【文档说明】新疆生产建设兵团第二中学2023-2024学年高三上学期12月月考试题+数学+含解析.docx，共(29)页，1.497 MB，由小赞的店铺上传

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兵团二中2023年高三年级第四次月考数学（问卷）（卷面分值：150分；考试时间：120分钟）注意事项：1．本试卷分为问卷（4页）和答卷（4页），答案务必书写在答卷（或答题卡）的指定位置上．2．答题前，先将答卷密封线内的项目（或答题卡中的相关信息）

填写清楚．第I卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．1.设集合1,Aa=，2,2,2

1Baa=++，若AB，则=a（）A.2B.1C.0D.1−2.设复数z满足|1|1+=z，且z在复平面内对应的点为(,)xy则,xy满足（）A22(1)1xy++=B.22(1)1xy−+=C.22(1)1yx+−=D.2

2(1)1xy++=3.已知α、β是空间中两个不重合平面，m、n是空间中两条不同的直线，则下列命题中正确的是（）A.若//mn，n，则//mB.若mn⊥，n，则m⊥C.若m，n，//mn，则//D.若m⊥，n⊥，mn⊥，则⊥4.已知n

a为等比数列，nS是它的前n项和，若153aaa=，且4a与5a的等差中项为3，则S5等于（）A.154B.152C.314D.3125.以椭圆()222210xyabab+=的焦点为顶点，以椭圆的顶点为

焦点的双曲线的方程是（）A.22221xyab−=B.22221xyba−=C.222221xyabb−=−D.222221xyaab−=−6.下列函数中是偶函数且在区间()0,+上是增函数的是（）A.()fxxx=B.()23fxx=.的C.()1f

xxx=+D.()422fxxx=−+7.八角星纹是大汶口文化中期彩陶纹样中具有鲜明特色的花纹．八角星纹常绘于彩陶盆和豆的上腹，先于器外的上腹施一圈红色底衬，然后在上面绘并列的八角星形的单独纹样．八角星纹以白彩的成，黑线勾边，中为方形或圆形，且有向四面八方扩张的感觉．八角星纹延续的时间较长

，传播范围亦广，在长江以南的时间稍晚的崧泽文化的陶豆座上也屡见刻有八角大汶口文化八角星纹．图2是图1抽象出来的图形，在图2中，圆中各个三角形（如△ACD）为等腰直角三角形，点O为圆心，中间部分是正方形且边长为2，定点A，B所在位置如图所示，则ABAO的值为（）A.

14B.12C.10D.88.若x是不等于1的实数，我们把11x−称为x的差倒数，如3的差倒数是11132=−−.现已知112x=，1x的差倒数是2x，2x的差倒数是3x，L以此类推，则2024x=（

）A.2B.12C.12−D.1−二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，选对但不全得2分，有选错的得0分．9.已知111ABCABC-

是所有棱长都相等的直棱柱，则下列命题中正确的是（）A.当点D在棱11AB上，直线CD与侧面11ABBA所成角最大为45；B.当点D在棱11AB上（端点除外），点E在棱11AC上（端点除外），直线CD与直线BE可能相交；C.当点D在侧面11ABBA内，点E在侧面11ACCA内

，存在直线DE垂直侧面11BCCB；D.当点,,DEF分别在三个侧面上，存在DEF直角三角形.10.已知函数()sin(2)(0π)fxx=+的图像关于点2π,03中心对称，则（）是A.()fx在区间5π0,12单调递减B.()fx在区间π

11π,1212−有两个极值点C.直线7π6x=是曲线()yfx=对称轴D.直线32yx=−是曲线()yfx=的切线11.已知函数()fx的定义域为R，()()()22fxyyfxxfy=+，则

（）A.()00f=B.()10f−=C.()fx是奇函数D.()fx是偶函数12.小明有一条长度为A的木棍，小华有一条长度为B的木棍，小明先将自己的木棍分成3段，然后小华也将自己的木棍分成3段，如果可用分成的6段木棍拼成2个三角形，则小华获胜；

否则小明获胜，如果二人在采用最优策略的前提下小明必胜，那么有序数对(),AB可能是下面的（）A.()1.6,1.7B.()3.2,3.1C.()123,41D.()2023,2024第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13.二项式3312nxx−

的各项系数之和为164，则展开式中常数项为____.14.甲、乙两名游客慕名来到四川旅游，准备分别从九寨沟、峨眉山、海螺沟、都江堰、青城山这5个景点中随机选一个．事件:A甲和乙选择的景点不同，事件:B甲和乙恰好有一人选择九寨沟．则条件概率()PBA=____；

