【文档说明】海南省文昌中学2024-2025学年高二上学期第一次月考试题 数学 Word版含答案.docx，共(9)页，577.729 KB，由小赞的店铺上传

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2024—2025学年度第一学期高二第一次月考试题数学第Ⅰ卷（选择题，共58分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．复数z=21ii−+(其中i是虚数单位)，则z的共轭复数z=（）A．1322

i−B．1322i−−C．1322i+D．1322i−+2．已知直线l的倾斜角为32，且过点(3,1)，则直线l的方程为（）A．320xy−−=B．340xy+−=C．30xy−=D．3360xy+-=3．已知)3,1,2(−=a，)3,2,1(−

=b，),6,7(=c，若cba,,三向量共面，则λ＝（）A．9B．－9C．－3D．34.如图，在直三棱柱111ABCABC-中，底面三角形ABC为直角三角形11ABACAA===，P为11BC的中点，则1A

CBP=（）A．32B．1C．34D．215．已知点P(4，a)到直线4x－3y－1＝0的距离不大于3，则a的取值范围是（）A．[－10,10]B．[－10,5]C．[－5,5]D．[0,10]6．过点()1,1P−的直线l与连接()()3

,3,2,6AB−的线段总有公共点（不包含端点），则直线l的斜率的取值范围是（）A．15,2−B．()1,5,2−−+C．1,25−D．()1,2,5−−+7

．如图，空间四边形OABC中，OAa=，OBb=，OCc=，点M在OA上，且23OMOA=，点N为BC中点，则MN等于（）A．111222abc+−B．221332abc−+−C．211322abc−++D．221332abc+−8．唐代诗人李颀

的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河。”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为(2,0)B−，若将军从山脚下的点(

2,0)A处出发，河岸线所在直线方程为3xy+=，则“将军饮马”的最短总路程为（）A．4B．5C．26D．32二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，

部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．对于直线:10lxy+−=，下列说法正确的有（）A．直线l过点()1,0B．直线l与直线yx=垂直C．直线l的一个方向向量为()1,1D．原点到直线:10lxy+−=的距离为110

．已知空间三点(2,0,2),(1,1,2),(3,0,4)ABC−−−，设,aABbAC==.则下列结论正确的是（）A．若3c=，且//CcB，则(2,1,2)c=−B．a和b的夹角的余弦值1010−C．若kab+与2kab−互相垂直，则k的值为2D．若()()++−ab

ab与z轴垂直，则,应满足0−=11．将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C，如图所示，点E，F分别为线段BC,AD的中点，则（）A．EFBC⊥B．四面体ABCD−的表

面积为423+C．四面体ABCD−的外接球的体积为82π3D．过EF且与BD平行的平面截四面体ABCD−所得截面的面积为2第Ⅱ卷（非选择题，共92分）三、填空题；本题共3小题，每小题5分，共15分。12．直线310xy−+=的倾斜角为__________.13．已知直线230xy+−=

与直线430xmy−−=平行，则它们之间的距离是_______．14．空间直角坐标系xOy中，过点()000,,Pxyz且一个法向量为(),,nabc=的平面的方程为()()()0000axxbyyczz−+−+−=，过点

()000,,Pxyz且方向向量为()(),,0nuvwuvw=的直线l的方程为000xxyyzzuvw−−−==，阅读上面材料，并解决下面问题：已知平面的方程为10xyz−++=，直线l是两个平面20xy−+=与210x

z−+=的交线，则平面的法向量为___________；直线l与平面所成角的正弦值为___________.四、解答题：本题共6小题，共77分。解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤。15.（本小题满分13分）已知点()2,1A−，

()2,3B，()1,3C−−．（1）若BC中点为D，求过点A与D的直线方程；（2）求过点B且在x轴和y轴上截距相等的直线方程。16.（本小题满分15分）如图，在四棱锥PABCD−中，平面PAD⊥平面ABCD，AD⊥DP，AB∥CD，//90DPABCDADC⊥=

，，．且22ADCDPDAB====．（1）求证：AB∥平面PCD；（2）求证：AB⊥平面PAD；（3）求二面角APBC−−的余弦值。17.（本小题满分15分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且cos

3sin0aCaCbc+−−=．（1）求A；（2）若2a=，则△ABC的面积为3，求△ABC的周长。18.（本小题满分17分）已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．（1）证明：直线l过定点；（2）若直线不经过第四象限，求k的取值范围

；（3）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程。19.（本小题满分17分）如图1，在MBC△中，BM⊥BC，A,D分别为边MB,MC

的中点，且2BCAM==，将△MAD沿AD折起到PAD△的位置，使PA⊥AB，如图2，连接PB，PC.（1）求证：PA⊥平面ABCD；（2）若E为PC的中点，求直线DE与平面PBD所成角的正弦值；（3）线段P

C上一动点G满足(01)PGPC=，判断是否存在，使二面角G-AD-P的正弦值为1010，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。2024—2025学年度第一学期高二第一次月考答案数学第Ⅰ卷（选择题，共58分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的。题号12345678答案CBBADBCC二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）题号91011答案ABBDBCD第Ⅱ卷（非选择题，

共92分）三、填空题；本题共3小题，每小题5分，共15分。12．3013．351014．（1,-1,1）23四、解答题：本题共6小题，共77分。解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤。15．解：（1）由题意，,BC的中点2133,22D−−，即1,02D

…………3分由两点式直线方程得直线AD的方程为：()0112122yx−−=++，即2510xy+−=…………6分（2）当过B点，且在x，y轴上的截距为0时，直线方程为3020yx−=−，即320xy−=………

