【文档说明】2021-2022学年高中数学北师必修五教师用书：第一章 3.1.2 等比数列的性质 含解析【高考】.doc，共(12)页，389.500 KB，由小赞的店铺上传

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-1-第2课时等比数列的性质学习目标1.理解等比数列的函数特性(数学抽象)2.掌握等比中项的定义并能应用定义解决问题(数学抽象)3.能在具体的问题情境中,发现数列的等比关系并解决相应的问题(逻辑推理)必备知识·自主学习导

思1.等比数列{an}中,若公比q>1,则数列{an}是单调递增数列吗?2.任意两个数都有等差中项,任意两个数都有等比中项吗?1.等比数列的增减性(1)q<0时,{an}是摆动数列.(2)0<q<1时,若a1>0,则{an}是减数列,若a1<0,则{an}是增数列.(3

)q=1时,{an}是常数列,不具有增减性.(4)q>1时,若a1>0,则{an}是增数列,若a1<0,则{an}是减数列.等比数列的公比对等比数列项的符号有怎样的影响?提示:由等比数列的定义可知:(1)当q=1时,等比数列是一个常数列,各项都等于首项a1.(2)当q=-1时,

等比数列是一个摆动数列,奇数项为a1,偶数项为-a1.一般地,q>0时,等比数列各项的符号相同;q<0时,等比数列各项的符号正负交替.-2-2.等比中项(1)前提:在a与b中插入一个数G,使得a,G,b成等比数列.(2)结论:G叫作a,b的等比中项.(3

)满足关系式:G2=ab.“G是a与b的等比中项”的等价形式有哪些?提示:G是a与b的等比中项,等价于a,G,b(或b,G,a)成等比数列,等价于G2=ab.1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”).(1)等差数列的增减性只由公差决定,等比数列的增减性也只由公比决

定.()(2)任意两个数都有等差中项,也都有等比中项.()(3)等差中项是唯一的,等比中项也是唯一的.()(4)若G2=ab,则a,G,b一定成等比数列.()提示:(1)×.还必须考虑首项的符号.(2)×.只有两个同号的数才有等比中项.(3)×.若两个数有等比中项,一定是互为相反数的两个.(4

)×.当a,G,b都不为零时,a,G,b才成等比数列.2.已知等比数列{an},a1=1,a3=,则a5等于()-3-A.±B.-C.D.±【解析】选C.根据等比数列的性质可知,a1a5=,a5==.3.等比数列{an}的公比q=-,a1=,则数列{an}是()A.递增数列B.递减数列C.常数数

列D.摆动数列【解析】选D.因为公比q=-<0,所以数列{an}是摆动数列.4.(教材二次开发:习题改编)等比数列{an}中,若a1=2,且{an}是递增数列,则数列{an}的公比q的取值范围是.【解析】因为a1=2>0,

要使{an}是递增数列,则需公比q>1.答案:(1,+∞)关键能力·合作学习类型一等比数列性质的应用(逻辑推理)1.在等比数列{an}中,a3=16,a1a2a3…a10=265,则a7等于.【解析】因为a1a2a3…

a10=(a3a8)5=265,所以a3a8=213,又因为a3=16=24,所以a8=29.因为a8=a3·q5,所以q=2.所以a7==256.答案:2562.在各项均为正数的等比数列{an}中,若a3a5=4

,则-4-a1a2a3a4a5a6a7=.【解析】因为a3a5==4,an>0,所以a4=2.所以a1a2a3a4a5a6a7=(a1a7)·(a2a6)·(a3a5)·a4=43×2=128.答案:1283.