15.直线230xy−+=被圆C截得的弦AB的中点为(1,2)P，且42AB=，若点P关于原点的对称点Q恰在圆C上，则圆C的标准方程为____；16.若()12elnxxxxfxxx−−=+−，设()fx的零点分别为1x，2x，…，nx，

则n＝_______________；1niix==_______________．（其中a为a向上取整，例如：2.13=，4=）的四、解答题：本大题共6小题，17小题10分，18~22每小题12分，共计70分．解答应在答卷的相应各题

中写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.设数列na满足24a=，122nnaa+=−．（1）求数列na的通项公式；（2）求数列na的前2n项和2nS．18.在△ABC中，角A，B，C的对

边分别是a，b，c，且acosB﹣bcosA＝12c．(1)求证：tanA＝3tanB；(2)若B＝45°，b＝5，求△ABC的面积．19.如图，在正方形ABCD中，点E为AD上动点，点F为AB上动点，满足AEAF=，将DEC、BFC△分别沿CE、CF折起，使D、B两点重合

于点P．（1）证明：PCEF⊥；（2）若12AFAB=，求二面角PEFC−−的平面角的余弦值．20.减脂是现在很热的话题，人体内的脂肪会受年龄的影响而不同，为了解脂肪和年龄是否有关系，某兴趣小组得到年龄和脂肪观测值的如下数据：年龄2327394145505356脂肪值9.517.821.22

5.927.528229.631.4并计算得88822iiiii=1i=1i=141.8,23.9,14930,4941,8562.5xyxyxy=====．（1）求年龄和脂肪值的样本相关系数（精确到0.01）；（2）已知

年龄和脂肪观测值近似成正比．利用以上数据给出年龄35岁的脂肪观测值的估计值．附：相关系数iii=122iii=1i=1()()()(8,353526.3456594.5)nnnxxyyrxxyy−−=−−．.21.已知椭圆

()222210xyabab+=的右焦点为()1,0F，直线7yx=−与椭圆有且仅有一个交点.（1）求椭圆的标准方程；（2）直线l交椭圆于A、B两点，若0FAFB=，试求直线l在x轴上的截距的取值范围.22.已知函数22()(1)()2xafxxexea=−−+R．（1）讨论函数(

)yfx=的单调性；（2）若函数()yfx=有三个不同的零点，求实数a的取值范围．兵团二中2023年高三年级第四次月考数学（问卷）（卷面分值：150分；考试时间：120分钟）注意事项：1．本试卷分为问

卷（4页）和答卷（4页），答案务必书写在答卷（或答题卡）的指定位置上．2．答题前，先将答卷密封线内的项目（或答题卡中的相关信息）填写清楚．第I卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中只有一项

是符合题目要求的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．1.设集合1,Aa=，2,2,21Baa=++，若AB，则=a（）A.2B.1C.0D.1−【答案】D【解析】【分析】根据集合关系AB，确定B中一定有元素1，分21a+=和211a+=两种情况讨论，确定a

值.【详解】由已知AB，若21a+=，则1a=−，211a+=−，此时1,1A=−，2,1,1B=−，满足AB，符合题意；若211a+=，0a=，22a+=，集合B中有两个相同元素，不满足集合元素的

互异性，0a=不符合题意.综上有1a=−.故选：D2.设复数z满足|1|1+=z，且z在复平面内对应点为(,)xy则,xy满足（）A.22(1)1xy++=B.22(1)1xy−+=C.22(1)1yx+−=D.22(1)1xy++=【答案】A【解析】【分析】设(,)zxyixyR=+，代入

|1|1+=z，再由复数模的计算公式求解.的【详解】设(,)zxyixyR=+，由|1|1+=z得：22|1|(1)1xyixy++=++=，即22(1)1xy++=，故选：A【点睛】本题考查复数模的求法，考查复数的代数表

示法及其几何意义，是基础题.3.已知α、β是空间中两个不重合的平面，m、n是空间中两条不同的直线，则下列命题中正确的是（）A.若//mn，n，则//mB.若mn⊥，n，则m⊥C.若m，n，//

mn，则//D.若m⊥，n⊥，mn⊥，则⊥【答案】D【解析】【分析】由平面的基本性质，结合线线、线面关系及平面法向量概念判断各项正误.【详解】A：若//mn，n，则//m或m，错；B：若mn⊥，n，则m与相交或m

，不一定有m⊥，错；C：若m，n，//mn，则,平行或相交，错；D：若m⊥，n⊥，则直线,mn的方向向量分别为,的法向量，又mn⊥，即平面法向量垂直，所以⊥，对.故选：D4.已知na为等比数列，nS是它的前n项

