【文档说明】【精准解析】湖北省孝感市应城市第一高级中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题.doc，共(20)页，1.468 MB，由小赞的店铺上传

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应城一中2019-2020学年度下学期期中考试高一数学试卷第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.不等式2560xx−−的解集是（）A

.|32xx−B.|16xx−C.{|1xx−或6}xD.{|3xx−或2}x【答案】B【解析】【分析】根据一元二次不等式的解法即可求解.【详解】()()256061016xxxxx−−−+−，所以不等式的解集为|16xx−.故

选：B【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，属于基础题.2.已知等差数列na的前n项和为nS，337,12aS==，则10a=（）A.25B.28C.31D.32【答案】B【解析】【分析】根据等差数列的通项公式以及前n项和公式可得1127323122

adad+=+=，求出1a、d，从而可求出10a.【详解】由337,12aS==，可得1127323122adad+=+=，解得11a=，3d=，所以101912728aad=+=+=.故选：B【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、前n项和公式基本量的运

算，需熟记公式，属于基础题.3.已知实数xy，满足(01)xyaaa，则下列关系式恒成立的是（）.A.221111xy++B.()()22ln1ln1xy++C.sinsinxyD.33xy【答案】D【

解析】【分析】由(01)xyaaa可知xy,对于A,B,C分别举反例即可否定，对于D，由3yx=在R上递增即可判断正误.【详解】实数xy，满足(01)xyaaa,xy对于A，取2,1xy==，不成立；对于B,取1

,1xy==−，不成立；对于C,取,xy==−，不成立；对于D，由于3yx=在R上递增，故正确.【点睛】本题主要考查了函数的单调性，推理能力，属于容易题.4.sin70cos40cos130sin20+=（）A.32−B.32C.12D.12−【

答案】C【解析】【分析】利用诱导公式以及两角和的余弦公式的逆应用即可求解.【详解】sin70cos40cos130sin20cos20cos40cos40sin20+=−()20401coscos60

2==+=.故选：C【点睛】本题考查了诱导公式、两角和的余弦公式，需熟记公式，属于基础题.5.已知函数f（x）＝sin2x+sin2（x3+），则f（x）的最小值为（）A.12B.14C.34D.22【

答案】A【解析】【分析】先通过降幂公式和辅助角法将函数转化为()11cos223fxx=−+，再求最值.【详解】已知函数f（x）＝sin2x+sin2（x3+），=21cos21cos2322xx−+−+，=1cos

23sin2111cos222223xxx−−=−+，因为cos21,13x+−，所以f（x）的最小值为12.故选：A【点睛】本题主要考查倍角公式及两角和与差的三角函数的逆用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.6

.已知na为等比数列，5849-3,18aaaa+==−，则211aa+=（）A.9B.9−或212C.212D.214−【答案】C【解析】【分析】利用等比数列的性质可得5818aa=−，进而可得等比数列的公比，再利用等比数列的性质即可求出211aa+.【详解】4958+=+，495818a

aaa==−，即58,aa为方程23180xx+−=的两个根，解得5863aa=−=或5836aa==−，设等比数列na的公比为q，则当5863aa=−=时，38512aqa==−，

所以3521183612131222aaaaqq−+=+=+−=−，当5836aa==−时，3852aqa==−，所以()()35211833216222aaaaqq+=+=+−−=−.故选：C【点睛】本题主要考查了等比数列的性质以及应用，意在考查

学生的数学运算能力，属于基础题.7.已知ABC的三边长是三个连续的自然数，且最大的内角是最小内角的2倍，则最小角的余弦值为（）A.34B.56C.710D.23【答案】A【解析】【分析】设三边依次是1,,1xxx−+，其中x是自然数，且2x，令三角形的最小角为A

，则最大角为2A，利用正弦定理列出关系式，再利用二倍角的正弦公式化简表示出cosA，再利用余弦定理表示出cosA，两者相等求出x的值，确定出三边长，即可求出最小值的余弦值.【详解】设三边依次是1,,1xxx−+，其中x是自然数，且2x，令三角形的最小角为A，则最大角为

2A，由正弦定理可得：111sinsin22sincosxxxAAAA−++==，()1cos21xAx+=−，由余弦定理可得：()()()22211cos21xxxAxx++−−=+，即2214411xxxxxxxx+++==−++，、整理得：()()()

2114xxx+=−+，解得：5x=，三边长为4,5,6，则2225643cos2564A+−==.故选：A【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理解三角形、二倍角的正弦公式，属于基础题.8.已知函数()sin3cosfxxx

