2，∴直线l的普通方程为：xy＝4．圆心C到直线l的距离为d，∴直线l被曲线C截得的弦长为2．12．【2018年新课标1理科22】在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y＝k|x|+2．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴

建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣3＝0．（1）求C2的直角坐标方程；（2）若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程．【解答】解：（1）曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣3＝0．

转换为直角坐标方程为：x2+y2+2x﹣3＝0，转换为标准式为：（x+1）2+y2＝4．（2）由于曲线C1的方程为y＝k|x|+2，则：该射线关于y轴对称，且恒过定点（0，2）．由于该射线与曲线C2的极坐标有且仅有三个公共点．所以：必有一直线相切，一直线相交．则：圆心到直线y＝k

x+2的距离等于半径2．故：，或解得：k或0，当k＝0时，不符合条件，故舍去，同理解得：k或0经检验，直线与曲线C2没有公共点．故C1的方程为：．13．【2018年新课标2理科22】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（θ为参数），直线l的参数方程为，（t为参数）．（1

）求C和l的直角坐标方程；（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为（1，2），求l的斜率．【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（θ为参数），转换为直角坐标方程为：．直线l的参数方程为（t为参数）．转换为直角坐标方程为：xsinα

﹣ycosα+2cosα﹣sinα＝0．（2）把直线的参数方程（t为参数），代入椭圆的方程得到：1整理得：（4cos2α+sin2α）t2+（8cosα+4sinα）t﹣8＝0，则：，（由于t1和t2为A、B对应的参数）由于（1，2）为中点坐标，所以利用中点坐标公式，则：8

cosα+4sinα＝0，解得：tanα＝﹣2，即：直线l的斜率为﹣2．14．【2018年新课标3理科22】在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为，（θ为参数），过点（0，）且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．（

1）求α的取值范围；（2）求AB中点P的轨迹的参数方程．【解答】解：（1）∵⊙O的参数方程为（θ为参数），∴⊙O的普通方程为x2+y2＝1，圆心为O（0，0），半径r＝1，当α时，过点（0，）且倾斜角为α的直线l的方程为x＝0，成立；当α时，过点（0，）且倾斜角为α的直线

l的方程为y＝tanα•x，∵倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点，∴圆心O（0，0）到直线l的距离d1，∴tan2α＞1，∴tanα＞1或tanα＜﹣1，∴或，综上α的取值范围是（，）．（2）l的参数方程为，（t为参数，），设A，B，P对应的参数分别为tA，

tB，tP，则，且tA，tB满足，∴，∵P（x，y）满足，∴AB中点P的轨迹的参数方程为：，（α为参数，）．15．【2017年江苏23】在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（s为参数）．设P

为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值．【解答】解：直线l的直角坐标方程为x﹣2y+8＝0，∴P到直线l的距离d，∴当s时，d取得最小值．16．【2017年新课标1理科22】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（θ为参数），直线l的参数方程为，（t为参数）．（1）若a＝﹣1，求

C与l的交点坐标；（2）若C上的点到l距离的最大值为，求a．【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（θ为参数），化为标准方程是：y2＝1；a＝﹣1时，直线l的参数方程化为一般方程是：x+4y﹣3＝0；联立方程，解得或，所

以椭圆C和直线l的交点为（3，0）和（，）．（2）l的参数方程（t为参数）化为一般方程是：x+4y﹣a﹣4＝0，椭圆C上的任一点P可以表示成P（3cosθ，sinθ），θ∈[0，2π），所以点P到直线l的距离d

为：d，φ满足tanφ，且的d的最大值为．①当﹣a﹣4≤0时，即a≥﹣4时，|5sin（θ+φ）﹣a﹣4|≤|﹣5﹣a﹣4|＝|5+a+4|＝17解得a＝8和﹣26，a＝8符合题意．②当﹣a﹣4＞0时，即a＜﹣

4时|5sin（θ+φ）﹣a﹣4|≤|5﹣a﹣4|＝|5﹣a﹣4|＝17，解得a＝﹣16和18，a＝﹣16符合题意．17．【2017年新课标2理科22】在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρc

osθ＝4．（1）M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|•|OP|＝16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；（2）设点A的极坐标为（2，），点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．【解答】解：（1）曲线C1的