和，若153aaa=，且4a与5a的等差中项为3，则S5等于（）A.154B.152C.314D.312【答案】C【解析】【分析】根据等差中项的性质得到456aa+=，结合153aaa=，利用等比数列的基本量求得1a和公比q，再由等比

数列的求和公式即可得到5S.【详解】因为4a与5a的等差中项为3，所以456aa+=，设等比数列na的公比为()0qq，又451536aaaaa+==，得：4211134116aaqaqaqaq=+=，解得：1142aq==，则(

)55112314124S−==−，故选：C.5.以椭圆()222210xyabab+=的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点的双曲线的方程是（）A.22221xyab−=B.22221xyba−=C.

222221xyabb−=−D.222221xyaab−=−【答案】C【解析】【分析】分析可知，所求双曲线的焦点在x轴，设所求双曲线的标准方程为()222210,0xymnmn−=，由题意可得出m、n关

于a、b的关系式，由此可得出双曲线的标准方程.【详解】因为椭圆()222210xyabab+=的焦点在x轴上，由题意可知，所求双曲线的焦点在x轴，设所求双曲线的标准方程为()222210,0xymnmn−=

，因为所求双曲线的顶点为椭圆()222210xyabab+=的焦点，则22mab=−，而双曲线焦点在x轴上，且双曲线的焦点为椭圆()222210xyabab+=的顶点，则22mna+=，可得()22222na

maabb=−=−−=，因此，所求双曲线的标准方程为222221xyabb−=−.故选：C.6.下列函数中是偶函数且在区间()0,+上是增函数的是（）的A.()fxxx=B.()23fxx=C.()1fxxx=+D.()422fxxx=−+【答案

】B【解析】【分析】由题意对于AC，举出反例说明其不是偶函数即可；对于D，举出反例说明其在区间()0,+上不是增函数即可；对于B，按偶函数的定义证明并且由幂函数的单调性判断即可.【详解】对于A，()()1111ff=−=−，故()fxxx=不是偶函数，不符题意；

对于B，因为幂函数满足()()()()22232333fxxxxxfx−=−==−==，且其定义域为R关于原点对称，所以()23fxx=是偶函数，且203，所以()23fxx=在区间()0,+上是增函数，符合题意；对于C，()()1221ff=−=−，故()1fxxx=+不是偶

函数，不符题意；对于D，424211292227222216222412ff=−+==−+=，所以()422fxxx=−+在区间()0,+上不是增函数，不符题意

.故选：B.7.八角星纹是大汶口文化中期彩陶纹样中具有鲜明特色的花纹．八角星纹常绘于彩陶盆和豆的上腹，先于器外的上腹施一圈红色底衬，然后在上面绘并列的八角星形的单独纹样．八角星纹以白彩的成，黑线勾边，中为方形或圆形，且有向四面八方扩张的感觉．八角星纹延续的时间较长，传播范围亦广，在长

江以南的时间稍晚的崧泽文化的陶豆座上也屡见刻有八角大汶口文化八角星纹．图2是图1抽象出来的图形，在图2中，圆中各个三角形（如△ACD）为等腰直角三角形，点O为圆心，中间部分是正方形且边长为2，定点A，B所在位置如图所示，则ABAO的值为（）A.14B

.12C.10D.8【答案】A【解析】【分析】通过转化得：()()··ABAOADDBADDO=++，展开，利用向量数量积的定义计算即可.【详解】如图：连接OD因为中间是边长为2的正方形，且图中的各个三角形均为等腰直角三角形，所以45AD

OODB==，2OD=，4AD=，90ADB=.所以()()··ABAOADDBADDO=++2···ADADDODBADDBDO=+++23ππ442cos022cos44=+++14=.故选：A8.若x是不等于1的实数，我们把11x−称为x的差倒数，如3的差倒数

是11132=−−.现已知112x=，1x的差倒数是2x，2x的差倒数是3x，L以此类推，则2024x=（）A.2B.12C.12−D.1−【答案】A【解析】【分析】列出递推公式，依次求数列的各项，观察总结规律.【详解】由题意：数列nx中，112x=

，111nnxx+=−，故：212112x==−，31112x==−−，411112x==+，可知：14710···xxxx====，所以2024202120182···2xxxx=====.故选：A二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．每小题给出的四个

选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，选对但不全得2分，有选错的得0分．9.已知111ABCABC-是所有棱长都相等的直棱柱，则下列命题中正确的是（）A.当点D在棱11AB上，直线CD与侧面11ABBA所成角最大为45；B.当点D在棱11AB上（端点除外），点E在棱11AC上（端点除外

