【文档说明】【精准解析】湖北省孝感市应城市第一高级中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题.doc，共(23)页，1.774 MB，由管理员店铺上传

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应城一中2019—2020学年度下学期期中考试高二数学试卷考试时间：2020年4月21日上午试卷满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合2lo|g0Axx=，2|20Bxxx=−−

，则AB=（）．A.{|12}xxB.{|11}xx−C.{|1}xx−D.{|21xx−或1}x【答案】C【解析】【分析】分别计算2lo|g0Axx=、2|20Bxxx=−−，然后求并集【详解】解：2lo|g0

Axx==1|xx，2|20Bxxx=−−|12xx=−AB=1|xx|12xx−{|1}xx=−故选：C【点睛】考查集合的并集运算；基础题.2.若复数z满足i1iz=+（

i是虚数单位），则z的共轭复数是（）A.1i−−B.1i+C.1i−+D.1i−【答案】B【解析】【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．【详解】解：由1zii=+，得21(1)()1ii

iziii++−===−−，1zi=+，故选：B．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，属于基础题．3.已知双曲线222:1xCya−=的一条渐近线过圆()()22:121Pxy−++=的圆心，则C的离心率为（）．A.3B.5

C.32D.52【答案】B【解析】【分析】双曲线222:1xCya−=的渐近线为2220xya−=，把()1,2P−代入，求出a后，根据bca、、关系可求e【详解】解：双曲线222:1xCya−=的渐近线2220xya−=过()1,2P−()222201a−−=，12a=，51,,52bce=

==，故选：B【点睛】通过找bca、、的关系求双曲线离心率；基础题.4.将4个人从左至右排成一行，最左端只能排成甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（）．A.6种B.42种C.10种D.12种【答案】C【解析】【分析】两种情况：甲在最左端，乙在最左端；分类

计算【详解】解：甲在最左端：336A=乙在最左端：12224CA=共有10故选：C【点睛】考查分类讨论解排列题，注意做到不重不漏；基础题5.胡夫金字塔的形状为四棱锥，1859年，英国作家约翰·泰勒（JohnTaylor，1781-1846）在其《大金字塔》一书中提出：古埃及人在建

造胡夫金字塔时利用黄金比例151.6182+，泰勒还引用了古希腊历史学家希罗多德的记载：胡夫金字塔的每一个侧面的面积都等于金字塔高的平方．如图，若2has=，则由勾股定理，22assa=−，即210ssaa−−=，因此可求得sa为黄金数，已知四棱锥底面是边长约为8

56英尺的正方形(2856)a=，顶点P的投影在底面中心O，H为BC中点，根据以上信息，PH的长度（单位：英尺）约为（）．A.611.6B.481.4C.692.5D.512.4【答案】C【解析】【分析】由28

56a=和512PHsa+==可得【详解】解：512PHsa+==，2856a=5151856226922.5PHsa++===故选：C【点睛】读懂实际问题，把实际问题转化为数学问题进行计算；基础题.6.已知1sin62−=，且0,2

，则2cos3−=（）．A.1B.12C.0D.32【答案】B【解析】【分析】发现2326−=−+−，然后代入，用诱导公式计算【详解】解：2326−=−+−21coscossin32662

−=−+−=−=故选：B【点睛】这种题关键是发现已知角和待求角之间关系，用诱导公式代入计算；基础题.7.已知抛物线24yx=的焦点为F，准线为l，P为该抛物线上一点，PAl⊥，A为垂足

.若直线AF的斜率为3−，则PAF△的面积为()A.23B.43C.8D.83【答案】B【解析】【分析】先由题意，得到抛物线的焦点为(1,0)F，设抛物线24yx=的准线与x轴交点为D，则2DF=，根据直线的斜率，求出4AF=，60AF

P=，推出PAF△是边长为4的等边三角形，再由三角形面积公式，即可得出结果.【详解】由题意，抛物线24yx=的焦点为(1,0)F，设抛物线24yx=的准线与x轴交点为D，则2DF=，又直线AF的斜率为3−，所以60AFD=，因此24AFDF==，60AFP=；由抛物线的定义可得：PAPF=

，所以PAF△是边长为4的等边三角形，所以PAF△的面积为144sin60432=.故选：B.【点睛】本题主要考查抛物线中三角形的面积问题，熟记抛物线的性质即可，属于常考题型.8.()352()xxa−+的展开式的各项系数和为243，则该展开式中4x的系数是（）．A.5B.40−C.60

