【文档说明】2021-2022学年高中数学北师必修五教师用书：第一章 3.2.2 等比数列习题课 含解析【高考】.doc，共(10)页，333.000 KB，由小赞的店铺上传

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-1-第2课时等比数列习题课学习目标1.进一步熟练掌握等比数列及其前n项和的应用(数学运算)2.掌握等差、等比数列的综合应用(逻辑推理)关键能力·合作学习类型一等比数列的基本运算(数学运算)1.已知等比数列{an}中,a3=3,a10=384,则该

数列的通项公式an=.2.已知数列{an}满足1+log3an=log3an+1(n∈N+)且a2+a4+a6=9,则lo(a5+a7+a9)的值是()A.B.-C.5D.-53.(2020·抚州高一检测)等比数列各项均为正数,若a1=1,an+2+2an+1=15an,则的前6项和为()A.3

64B.63C.D.【解析】1.由已知得==q7=128=27,故q=2.-2-所以an=a1qn-1=a1q2·qn-3=a3·qn-3=3×2n-3.答案:3×2n-32.选D.由1+log3an=log3an

+1(n∈N+),得an+1=3an,即{an}是公比为3的等比数列.设等比数列{an}的公比为q,又a2+a4+a6=9,则lo(a5+a7+a9)=lo[q3(a2+a4+a6)]=lo(33×9)=-5.3.选A.an+2+2

an+1=15an等价于anq2+2anq=15an因为an>0,故可得q2+2q-15=0,解得q=-5(舍),q=3;故由公式可得S6==364.等比数列中的基本运算技巧(1)数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通过

列方程(组)所求问题可迎刃而解.(2)解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关公式并灵活运用,在运算过程中,还应善于运用整体代换思想简化运算的过程.(3)在使用等比数列的前n项和公式时,应根据公比q的情况进行分类讨论,切不可忽视q的取值而盲目用求和公式.类型二等比数列前n项和的应用(逻辑推理)

角度1等比数列前n项和的实际应用-3-【典例】某同学利用暑假时间到一家商场勤工俭学.该商场向他提供了三种付酬方案:第一种,每天支付38元;第二种,第一天付4元,第二天付8元,第三天付12元,以此类推;第三种,第一天付0.4元,以后每天比前一天翻一番(即增加1倍).他应该选择哪种方式领取报酬呢?

【思路导引】结合题意建立等比数列模型求解.【解析】设该学生工作n天,每天领工资an元,共领工资Sn元,则第一种方案an(1)=38,Sn(1)=38n;第二种方案an(2)=4n,Sn(2)=4(1+2+3+…+n)=2n2+2n;第三种方案an(3)=0.4×2n-1,S

n(3)==0.4(2n-1).令Sn(1)≥Sn(2)即38n≥2n2+2n,解得n≤18,即小于或等于18天时,第一种方案比第二种方案报酬高(18天时一样高).令Sn(1)≥Sn(3),即38n≥0.4×(2n-1),利用计算器计算得小于或等于9天时,第一种方案报酬高,所以少

于10天时,选择第一种方案.比较第二、第三种方案,S10(2)=220,S10(3)=409.2,S10(3)>S10(2),…,Sn(3)>Sn(2).所以等于或多于10天时,选择第三种方案.综上,当小于或等于9天时,选择第

一种方案,等于或多于10天时,选择第三种方案.角度2错位相减法求和【典例】已知数列{an}是首项为正数的等差数列,数列-4-的前n项和为.(1)求数列{an}的通项公式.(2)设bn=(an+1)·,求数列{bn}的前n项和Tn.【思路点拨】数列{an}是等差数列

,{}是等比数列,求数列{bn}的前n项和,可采用错位相减法.【解析】(1)设数列{an}的公差为d,令n=1,得=,所以a1a2=3.①令n=2,得+=,所以a2a3=15.②由①②解得a1=1,d=2,所以an=2n-1.经检验,符合题意.(2)由(1)知bn=2n·2

2n-1=n·4n,所以Tn=1·41+2·42+…+n·4n,4Tn=1·42+2·43+…+n·4n+1,两式相减,得-3Tn=41+42+…+4n-n·4n+1=-n·4n+1=×4n+1-.所以Tn=×4n+1+=.1.错位相减法的适用范围及注意事项-5-

(1)适用范围:主要适用于{an}是等差数列,{bn}是等比数列,求数列{anbn}的前n项和.(2)注意事项:①利用“错位相减法”时,在写出Sn与qSn的表达式时,应注意使两式对齐,以便于作差,正确写出(1-q)Sn的表达式;②利用

此法时要注意讨论公比q是否等于1.2.错位相减法进行求和的基本步骤(1)在等式Sn=a1+a2+a3+…+an两边同乘以等比数列的公比q.(2)两式相减:左边为(1-q)Sn,右边为q的同次式对齐相减.(3)右边去掉最后一项(有时需要去掉第一项)剩下的各项组成