），直线CD与直线BE可能相交；C.当点D在侧面11ABBA内，点E在侧面11ACCA内，存在直线DE垂直侧面11BCCB；D.当点,,DEF分别在三个侧面上，存在DEF是直角三角形.【答案】BD【解析】【分

析】对A，取AB中点O连接CO，易得CDO为CD与侧面11ABBA所成的角，由图分析得，当OD最小时，CDO最大，运算得解；对B，当D是11AB中点，E是11AC中点时易判断；对C，利用反证法分析判断；对D，当D是AB中点，E是AC中点，F是BC靠近点C的四等分点时易判断.【详解】对于

A，如图1，取AB中点O连接CO，因为三棱柱所有棱长相等，所有三棱柱111ABCABC-为正三棱柱，所以COAB⊥，又1AA⊥平面ABC，1AACO⊥，可得CO⊥平面11ABBA，连接,CDOD，则CDO为CD与

侧面11ABBA所成的角，设三棱柱的棱长为2，则3CO=，3tanCOCDOODOD==，当OD最小时，CDO最大，显然当D是11AB中点时，OD最小为2，此时3tan12CDO=，即o45CDO，所以直线CD与侧面11AB

BA所成角的最大值不可能为o45，故A错误；对于B，当D是11AB中点，E是11AC中点时，11//DEBC，所以//DEBC，此时,,,BCED共面，所以直线CD与直线BE相交，故B正确；对于C，设点D，点E在底面ABC上的投影分别是点1D，点1E，连接1DD，1EE，则11//DDEE

，即11,,,DDEE四点共面，假设存在直线DE垂直侧面11BCCB，则DEBC⊥，又1BCDD⊥，所以BC⊥平面11DDEE，可得11BCDE⊥，而根据题意BC不可能垂直11DE，所以不存在直线DE垂直侧面11BC

CB.故C错误；对于D，如图2，当D是AB中点，E是AC中点，F是BC靠近点C的四等分点时，有DEEF⊥，所以DEF是直角三角形.故D正确.故选：BD.10.已知函数()sin(2)(0π)fxx=+的图像关于点2π,03中心对称，

则（）A.()fx在区间5π0,12单调递减B.()fx在区间π11π,1212−有两个极值点C.直线7π6x=是曲线()yfx=的对称轴D.直线32yx=−是曲线()yfx=的切线【答案】

AD【解析】【分析】根据三角函数的性质逐个判断各选项，即可解出．【详解】由题意得：2π4πsin033f=+=，所以4ππ3k+=，kZ，即4ππ,3kk=−+Z，又0π，所以2k=时，2π3=，故2π()sin23fxx=+．对A，当5π0

,12x时，2π2π3π2,332x+，由正弦函数sinyu=图象知()yfx=在5π0,12上是单调递减；对B，当π11π,1212x−时，2ππ5π2,3

22x+，由正弦函数sinyu=图象知()yfx=只有1个极值点，由2π3π232x+=，解得5π12x=，即5π12x=为函数的唯一极值点；对C，当7π6x=时，2π23π3x+=，7π()06f=，直线7π6x=不是对称轴；对D，由2π2cos213yx=+=−得

：2π1cos232x+=−，解得2π2π22π33xk+=+或2π4π22π,33xkk+=+Z,从而得：πxk=或ππ,3xkk=+Z,所以函数()yfx=在点30,2处的

切线斜率为02π2cos13xky====−，切线方程为：3(0)2yx−=−−即32yx=−．故选：AD．11.已知函数()fx的定义域为R，()()()22fxyyfxxfy=+，则（）A.()00f=B.()10f−=C.()fx是奇函数D.()fx是偶函数【答案

】ABD【解析】【分析】利用特殊值法，结合奇偶函数的定义，可得答案.【详解】对于A，在等式()()()22fxyyfxxfy=+，令0xy==，则()00f=，故A正确；对于B，在等式()()()22fxyyfxxfy=+，令1x

y==，则()10f=，再令1xy==−，则()()()111fff=−+−，解得()10f−=，故B正确；对于D，在等式()()()22fxyyfxxfy=+，令1y=−，则()()()1fxfxf−=+−，所以(

)()fxfx−=，即函数()fx为偶函数，故D正确，对C，举例函数2ln,0()0,0xxxfxx==满足题意，但其显然不是奇函数，故C错误；故选：ABD.12.小明有一条长度为A的木棍，小华有一条长度为B的木棍

，小明先将自己的木棍分成3段，然后小华也将自己的木棍分成3段，如果可用分成的6段木棍拼成2个三角形，则小华获胜；否则小明获胜，如果二人在采用最优策略的前提下小明必胜，那么有序数对(),AB可能是下面的（）A.()1.6,1.7B.()3.2,3.

