【文档说明】浙江省杭州市四校2023-2024学年高二上学期10月联考数学试题 含解析.docx，共(23)页，1.451 MB，由小赞的店铺上传

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2023学年第一学期高二年级10月四校联考数学学科试题卷考生须知：1.本卷满分150分，考试时间120分钟；2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号（填涂）；3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷

上无效；一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1.直线310xy+−=的斜率与y轴上的截距分别为（）A.3,1B.3,1−C.3,1−D.3

,1−−【答案】B【解析】【分析】根据直线方程求出斜率及截距即可.【详解】直线310xy+−=的斜率为3−，令0x=，则1y=，所以直线310xy+−=在y轴上的截距为1.故选：B.2.如果一个复数的实部与虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数()2ii

za=−为“等部复数”，则实数a的值为（）A.1−B.1C.2D.2−【答案】C【解析】【分析】根据复数乘法及新定义即可得参数值.【详解】由题设2iza=+为“等部复数”，即2a=.故选：C3.平面，互相平行的一个充分条件是（）A.，都垂直于同一平面B.某一直

线与，所成角相等C.，都平行于同一直线D.，都垂直于同一直线【答案】D【解析】【分析】根据面面平行的判定定理及线面垂直的性质逐一分析判断即可.【详解】对于A，若，都垂直于同一平面，则平面，

相交或平行，故A错误；对于B，若某一直线与，所成角相等，则平面，相交或平行，故B错误；对于C，若，都平行于同一直线，则则平面，相交或平行，故C错误；对于D，，都垂直于同一直线，则平面，互

相平行，故D正确.故选：D.4.已知直三棱柱111ABCABC-，90BAC=，112ABACAA==，那么异面直线1BC与1AB所成角的余弦值为（）A.3010B.12C.155D.1010【答案】A【解析】【分析】建立空间直角坐标系，由空间向量求解．【详解】如图所示建立空间直角坐标系，设

1AB=，则11(0,0,2),(1,0,0),(0,1,0),(1,0,2)ABCB，1(1,0,2)AB=−，1(1,1,2)BC=−−，异面直线1BC与1AB所成角的余弦值为1111||143010||||104114ABBCABBC−+==++++，

故选：A5.设非零向量a和b的夹角为，定义运算：sinabab=.已知()1,1a=，()1,2b=−，则ab=（）A.2B.7C.3D.10【答案】C【解析】【分析】先根据()1,1a=，()1,2b=−求得2a=，5b=，10cos,10ab=，进而可得0s310

,1inab=，进而由sinabab=可得.【详解】由()1,1a=，()1,2b=−得：22112a=+=，()22125b=−+=，()11121ab=−+=，故0co11s0,125ababab===，因

,0,πab，故2210310,1,11010sincosabab=−=−=由题意310sin25310abab===，故选：C6.点(),Pxy在圆221xy+=上运动，则434xy−+的取值范围（）A.0,1B.0,9C.1,8D.1,9【

答案】B【解析】【分析】根据直线与圆的位置关系以及圆心到直线的距离，计算可求得所求的范围.【详解】令434xyz−+=，则0z，可得该直线方程为：1:l4340xyz−+−=或2:l4340xyz−+−−=，设(0,0)到直线1l和2l的距离为1d和2d

，得1415zd−=或2415zd−−=，解得19z−或91z−，又因为0z，所以，0,9z故选B7.在ABC中，()1,0A−，()0,1B，点C在直线yx=上运动，则ABC内切圆的半径的最大值是（）A.322−

B.26C.21−D.212−【答案】D【解析】【分析】易得直线AB与直线yx=平行，设ABC内切圆的半径为r，利用等面积法可得2ABCSrABACBC=++，则要使ABC内切圆的半径最大，只要ACBC+最小即可，求出点B关于直线yx=对称的点即可得解.【详解】

