【文档说明】【精准解析】湖北省孝感市应城市第一高级中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题.pdf，共(20)页，301.593 KB，由小赞的店铺上传

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-1-应城一中2019-2020学年度下学期期中考试高一数学试卷第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.不等式2560xx的解集是（）A.|32xxB.|16xx

C.{|1xx或6}xD.{|3xx或2}x【答案】B【解析】【分析】根据一元二次不等式的解法即可求解.【详解】256061016xxxxx，所以不等式的解集为|16xx.故选：B【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，属

于基础题.2.已知等差数列na的前n项和为nS，337,12aS，则10a（）A.25B.28C.31D.32【答案】B【解析】【分析】根据等差数列的通项公式以及前n项和公式可得1127323122adad，求出1a、d，从而可求出10a.【详

解】由337,12aS，-2-可得1127323122adad，解得11a，3d，所以101912728aad.故选：B【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、前n项和公式基本量的运算，需熟记公式

，属于基础题.3.已知实数xy，满足(01)xyaaa，则下列关系式恒成立的是（）.A.221111xyB.22ln1ln1xyC.sinsinxyD.33xy【答案】D【解析】【分析】由(01)xyaaa可知xy,

对于A,B,C分别举反例即可否定，对于D，由3yx在R上递增即可判断正误.【详解】实数xy，满足(01)xyaaa,xy对于A，取2,1xy，不成立；对于B,取1,1xy，不成立；对于C,取,xy，不成立；对于D，由于

3yx在R上递增，故正确.【点睛】本题主要考查了函数的单调性，推理能力，属于容易题.4.sin70cos40cos130sin20（）A.32B.32C.12D.12【答案】C【解析】【分析】利用诱导公式以及两角和的余弦公式的逆应用即可求解.-3-【详解】

sin70cos40cos130sin20cos20cos40cos40sin2020401coscos602.故选：C【点睛】本题考查了诱导公式、两角和的余弦公式，需熟记公式，属于基础题.5

.已知函数f（x）＝sin2x+sin2（x3），则f（x）的最小值为（）A.12B.14C.34D.22【答案】A【解析】【分析】先通过降幂公式和辅助角法将函数转化为11cos223fxx，再求最值.【详解】已知函数f（x）＝sin2x+si

n2（x3），=21cos21cos2322xx，=1cos23sin2111cos222223xxx，因为cos21,13x，所以f（x）的最小值为12.故选：A【点睛】本题主要考查倍角公

式及两角和与差的三角函数的逆用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.6.已知na为等比数列，5849-3,18aaaa，则211aa（）A.9B.9或212C.212D.214【答案】C【解析】-4-【分析】利用等比数列的性质可得5818aa

，进而可得等比数列的公比，再利用等比数列的性质即可求出211aa.【详解】4958，495818aaaa，即58,aa为方程23180xx的两个根，解得5863aa或5836aa，设等比数列na

的公比为q，则当5863aa时，38512aqa，所以3521183612131222aaaaqq，当5836aa时，3852aqa，所以35211833216222aaaa

qq.故选：C【点睛】本题主要考查了等比数列的性质以及应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题.7.已知ABC的三边长是三个连续的自然数，且最大的内角是最小内角的2倍，则最小角的余弦值为（）A.34B.56C.710D.23【答案】A【解析】【分析】设三边依次是1,

,1xxx，其中x是自然数，且2x，令三角形的最小角为A，则最大角-5-为2A，利用正弦定理列出关系式，再利用二倍角的正弦公式化简表示出cosA，再利用余弦定理表示出cosA，两者相等求出x的值，确定出三边长，即可求出最小值的余弦值.【详解】设三边依次是1,,1xxx，其中x是自然

数，且2x，令三角形的最小角为A，则最大角为2A，由正弦定理可得：111sinsin22sincosxxxAAAA，1cos21xAx，由余弦定理可得：22211cos21xxxAxx，即2214411xxx

xxxxx，、整理得：2114xxx，解得：5x，三边长为4,5,6，则2225643cos2564A.故选：A【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理解三角形、二倍角的正弦公式，属于基础题.8.已知函数()sin3cosfxxx(0)