1C.()123,41D.()2023,2024【答案】BC【解析】【分析】根据三角形的性质进行分析可得出结论.【详解】设AB，小明把木棍分成三段123,,aaa，则122ABaA+，所以()11AaBa−+，即231aaBa++，由此可知，小华无论怎样将他持有的木棍

分成3段，除1a外的其他5段木棍中任意两条的长度之和都小于1a，所以无法与长为1a的木棍组成三角形，故小明胜.故选：BC第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13.二项式33

12nxx−的各项系数之和为164，则展开式中常数项为____.【答案】52−【解析】【分析】利用二项式的各项系数和求出n的值，写出二项展开式通项，令x的指数为零，求出参数的值，代入通项即可得解.【详解】在二项式3312nxx−中，令

1x=，可得二项式3312nxx−的各项系数之和为11264n=，解得6n=，所以，63312xx−的展开式通项为()6112233316611CC0,1,2,,622kkkkkkkTxxxk−−−+=−=−=

，令2203k−=，可得3k=，因此，展开式中的常数项为336115C20282−=−=−.故答案为：52−.14.甲、乙两名游客慕名来到四川旅游，准备分别从九寨沟、峨眉山、海螺沟、都江堰、青城山这5个景点

中随机选一个．事件:A甲和乙选择的景点不同，事件:B甲和乙恰好有一人选择九寨沟．则条件概率()PBA=____；【答案】25##0.4【解析】【分析】计算出()PA、()PAB的值，利用条件概率公式可求得

()PBA的值.【详解】甲、乙两名游客慕名来到四川旅游，准备分别从九寨沟、峨眉山、海螺沟、都江堰、青城山这5个景点中随机选一个．事件:A甲和乙选择的景点不同，则()252A455PA==，事件:B甲和乙恰好有一人选择九寨沟，则事件:AB甲和乙中一人选九寨沟，另一人选峨眉

山、海螺沟、都江堰、青城山中的一个景点，所以，()11242CC8525PAB==，由条件概率公式可得()()()8522545PABPBAPA===.故答案为：25.15.直线230xy−+=被圆C截得

弦AB的中点为(1,2)P，且42AB=，若点P关于原点的对称点Q恰在圆C上，则圆C的标准方程为____；【答案】()22213xy−+=【解析】【分析】先用待定系数法设出圆的标准方程，根据圆心所在直线，Q点在圆上，弦长列方程组，求出待

定系数.【详解】过P点且垂直于直线230xy−+=的直线方程是：240xy+−=，圆心就在这条直线上.()1,2P关于原点的对称点是()1,2Q−−在所求圆上.设所求圆的方程为：()()222xaybr−+−=，有题意得：()

()()()()2222222240121222ababrabr+−=−−+−−=−+−+=，解得：22013abr===，所求圆的方程为：()22213xy−+=.故答案为：()22213xy−+=16.若()12el

nxxxxfxxx−−=+−，设()fx的零点分别为1x，2x，…，nx，则n＝_______________；1niix==_______________．（其中a为a向上取整，例如：2.13=，4=）的【答案】①.3②.7【解析】【分析】先利用对数恒等式的等价转化，使得

()0fx=变成lnlneelnlnxxxxxxxx+=+的形式，结合e()=xgxx的性质，讨论lnxx，lnxx+的关系.【详解】令()0fx=，则12n0elxxxxxx−−+−=，利用对数恒等式，原式等价变为：()()1ln(1)ln1(1)ln1lneee11eeeel

nlnlnxxxxxxxxxxxxxxxxxxx−−−−−+=+=+=()()1lnlnln1lnlneeeeeelnlnlnlnlnxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx−+−+===++，令e()=xgxx，于

是(ln)(ln)gxxgxx=+，由2e(1)()−=xxgxx可知()gx在(,0),(0,1)−上递减，(1,)+上递增，在1x=取到极小值(1)eg=，当x趋近于−时()gx趋近于0，x趋近于0且0x时，()gx趋近于−，x趋近于0且0x时，()gx

趋近于+，可作出e()=xgxx大致图像如下：结合图像，(ln)(ln)gxxgxx=+可能有如下情形：由e()=xgxx的单调性可知，若ln,lnxxxx+均在(),0,(0,1),(1,)−+中的一种时，则有lnlnxxxx=+.记()ln(