(2020·余姚高一检测)已知等比数列,若a5=2,a9=32,则a4·a10=()A.±16B.16C.±64D.64【解析】选D.因为为等比数列,且a5=2,a9=32,由等比数列的性质得,a4·a1

0=a5·a9=2×32=64.4.已知等比数列,满足log2a3+log2a10=1,且a3a6a8a11=16,则数列的公比为()A.4B.2C.±2D.±4【解析】选B.等比数列中,log2a3+log2a10=1⇒log2(

a3a10)=1⇒a3a10=2①,a3a6a8a11=16⇒=16,由等比数列各项正负性的性质可知:a3,a11同号,故a3a11=4②,②除以①,得:等比数列的公比q==2.-5-等比数列的常用性质性质1:通项公式的推广:an=am·qn-m(n,m∈N+)

.性质2:若{an}为等比数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N+),则ak·al=am·an.性质3:若{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则{λan},,{},{an·bn},仍是等比数列.

类型二等比中项的应用(逻辑推理)【典例】三个正数成等差数列,它们的和等于15,如果它们分别加上1,3,9就成等比数列,求这三个数.【思路导引】设成等差数列的数为未知数,然后利用等比数列的知识建立方程组求解.另外,对本题若设所求三数为a,b,c,则列出三个方程求解,运算过程冗

繁,因此在计算过程中,设的未知数个数应尽可能少.【解析】设所求之数为a-d,a,a+d,则由题设得解此方程组,得或又三个数为正数,所以d=2所以所求三数为3,5,7.应用等比中项解题的两个注意点(1)要证三个数a,G,b成等比数列,只

需证明G2=ab,其中a,b,G均不为零.(2)已知等比数列中的相邻三项an-1,an,an+1,则an是an-1与an+1的等比中-6-项,即=an-1an+1,运用等比中项解决问题,会大大减少运算过程.(2020·包头高一检测)已知等比数列满足a1=,a3a5=4,则a2

=()A.2B.1C.D.【解析】选C.由题意可得a3a5==4⇒a4=2,所以q3==8⇒q=2,故a2=a1q=.类型三等差数列与等比数列的综合应用(逻辑推理)角度1求通项公式【典例】已知{an}是各项均为正数的等差数列,公差为2.对任意的n∈N+,bn是an和an+1的等比中项.c

n=-,n∈N+.(1)求证:数列{cn}是等差数列;(2)若c1=16,求数列{an}的通项公式.【思路导引】(1)利用条件化简cn-cn-1=常数,证明{cn}为等差数列.(2)求得a1进而求an.【解析】(1)因为=anan+1,所以cn-cn-1=(-)

-(-)=(an+1an+2-anan+1)-(anan+1-an-1an)-7-=an+1(an+2-an)-an(an+1-an-1)=an+1·2d-an·2d=2d(an+1-an)=2d2=8(常数

),所以数列{cn}是等差数列.(2)c1=16,则-=16,所以a2·a3-a1a2=16,a2(a3-a1)=16,(a1+d)·2d=16,解得a1=2,所以an=2+(n-1)·2=2n.已知数列{an}为

等差数列,a1,a2,a3成等比数列,a1=1,则a2020=()A.5B.1C.0D.-1【解析】选B.设等差数列{an}的公差为d,则由a1,a2,a3成等比数列得(1+d)2=1+2d,解得d=0,所以a202

0=a1=1.角度2求前n项的和【典例】已知首项为的等比数列{an}是递减数列,且a1,a2,2a3成等差数列;数列{bn}的前n项和为Sn,且Sn=n2+n,n∈N+.(1)求数列{an},{bn}的通项公式;(2)已知cn=·log2an,求数

列的前n项和Tn.【思路导引】(1)由a1,a2,2a3成等差数列求q,可得{an}通项公式;由Sn=n2+n,n∈N+利用bn=求得{bn}通项公式.-8-(2)整理=,可用裂项相消法求和.【解析】(1)设等比数列{an}的公比为q,由题知a

1=,又因为a1,a2,2a3成等差数列,所以3a2=a1+2a3,所以q=+q2,解得q=1或q=.又由{an}是递减数列,所以q=.所以an=a1qn-1=,当n=1时,b1=2,当n≥2时,bn=Sn-Sn-1