=+(0)的图象的相邻对称轴间的距离为2，把()fx的图象向左平移12个单位长度，得到()gx的图象，关于函数()gx，下列说法正确的是（）A.函数()gx是奇函数B.其图象关于直线4x=对称C.在2,43

上的值域为[2,0]−D.在0,4上是增函数【答案】C【解析】【分析】利用三角恒等变换化简，由题意求得，利用函数图象平移求得()gx，再由sin()yAx=+型函数的性质逐一核对四个选项得出正确答案.【详解】()sin3cos2sin3fxxxx

=+=+，因为()fx的图象的相邻对称轴间的距离为2，故()fx的最小正周期为T=，所以22T==，于是2n2)3(sifxx=+，所以()2sin2123gxx=++2cos2x=，故()gx为偶函数，并

在0,2上为减函数，所以A，D错误；04g=，所以B错误；因为243x，所以42,23x2cos2[2,0]x−，所以C正确.故选：C.【点睛】本题考查三角恒等变

换，考查三角函数图象平移变换，考查sin()yAx=+型函数的性质，考查计算能力，属于常考题.9.已知x>0，y>0,x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是A.3B.4C.92D.112【答案】B【解析】【

详解】解析：考察均值不等式2228(2)82xyxyxy++=−−，整理得2(2)4(2)320xyxy+++−即(24)(28)0xyxy+−++，又x+2y>0，24xy+10.在ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，sinsin(

)4sin2CABB+−=.若3C=，则ab=（）A.14B.4C.12或4D.4或14【答案】C【解析】【分析】根据三角形内角和定理与诱导公式，可得()sinsinsincoscossinCABABAB=+=+，代入题中等式并利用三角恒等变换化简、整理得()cossi

n4sin0BAB−=，可得cos0B=或sin4sinAB=，再由正弦定理与直角三角形中三角函数的定义加以计算，可得ab的值.【详解】ABC+=−，()sinsinsincoscossinCABABAB

=+=+，又()sinsincoscossinABABAB−=−，sinsin()4sin2CABB−=+，即(sincoscossin)(sincoscossin)8sincosABABABABBB++−=，化简得2sincos8sincosABBB=，即cos(sin

4sin)0BAB−=，解之得cos0B=或sin4sinAB=，（1）若cos0B=，则2B=，由3C=，根据三角形的内角和定理可得6A=，所以sin1cos2aAbB==；（2）若sin4sinAB=，由正弦定理可得：4

ab=所以4ab=.故选：C【点睛】本题主要考查了正弦定理解三角形、两角和与差的正弦公式，属于基础题.11.在ABC中，,,abc分别为,,ABC的对边，如果,,abc成等差数列，30B=，ABC的面积为32，那么b=（）A.132+B.13+C.223+D.23+【答案】B【解析

】试题分析：由余弦定理得22222cos()22cosbaccBacacacB=+−=+−−，又面积1sin2ABCSacB=13642acac===，因为abc，，成等差数列，所以2acb+=，代入上式可得2241263bb

=−−，整理得2423b=+，解得13b=+，故选B．考点：余弦定理；三角形的面积公式．12.已知3cos45−=，12sin413+=，3,44，0,4，则cos()+=（）A.1665B.5665−C.6365D.336

5−【答案】D【解析】【分析】首先利用同角三角函数的基本关系求出94sin14255−=−−=−，1445cos1416913+=−=，由cos()cos44+=+−

−，利用两角和的余弦公式即可求解.【详解】因为3,44，所以,042−−，故94sin14255−=−−=−，因为0,4，所以,442+，所以14

45cos1416913+=−=，所以cos()cos44+=+−−coscossinsin4444=+−++−531241548331

351356565−=+−==−故选：D【点睛】本题考查了两角和的余弦公式、同角三角函数的基本关系，掌握公式是解题的关键，属于基础题.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正

确答案填在题中横线上）13.当0,2x时，函数1()sin2sinfxxx=+的最小值为____________.【答案】2【解析】【分析】令sintx=，由0,2x，可得()0,1t，利用基本不等式即可求解.【详解】令sintx=

，由0,2x，可得()0,1t，所以()112222fxtttt=+=，当且仅当12tt=，即22t=，4x=时，等号成立，故答案为：2【点睛】本题考查了基本不等式求最值，注意验证等号成立的条件，属于基础题.14

.若(0,)2，且25cos2sin()54=+，则tan=__________．【答案】13【解析】原式等于()2210cossincossin5−=+，解得：10cossin5−=①，两边平方

后可得32sincos5=，那么()28cossin12sincos5+=+=，即210cossin5+=②，由①②解得1010{31010sincos==，那么tan=13.15.如图，某人在山脚P处测得甲山山顶A的仰角为30°，乙