1)txxxx=，()1ln0(1)txxx=+，即()tx在(1,)+上递增，由14e2eln22，则(2)2ln21t=，故(1,2)t，使得ln1tt=；显然()lnqxxx=+在(0,)+上递增，由(1)1q=，故

ln1xx+时，1x，故)2,(,)xt++时，ln1,ln1xxxx+；又11(1)1,ln2022qq==−，故1,12u，使得()ln0quuu=+=，故(0,)xu时ln0,ln0xxxx+；不可能ln,lnxxxx+均满足0l

n1,0ln1xxxx+，事实上，由()ln1(1)qxxxq=+=，得到(0,1)x，这与0ln1xx矛盾.于是)(0,)2,xu+时，由(ln)(ln)gxxgxx=+可以推出：

lnlnxxxx=+.设()lnlnhxxxxx=−−，1()lnhxxx=−，由1ln,yxyx==−在(0,)+上单调递增，故1()lnhxxx=−在(0,)+上单调递增，又(1)1h=−，1(e)10eh=−

，即(1)(e)0hh，故0(1,e)x，使得0()0hx=，且0(0,)xx时，()0hx，()hx递减，0(,)xx+时，()0hx，()hx递增，故()min0000()()1lnhxhxxxx==−−，由0001()ln0hxxx=−=，可得()000000

11()11hxxxxxx=−−=−−，由0(1,e)x，根据基本不等式，00001122xxxx+=（等号取不到），故0001()11hxxx=−−−，又(1)1h=−，1210eeh=−，故存在101,1(0,)exx

，使得1()0hx=；32(3)2ln332ln3lneh=−=−，显然33e2.79，故32e3，即(3)0h；43(4)3ln443ln4lneh=−=−，显然28e，故223348e=，即

(4)0h.由(3)(4)0hh，故20(3,4)(,)xx+，使得2()0hx=.注意到11(1)10eeqq=−，故1,1eu.综上讨论，当lnlnxxxx=+时原方程有两个根：11,1ex，2

(3,4)x；虽说(,2)xt，ln1,ln1xxxx+，根据上述讨论，lnlnxxxx=+在(,2)xt上无实根.即(0,)(,)xut+时，()fx有两个零点：11,1ex，2(3,4)x.当[,1]xu时，ln0,ln0xxxx+，而[,1]x

u时，ln0xx，0ln1xx+，而()gx在0x=处无定义，不可能有(ln)(ln)gxxgxx+=，即),1xu时，()fx无零点；当(1,2)x时，注意到1x且x趋近于1时，()fx趋近于+，又22222(2)1e1e5e0

1ln22f=+−+−=−，故(1,2)x时，()fx存在零点3x，即3(1,2)x，使得3333(ln)(ln)gxxgxx+=，若4(1,)xt，且43xx，不妨设43xx，由于ln,lnyxxyxx==+均在(1,2)上单调递增，故44331lnln0xxxx，

4433lnln1xxxx++，()gx在(0,1)上递减，在(1,)+递增，故44333344(ln)(ln)(ln)(ln)gxxgxxgxxgxx++=，于是3(1,2)xx=是唯一实

根.综上所述，原函数有11,1ex，2(3,4)x，3(1,2)x三个零点，1231427xxx++=++=.故答案为：3;7【点睛】本题难点在于利用对数恒等式将方程等价转

化，用同构的观点利用方程构造出函数e()=xgxx的形式，然后利用()gx的性质解题.四、解答题：本大题共6小题，17小题10分，18~22每小题12分，共计70分．解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，

证明过程或演算步骤．17.设数列na满足24a=，122nnaa+=−．（1）求数列na的通项公式；（2）求数列na的前2n项和2nS．【答案】（1）122nna−=+（2）2441nnSn=+-【解析】【分析】（1）推导出数列2na−为等比数列，确定该

数列的公比和第二项的值，即可求得数列na的通项公式；（2）利用分组求和法可求得2nS.【小问1详解】解：因为数列na满足24a=，122nnaa+=−，则()122422nnnaaa+−=−=−，且22422a−=−=，所以，数列2na−是等比数列，且该数列的第二项为2

，公比为2，所以，212222nnna−−−==，则122nna−=+.【小问2详解】解：因为122nna−=+，所以，()()()()01221222222222nnS−=++++++++L()20122112222222444112nnnnn

n−−=+++++=+=+−−L.18.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且acosB﹣bcosA＝12c．(1)求证：tanA＝3tanB；(2)若B＝45°，b＝5，求△ABC的面积．【答案】(1)证明见解析；(2)3.【解析】【分析】(