的图象的相邻对称轴间的距离为2，把()fx的图象向左平移12个单位长度，得到()gx的图象，关于函数()gx，下列说法正确的是（）A.函数()gx是奇函数B.其图象关于直线4x对称C.在2,43上的值域为[2,0]D.在0,4上是增函数【答案】C

【解析】【分析】-6-利用三角恒等变换化简，由题意求得，利用函数图象平移求得()gx，再由sin()yAx型函数的性质逐一核对四个选项得出正确答案.【详解】()sin3cos2sin3fxxxx，

因为()fx的图象的相邻对称轴间的距离为2，故()fx的最小正周期为T，所以22T，于是2n2)3(sifxx，所以()2sin2123gxx2cos2x，故()gx为偶函数，并在0,2上为减函

数，所以A，D错误；04g，所以B错误；因为243x，所以42,23x2cos2[2,0]x，所以C正确.故选：C.【点睛】本题考查三角恒等变换，考查三角函数图象平移变换，考查sin()yAx型函数的性质，考查计算能力，属于常考题.9.已知x>0，

y>0,x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是A.3B.4C.92D.112【答案】B【解析】【详解】解析：考察均值不等式2228(2)82xyxyxy，整理得-7-2(2)4(2)320xyxy即(24)(28)0xyxy，又x+2y>0，24

xy10.在ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，sinsin()4sin2CABB.若3C，则ab（）A.14B.4C.12或4D.4或14【答案】C【解析】【分析】根据三角形内角和定理与诱导公式，可得sinsinsincoscossinCABABAB

，代入题中等式并利用三角恒等变换化简、整理得cossin4sin0BAB，可得cos0B或sin4sinAB，再由正弦定理与直角三角形中三角函数的定义加以计算，可得ab的值.【详解】ABC，s

insinsincoscossinCABABAB，又sinsincoscossinABABAB，sinsin()4sin2CABB，即(sincoscossin)(sincoscossin)8sincosABABAB

ABBB，化简得2sincos8sincosABBB，即cos(sin4sin)0BAB，解之得cos0B或sin4sinAB，（1）若cos0B，则2B，由3C，根据三角形的内角和定理可得6A，所以sin1cos2aAbB；（2）若sin4sinAB，由正

弦定理可得：4ab所以4ab.故选：C-8-【点睛】本题主要考查了正弦定理解三角形、两角和与差的正弦公式，属于基础题.11.在ABC中，,,abc分别为,,ABC的对边，如果,,abc成等差数列，30B，

ABC的面积为32，那么b（）A.132B.13C.223D.23【答案】B【解析】试题分析：由余弦定理得22222cos()22cosbaccBacacacB，又面积1sin2ABCSacB13642acac，因为abc，，成等差数列，所以2acb

，代入上式可得2241263bb，整理得2423b，解得13b，故选B．考点：余弦定理；三角形的面积公式．12.已知3cos45，12sin413，3,44，0,4

，则cos()（）A.1665B.5665C.6365D.3365【答案】D【解析】【分析】首先利用同角三角函数的基本关系求出94sin14255，1445cos1416913

，由cos()cos44，利用两角和的余弦公式即可求解.【详解】因为3,44，所以,042，-9-故94sin14255，因为0,4

，所以,442，所以1445cos1416913，所以cos()cos44coscossinsin44445

31241548331351356565故选：D【点睛】本题考查了两角和的余弦公式、同角三角函数的基本关系，掌握公式是解题的关键，属于基础题.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中横线上）13.当0,2x时

，函数1()sin2sinfxxx的最小值为____________.【答案】2【解析】【分析】令sintx，由0,2x，可得0,1t，利用基本不等式即可求解.【详解】令sintx，由0,2x，可

得0,1t，所以112222fxtttt，当且仅当12tt，即22t，4x时，等号成立，-10-故答案为：2【点睛】本题考查了基本不等式求最值，注意验证等号成立的条件，属于基础题.14.若(0,)2，且25cos2sin()54，则tan___

_______．【答案】13【解析】原式等于2210cossincossin5，解得：10cossin5①，两边平方后可得32sincos5，那么28cossin12sincos5，即210cossi

n5②，由①②解得1010{31010sincos，那么tan13.15.如图，某人在山脚P处测得甲山山顶A的仰角为30°，乙山山顶B的仰角为60，APB的大小为30°，山脚P到山顶A的直线距离为4km，在A