等比数列,可以采用公式求和.1.国家计划在西部地区退耕还林6370万亩,2015年底西部已退耕还林的土地面积为515万亩,以后每年退耕还林的面积按12%递增.试问从2015年底,到哪一年底西部地区才能

完成退耕还林计划?(1.128≈2.476,1.127≈2.211)(精确到年)【解析】设从2015年底起以后每年的退耕还林的土地依次为a1,a2,a3,…,an,…万亩.则a1=515(1+12%),a2=515(1+12%)2,…,an=515(1+12%)n,….Sn=a1+a2

+…+an==6370-515,所以515×1.12×(1.12n-1)=5855×0.12.-6-即1.12n≈2.218.又因为n∈N+,当n=7时,1.127≈2.211,此时完不成退耕还林计划,所以n=8.故到2023年底西部

地区才能完成退耕还林计划.2.(2020·宁化高一检测)已知是各项均为正数的等比数列,且a1+a2=3,a3+a4=12,数列满足++…+=an+1.(1)分别求数列,的通项公式;(2)设数列的前n项和Tn,求Tn的最小值.【解题指南】(1)根据是各项

均为正数的等比数列,利用“a1,q”求解,然后利用数列通项公式与前n项和的关系求解bn.(2)利用错位相减法求Tn,再利用作差法判断Tn的增减性求最值.【解析】(1)因为是各项均为正数的等比数列,所以a3+a4=q2,因为a1+a2=3,a3+a4=12,

所以q2=4,所以q=2,所以a1+a2=3a1=3,所以a1=1,所以an=2n-1,又因为++…+=an+1,所以++…+=2n,-7-n=1时b1=2,所以++…+=2n-1(n≥2),两式相减得=2n-2n-1=2n-1,所以bn=(2n-1)2n-1(n

≥2),因为b1=2不满足bn,所以bn=(2)当n=1时,T1=2;当n≥2时,Tn=2+3·21+5·22+…+(2n-1)2n-1,2Tn=2·2+3·22+5·23+…+(2n-3)2n-1+(2n-1)2n

,所以-Tn=2+2+2·22+…+2·2n-1-(2n-1)2n=2-(2n-1)2n=2-(2n-1)2n,所以Tn=4+(2n-3)2n,因为T1=2满足Tn,所以Tn=4+(2n-3)2n,因为Tn+1-Tn=4+(2n+2-3)2n+1-=

(2n+1)·2n>0,所以数列为递增数列,所以Tn的最小值为2.课堂检测·素养达标1.计算机的价格不断降低,若每台计算机的价格每年降低,则现在价格为8100元的计算机3年后的价格可降低为()-8-A.300元B.900元C.2400元D.3600元【解析】选C.降低后的

价格构成以为公比的等比数列.则现在价格为8100元的计算机3年后的价格可降低为8100×=2400(元).2.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若a3=2S2+1,a4=2S3+1,则公比q等于()A.-3B.-1C.1D.3【解析】选D.由a3=2S2+1,a4=

2S3+1,两式相减得a4-a3=2a3,从而q==3.3.已知等比数列的前n项和为Sn,且满足2Sn=2n+1+λ,则λ的值是()A.4B.2C.-2D.-4【解题指南】利用Sn先求出an,然后计算出结果.【解析】选C.根据题意,当n=1时

,2S1=2a1=4+λ,所以a1=,故当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-1,因为数列是等比数列,则a1=1,故=1,解得λ=-2.4.(教材二次开发:习题改编)若数列满足a1=-2,且对于任意的m,n∈N*,都有am+n=am·

an,则a3=;数列前10项的和S10=.-9-【解析】由am+n=am·an得a2=a1·a1=4,a3=a2·a1=-8,由am+n=am·an得an+1=a1·an=-2an,所以数列为等比数列,因此S10==682.答案:-86825.设数列{(n2+n)an}是等比数列,且a1=,a2=

,则数列{3nan}的前15项和为.【解析】等比数列{(n2+n)an}的首项为2a1=,第二项为6a2=,所以公比为,所以(n2+n)an=·=,所以an=,则3nan==-,其前n项和为1-,当n=15时,为1-=.答案:6.已知{an}是各项均为正数

的等比数列,且a1+a2=6,a1a2=a3.(1)求数列{an}的通项公式;(2){bn}为各项非零的等差数列,其前n项和为Sn,已知S2n+1=bnbn+1,求数列的前n项和Tn.【解析】(1)设{an}的公比为q,由已知又an>0,-10-解得所以an=2n.(2)由已知S2n+1

==(2n+1)bn+1,又S2n+1=bnbn+1,bn+1≠0,所以bn=2n+1.令cn=,则cn=,所以Tn=c1+c2+…+cn=+++…++,又Tn=+++…++,两式相减得Tn=+-,所以Tn

=5-.