−D.100【答案】C【解析】【分析】()352()xxa−+的展开式的各项系数和为1x=的值，求出a的值，根据()352()xxa−+产生4x的项可求其系数【详解】解：1x=，()()3552()1+243xx

aa==−+所以2a=()352()xxa−+=()352(2)xx−+展开式中4x的系数是：()41455221260CC+−=−故选：C【点睛】考查二项展开式中各项系数的和的求法和求特定的项；基础题.9.已知函数()2sin()0,||2fxx=+图象的相邻两

条对称轴之间的距离为2，将函数()fx的图象向左平移3个单位长度后，得到函数()gx的图象．若函数()gx为偶函数，则函数()fx在区间0,4上的值域是（）．A.(1,2]−B.(1,3)−C.(0,2]D.1,12−【答

案】B【解析】【分析】由函数()2sin()0,||2fxx=+图象的相邻两条对称轴之间的距离为2，求得，表示出()gx的解析式，根据函数()gx为偶函数确定，再求()fx在

区间0,4上的值域【详解】解：函数()2sin()0,||2fxx=+图象的相邻两条对称轴之间的距离为2所以21,222==()fx的图象向左平移3个单位长度后，所以2()sin2sin233gxxx=++=++

函数()gx为偶函数，所以2,326+==−()2sin(2)0,||62fxx=−0,,2,4663xx−−，()()2sin(2)

1,36fxx=−−故选：B【点睛】考查正、余弦函数的图象变换及其值域求法，基础题.10.已知()gx为偶函数，()hx为奇函数，且满足()()2xgxhx−=．若存在11,2x−使得不等式()()0mgxhx+有解，则实数m的最大值为

（）．A.13B.1−C.1D.35【答案】A【解析】【分析】由()gx为偶函数，()hx为奇函数，且满足()()2xgxhx−=，根据奇偶函数的性质确定()gx和()hx，代入()()0mgxhx+，分离参数得222121xxm−+，根据222121xx−+单调性，求其最大值.【详解】

解：()gx为偶函数，()hx为奇函数，且满足()()2xgxhx−=所以()()2xgxhx−−−−=，即()()2xgxhx−+=，所以222(),222()xxxxgxhx−−−==+代入()()0mgxhx+

，分离参数得222121xxm−+22222212121212121xxxxx2+−+−−==+++,因为存在11,2x−使得不等式()()0mgxhx+有解，所以2max121x2m+

−+22x是11,2x−上的增函数，2121x+是11,2x−上的减函数，2221x−+是11,2x−上增函数，2max211121213x2+−−=+=++，13m故选

：A【点睛】考查奇偶函数的性质以及存在性问题确定参数的值，中档题.11.如图，以棱长为2的正方体的顶点A为球心，以22为半径做一个球面，则该正方体的表面被球面所截得的所有弧长之和为（）．A.34B.32C.94D.3【答案】D【解析】【分析】先确定正方体的面对角线与球面半径相等，以以1A

为圆心，2为半径作11DB，说明11DB是球面与平面1111DCBA的交线，其它两弧线同理可证，最后求值.【详解】解：如图正方体的棱长为2，所以每个面上的对角线长为22，以1A为圆心，2为半径作11DB，在11DB上任取点E，则12AE=因为12AA=，显然22AE=，所以11

DB是以顶点A为球心、22为半径的球面被正方体的表面1111DCBA所截得的弧，其它两段弧同理可证也满足要求.所以，以顶点A为球心，22为半径的球面与正方体的三个表面的交线是以2为半径的四分之一圆弧，所以该正方体的表面被球面所截得的所

有弧长之和为：132234=故选：D【点睛】本题考查球面的定义，关键是找三段弧线；基础题.12.函数()cos(0)fxx=在区间π[0,]2上是单调函数，且()fx的图像关于点3()4π,0M对称，则=（）A.23

或103B.23或2C.143或2D.103或143【答案】B【解析】【分析】由函数的单调区间，解得的取值范围，结合对称中心，即可求得结果.【详解】因为()cos(0)fxx=在区间π[0,]2上是单调函数，则由0,2x，可得0,2x

，则2，解得(0,2.又因为()fx的图像关于点3()4π,0M对称，故可得3cos04=，即3,42kkZ=+，解得42,33kkZ=+.结合的取值范围，即可得23=或2.故选：B.【点睛】本题考查由余弦型函数的单调区间以及对称中

心，求参数范围的问题，属基础题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知两个单位向量a，b，满足2abb+=rrr，则a与b的夹角为__________．【答案】2【解析】【分析】利用公式22aa=化简2abb+=rrr【详解】解：由22aa

=知：()222222,22abbaabbb+=++=，因为1ab==rr，所以0ab=，,2ab=urr故答案为：2【点睛】考查向量模的有关计算，基础题.14.若函数()3fxaxx=−的图象在点()()1,1f处的切线过点()1,2，则a