=n2+n-[(n-1)2+(n-1)]=2n.又b1=2满足该式,所以数列{bn}的通项公式为bn=2n(n∈N+).(2)由于cn=·log2an=-n(n+1),所以==-,所以Tn=-=-=-,故Tn=-(n∈N+)

.求解等差、等比数列综合问题的技巧-9-(1)理清各数列的基本特征量,明确两个数列间各量的关系.(2)发挥两个数列的基本量a1,d或a1,q的作用,并用好方程这一工具.(3)结合题设条件对求出的量进行必要的检验.1.在等比数列{

an}中,若a7=-2,则此数列的前13项之积等于.【解析】因为{an}是等比数列,所以a1a13=a2a12=a3a11=a4a10=a5a9=a6a8=,所以a1a2a3…a13=()6·a7=,又a7=-2,所以a1a2a3…a13=(-2)13

=-213.答案:-2132.已知等差数列{an}的公差d≠0,且a1,a3,a9成等比数列,则的值为.【解析】因为a1,a3,a9成等比数列,所以=a1·a9;所以(a1+2d)2=a1(a1+8d),解得d=a1,所以===.答案:3.

已知等差数列{an}的公差为2,前n项和为Sn,且S1,S2,S4成等比数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)令bn=(-1)n-1,求数列{bn}的前n项和Tn.-10-【解析】(1)因为S1=a1,S2=2a1+×2=2a1+2,S4=4a1+×2=4a1+12

,由题意,得(2a1+2)2=a1(4a1+12),解得a1=1,所以an=2n-1.(2)bn=(-1)n-1=(-1)n-1=(-1)n-1,当n为偶数时,Tn=-+…+-=1-=;当n为奇数时,Tn=-+…-+=1+=,所以Tn=.课堂检测·素养达标1.等比数列{an}中,a2=

4,a7=,则a3a6+a4a5的值是()A.1B.2C.D.-11-【解析】选C.a3a6=a4a5=a2a7=4×=,所以a3a6+a4a5=.2.公比为的等比数列{an}的各项都是正数,且a3a11=16,则log2a16=()A.4B.5C.6D.7【解析】选B.a3a11=16⇔=16

⇔a7=4⇒a16=a7×q9=32⇔log2a16=5.3.已知等差数列{an}的公差为2,若a1,a3,a4成等比数列,则a2=.【解析】由已知,a3=a1+4,a4=a1+6.因为a1,a3,a4成等比数列,所以=a1a4,所以(a1+4)2=(a1+6)

a1,解得a1=-8,所以a2=-6.答案:-64.在1与2之间插入6个正数,使这8个数成等比数列,则插入的6个数的积为.【解析】设这8个数组成的等比数列为{an},则a1=1,a8=2.插入的6个数的积为a2a3a4a5a6a7=(a2a7

)·(a3a6)·(a4a5)=(a1a8)3=23=8.答案:85.(教材二次开发:习题改编)已知数列为等比数列,其中a5,a9为方程x2+2019x+9=0的两个根,则a7的值为()-12-A.-

3B.3C.±3D.9【解题指南】由根与系数的关系求得a5a9,再利用等比数列的下标和性质,即可求得a7.【解析】选A.因为a5,a9为方程x2+2019x+9=0的两个根,故可得a5a9=9,a5+a9=-2019,故a5<

0,a9<0,根据等比数列的下标和性质a5a9==9,解得a7=±3.又因为a7=a5q2,a5<0,故可得a7<0,故a7=-3.6.设{an}是各项均为正数的等比数列,bn=log2an,若b1+b2+b3=3,b1·b2·b3=-3,求此等比数列的通项公式a

n.【解析】由b1+b2+b3=3,得log2(a1·a2·a3)=3,所以a1·a2·a3=23=8,因为=a1·a3,所以a2=2,又b1·b2·b3=-3,设等比数列{an}的公比为q,则log2·log2(2q)=-3.解得q=4或,

所以所求等比数列{an}的通项公式为an=a2·qn-2=22n-3或an=25-2n.