【文档说明】2021-2022学年高中数学北师必修五教师用书：第一章 3.2.1 等比数列的前n项和 含解析【高考】.doc，共(13)页，456.500 KB，由小赞的店铺上传

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-1-3.2等比数列的前n项和第1课时等比数列的前n项和学习目标1.掌握等比数列前n项和公式及其应用(数学抽象)2.会用错位相减法求数列的和(数学运算)必备知识·自主学习导思1.等比数列的前n项和公式中涉及哪些量?2.当等比数列的公比q≠1时

,其前n项和公式可化为Sn=-Aqn+A的形式,其中的A是什么?等比数列的前n项和公式1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”).(1)1+x+x2+x3+x4+…+xn=.()(2)若Sn是等比数列{an}的前n项和,则Sn=a1

+qSn-1.()-2-(3)若Sn是等比数列{an}的前n项和,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n一定也成等比数列.()提示:(1)×.当x=1时,1+x+x2+x3+x4+…+xn=n.(2)√.Sn=a1+a2+a3+…+an=a1+q(a1+a2+…+an-1)=a1+qS

n-1.(3)×.当q=-1时Sn可能为0.2.等比数列{an}的首项a1=1,公比q=2,则S6=()A.-63B.31C.-31D.63【解析】选D.S6==26-1=64-1=63.3.数列{an}的前n项和Sn=3n+a,要使{an}是等比数列,则a的值为()

A.0B.1C.-1D.2【解析】选C.因为an=要使数列{an}成等比数列,则3+a=2·31-1=2,即a=-1.4.(教材二次开发:习题改编)等比数列{an}的前n项和Sn=k·3n+1,则k的值为()A.全体实数B.-1C.1D.3-3-【解

析】选B.当n=1时,a1=S1=3k+1;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=k·3n-k·3n-1=2k·3n-1.令3k+1=2k得k=-1.关键能力·合作学习类型一等比数列前n项和的基本计算(数学运算)1.等比数列{an}的各项均为实数,其前n项和为Sn,已知S

3=,S6=,则a8=.【解析】设{an}的首项为a1,公比为q,则解得所以a8=×27=25=32.答案:322.设Sn是等比数列的前n项和,且满足3S9=7S6,mS6=nS3,则=【解析】设等比数列的

公比为q,若q=1,则3S9=27a1,7S6=42a1,3S9=7S6,则a1=0,显然不成立;故q≠1,因为3S9=7S6,mS6=nS3,所以3×=7×,-4-m=n,所以3(1+q3+q6)=7(1+q3),解得q

3=2或-.所以=1+q3=3或.答案:3或3.在数列{an}中,a1=2,an+1=2an,Sn为{an}的前n项和.若Sn=126,则n=.【解析】因为a1=2,an+1=2an,所以数列{an}是首项为2,公比为2的等比数列,又因为Sn=

126,所以=126,所以n=6.答案:64.等比数列{an}中,a1=1,a5=4a3.(1)求{an}的通项公式.(2)记Sn为{an}的前n项和.若Sm=63,求m.【解析】(1)设{an}的公比为q,由题

设得an=qn-1.由已知得q4=4q2,解得q=0(舍去),q=-2或q=2.故an=(-2)n-1或an=2n-1.(2)若an=(-2)n-1,则Sn=.由Sm=63得(-2)m=-188,此方程没有正整数解.-5-若an=2n-1,则Sn=2n-1.由Sm=63得2m=64,解

得m=6.综上,m=6.等比数列前n项和的运算技巧(1)在解决与前n项和有关的问题时,首先要对公比q=1或q≠1进行判断,若两种情况都有可能,则要分类讨论.(2)在等比数列{an}的五个量a1,q,an,n,Sn中,a1与q是最基本的元

素,在条件与结论间的联系不明显时,均可以用a1与q列方程组求解.特别提醒:等比数列的公比q一定不为0.【补偿训练】已知数列{an}中,a1,a2,a3,…,an,…构成一个新数列:a1,(a2-a1),…,(

an-an-1),…,此数列是首项为1,公比为的等比数列.(1)求数列{an}的通项.(2)求数列{an}的前n项和Sn.【解析】(1)an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=1+++…+=.(2)Sn=a1+a2+a3+…+an=++…-6-+==n-=(2n-1)

+.类型二等比数列前n项和的性质(逻辑推理)【典例】(1)各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=2,S3n=14,则S4n=()A.80B.30C.26D.16(2)一个等比数列的首项为1,项数是偶

数,其奇数项的和为85,偶数项的和为170,则此数列的公比为,项数为.(3)若{an}是等比数列,且前n项和为Sn=3n-1+t,则t=.【思路导引】(1)应用Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…成等比数列求解;(2)根据所给等式列方程组求解

;(3)利用a1,a2,a3是等比数列求解.【解析】(1)选B.由题意知:Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,S4n-S3n成等比数列,设公比为q,则S3n=Sn+(S2n-Sn)+(S3n-S2n)=2×(1+q+q2)

=14,解得q=2,所以S4n-S3n=2q3=2×8=16,S4n=S3n+(S4n-S3n)=14+16=30.(2)设数列为{an},其公比为q,项数为2n,则奇数项,偶数项分别组成以q2为公比的等比数列,又a1=