=__________．【答案】5【解析】【分析】由()3fxaxx=−，求得()fx，再求()1f，由点斜式方程求解参数即可【详解】解：()13fa=−，切点()1,3a−()()23,13fxafax=+=+所以切线方程为：()()()331yaax−−

=+−切线过点()1,2，()()()23311aa−−=+−，5a=故答案为：5【点睛】考查曲线在某一点的切线过已知点求其中参数，基础题.15.记nS为等差数列na的前n项和，若11a=，73673SS−=，则5a=_

_________．【答案】13【解析】【分析】由等差数列的前n项和2nSanbn=+（ab、是常数），得nSanbn=+是新的等差数列，写出通项公式，用554aSS=−即可.【详解】解：设2nSanbn=+，则nSanbn=+，所以nSn是等差数列，设其公差是d，其中111,1aS

==由73673SS−=知，346,2dd==所以()33111222nnnnS=+−=−553157,35522SS=−==，4431114,224222SS=−==554352213aSS=−=−=故答

案为：13【点睛】考查等差数列的有关性质，基础题.16.已知函数3()ln(3)xefxaxe=−有且只有一个零点，则实数a的取值范围是__________.【答案】(,0){}e−【解析】【分析】变形33()lnxexfxaaee=+−，令3(0

)extt=，()fx的零点个数等价于直线ya=与函数()(0ln1tpttet=+且1)te的图象的交点个数，利用导数研究函数()(0ln1tpttet=+且1)te的单调性，画出函数图象，利用数形结合可得结果.【详解】由3()ln3x

efxaxe=−，得33()lnxexfxaaee=+−，令3(0)extt=，则()lntgtatae=+−，当1te=时，1110,egetee=−=不是函数()gt的零点：当1te

时，令()ln0tgtatae=+−=,分离参数ln1teat=+，()fx的零点个数等价于直线ya=与函数()(0ln1tpttet=+且1)te的图象的交点个数，()21ln1'()ln1tttptet+−=+，110,1ttee时，'()0pt，

()ln1tpett=+在110,,,1ee上递减；1t时，'()0pt，()ln1tpett=+在()1,+上递增；极小值(1)pe=，画出()pt的图象如图所示：因为直线ya=与函数()(0ln1tpttet=+且1)

te的图象的交点个数为1,由图可知，实数a的取值范围是(,0){}e−，故答案为(,0){}e−.【点睛】本题主要考查函数的零点以及利用导数研究函数的单调性，属于难题.函数()()yfxgx=−的零点函数()()yfxgx=−在

x轴的交点方程()()0fxgx−=的根函数()yfx=与()ygx=的交点.三、解答题：满分70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17题满分为10分，18-22题满分为12分，每个试题考生都必须作答，考生根据要求作答．1

7.在等比数列nb中，公比为()01qq，13511111,,,,,,50322082bbb.（1）求数列nb的通项公式；（2）设()31nncnb=−，求数列nc的前n项和nT.【答案】（1）12nnb=（2）()15352nnT

n=−+【解析】【分析】（1）由公比01q结合等比数列的性质得出112b=，318b=，5132b=，再确定公比，即可得出数列nb的通项公式；（2）利用错位相减法求解即可.【详解】（1）因为公比为()01qq的等比数列n

b中，13511111,,,,,,50322082bbb所以由135,,bbb成等比数列得出，当且仅当112b=，318b=，5132b=时成立.此时公比23114bqb==，12q=所以12nnb=.（2）因为()1312nncn=−

所以123...nnTcccc=++++()1231111258...312222nn=++++−∴()()2311111125...343122222nnnTnn+=+++

−+−∴()123111111123...31222222nnnTn+=++++−−()1111113131222nnn−+=+−−−

5135222nn+=−故数列nc的前n项和()15352nnTn=−+【点睛】本题主要考查了求等比数列的通项公式以及利用错位相减法求数列的和，属于中档题.18.如图，D是在△ABC边AC上的一点，△BCD面积是△ABD面积的2

倍，∠CBD=2∠ABD=2θ．（Ⅰ）若θ=6，求sinsinAC的值；（Ⅱ）若BC=4，AB=22，求边AC的长．【答案】（Ⅰ）sin23sin3AC=；（Ⅱ）210AC=【解析】【分析】（Ⅰ）利用三角形面积公式以及2BCDABDSS=并结合正弦定理sinsinA

BBCCA=，可得结果.（Ⅱ）根据2BCDABDSS=，可得，然后使用余弦定理2222sinACABBCABBCABC=+−，可得结果.【详解】（Ⅰ）23CBDABD==，所以11sin2sin2326BCBDABB