山山顶B的仰角为60，APB的大小为30°，山脚P到山顶A的直线距离为4km，在A处测得山顶B的仰角为30°，则乙山的高度为_____________.【答案】3【解析】【分析】根据山顶的仰角可得2AC

=，233BPBD=，过A向乙山作垂线，则()21ABBD=−，在ABP△中利用余弦定理列方程解出BD.【详解】假设甲山底部为C，乙山底部为D，过A作AEBD⊥于E，由题意可知30APC=，60BPD=，4AP=，sin302ACAP==，2DEAC==，设BDh=，则

33DPh=，2BEh=−，233BPh=，30BAE=，224ABBEh==−，在ABP△中，由余弦定理得：()222224162433cos302223243hhAPBPABAPBPh+−−+−===，解得3h=，所以乙山的高度为3km故答案为：3【点睛】本

题考查了余弦定理在生活中的应用，需熟记余弦定理的内容，属于基础题.16.如下图所示将若干个点摆成三角形图案，每条边（包括两个端点）有()*1,nnnN个点，相应的图案中总的点数记为na，则2334

45202020219999aaaaaaaa++++=_____________.【答案】20192020【解析】【分析】根据题意，可得()23321a==−，()36331a==−，()49341a==−，()512351

a==−，，()31nan=−，数列na是以3为首项，以3为公差的等差数列，通项为()31nan=−()2n，从而1111191nnaann−=−−，据此解答即可.【详解】根据分析可得，()23321a==−，()36331a==−，()49341a==

−，()512351a==−，，()31nan=−，数列na是以3为首项，以3为公差的等差数列，所以通项为()31nan=−()2n，所以()11111131391nnaannnn−==−−−，则2334452020202199991111119192232019202

0aaaaaaaa++++=−+−++−12019120202020=−=.故答案为：20192020【点睛】本题考查了由图形写出数列的通项公式、裂项求和法，属于基础题.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应

写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知,2，且1sin4=.（1）求sin2的值；（2）若3sin()5+=−，0,2，求sin的值.【答案】（1）158−；（

2）315420+.【解析】【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系求出cos，再利用二倍角的正弦公式即可求解.（2）利用同角三角函数的基本关系求出()cos+，根据sinsin[()]=+−，利用两角差的正弦公式展开即

可求解.【详解】（1）由,2，且2115sin,cos1sin44==−−=−，11515sin22sincos2448==−=−.（2）33sin(),0,,,,,5222

+=−+，24cos()1sin()5+=−−+=−，sinsin[()]sin()coscos()sin=+−=+−+315415454=−−−−315420=+.【点

睛】本题考查了同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式、两角差的正弦公式，熟记公式是关键，属于基础题.18.（1）已知函数2()1fxxmx=+−，若对于任意,1xmm+，都有()0fx恒成立，求实数m的

取值范围；（2）已知各项均为正数的等比数列na中，公比2q=，若存在两项ma，na使得18mnaaa=，求19mn+得最小值.【答案】（1）202m−；（2）2.【解析】【分析】（1）利用二次函数的性质可得()0(

1)0fmfm+，解不等式组即可.（2）利用等比数列的通项公式可得8mn+=，由19119()8mnmnmn+=++，展开利用基本不等式即可求解.【详解】（1）由题意可得()0(1)0fmfm+，即22210230

mmm−+，得2222302mm−−，所以202m−（2）由18mnaaa=，则2164mnaaa=，所以11211164mnaqaqa−−=，由2q=，所以262642mn+−==所以8mn

+=()*0,0.,mnmnN或故19119191()10(106)2888nmmnmnmnmn+=++=+++=.当且仅当8mn+=且3nm=，即2m=，6n=时上式取等号.故19m

n+得最小值为2.【点睛】本题考查了二次函数的性质、等比数列的通项公式、基本不等式求最值，属于基础题.19.已知nS为数列na的前n项和，且29nnSa=−，（1）求数列na的通项公式；（2）设nnnba=，求数列nb的

前n项nT.【答案】（1）213nna−=；（2）11213124nnnT−−=+.【解析】【分析】（1）根据已知可得1129nnSa−−=−，利用nS与na的关系可得13nnaa−=，从而可得数列na为等比数列，利用

等比数列的通项公式即可求解.（2）由（1）可知23nnnnbna−==，再利用错位相减法即可求解.【详解】（1）11,3na==112,29nnnSa−−=−11122,3nnnnnnSSaaaa−−−−=−=na是以3为首项，13为公比的等比数列，1211333nnna−−=

=（2）23nnnnbna−==10132132333(1)33nnnTnn−−−=++++−+02213132333(1)33nnnTnn−−=++++−+102123333nnn