1)题中等式利用正弦定理化简，利用同角三角函数间基本关系整理即可得证；(2)由tanB的值确定出tanA的值，进而求出sinA与cosA的值，由sinC＝sin(A＋B)求出sinC，利用正弦定理求出c，利用三角形面积公式即可求出△ABC面积．【详解】(1)1coscos2

aBbAc−=，由正弦定理得：()1111sincossincossinsinsincoscossin2222ABBACABABAB−==+=+，整理得：sincos3cossinABAB=，coscos0AB，

tan3tan;AB=(2)tan3tan3AB==，A∈(0，π)，310sin10A=，10cos10A=，由正弦定理sinsinabAB=得，3105sin103sin22bAaB===，()310210225sinsinsincosco

ssin1021025CABABAB=+=+=+=，1125sin353.225ABCSabC===19.如图，在正方形ABCD中，点E为AD上动点，点F为AB上动点，满足AEAF=，将DEC、B

FC△分别沿CE、CF折起，使D、B两点重合于点P．（1）证明：PCEF⊥；（2）若12AFAB=，求二面角PEFC−−的平面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）13【解析】【分析】（1）证明出P

C⊥平面PEF，利用线面垂直的性质可证得结论成立；（2）设1==AEAF，以点P为坐标原点，PE、PF、PC所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角PEFC−−的平面角的余弦值.【小问1详解】翻折前，因为四边形ABCD是正方形，则BCBF

⊥，CDDE⊥，翻折后，则有PCPE⊥，PCPF⊥，因为PEPFP=，PE、PF平面PEF，所以，PC⊥平面PEF，因为EF平面PEF，故PCEF⊥.【小问2详解】设1==AEAF，因为12AFAB=，则在三棱锥

PEFC−中，2PC=，1PEPF==，由题意可知，PEPF⊥，又因为PC⊥平面PEF，以点P为坐标原点，PE、PF、PC所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0P、()1,0,0E、()0,1,0F、()0,0,2C，设平面EFC的法向量

为(),,mxyz=，()1,1,0FE=−，()0,1,2FC=−，则020mFExymFCyz=−==−+=，取1z=，可得()2,2,1m=，易知平面PEF的一个法向量为()0,0,1n=，则11cos,313mnmnmn===，由图可知，

二面角PEFC−−的平面角为锐角，故二面角PEFC−−的平面角的余弦值为13.20.减脂是现在很热的话题，人体内的脂肪会受年龄的影响而不同，为了解脂肪和年龄是否有关系，某兴趣小组得到年龄和脂肪观测值的如下数据：年龄2327394145505356脂肪值9.517

.821.225.927.528.229.631.4并计算得88822iiiii=1i=1i=141.8,23.9,14930,4941,8562.5xyxyxy=====．（1）求年龄和脂肪值的样本相关系数

（精确到0.01）；（2）已知年龄和脂肪观测值近似成正比．利用以上数据给出年龄35岁的脂肪观测值的估计值．附：相关系数iii=122iii=1i=1()()()(8,353526.3456594.5)nnnxxyyrxxyy−−=−−．【

答案】（1）0.96（2）20【解析】【分析】（1）根据相关系数的求解公式，可得答案；（2）根据样本中心，结合题意中的中比，可得答案.【小问1详解】1888iiii=1i=188222222iiiii=1i=1i=18i=()()8(

)()(8)(8)ixxyyxxyrxxyyxxyyy−−−=−−−−()()22952.08371.3214930841.84941823.68562.5841.823.9570.34570.340.9594.589=−=−−.【小问2详解】设年龄35岁的脂肪观测值的

估计值为Y，又已知年龄和脂肪观测值近似成正比，可得41.83523.9Y=，解得20Y，所以年龄35岁的脂肪观测值的估计值为20.21.已知椭圆()222210xyabab+=的右焦点为()1,0F，直线7yx=−与椭圆有且仅有一个交点.（1）求椭圆的标准方程；（2）直线l交椭圆于

A、B两点，若0FAFB=，试求直线l在x轴上的截距的取值范围.【答案】（1）22143xy+=（2）462462,,77−+−+【解析】【分析】（1）由已知可得出221ab−=，将直线7yx=−的方程与椭圆的方程联立，

由Δ0=可得出227ab+=，可得出2a、2b的值，由此可得出椭圆的标准方程；（2）设直线l的方程为xkyt=+（其中t为直线AB在x轴上的截距），设点()11,Axy、()22,Bxy，将直线l的方程与椭圆的方程联立，由0可得出