D=所以2sin223sin333BCAABC===；（Ⅱ）11sin22sin22BCBDABBD=，所以242sincos222sincos2==，所以4=，334ABC==，所以221682422402AC=+−

−=，所以边210AC=．【点睛】本题考查三角形面积公式，正弦定理以及余弦定理的应用，关键在于识记公式，属中档题.19.某省从2021年开始将全面推行新高考制度，新高考“312++”中的“2”要求考生从政治、化学、生物、地理四门中选两科，按照等级

赋分计入高考成绩，等级赋分规则如下：从2021年夏季高考开始，高考政治、化学、生物、地理四门等级考试科目的考生原始成绩从高到低划分为,,,,ABCDE五个等级，确定各等级人数所占比例分别为15%，35%，35%，13%，2%，等级考试科目成绩计入考生

总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法分别转换到86,100、71,85、56,70、41,55、30,40五个分数区间，得到考生的等级分，等级转换分满分为100分.具体转换分数区间如下表：等级ABCDE比例15%35%35%13%2%赋分区间86,100

71,8556,7041,5530,40而等比例转换法是通过公式计算：2211YYTTYYTT−−=−−其中1Y，2Y分别表示原始分区间的最低分和最高分，1T、2T分别表示等级分区间的最低分和最高分，Y表示原始分

，T表示转换分，当原始分为1Y，2Y时，等级分分别为1T、2T假设小南的化学考试成绩信息如下表：考生科目考试成绩成绩等级原始分区间等级分区间化学75分B等级69,8471,85设小南转换后的等级成绩为T，根据公式得：84758575697

1TT−−=−−，所以76.677T=（四舍五入取整），小南最终化学成绩为77分.已知某年级学生有100人选了化学，以半期考试成绩为原始成绩转换本年级的化学等级成绩，其中化学成绩获得A等级的学生原始成绩统计如下表：成绩95939190888785人

数1232322（1）从化学成绩获得A等级的学生中任取2名，求恰好有1名同学的等级成绩不小于96分的概率；（2）从化学成绩获得A等级的学生中任取5名，设5名学生中等级成绩不小于96分人数为，求的分布列和期望.【

答案】（1）1235P=（2）见解析【解析】【分析】（1）根据成绩换算公式，计算出等级成绩不低于96分时的原始成绩，进而得到等级成绩不低于96分的人数，根据古典概型的概率即可得到所求；（2）列出随机变量的所有可能的取值，分别求出对应的概率，列出分布列，计算期望

即可．【详解】（1）设化学成绩获得A等级的学生原始成绩为x，等级成绩为y，由转换公式得：951008586xyxy−−=−−，即：()148514330861010xxy−−=+=，所以143309610x−，得

：92.1x，显然原始成绩满足92.1x的同学有3人，获得A等级的考生有15人.恰好有1名同学的等级成绩不小于96分的概率为113122151235CCPC==.（2）由题意可得：等级成绩不小于96分人数为3人，获得A

等级的考生有15人，0531251524(0)91CCPC===，1431251545(1)91CCPC===2331251520(2)91CCPC===，323125152(3)91CCPC===则分布

列为0123P249145912091291则期望为：45202231919191E=++=【点睛】本题考查古典概型、计数原理、统计表的应用、超几何分布，考查数据处理能力和运算求解能力，属于中档题．20.如

图，在四棱柱1111ABCDABCD−中，底面ABCD是等腰梯形，ABCD∥，4AB=，2BCCD==，顶点1D在底面ABCD内的射影恰为点C.（1）求证：BC⊥平面ACD1；（2）若直线DD1与底面ABCD所成的角为4，求平面11A

BCD与平面ABCD所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）217【解析】【分析】（1）连接1DC，则1DC⊥平面ABCD，推导出1BCDC⊥，连接AC，过点C作CG⊥AB于点G，推导出BC⊥AC，由此能证明BC

⊥平面ACD1;（2）以C为坐标原点，分别以CA，CB，CD1，所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面11ABCD与平面ABCD所成锐二面角的余弦值．【详解】解：（1）证明：如图，连接1DC，则1DC⊥平面ABCD，BCABCD平面，1BCDC⊥在等腰梯

形ABCD中，连接AC，过点C作CGAB⊥于点G，4,2,ABBCCDABCD===∥，则223,1,213AGBGCG===−=22223(3)23ACAGCG=+=+=因此满足22216,ACBCABBCAC+==

⊥又1DC，AC面1ADC，1DCACC=BC⊥平面1ADC（2）由（1）知1,,ACBCDC两两垂直，1DC⊥平面11,,24ABCDDDCDCCD===以C为坐标原点，分别以1,,CACBCD所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0