直线AB的方程为111xy+=−，即1yx=+，则直线AB与直线yx=平行，所以点C到直线AB的距离等于直线AB到直线yx=的距离，即点C到直线AB的距离为102211−=+，.1102AB=+=，所以1212222ABCS==△，设ABC内切圆的半径为

r，则()1122ABCSABBCACr=++=，所以12rACBC=++，则要使ABC内切圆的半径最大，只要ACBC+最小即可，设点B关于直线yx=对称的点为()1,Bab，则1101022baba−=−−++=，

解得10ab==，即()11,0B，则12ACBCAB+=，当且仅当1,,ACB共线时，取等号，所以ACBC+的最小值为2，所以12rACBC=++的最大值为121222=−+.故选：D.8.在三棱锥ABCD−中，23ABADBD===，150B

DC=，2CD=，二面角ABDC−−的大小为60，则该三棱锥外接球半径是（）A.33B.29C.31D.33【答案】C【解析】【分析】根据题意，由三棱锥外接球的定义找到其球心位置，然后代入计算，即可得到结果.【详解】因为ABD△为等边三角形，所以ABD△的外心1O为ABD△的重心

，连接1AO并延长交BD于点E，则E为BD中点，记BDC的外心为2O，球心为O，连接21,OOOO，OE，2OE，2OB，则1OO⊥平面ABD，2OO⊥平面BCD，球心与截面圆的圆心连线垂直于截面，因为BD平面ABD，BD平面BCD，所以1OO

BD⊥，2OOBD⊥，因为12OOOOO=，12,OOOO平面12OOO，所以BD⊥平面12OOO，而BDAE⊥，1,AEOO平面AEO，11AEOOO=，所以BD⊥平面AEO，所以平面AEO与平面12OOO重合，即12,,,OOEO四点共面，所以2OE平面12OOO，所以2

BDOE⊥，因为3sin602332AEAB===，所以123AOAE=2=，11OE=，3BE=，因为2222cos124BCBDCDBDCDBDC=+−=+32232282+=，所以2272sinBCOBBDC==，所以2

27OB=，22222835OEOBBE=−=−=，因为二面角ABDC−−的平面角为2AEO为60，所以222121212212cos125215212OOOEOEOEOEAEO=+−=+−=，即

1221OO=，因为1290OOEOOE==，所以12,,,OOEO四点共圆且OE为直径，所以212sinOEAEOOO=，所以212732OE==，所以2211OOOEOE=−2733==，所以221127431OAOOOA=−=+=，即三棱锥外接球半径是31.故选：C二、

选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知实数ab，0c，那么（）A.22abB.eeabC.acbcD.ccba【答案】

BC【解析】【分析】对于A、D选项，利用作差法可知当ab，0c时，无法判断出大小，可知AD错误；由指数函数单调性可得eeab，即B正确；由不等式的性质即可得出C正确.【详解】对于A选项，易知()()22ababab−=−+，由ab可得0ab−，但ab+的符号不确定，所以2a与2b的大小

无法确定，即A错误；对于B，由指数函数exy=在xR上单调递增可得，当ab时，可得eeab，所以B正确；对于C，由不等式性质可知若ab，0c，可得acbc，即C正确；对于D，()cabccbaab

−−=，易知0ab−，0c，但ab的符号无法确定，所以D错误；故选：BC10.已知圆台的上底半径为1，下底半径为3，球O与圆台的两个底面和侧面都相切，则（）A.圆台的母线长为4B.圆台的高为4C.圆

台的表面积为26πD.球O的表面积为12π【答案】ACD【解析】【分析】作出圆台的轴截面，设圆台上、下底面圆心分别为12,OO，半径分别为12,rr，球O的半径为R，连接,,ODOEOA，利用平面几何知识得到212

3Rrr==，即可根据公式逐项计算求解．【详解】设梯形ABCD为圆台的轴截面，则内切圆O为圆台内切球的大圆，如图，设圆台上、下底面圆心分别为12,OO，半径分别为12,rr，球O的半径为R，则12,,OOO共线，且1212,OOABOOCD⊥⊥，连接,,ODOEOA，则