直角坐标方程为：x＝4，设P（x，y），M（4，y0），则，∴y0，∵|OM||OP|＝16，∴16，即（x2+y2）（1）＝16，∴x4+2x2y2+y4＝16x2，即（x2+y2）2＝16x2，两边开方得：x2+y2＝4x，整理得：（x﹣2）2+y2＝4（x≠0），∴点

P的轨迹C2的直角坐标方程：（x﹣2）2+y2＝4（x≠0）．（2）点A的直角坐标为A（1，），显然点A在曲线C2上，|OA|＝2，∴曲线C2的圆心（2，0）到弦OA的距离d，∴△AOB的最大面积S|OA|•（2）＝2

．18．【2017年新课标3理科22】在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为，（t为参数），直线l2的参数方程为，（m为参数）．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．（1）写出C的普通方程；（2

）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ（cosθ+sinθ）0，M为l3与C的交点，求M的极径．【解答】解：（1）∵直线l1的参数方程为，（t为参数），∴消掉参数t得：直线l1的普通方程为：

y＝k（x﹣2）①；又直线l2的参数方程为，（m为参数），同理可得，直线l2的普通方程为：x＝﹣2+ky②；联立①②，消去k得：x2﹣y2＝4，即C的普通方程为x2﹣y2＝4（y≠0）；（2）∵l3的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）0，∴

其普通方程为：x+y0，联立得：，∴ρ2＝x2+y25．∴l3与C的交点M的极径为ρ．方程的互化和几何意义的应用是考查的重点，解题时常用到参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化，利用几何意义将原问题转化三角函数的问题，考

查学生的数学逻辑推理能力、数学运算能力，题型以选择填空题和解答题为主，中等难度.1．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为32cos12sinxy=+=+（为参数），以直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求圆C的极坐标方程；（2）设曲

线1l的极坐标方程为(0)6=，曲线2l的极坐标方程为(0)3=，求三条曲线C，1l，2l所围成图形的面积.【答案】（1）4sin()3=+；（2）233+.【解析】（1）由条件得圆C的直角坐标方程为()()22314xy−+−=，得222320xyx

y+−−=，将cosx=，siny=代入，得223cos2sin0−−=，即23cos2sin=+，则4sin3=+，所以圆C的极坐标方程为4sin3=+.（

2）由条件知曲线1l和2l是过原点O的两条射线，设1l和2l分别与圆C交于异于点O的点A和B，将6=代入圆C的极坐标方程，得4,6A，所以4OA=；将3=代入圆C的极坐标方程，得23,3B，所以23OB=.由（1）得圆C的圆

心为()3,1C，其极坐标为2,6C，故射线1l经过圆心C，所以366COB=−=，23ACBCOB==.所以11sinsin3246COBSOCOBCOBOAOB===，扇形CAB的面积为2122233CABS==,故三条曲线C，1l

，2l所围成图形的面积为233COBCABSS+=+.2．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为1cos3sinxtyt=+=+（t为参数）．（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）若射线=与C有两个不同的

交点M、N，求OMON+的取值范围．【答案】（Ⅰ）22(cos3sin)30−++=（Ⅱ）(23,4]【解析】解：（Ⅰ）曲线C的直角坐标方程为22(1)(3)1xy−+−=，即2222330x

yxy+−−+=，又222xy+=，cosx=，siny=，所以曲线C的极坐标方程为22(cos3sin)30−++=．（Ⅱ）联立射线=与曲线C，得22(cos3sin)30−++=，设1,()M，2,

()N，12||||2(cos3sin)4sin6OMON+=+=+=+，又圆心(1,3)C的极坐标为2,3，所以的取值范围是62，所以2363+，3sin126+

，234sin46+，所以OMON+的取值范围为(23,4]．3．选修4-4：坐标系与参数方程:在平面直角坐标系xoy中，已知曲线C的参数方程为,xcosysin==（为参数），直线l的参数方程为242,1310

13xtyt=−+=（t为参数），点P的坐标为()2,0−．（1）若点Q在曲线C上运动，点M在线段PQ上运动，且2PMMQ=，求动点M的轨迹方程．（2）设直线l与曲线C交于,AB两点，求PAPB的值．【答案】（1）222439xy=++（2）3

【解析】（1）设()Qcos,sin，(),Mxy，则由2PMMQ=，得()()2,2cossin+=−−xyx,y，即323cos,32sin.xy+==消去，得222439xy=++