,0,0)C，(23,0,0)A，(0,2,0)B，1(0,0,2)D，(23,2,0)AB=−，1(23,0,2)AD=−设平面11ABCD的法向量(,,)nxyz=，由100ABnADn==，得23202320xyxz−+=−+=，可得平面11ABCD的一个法向

量(1,3,3)n=，又1(0,0,2)CD=为平面ABCD的一个法向量，设平面11ABCD与平面ABCD所成锐二面角为θ，则112321cos727CDnCDn===，因此平面11ABCD与平面ABCD所成锐二面角的余弦值为217．【点睛】本题考查线面垂直的证明，

考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21.已知点()1,e，3,2e在椭圆2222:1(0)xyCabab+=上，其中e为椭圆的离心率．（1）求椭

圆C的方程；（2）直线l经过C的上顶点且l与抛物线2:4Myx=交于P，Q两点，F为椭圆的焦点，直线FP，FQ与M分别交于点D（异于点P），E（异于点Q），证明：直线DE的斜率为定值．【答案】（1）2212xy+=（2）见解析【解析】【分析】（

1）根据条件代入可解（2）用椭圆的焦点(1,0)F−（用右焦点也可以），设l的方程为1ykx=+，联立2:4Myx=和1ykx=+，设()11,Pxy()22,Qxy，得到124yyk+=，124yyk=，又直线FP的方程为11(1)1yyxx=++，

联立11(1)1yyxx=++和24yx=得到D的坐标为21144,yy，同理E22244,yy，最后得1DEk=.【详解】解：（1）依题意得22222211341eabeab+=+

=解得22a=，21b=所以椭圆C的方程为2212xy+=（2）以椭圆的左焦点(1,0)F−为例，则算出来的答案为定值1证明：由题意知l的斜率存在，故设直线l的方程为1ykx=+，由214ykxyx=+=，得2104kyy−+=．设()1

1,Pxy，()22,Qxy，则10k=−，即1k且0k，124yyk+=，124yyk=．又直线FP的方程为11(1)1yyxx=++，由112(1)14yyxxyx=++=，得()1214140x

yyy+−+=，所以14Dyy=，所以14Dyy=，从而D的坐标为21144,yy．同理可得E的坐标为22244,yy，所以121212221244144DEyyyykyyyy−==

=+−为定值．同理：若F用椭圆的右焦点(1,0)F，计算方法同上．算出来的答案为定值1−【点睛】考查椭圆方程的求法，证明直线的斜率为定值问题，后者通常联立直线方程和抛物线方程，用设而不求的方法表点的坐标是这类问题常用的方法；考查分析问题和解决问题的

能力以及运算求解能力，试题难度大.22.已知函数，f(x)=33x-mx2-m+ln(1-m)，(m<1)．（Ⅰ）当m=12时，求f(x)的极值；（Ⅱ）证明：函数f(x)有且只有一个零点．【答案】（Ⅰ）函数极大值为1ln22−−，极小值为2ln23−−；（Ⅱ）见解析【解析】【分析】

（Ⅰ）利用导数，通过'()fx的符号，判断出函数的单调性，找到极值点，可得结果.（Ⅱ）计算'(())2xfxxm=−，采用分类讨论的方法，0m=，0m以及01m，判断函数的单调性，可得结果.【详解】（Ⅰ）32111()ln3222xfxx=−−+'2()fxxx=−，

则()fx在(,0)−递增，在(0,1)递减，在(1,)+上递增，所以函数极大值为1(0)ln22f=−−，极小值为2(1)ln23f=−−．（Ⅱ）2'()2(2)xmxxxmfx=−=−①当0m=时，()'2

0fxx=，3()3xfx=只有一个零点0，符合题意；②当0m时，()fx在(,2)m−单调递增，在(2,0)m单调递减，在(0,)+单调递增，(0)ln(1)fmm=−+−，令()ln(1)gmmm=−

+−，(0)m，显然()gm单调递减，有()(0)0gmg=，即(0)0f，则()fx只有一个零点，符合题意；③当01m时，()fx在(,0)−单调递增，在(0,2)m单调递减，在(2,)m+

单调递增，(0)ln(1)fmm=−+−，(01)m，由②构造的函数知，(0)ln(1)0fmm=−+−，则()fx只有一个零点，符合题意．综上所述，1m时，函数()fx有且只有一个零点．【点睛】本题

考查导数的应用，关键在于对含参数的函数单调性的判断，熟练使用分类讨论的思想以及学会构造函数，使问题化繁为简，属难题.