,ODOA分别平分,DABADC，且OEAD⊥故2211,DEDOAEOrAr====，2π2π,OADADODOA+==，由AOEODE，故AEOEOEDE=，即2EOAEDE=，即2123Rrr==，解得3R=，母线长为124rr+=，故A正确

；圆台的高为223R=，故B错误；圆台的表面积为()22π1π3π13426π+++=，故C正确，球O表面积为()24π312π=，D正确；故选：ACD．11.分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“第一枚正面朝上”，事件B=“第二枚正面朝上”，事件C=“两枚硬币朝上的

面相同”，事件D=“两枚硬币朝上的面不同”，则（）A.事件A和B互斥B.事件C和D互斥C.事件A和B相互独立D.事件C和D相互独立【答案】BC【解析】【分析】根据相互独立事件和互斥事件的定义逐一判断即可.【详解】对于A，事件,AB可能同时发生，故事件A和B不互斥，

故A错误；对于C，事件A和B互不影响，故事件A和B相互独立，故C正确；分别抛掷两枚质地均匀的硬币，可能出现的情况有（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）四种情况，事件C包含（正，正），（反，反）2种，事件D包含（正，反），（反，正）2种，所以事件C和D互斥

，故B正确；()()()()()2121,,04242PCPDPCDPCPD=====，所以事件C和D不是相互独立事件，故D错误.故选：BC.12.过抛物线2144xy=−上一点P作圆C：()2211xy+−=的两条切线，切点为E，F，则（）A.使PEPF⊥的点P共有2个B.E

F既有最大值又有最小值C.使四边形PECF面积最小的点P有且只有一个D.直线EF过定点【答案】AC的【解析】【分析】利用轨迹方程、直线与圆的位置关系、二次函数及复合函数最值、反证法分析推理运算即可得解.

【详解】解：对选项A，如上图，要使PEPF⊥，又由于,PEPF为切线，则CEPE⊥，CFPF⊥，1CECFr===，所以四边形PECF是正方形，且有2PC=.所以，对于圆C，使得切线PEPF⊥的点P构成的轨迹是圆心

为点C、半径为2PC=圆()2212xy+−=（图中虚线圆），该圆与抛物线2144xy=−有两个交点()1,0.在()1,0−处，圆C的两条切线圆0y=、=1x−相互垂直；在()1,0处，圆C的两条切线圆0y=、1x=

相互垂直；综上知，使PEPF⊥的点P共有2个，故A正确；连接PC、EF，如上图，由直线与圆的位置关系知，的PCEF⊥，CFPF⊥，1CECFr===.设()00,Pxy，则200144xy=−，即有20041xy=+

，且014y−，又因为()0,1C，所以()22220000014121PCxyyyy=+−=++−+()220002211yyy=++=++，由二次函数知当014y=−时2PC取得最小值，此时对应抛物线顶点10,4−，即，当点P位于抛物线顶点时2PC取得最小值.对选项B，因

为在直角PFC△中，FQPCPFCF=，所以221122221PCPFEFFQPCPCPC−====−，当2PC取得最小值时，EF取得最小值；但是随着点P沿抛物线向上移动，2PC可以无限变大，EF无限接近于2，但没有最大值，故B错误；对选项C，因

为221PECFPCFSSPFCFPFPC====−，又知当点P位于抛物线顶点时2PC取得最小值，所以，使四边形PECF面积最小的点P有且只有一个，故C正确；对选项D，假设直线EF过定点，则该定点必为EF所在任意两条不同直线的交点，当点P位于点()1,0−时，E

F所在直线为yx=−；当点P位于点()1,0时，EF所在直线为yx=，这两条直线交点为()0,0.但是，当点P位于点10,4−时，EF所在直线不过点()0,0，这与假设矛盾，故假设不真，即EF不过定点，故D错误.故选：AC.【点睛】1.圆的最值问题有