Tn−−−−=+++−()11133313nnn−−=−−11213124nnnT−−=+【点睛】本题考查了nS与na的关系、等比数列的通项公式、错位相减法求和，属于中档题.20.如图，在ABC中，2AC=，3A=，点

D在线段AB上.（1）若1cos3CDB=−，求CD的长；（2）若2ADDB=，sin7sinACDBCD=，求ABC的面积.【答案】（1）364CD=（2）332【解析】【分析】（1）先根据平方关系求出sinCDA,再根据正弦定理即可求出CD

；（2）分别在ADC和BDC中，根据正弦定理列出两个等式，两式相除，利用题目条件即可求出CB，再根据余弦定理求出AB，即可根据1sin2SACABA=求出ABC的面积．【详解】（1）由1cos3CD

B=−，得1cos3CDA=，所以22sin3CDA=.由正弦定理得，sinsinCDACACDA=，即232223CD=，得364CD=.（2）由正弦定理，在ADC中，sinsinADACACDADC=，①在BDC中，sinsinDBCBBCDBDC=，②

又sinsinADCBDC=，2ADDB=，sin7sinACDBCD=，由①②得7CB=，由余弦定理得2222cosCBACABACABA=+−，即2742ABAB=+−，解得3AB=，所以ABC的面积133sin22SACABA==.【点睛】本题主要考

查正余弦定理在解三角形中的应用，以及三角形面积公式的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．21.2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响.在党和政府强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情后，一方面防止境外疫情输入，另

一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失.为降低疫情影响，某厂家拟在2020年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m万元（0m）满足41kxm=−+（k为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件.已知生

产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按816xx+元来计算）（1）将2020年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；（2）该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大

？【答案】（1）()163601ymmm=−−+；（2）2018年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元.【解析】【分析】（1）根据题意0m=时，2x=，求出241xm=−+，进一步求出销售价格8161.5xx+，由利润=销售额−固定成本−

再投入成本−促销费，即可求解.（2）由（1）()()161636371011ymmmmm=−−=−++++，利用基本不等式即可求解.【详解】（1）由题意知，当0m=时，2x=（万件），则24k=−，解得2k=，241xm=−+.所

以每件产品的销售价格为8161.5xx+（元），2018年的利润()816161.58163601xyxxmmmxm+=−−−=−−+.（2）当0m时，10m+，16(128116)mm++=+，当且仅当3m=时等号成立.83729y−+=，当且仅当1611mm=++，即3m

=万元时，max29y=（万元）.故该厂家2018年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元.【点睛】本题考查了常见函数的模型（分式型）、基本不等式求最值，注意验证等号成立的条件，属于基础题.22.已知数列na的前n项和122n

nnSa+=−，若不等式223(3)nnna−−−对*nN恒成立.（1）证明2nna是等差数列，并求na的通项公式；（2）求实数的取值范围；（3）设22nnncna+=，求数列nc的前n项和nT.【答

案】（1）见解析，(1)2nnan=+；（2）218；（3）1112(1)2nn+−+.【解析】【分析】（1）根据题意可得1122nnnSa−−=−，利用nS与na的关系可得122nnnaa−=+，再利用等差数列

的定义即可证出，进一步利用等差数列的通项公式可求na.（2）将不等式转化为223233(1)22nnnnnn−−−−=+，记232nnnb−=，判断nb的单调性，求出nb的最大值，从而求出的取值范围.

（3）由11211(1)22(1)2nnnnncnnnn+++==−++，利用裂项求和法即可求解.【详解】（1）当1n=时，11124Saa=−=，得14a=.当2n时，1122nnnSa−−=−，又122nnnSa+=−，两式相减，得：1222nnnnaaa−=

−−，得122nnnaa−=+，所以11122nnnnaa−−−=，又122a=，所以数列2nna是以2为首项，1为公差的等差数列，2(1)112nnann=+−=+，即(1)2nnan=+；（2

）因为0na，故不等式223(3)nnna−−−等价于223233(1)22nnnnnn−−−−=+.记232nnnb−=，则111212352222nnnnnnnnbb+++−−−−=−=当

1n=时，21210,bbbb−；当2n=时，32320,bbbb−，从而321bbb；当3n时，110,nnnnbbbb++−，即345bbb综上，()33max8nbb==，所以

338−，即218.（3）11211(1)22(1)2nnnnncnnnn+++==−++，所以22231111111111122222322(1)22(1)2nnnnTnnn++=−+−++−=−

++.【点睛】本题考查了nS与na的关系、等差数列的定义、等差数列的通项公式、数列的单调性以及裂项求和法，属于基础题.