，此即为点M的轨迹方程.（2）曲线C的普通方程为221xy+=，直线l的普通方程()5212y=x+，设为直线l的倾斜角，则5tan12=，512sin,cos1313==，则直线l的参数方程可设

为122,13513xtyt=−+=（t为参数），代入曲线C的普通方程，得2483013tt+=−，由于24827612013169=−−=，故可设点,AB对应的参数为1t，2t，则21213PAPBtttt===．4．

在直角坐标系xoy中，曲线1C的参数方程为31011010310xtyt=−=+（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为8sin6cos=+．（1）求2C的直角坐标方程；（2）已知()1,3P，1C与2C的交

点为,AB，求PAPB的值．【答案】（1）()()223425xy−+−=；（2）20【解析】（1）由8sin6cos=+，得28sin6cos=+，∴22680xyxy+−−=，即()()223425xy−

+−=.（2）设11310101,31010Att−+，22310101,31010Btt−+把31011010310xtyt=−=+代入()()223425xy−+−=，得210200tt+−

=，则12,tt是该方程的两个实数根，∴1220tt=−，故1220PAPBtt==．5．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为1cossinxtyt=+=（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半

轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2sin=，直线l与x轴交于点P，与曲线C交于两点M，N．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）求2211PMPN+的取值范围．【答案】(1)2220xyy+−=(2)(2,6]【解析】

解：（1）由ρ＝2sinθ，得ρ2＝2ρsinθ，把ρ2＝x2+y2，y＝ρsinθ代入，可得x2+y2﹣2y＝0．∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣2y＝0；（2）将直线l的参数方程1xtcosytsin=+=代入圆的方程，得t2+（2cosα﹣2sin

α）t+1＝0．由△＝（2cosα﹣2sinα）2﹣4＞0，得sin2α＜0，且t1+t2＝﹣2cosα+2sinα，t1t2＝1．∴2221212122222221212()211242||||ttttttsinPMPNtttt++−+=

==−．sin2α＜0∴242sin−(2,6]即2211||||PMPN+的取值范围是（2，6]．6．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为1cossinxy=+=（为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐

标系，直线l的极坐标方程为3sincos13+=．（1）求C的极坐标方程和直线l的直角坐标方程；（2）射线11,63=−与圆C的交点为O，M，与直线l的交点

为N，求OMON的取值范围．【答案】（1）圆C的极坐标方程为2cos=.直线l的直角坐标方程为3103xy+−=.（2）[1,3]【解析】（1）圆C的普通方程是22(1)1xy−+=，将cosx=，siny=

代入上式：222(cos1)sin1−+=，化简得：2cos=，所以圆C的极坐标方程为2cos=.直线l的极坐标方程为3sincos13+=，将cosx=，siny=代人上式，得：310

3xy+−=，∴直线l的直角坐标方程为3103xy+−=.（2）设()11,M，因为点M在圆:2cosC=上，则有112cos=，设()21,N，因为点N在直线3:sincos13l+=，则有2111

3sincos3=+，所以12||||OMON=1112cos3sincos3=+123tan13=+，∵1,63−，∴13tan33−剟，∴123tan123

3+剟，∴12133tan13+剟，即1||||3OMON剟，故||||OMON的范围为[1,3].7．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为

2sin2cos(0)aa=+；直线l的参数方程为22222xyt=−+=，（t为参数）.直线l与曲线C分别交于M、N两点.（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）若点P的直角坐标为()2,0−，52PMPN+=，求a的值.【答案

】(1)曲线C的直角坐标方程为222()(1)1xaya−+−=+，直线l的普通方程为20xy−+=.(2)2a=【解析】（1）由2sin2cos(0)aa=+，得22sin2cos(0)aa=+，所以曲

线C的直角坐标方程为2222xyyax+=+，即222()(1)1xaya−+−=+，由直线l的参数方程得直线l的普通方程为20xy−+=.（2）将直线l的参数方程22,22,2xtyt=−+=

代入2222xyyax+=+，化简并整理，得2(322)440tata−+++=.因为直线l与曲线C分别交于M、N两点，所以2(322)4(44)0aa=+−+，解得1a，由一元二次方程根与系数的关系，得12322tta+=+，1244tta=+，又因为0a，所以120tt.因为点P的直