代数法求最值、几何法求最值等方法；2.判断直线与圆的位置关系的方法：（1）几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小关系来判断；（2）代数法：联立直线与圆的方程，消元后得到关于x（或y）的一元二次方程，根据一元二次方程解的个数

（也就是方程组解的个数）来判断.3.弦长的两种求法：（1）代数法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程.在判别式0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长；（2）几何法：若弦心距为d，圆的半径为r，则弦长222lrd=−.三、填空题：本题共4小题，每小题5分

，共20分.13.在空间直角坐标系中，若()1,1,3a=−，(1,1,)bx=−，且ab⊥，则ab+=_____.【答案】7【解析】【分析】根据ab⊥列方程得到0x=，然后求模即可.【详解】因为ab⊥，所以1130abx=−−=，解得0x=，所以()2,0,3ab+=

−，22037ab+=++=rr.故答案为：7.14.设0，若函数()()cosfxx=在0,2上有且仅有2个零点，则的取值范围是______.【答案】[3,5)【解析】【分析】由题意可得35222，解得

可得答案.【详解】因为函数()()cosfxx=在0,2上有且仅有2个零点，且当0x=时，00=，所以35222，解得35.故答案为：)3,5.15.直线l：yx=与圆C：()()()222120xyrr−+−=

交A，B两点，若D为圆C上一点，且ABD△为等边三角形，则r的值为______.【答案】2【解析】【分析】由圆的几何性质与点到直线距离公式求解．【详解】由题意得60ADB=，则120ACB=，则圆心(1,2)C到0xy−=的距离为|12|22r−=，得2r

=，故答案为：216.若关于x的方程20axxb−−=；在[1,2]上有实数根，则22ab+的最小值是______.【答案】417【解析】【分析】转化为点(,)ab到原点的距离平方后由点到直线的距离公式求解．【详解】由题意得存在[1,

2]m，使得点(,)ab在直线20mxym−−=上故点(,)ab到原点的距离最小值为422||111mmmm−=++，[1,2]m当2m=时，取最小值417，此时22ab+的最小值为417，故答案为：417四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字

说明、证明过程或演算步骤.17.如图，已知PA⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，2PAAB==，M，N分别为AB，PC中点.（1）求证：MN⊥平面PCD；（2）求平面PMC与平面ABCD所成锐二面角的余弦值.的【答案】（1）证明见解析（2）66【解析】【分析】

（1）根据中位线的性质的四边形AMNE为平行四边形，得到//MNAE，然后根据线面垂直的性质和正方形的性质得到PACD⊥，CDAD⊥，即可得到CD⊥平面PAD，再利用线面垂直的性质得到CDAE⊥，等腰三角形的性质得到AEPD⊥，

即可得到⊥AE平面PCD，即MN⊥平面PCD；（2）利用空间向量的方法求二面角即可.【小问1详解】取PD的中点E，连接AE，NE，又N为PC的中点，M为AB的中点，//ENCD，12ENCD=，又//AMCD，12AMCD=，//AMEN，AM

EN=，∴四边形AMNE为平行四边形，∴//MNAE，∵PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，PACD⊥，又CDAD⊥，PAADA=，,PAAD平面PAD，CD\^平面PAD，∵AE平面PAD，CDAE⊥，又PAA

D=，E为PD的中点，AEPD⊥，∵PDCDE=I，,PDCD平面PCD，AE⊥平面PCD，MN⊥平面PCD.【小问2详解】以A为原点，分别以AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立空间坐标系，则(0,0

,2)P，(2,2,0)C，(1,0,0)M，()2,2,2PC=−，()1,0,2PM=−，平面ABCD的法向量2(0,0,1)n=，设平面PCM法向量1(,,)nxyz=，11222020nPCx

yznPMxz=+−==−=，令1z=，则2x=，1y=−，所以()12,1,1n=−，12121216cos,661nnnnnn===uruururuururuur，平面MPC与平面PAD所成锐二面角的余弦值为66.18.在ABC中，a，b