…8分设当在x，y上截距m不等于0时直线方程为1xymm+=，…………10分将B点坐标代入得231,5mmm+==，即50xy+−=…………12分综上，（1）AD直线方程为2510xy+−=，（2）过B

点并且在x，y轴上截距相等的直线方程为320xy−=或50xy+−=…………13分16.（1）证明：∵AB∥CD，AB平面PCD，CD平面PCD∴AB∥平面PCD…………3分（2）证明：∵∠ADC=90°，AB∥CD，∴AB⊥AD…………5分又∵平面PAD⊥平面ABC

D，且平面PAD∩平面ABCD=AD∴AB⊥平面PAD…………7分（3）解：∵DP、DA、DC两两垂直，以D为原点，DA、DC、DP为x、y、z轴正方向建系……8分如图所示：∴A(2,0,0)，B(2,1,0)，C(0,2,0)，P(0,0,2)……9分∴)2,0

,2(−=AP，)2,1,2(−=PB，)2,2,0(−=PC……10分设平面PAB的法向量),,(111zyxm=则00==PBmAPm，即02202211111=−+=+−zyxzx…………11分令101111===zyx

，则法向量)1,0,1(=m…………12分同理，设平面PBC的法向量),,(222zyxn=则00==PBnPCn，∴02202222222=−+=−zyxzy…………13分令1121222===zyx，∴)1,1,21(=n…………14分∴二面

角A-PB-C的余弦值为，即22cos==nmnm…………15分17．解：（1）由正弦定理得sincos3sinsinsinsin0ACACBC+−−=，……2分其中()sinsinsinco

scossinBACACAC=+=+，…………3分故3sinsincossinsin0ACACC−−=，因为()0,πC，所以sin0C，故3sincos1AA−=，…………4分即π2sin16A−=，所以π1sin62A−=，…………

5分因为()0,πA，所以ππ5π,666A−−，…………6分故ππ66A−=，解得π3A=；…………7分（2）由三角形面积公式得113sinsin33224πbcAbcbc===，………9分故4bc=，…………10分由余弦定理得2222241cos282bcabcAbc+−+−

===，…………12分解得228bc+=，…………13分故()22228816bcbcbc+=++=+=，解得4bc+=…………14分故6abc++=，周长为6.…………15分18.（1）证明：直线l的方程可化为k(x＋2)＋(1

－y)＝0，…………1分令x＋2＝0，1－y＝0，解得x＝－2，y＝1.…………3分所以无论k取何值，直线l总经过定点(－2,1)．…………4分（2）解：由方程知，当k≠0时直线在x轴上的截距为－1＋2kk，在y

轴上的截距为1＋2k，…………5分要使直线不经过第四象限，则必须有－1＋2kk≤－2，1＋2k≥1，…………7分解得k＞0；…………8分当k＝0时，直线为y＝1，符合题意，综上，故k的取值范围是[0，

＋∞)．…………9分（3）解：由题意可知k≠0，再由l的方程，得A－1＋2kk，0，B(0,1＋2k)．…10分依题意得－1＋2kk＜0，1＋2k＞0，解得k＞0.…………12分由S＝12|OA|·|OB|＝12|1＋2kk|·|1＋2k|…………13分＝12·1

＋2k2k＝124k＋1k＋4…………14分≥12×(2×2＋4)＝4，…………15分“＝”成立的条件是k>0且4k＝k1，即k＝21…………17分19.（1）证明：因为A,D分别为边MB,MC的中点，所以ADBC∥…………1分因为BM⊥BC，所以BM

AD⊥，所以PA⊥AD…………2分又PA⊥AB，ABADA=，,ABAD平面ABCD，…………3分所以PA⊥平面ABCD…………4分（2）解：因为PA⊥AB，PA⊥AD，90DAB=，所以AP，AB，AD两两垂直.以A为坐标原点，,,ABAD

AP所在直线分别为,,xyz轴，…………5分建立如图所示的空间直角坐标系Axyz−，依题意有A(0,0,0)，()2,0,0B，()2,2,0C，D(0,1,0)，()0,0,2P，()1,1,1E，…6分则(2,2,2)P

C=−，(1,0,1)DE=，(2,1,0)BD=−，(2,0,2)BP=−……7分设平面PBD的法向量()111,,nxyz=，则有()()()()11111111112,1,0,,202,0,2,,220BDnxyzxyBPnxyzxz=−=−+==−

=−+=…………9分令12y=，得11x=，11z=，所以()1,2,1n=是平面PBD的一个法向量…………10分因为()(1,0,1)1,2,123cos,31114126DEnDEnDEn

====+++，所以直线DE与平面PBD所成角的正弦值为33…………11分（3）解：假设存在，使二面角G-AD-P的正弦值为1010，即使二面角G-AD-P的余弦值为31010.由（2）得，(2,2,2)(01)PGPC==−，所

以(2,2,22)G−，(0,1,0)AD=，(2,2,22)AG=−…………12分易得平面PAD的一个法向量为()11,0,0n=.设平面ADG的法向量()2222,,nxyz=，()()()()(

)2222222222220,1,0,,02,2,22,,22220ADnxyzyAGnxyzxyz====−=++−=，解得20y=，令2z=，得21x=−，则()21,0,n=−

是平面ADG的一个法向量.…………14分由图形可以看出二面角G-AD-P的夹角为锐角，且正弦值为1010，故二面角G-AD-P的余弦值为31010，则有()()()121222121,0,01,0,310cos,101nnnnnn−===−+，…………15分即22131010(1)

−=−+，解得112=−，214=…………16分又因为01≤≤，所以14=.故存在14=，使二面角G-AD-P的正弦值为1010…………17分