2234kt−，列出韦达定理，结合0FAFB=可得出227889ttk--=，结合20k可解得t的取值范围，即为所求.【小问1详解】解：因为椭圆()222210xyabab+=的右焦点为()1,0F，则221ab−=，又因为直线7yx=−与椭圆()222210xyabab+=

有且仅有一个交点，联立222271yxxyab=−+=可得()22222222770baxaxaab+-+-=，则方程()22222222770baxaxaab+-+-=有且仅有一个解，所以，()

()42222228470aabaabD=-+-=，整理可得227ab+=，又因为221ab−=，所以，24a=，23b=，因此，椭圆的方程为22143xy+=.【小问2详解】解：由题意可知，()1,0F为椭圆的右焦点，依题意，

设直线AB的方程为xkyt=+（其中t为直线AB在x轴上的截距），设点()11,Axy、()22,Bxy，联立223412xkytxy=++=可得()2223463120kytkyt+++-=，()()()()22222643431248340tkktktD=-+-=-+>，

即2234kt−，由韦达定理可得122634tkyyk-+=+，212231234tyyk−=+，因为11xkyt=+，22xkyt=+，所以，()()11111,1,FAxykyty=−=+−，同

理可得()221,FBkyty=+−，所以，()()()()()()221212121211111FAFBkytkytyykyyktyyt=+−+−+=++−++−()()()()222221312611034

ktktttk+−−−=+−=+，整理可得227889ttk--=，又因为2234kt−，所以，()2278834ttt-->-，即()210t−，所以，1t，又因为20k，则27880tt−−，解得4627t−或4627t+.因此，直线l在x轴上的截距

的取值范围是462462,,77−+−+.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题五种求解策略：（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数范围，求新的参数

的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.22.

已知函数22()(1)()2xafxxexea=−−+R．（1）讨论函数()yfx=的单调性；（2）若函数()yfx=有三个不同的零点，求实数a的取值范围．【答案】（1）答案见解析（2）()2,e+

的的【解析】【分析】（1）求出导函数()fx，然后分0a，01a，1a=，1a四种情况分别讨论即可求解；（2）根据（1）结论分析可得①②③不符合题意，则1a，根据函数零点存在定理可得当2ae时，函数(

)fx在区间2,0ea−、(0,ln)a和(ln,1)aa+上各有一个零点.【小问1详解】解：()()xxfxxeaxxea=−=−，①当0a时，(,0)−0(0,)+()fx−0+()fx单调递减极小值单调递增②当01a时，(,ln)a−

lna(ln,0)a0(0,)+()fx+0−0−()fx单调递增极大值单调递减极小值单调递增③当1a=时，()fx在R上单调递增，④当1a时，(,0)−0(0,ln)alna(ln,)a+()fx+0−0−()fx单调递增极大值单调递减极小值单调递增综上可得：当0a时，()

fx在(,0)−上单调递减，(0,)+上单调递增，当01a时，()fx在(,ln)a−上单调递增，(ln,0)a上单调递减，(0,)+上单调递增，当1a=时，()fx在R上为增函数，当1a时，()fx在(,0)−单调递增，(0,ln)a上单调递减，(ln,)a+

上单调递增，【小问2详解】解：由（1）可知①③两种情况显然不符合题意，当01a时，2(0)10fe=−，不符合题意，当1a时，i）()fx在区间(,0]−上单调递增，222210,(0)10eaeefefe

aa−−=−−=−，12,0exa−，使得()10fx=，ii）()fx在区间[0,ln]a上单调递减，22(ln)(ln1)ln2afaaaae=−−+，令ln(0,)at=+，设22()12ttgt

tee=−+−+，2()02ttgte=−，()gt在区间(0,)+上单调递减，又(2)0=g，2t，即2ae时(ln)0fa，2(0)10fe=−，2(0,ln)xa使得()20f

x=，iii）()fx在区间[ln,)a+上单调递增，当2ae时，ln2xa，令2()xhxex=−，()20()(2)0xhxehxh=−，()hx在区间(2,)+上单调递增，()(2)0hxh恒成立，即2xex，222()(1)2a

fxxxxe−−+，2ae时，1lnaa+，22(1)(1)02afaae+++，此时(ln)0,(1)0fafa+，3(ln,1)xaa+使得()30fx=．综上，实数a的取值范围为()2,e+.【点睛】关键点点睛

：本题（2）问解题的关键是当2ae时，利用函数零点存在定理分别判断函数()fx在区间2,0ea−、(0,ln)a和(ln,1)aa+上各有一个零点.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com