，c分别是角A，B，C的对边，且2cos3co2oss4cABAB−−=.（1）求角C；（2）若2c=，求AB边上高的最大值.【答案】（1）π3C=（2）3【解析】【分析】（1）根据题意，由三角恒等变换

化简即可得到结果；（2）根据题意，由余弦定理结合三角形的面积公式即可得到结果.【小问1详解】因为2cos3co2oss4cABAB−−=，则()113coscoscos224ABAB+−−=，所以111coscossinsin224ABAB−+=，即()1cos2AB+=−，故1cos2C=，

且()0,πC，则π3C=.【小问2详解】由（1）及余弦定理得：2242ababab+=+，4ab，1sin32ABCSabC=△，当且仅当ab=时等号成立，设AB边上的高为h，又12ABCSchh==△，3h.即AB边上高的最大值为3.

的19.已知奇函数f(x)＝()1()mgxgx−+的定义域为R，其中g(x)为指数函数，且过定点(2，9)．(1)求函数f(x)的解析式；(2)若对任意的t∈[0，5]，不等式f(t2＋2t＋k)＋f(－2t2＋2t－5)>0恒成立，求实数k的取值范围．【答案】（1）1

3()13xxfx−=+.（2）k<1.【解析】【分析】【详解】解：（1）设()(0,1),xgxaaa=则29,3aa==或3a=−（舍），3()3,().13xxxmgxfx−==+又()fx为奇函数，33()(),1313xxxxmmfxfx−−−−

−=−=−++，整理得(31)31xxm+=+1m=13().13xxfx−=+（2）132()=1,()1313xxxfxyfx−=−=++在R上单调递减.要使对任意的22[0,5],(2)(225)0tfttkftt++

+−+−恒成立，即对任意的22[0,5],(2)(225)tfttkftt++−−+−恒成立.()fx为奇函数，22(2)(225)fttkftt++−+恒成立，又()yfx=在R上单调递减，222225ttktt+

+−+当[0,5]t时恒成立，2245(2)1kttt−+=−+当[0,5]t时恒成立，而当[0,5]t时，21(2)110t−+，1.k20.文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文

明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：)40,50，)50,60，…，90,100得到如图所示的频率分布直方图.（1）求频率分布直方图中a的值；（2

）求样本成绩的第75百分位数；（3）已知落在)50,60的平均成绩是56，方差是7，落在)60,70的平均成绩为65，方差是4，求两组成绩的总平均数z和总方差2s.【答案】（1）0.030a=（2）84（3）平均值

64，方差23【解析】【分析】（1）根据每组小矩形的面积之和为1列方程求a；（2）根据第75百分位数的定义计算；（3）根据平均数公式和样本方差计算总体方差公式计算.【小问1详解】利用每组小矩形的面积之和为1可得，0.0050.0100.0200.0250.010101a+++++=

，解得0.030a=.【小问2详解】成绩落在[40,80)内的频率为(0.0050.0100.0200.030)100.65+++=，落在[40,90)内的频率为(0.0050.0100.0200.0300.025)100.9++++=，设第75百

分位数为m，由0.65(80)0.0250.75m+−=，得84m=，故第75百分位数为84.【小问3详解】由图可知，成绩在[50,60)的市民人数为1000.110=，成绩在[60,70)的市民人数为1000.220=

，故10562065z6230+==；由样本方差计算总体方差公式可得总方差为2221s107(5662)204(6562)2330=+−++−=.21.设抛物线23yx=−与两坐标轴的交点分别记为M，N，G，曲线C是经过这三点的圆.（1）求圆C的方程.（2）

过()1,0P−作直线l与圆C相交于A，B两点，（i）用坐标法证明：PAPB是定值.（ii）设()0,2Q−，求22QAQB+的最大值.【答案】（1）22(1)4xy++=（2）（i）证明见解析；（ii）1222+【解析】【分析】（1）根据题意，设圆的方程为220xyDxEyF

