【文档说明】【精准解析】湖北省孝感市应城市第一高级中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题.doc，共(23)页，1.774 MB，由小赞的店铺上传

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应城一中2019—2020学年度下学期期中考试高二数学试卷考试时间：2020年4月21日上午试卷满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合2lo|g0Ax

x=，2|20Bxxx=−−，则AB=（）．A.{|12}xxB.{|11}xx−C.{|1}xx−D.{|21xx−或1}x【答案】C【解析】【分析】分别计算2lo|g0Axx=、2|20Bxxx=−−，然后求并集【详解】解：2lo|g0Axx==

1|xx，2|20Bxxx=−−|12xx=−AB=1|xx|12xx−{|1}xx=−故选：C【点睛】考查集合的并集运算；基础题.2.若复数z满足i1iz=+（i是

虚数单位），则z的共轭复数是（）A.1i−−B.1i+C.1i−+D.1i−【答案】B【解析】【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．【详解】解：由1zii=+，得21(1)()1iiiziii++−=

==−−，1zi=+，故选：B．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，属于基础题．3.已知双曲线222:1xCya−=的一条渐近线过圆()()22:121Pxy−++=的圆心，则C的离心率为（）．A.3B.5C.32D

.52【答案】B【解析】【分析】双曲线222:1xCya−=的渐近线为2220xya−=，把()1,2P−代入，求出a后，根据bca、、关系可求e【详解】解：双曲线222:1xCya−=的渐近线2220xya−=过()1,2P−()22220

1a−−=，12a=，51,,52bce===，故选：B【点睛】通过找bca、、的关系求双曲线离心率；基础题.4.将4个人从左至右排成一行，最左端只能排成甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（）．A.6种B.42种C.10种D.12种【答案】C【解析

】【分析】两种情况：甲在最左端，乙在最左端；分类计算【详解】解：甲在最左端：336A=乙在最左端：12224CA=共有10故选：C【点睛】考查分类讨论解排列题，注意做到不重不漏；基础题5.胡夫金字塔的形状为四棱锥，1859年，英国作家约翰·泰勒（JohnTaylor，1781-1846）在

其《大金字塔》一书中提出：古埃及人在建造胡夫金字塔时利用黄金比例151.6182+，泰勒还引用了古希腊历史学家希罗多德的记载：胡夫金字塔的每一个侧面的面积都等于金字塔高的平方．如图，若2has=，则由勾股定理，22ass

a=−，即210ssaa−−=，因此可求得sa为黄金数，已知四棱锥底面是边长约为856英尺的正方形(2856)a=，顶点P的投影在底面中心O，H为BC中点，根据以上信息，PH的长度（单位：英尺）约为（）．A.611.6B.481.4C.692.5D.512.4【答案】C【解析】【分析

】由2856a=和512PHsa+==可得【详解】解：512PHsa+==，2856a=5151856226922.5PHsa++===故选：C【点睛】读懂实际问题，把实际问题转化为数学问题进行计算；基础题.6.已知1sin62−=，且0,2，则2cos3

−=（）．A.1B.12C.0D.32【答案】B【解析】【分析】发现2326−=−+−，然后代入，用诱导公式计算【详解】解：2326−=−+−21coscossin32662

−=−+−=−=故选：B【点睛】这种题关键是发现已知角和待求角之间关系，用诱导公式代入计算；基础题.7.已知抛物线24yx=的焦点为F，准线为l，P为该抛物线上

一点，PAl⊥，A为垂足.若直线AF的斜率为3−，则PAF△的面积为()A.23B.43C.8D.83【答案】B【解析】【分析】先由题意，得到抛物线的焦点为(1,0)F，设抛物线24yx=的准线与x轴交点为D，则2DF=，根据直线的斜率，求出4AF=，60AFP=，推出PAF△是

边长为4的等边三角形，再由三角形面积公式，即可得出结果.【详解】由题意，抛物线24yx=的焦点为(1,0)F，设抛物线24yx=的准线与x轴交点为D，则2DF=，又直线AF的斜率为3−，所以60AFD=，因此24AFDF==，60AFP=；由抛物线的定义可得：PAPF=，所以

PAF△是边长为4的等边三角形，所以PAF△的面积为144sin60432=.故选：B.【点睛】本题主要考查抛物线中三角形的面积问题，熟记抛物线的性质即可，属于常考题型.8.()352()xxa−+的展开式的各项系数和为243，则该展开式中4x的系数是（）．A