1,a2=q,q≠1,-7-所以由②÷①,得q=2,所以=85,4n=256,故得n=4,故项数为8.答案:28(3)由题目条件Sn=3n-1+t得a1=S1=1+t,a2=S2-S1=2,a3=S3-S2=6,因为{an}是等比数列,故=a1a

3,即4=6(1+t),解得t=-,经验证,当t=-时,{an}是等比数列.答案:-等比数列前n项和性质的应用技巧(1)在涉及奇数项和S奇与偶数项和S偶时,常考虑其差或比进行简化运算.若项数为2n,则=q(S奇≠0

);若项数为2n+1,则=q(S偶≠0).(2)等比数列前n项和为Sn(且Sn≠0),则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比数列,其公比为qn(q≠-1).(3)等比数列{an}的公比为q,则Sn+m=Sn+qnSm.(4)若Sn表示数列{an}的前n项和,且

Sn=Aqn-A(A≠0,q≠0且q≠1),则-8-数列{an}是等比数列.已知等比数列{an}的前n项和满足Sn=1-A·3n,数列{bn}是递增数列,且bn=An2+Bn,则A=,B的取值范围为.

【解析】因为任意一个公比不为1的等比数列前n项和Sn==-qn,而等比数列{an}的前n项和满足Sn=1-A·3n,所以A=1,于是bn=n2+Bn,又因为数列{bn}是递增数列,所以bn+1-bn=(n+1)2+B(n+1)-n2-Bn=2n+1+B>0恒成立,所

以B>-(2n+1)恒成立,所以B>-3,即B的取值范围为(-3,+∞).答案:1(-3,+∞)类型三错位相减法(逻辑推理、数学运算)【典例】已知数列{an}是等差数列,且a1=2,a1+a2+a3=12.(1)求数列{an}的通项公式;(2)令bn=an·3n,求数

列{bn}的前n项和.【思路导引】通过错位相减方式把数列变为等比数列的求和问题.【解析】(1)设数列{an}的公差为d,则a1+a2+a3=3a1+3d=12,又a1=2,所以d=2,所以an=2n.-9-(2)由bn=an·3n=2n·3n,得Sn=2·3+4·32+

…+(2n-2)·3n-1+2n·3n,①3Sn=2·32+4·33+…+(2n-2)·3n+2n·3n+1.②①-②得-2Sn=2(3+32+33+…+3n)-2n·3n+1=3(3n-1)-2n·3n+1,所以Sn=+n·3n+1.1.错位相减

法求和的适用范围错位相减法求和主要适用于:如果数列{an}是等差数列,{bn}是等比数列且公比为q(q≠1),求数列{an·bn}的前n项和.2.错位相减法求和的注意事项(1)利用错位相减法时,在写出Sn与qSn的表达式时,应注意两式的对齐方式,以便于相减,正确

写出(1-q)Sn的表达式.(2)利用错位相减法时要注意讨论公比q是否等于1.在等差数列{an}中,a3=4,a7=8.(1)求数列{an}的通项公式an;(2)令bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.【解析】(1)因为d==1

,所以an=a3+(n-3)d=n+1.(2)bn==,-10-Tn=b1+b2+…+bn=2+++…+.①Tn=++…++,②由①-②得Tn=2+++…+-=+1-=+1-=2+1-=3-,所以Tn=6-.课堂检测·素养达

标1.(2019·全国Ⅲ卷)已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项的和为15,且a5=3a3+4a1,则a3=()A.16B.8C.4D.2【解析】选C.设该等比数列的首项为a1,公比为q,由已知得,a1q4=3a1q2+4

a1,因为a1>0且q>0,则可解得q=2,又因为a1(1+q+q2+q3)=15,即可解得a1=1,则a3=a1q2=4.2.公元前5世纪,古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论.他提出让乌龟在阿基里斯前面1000米处开始,和阿基里斯赛跑,并且假定-11-阿基里斯的速度是乌龟的10

倍.当比赛开始后,若阿基里斯跑了1000米,此时乌龟便领先他100米;当阿基里斯跑完下一个100米时,乌龟仍然领先他10米;当阿基里斯跑完下一个10米时,乌龟仍然领先他1米……所以阿基里斯永远追不上乌龟.按照这样的规律,若阿基里斯和乌龟的距离

恰好为10-2米时,乌龟爬行的总距离(单位:米)为()A.B.C.D.【解析】选B.由题意知,乌龟每次爬行的距离(单位:米)构成等比数列,且首项a1=100,公比q=,易知a5=10-2,则乌龟爬行的总距离(单位:米)为S5===.3.(教材二次开发:习题改编)在等

比数列{an}中,S3=,S6=,则an=.【解析】因为S6≠2S3,所以q≠1,又S3=,S6=,所以②÷①得1+q3=9,所以q=2.将q=2代入①中得a1=,所以an=a1qn-1=·2n-1=2n-2,即an=2n-2.答案:2n-2-12-4.在等比数列{an}中,

a1=2,S3=26,则公比q=.【解析】因为q≠1,所以S3===26,所以q2+q-12=0,所以q=3或-4.答案:3或-45.(2019·全国Ⅰ卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若a1=,=a6,则S5=.【解析】设等比数

列的公比为q,由已知a1=,=a6,所以=q5,又q≠0,所以q=3,所以S5===.答案:6.数列{an}的通项an=,求前n项的和Sn.【解析】Sn=++++…+,Sn=+++…++,两式相减,得Sn=++++…+-

=+2-,-13-所以Sn=1+4-=1+4×-=3-.