++++=，由待定系数法，代入计算，即可得到结果；（2）（i）根据题意，讨论直线l的斜率存在与不存在，联立直线与圆的方程，结合韦达定理代入计算，即可得到结果；（ii）根据题意，联立直线与圆的方程，结合韦达定理，由基本不等

式即可得到结果.【小问1详解】设抛物线与x轴分别交于,MN，交y轴于点G，令0y=，则3x=，即()()3,0,3,0MN−，令0x=，则=3y−，则()0.3G−，设圆的方程为220xyDxEyF++++=，将点的坐标代入可得3303309

30DFDFEF−+=++=−+=，解得023DEF===−，则22230xyy++−=，化为标准式为()2214xy++=.【小问2详解】（i）当直线l的斜率不存在时，则l方程为=1x−，联立()22141xyx++==−，可得131xy=−

=−或131xy=−=−−，即()()1,31,1,31AB−−−−−，则31PA=−，31PB=+，则2PAPB=；当当直线l的斜率存在时，设l方程为()1ykx=+，设()()1122,,,AxyBxy，联立直线与圆的

方程()()22114ykxxy=+++=，消去y可得()()()222212230kxkkxkk+++++−=，由韦达定理可得()22121222223,11kkkkxxxxkk−++−+

==++，且()()()()()22222221111111111PAxyxkxkx=++=+++=++，()()()()()22222222212211111PBxyxkxkx=++=+++++，则()()()()()()2222212

12111111PAPBkxxkxx=+++=+++()()()()223221212222311111kkkkkkxxxxkk−+++−++=++++=++()222121kk−=+=+；综上所

述，2PAPB=是定值.（ii）由（i）可知，当直线l的斜率不存在时，()()1,31,1,31AB−−−−−，且()0,2Q−，则()()222131523QA=−++=+，()()222131523QB=

−+−+=−，则2210QAQB+=；当当直线l的斜率存在时，设l方程为()1ykx=+，则()()()()222222112222QAQBxkxkxkxk+=+++++++()()()()22222121212428kxxkxxk=+++++++

()()()()()222222222224223122428111kkkkkkkkkkkk+−++−=+−+++++++()()()222414414141411121211kkkkkkk−=+=+=+++−+−+−−()()4414

141222221221211kkkk=++=+−++−+−−.当且仅当()211kk−=−时，即12=k时，等号成立，所以()22max1222QAQB+=+.22.如图，四棱锥PABCD−中，底面ABCD为直角梯形，//ABCD，90BADACB==，336ABAC

CD===，PABC⊥，在锐角三角形PAC中，4PC=.（1）点E满足PEPD=uuruuur，试确定的值，使得直线//PB平面ACE，并说明理由.（2）当PA的长为何值时，直线AD与平面PBC所成的角的正弦值为23.【答案】

（1）34=，理由见解析（2）23【解析】【分析】（1）由线面平行的判定定理证明，（2）建立空间直角坐标系，由空间向量求解．【小问1详解】34PEPD=时，//PB平面ACE，证明如下：连接BD，BD与AC交于O点，因为1,3ODDCOBAB==，故ODDEOBEP=，所以

//PBOE，OE面ACE，PB面ACE，所以//PB平面ACE.【小问2详解】如图建立空间直角坐标系则(0,23,0)A，(26,0,0)B，2CD=，3cos3DCA=，故2623(,,0)33D−，,BCACBCPA⊥⊥，,PAAC平面PAC，BC⊥平面PA

C，点P在yCz平面上，设(0,,)Ppq，则(0,,),(26,0,0)CPpqCB==，面PBC的一个法向量为(0,,)nqp=−，2643,,033DA=直线AD与平面PBC所成的角记作，则224323sin322

qpq==+，得222qp=，4PC=，2216qp+=解得433p=，463q=，所以2346(0,,)33PA=−所以432||02333PA=++=，PA的长为23获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.

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