处测得山顶B的仰角为30°，则乙山的高度为_____________.【答案】3【解析】【分析】根据山顶的仰角可得2AC，233BPBD，过A向乙山作垂线，则21ABBD，在ABP△中利用余弦定理

列方程解出BD.【详解】假设甲山底部为C，乙山底部为D，过A作AEBD于E，由题意可知30APC，60BPD，4AP，sin302ACAP，2DEAC，-11-设BDh，则33DPh，2

BEh，233BPh，30BAE，224ABBEh，在ABP△中，由余弦定理得：222224162433cos302223243hhAPBPABAPBPh，解得3h，所以乙山的高度为3km故答案为：3【点睛】本题考查了余弦定理在生活中的应用，需熟

记余弦定理的内容，属于基础题.16.如下图所示将若干个点摆成三角形图案，每条边（包括两个端点）有*1,nnnN个点，相应的图案中总的点数记为na，则233445202020219999aaaaaaaa_____________.-12-【答案】20

192020【解析】【分析】根据题意，可得23321a，36331a，49341a，512351a，，31nan，数列na是以3为首项，以3为公差的等差数列，通项为31nan

2n，从而1111191nnaann，据此解答即可.【详解】根据分析可得，23321a，36331a，49341a，512351a，，31nan，数列na是以3为首项，以3为公

差的等差数列，所以通项为31nan2n，所以11111131391nnaannnn，则23344520202021999911111191922320192020aaaaaaaa12019120

202020.故答案为：20192020【点睛】本题考查了由图形写出数列的通项公式、裂项求和法，属于基础题.-13-三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知,2，且1sin4.（

1）求sin2的值；（2）若3sin()5，0,2，求sin的值.【答案】（1）158；（2）315420.【解析】【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系求出cos，再

利用二倍角的正弦公式即可求解.（2）利用同角三角函数的基本关系求出cos，根据sinsin[()]，利用两角差的正弦公式展开即可求解.【详解】（1）由,2，且2115s

in,cos1sin44，11515sin22sincos2448.（2）33sin(),0,,,,,5222，24cos

()1sin()5，sinsin[()]sin()coscos()sin315415454315420.【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式、两

角差的正弦公式，熟记公式是关键，属于基础题.18.（1）已知函数2()1fxxmx，若对于任意,1xmm，都有0fx恒成立，求实数m的取值范围；-14-（2）已知各项均为正数的等比数

列na中，公比2q=，若存在两项ma，na使得18mnaaa，求19mn得最小值.【答案】（1）202m；（2）2.【解析】【分析】（1）利用二次函数的性质可得()0(1)0fmfm，解不等式组即可.（2）利用等比数列的通项公式

可得8mn，由19119()8mnmnmn，展开利用基本不等式即可求解.【详解】（1）由题意可得()0(1)0fmfm，即22210230mmm，得2222302mm

，所以202m（2）由18mnaaa，则2164mnaaa，所以11211164mnaqaqa，由2q=，所以262642mn所以8mn*0,0.,mnmnN或故19119191()10(1

06)2888nmmnmnmnmn.当且仅当8mn且3nm，即2m，6n时上式取等号.故19mn得最小值为2.【点睛】本题考查了二次函数的性质、等比数列的通项公式、基本不等式求最值，属于基础题.19.已知nS为数列na的前n项和，且29n

nSa，-15-（1）求数列na的通项公式；（2）设nnnba，求数列nb的前n项nT.【答案】（1）213nna；（2）11213124nnnT.【解析】【分析】（1）根据已知可得1129

nnSa，利用nS与na的关系可得13nnaa，从而可得数列na为等比数列，利用等比数列的通项公式即可求解.（2）由（1）可知23nnnnbna，再利用错位相减法即可求解.【详解

】（1）11,3na112,29nnnSa11122,3nnnnnnSSaaaana是以3为首项，13为公比的等比数列，1211333nnna（2）23nnnnbna10132132333(1