角坐标为()2,0−，且在直线l上，所以12||||32252PMPNtta+=+=+=，解得2a=，此时满足0a，故2a=.8．曲线1C的参数方程为1cos21122xysin==+（为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C的极坐标方程为2

cos3sin=.(1)求曲线1C的极坐标方程和曲线2C的直角坐标方程；(2)若直线:lykx=与曲线1C，2C的交点分别为A、B（A、B异于原点），当斜率3[,3]3k时，求1OAOB+的最小值.【答案】（1）1C的极坐标方程为sin=；

曲线2C的直角坐标方程23xy=.（2）223【解析】(1)由题曲线的参数方程为1cos21122xysin==+（为参数），消去参数，可得曲线1C的直角坐标方程为2211()24xy+−=，即220xyy+−=，则曲线1C的极坐标方程为2sin0

−=，即sin=，又因为曲线2C的极坐标方程为2cos3sin=，即22cos3sin=，根据cossinxy==，代入即可求解曲线2C的直角坐标方程23xy=.(2)解法1：设直线l的倾斜角为，则直线l的参

数方程为cosxtytsin==（为参数，63），把直线l的参数方程代入曲线1C的普通坐标方程得：2sin0tt−=，解得10t=，2sint=，2sinOAt==，把直线l的参数方程代入曲线2C的普通坐标方程得：22cos3sintt=，解得10t=，2

23sincost=，223sincosOBt==，21cossin3sinOAOB+=+11(2sin)3sin=+，3[,3]3k，即3tan[,3]3，63，1

3sin22，112sin22sin22sinsin+=，当且仅当12sinsin=，即2sin2=时去等号，故1OAOB+的最小值为223.解法2：设直线l的极坐标方程为=6

3），代入曲线1C的极坐标方程，得sin=，sinOA==，把直线l的参数方程代入曲线2C的极坐标方程得：2cos3sin=，23sincos=，即23sincosOB==，21cossin3sinO

AOB+=+11(2sin)3sin=+，曲线1C的参3[,3]3k，即3tan[,3]3，63，13sin22，112sin22sin22sinsin+=，当且仅当12sinsi

n=，即2sin2=时去等号，故1OAOB+的最小值为223.9．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是24cos4sinxy=+=（为参数），把曲线C向左平移2个单位，再把图象上的每一点纵坐标缩短为原来的一半（横坐标不变），得到曲线1C，直线l的普通方程是320xy+−

=，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求直线l的极坐标方程和曲线1C的普通方程；（2）记射线06（）=与1C交于点A，与l交于点B，求AB的值.【答案】（1）πρsinθ13+=,22

416xy+=；（2）8717−.【解析】(1)曲线C的普通方程为：22(2)16xy−+=，经过变换后得到1C的方程为：22(2)16xy+=，即1C的普通方程为：22416xy+=.直线l的极坐标

方程为：3ρcosθρsinθ20+−=，即：πρsin(θ)13+=.(2)由(1)可求1C的极坐标方程为：()()22ρcosθ4ρsinθ16+=，令πθ6=解得：264ρ7=，即：87ρ7=，∴87(0)7A=，同理直线l的极坐标方程中令πθ6=有：1B

=，故8717ABAB=−=−8717=−.10．在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2222cos3sin12+=，点P的极坐标为(2,)

，倾斜角为的直线l经过点P.（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程；（2）设直线l与曲线C交于,AB两点，求11PAPB+的取值范围.【答案】（1）221124xy+=,2cossinxtyt=−+=；（2）36,22.【解析】（

1）由2222cos3sin12+=可得，22312+=xy，即221124xy+=.设点(,)Pxy，则2cos2x==−，2sin0y==，即点(2,0)P−，∴直线l的参数方程为2cossinxtyt

=−+=（t为参数）（2）将直线l的参数方程代入22312+=xy得，()2212sin4cos80tt+−−=，24848sin0=+恒成立，设点A对应的参数为1t，点B对应的参数为2t，则1224cos12sintt+=+，1228012sintt−=+，则1

2121212121111||||ttttPAPBtttttt+−+=+==()22121212433sin36,222tttttt+−+==.11．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为22cos2sinxy=+=（为参数），以坐

标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos13−=.（1）求圆C的极坐标方程；（2）已知射线:,0,2m=，若m与圆C交于点A（异于点O），m与直线l交于点B，求||||OA

OB的最大值.【答案】（1）4cos=；（2）3【解析】（1）由圆C的参数方程为22cos2sinxy=+=消去参数，得到圆的普通方程为22(2)4xy−+=，即2240xyx+−=，所以其

极坐标方程为24cos0−=，即4cos=；（2）由题意，将=代入圆C的极坐标方程得4cosAOA==；将=代入线l的极坐标方程，得1cos3BOB==−，所以||134coscos4coscossin||

322OAOB=−=+22cos23sincos3sin2cos212sin(2)16=+=++=++，因为0,2，所以72,666+，因此，当262+=，即6=

时，||||OAOB取得最大值3.12．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，曲线C的方程为22(23)(1)16xy−++=，直线l的参数方程为3xtyt==（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴

正半轴为极轴，建立极坐标系.（1）求直线l和曲线C的极坐标方程；（2）设直线l与曲线C交于A，B两点，求AB的值.【答案】（1）l：()6R=，C：243cos2sin30−+−=；（2）37【解析】（1）由3xy=得33yx=，所以l的极坐标方程为()6R

=，由22(23)(1)16xy−++=得2243230xyxy+−+−=，又因为222xy+=，cosx=，siny=，所以曲线C的极坐标方程为243cos2sin30−+−=.（2）将6=代入243cos2sin30−+−

=，可得2630−+−=，即2530−−=，所以125+=，123=−，由极坐标几何意义得()2121212||4AB=−=+−251237=+=.13．在直角坐标系xOy中，曲线C的方程为22(2)4xy−+=，过点(2,0)−且

斜率为(0)kk的直线l与曲线C相切于点A．（1）以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C的极坐标方程和点A的极坐标；（2）若点B在曲线C上，求OAB面积的最大值．【答案】(1)4cos=；点A的极

坐标为(2,)3或5(2,)3．(2)32+【解析】解（1）由22(2)4xy−+=得2240xyx+−=故曲线C的极坐标方程为24cos0−=，即4cos=，如图：当PA与圆相切时，CAPA⊥，∴122OAPC==，∴AOC为等边三角形

，∴2OA=，3AOC=，∴点A的极坐标为(2,)3或5(2,)3．（2）由于圆、点P、点B均关于x轴对称，故不论点A在何处，都不会影响OAB面积最大值的取得.不妨取(2,)3A，设(,)()22B

−，则4cos=，∴1|sin|2AOBSOAOBAOB=4cos|sin()|3=−+|33cos2sin2||32cos(2)|6=+−=++，∵22−，∴2−，

∴572666−+，∴cos(2)[1,1]6+−，∴206+=，即12=−时，面积取得最大值32+．14．在直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为cos1sinxtyt==+（t为参数）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆24:Ccos

=的圆心为2C．（1）说明1C是哪一种曲线，并将1C的方程化为极坐标方程；（2）过原点且与直线2cos3sinxtyt=+=+（t为参数，0）平行的直线3C与2C的交点为M，N，且2CMN△的面积为2，求的值．【答案】（1）1C是以()0,1为圆心，

1为半径的圆；极坐标方程为2sin=；（2）4=或34【解析】（1）消去参数t得到1C的普通方程为：()2211xy+−=1C是以()0,1为圆心，1为半径的圆将cosx=，siny=代入1C的普通方程中得到1C的极坐标方程为：2sin=（2）直

线3C的极坐标方程为=，与2C的交点分别为()4cos,M，()0,N214cos2sin22CMNS==，得()sin210=得：4=或3415．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为1xtcosytsin

==+（t为参数，)[0，）．以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为223cos=+．（l）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程：（2）若直线l与曲线C相交于A，B两点，且22AB=．求

直线l的方程．【答案】(1)见解析(2)10xy−+=【解析】（1）由1xtcosytsin==+消去参数t得0xsinycoscos−+=（)[0，），由223cos=+得曲线C的直角坐标方程为：22230xyx+−−=

（2）由22230xyx+−−=得()2214xy-+=，圆心为（1，0），半径为2，圆心到直线的距离为22sincossincossincosd+=++=，∴22422ABd=−=，即224(sincos)=−+，整理得21sin=，∵)[0

，，∴)2[02，，，4=，所以直线l的方程为：10xy−+=．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com