)33nnnTnn02213132333(1)33nnnTnn102123333nnnTn11133313nnn11

213124nnnT【点睛】本题考查了nS与na的关系、等比数列的通项公式、错位相减法求和，属于中档题.20.如图，在ABC中，2AC，3A，点D在线段AB上.-16-（1）若1cos3CDB，求CD的长；（2）若2ADDB，sin7sinACD

BCD，求ABC的面积.【答案】（1）364CD（2）332【解析】【分析】（1）先根据平方关系求出sinCDA,再根据正弦定理即可求出CD；（2）分别在ADC和BDC中，根据正弦定理列出两个等式，两式相除，利用题目条件即可求出CB，再根据

余弦定理求出AB，即可根据1sin2SACABA求出ABC的面积．【详解】（1）由1cos3CDB，得1cos3CDA，所以22sin3CDA.由正弦定理得，sinsinCDACACDA，即232223CD，得3

64CD.（2）由正弦定理，在ADC中，sinsinADACACDADC，①在BDC中，sinsinDBCBBCDBDC，②又sinsinADCBDC，2ADDB，sin7sinACDBCD，由①②

得7CB，由余弦定理得2222cosCBACABACABA，即2742ABAB，解得3AB，所以ABC的面积133sin22SACABA.【点睛】本题主要考查正余弦定理在解三角形中的应用，以及三角形面积公

式的应用，意在-17-考查学生的数学运算能力，属于基础题．21.2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响.在党和政府强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情后，一方面防止境外疫情输入，另

一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失.为降低疫情影响，某厂家拟在2020年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m万元（0m）满足41kxm

（k为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件.已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处

每件产品年平均成本按816xx元来计算）（1）将2020年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；（2）该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？【答案】（1）163601ymmm；

（2）2018年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元.【解析】【分析】（1）根据题意0m时，2x，求出241xm，进一步求出销售价格8161.5xx，由利润销售额固定成本再投入成本促销费，即可求解.（2）由（

1）161636371011ymmmmm，利用基本不等式即可求解.【详解】（1）由题意知，当0m时，2x（万件），则24k，解得2k，241xm.所以每件产品的销售价格为8161.5xx（元），

2018年的利润816161.58163601xyxxmmmxm.（2）当0m时，10m，16(128116)mm，当且仅当3m时等号成立.83729y，-18-当且仅当1611mm，即3m万元时，m

ax29y（万元）.故该厂家2018年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元.【点睛】本题考查了常见函数的模型（分式型）、基本不等式求最值，注意验证等号成立的条件，属于基础题.22.已知数列na的前n项和122nnnSa，若不等式223(3)n

nna对*nN恒成立.（1）证明2nna是等差数列，并求na的通项公式；（2）求实数的取值范围；（3）设22nnncna，求数列nc的前n项和nT.【答案】（1）见解析，(1)2nnan；（2）

218；（3）1112(1)2nn.【解析】【分析】（1）根据题意可得1122nnnSa，利用nS与na的关系可得122nnnaa，再利用等差数列的定义即可证出，进一步利用等差数列的通项公式可求na.

（2）将不等式转化为223233(1)22nnnnnn，记232nnnb，判断nb的单调性，求出nb的最大值，从而求出的取值范围.（3）由11211(1)22(1)2nnnnncnnn

n，利用裂项求和法即可求解.【详解】（1）当1n时，11124Saa，得14a.当2n时，1122nnnSa，又122nnnSa，两式相减，得：1222nnnnaaa，得122nnna

a，所以11122nnnnaa，又122a，所以数列2nna是以2为首项，1为公差的等差数列，2(1)112nnann，即(1)2nnan；-19-（2）因为0na，故不等式223(3)nnna

等价于223233(1)22nnnnnn.记232nnnb，则111212352222nnnnnnnnbb当1n时，21210,bbbb；当2n时，32320,bbbb，从而321bbb

；当3n时，110,nnnnbbbb，即345bbb综上，33max8nbb，所以338，即218.（3）11211(1)22(1)2nnnnncnnnn，所以22231111111111122222322(1)22(1

)2nnnnTnnn.【点睛】本题考查了nS与na的关系、等差数列的定义、等差数列的通项公式、数列的单调性以及裂项求和法，属于基础题.-20-