.5B.40−C.60−D.100【答案】C【解析】【分析】()352()xxa−+的展开式的各项系数和为1x=的值，求出a的值，根据()352()xxa−+产生4x的项可求其系数【详解】解：1x=，()()3552()1+243xxaa==−+所以2a=(

)352()xxa−+=()352(2)xx−+展开式中4x的系数是：()41455221260CC+−=−故选：C【点睛】考查二项展开式中各项系数的和的求法和求特定的项；基础题.9.已知函数()2sin()0,||2fxx

=+图象的相邻两条对称轴之间的距离为2，将函数()fx的图象向左平移3个单位长度后，得到函数()gx的图象．若函数()gx为偶函数，则函数()fx在区间0,4上的值域是（）．A.(1,2]−B.(1,3)−C.(0,2]D.1,12−【答案】

B【解析】【分析】由函数()2sin()0,||2fxx=+图象的相邻两条对称轴之间的距离为2，求得，表示出()gx的解析式，根据函数()gx为偶函数确定，再求()fx在区间0,4上的值域【详解】解：函数()2sin

()0,||2fxx=+图象的相邻两条对称轴之间的距离为2所以21,222==()fx的图象向左平移3个单位长度后，所以2()sin2sin233gxxx=++=++函数()gx为偶函数，所以2,326

+==−()2sin(2)0,||62fxx=−0,,2,4663xx−−，()()2sin(2)1,36fxx=−−故选：B【点睛】考查正、余弦函数的图象变换及其值域求法，基础题.10.已知()gx为偶函数，()h

x为奇函数，且满足()()2xgxhx−=．若存在11,2x−使得不等式()()0mgxhx+有解，则实数m的最大值为（）．A.13B.1−C.1D.35【答案】A【解析】【分析】由()gx为偶函数，()hx为奇函数，且满足()()2xgxhx−=，根据奇偶函数的性质确定(

)gx和()hx，代入()()0mgxhx+，分离参数得222121xxm−+，根据222121xx−+单调性，求其最大值.【详解】解：()gx为偶函数，()hx为奇函数，且满足()()2xgx

hx−=所以()()2xgxhx−−−−=，即()()2xgxhx−+=，所以222(),222()xxxxgxhx−−−==+代入()()0mgxhx+，分离参数得222121xxm−+22222212121212121xxxxx

2+−+−−==+++,因为存在11,2x−使得不等式()()0mgxhx+有解，所以2max121x2m+−+22x是11,2x−上的增函数，2121x+

是11,2x−上的减函数，2221x−+是11,2x−上增函数，2max211121213x2+−−=+=++，13m故选：A【点睛】考查奇偶函数的性质以及存在性问题确定参数的值，中档题.11.如图，

以棱长为2的正方体的顶点A为球心，以22为半径做一个球面，则该正方体的表面被球面所截得的所有弧长之和为（）．A.34B.32C.94D.3【答案】D【解析】【分析】先确定正方体的面对角线与球面半径相等，以以1A为圆心，2为半径

作11DB，说明11DB是球面与平面1111DCBA的交线，其它两弧线同理可证，最后求值.【详解】解：如图正方体的棱长为2，所以每个面上的对角线长为22，以1A为圆心，2为半径作11DB，在11DB上任取点E，则12AE=因为12AA=，显

然22AE=，所以11DB是以顶点A为球心、22为半径的球面被正方体的表面1111DCBA所截得的弧，其它两段弧同理可证也满足要求.所以，以顶点A为球心，22为半径的球面与正方体的三个表面的交线是以2为半径的四分之一圆弧，所以该正方体的表面被球面所截得的所有弧长之和为：132234

=故选：D【点睛】本题考查球面的定义，关键是找三段弧线；基础题.12.函数()cos(0)fxx=在区间π[0,]2上是单调函数，且()fx的图像关于点3()4π,0M对称，则=（）A.23或103B.23或2C.143或2D.103或143【答案

】B【解析】【分析】由函数的单调区间，解得的取值范围，结合对称中心，即可求得结果.【详解】因为()cos(0)fxx=在区间π[0,]2上是单调函数，则由0,2x，可得0,2x，则2，解得(0,2.又因为()fx的图像关于点

3()4π,0M对称，故可得3cos04=，即3,42kkZ=+，解得42,33kkZ=+.结合的取值范围，即可得23=或2.故选：B.【点睛】本题考查由余弦型函数的单调区间以及对

称中心，求参数范围的问题，属基础题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知两个单位向量a，b，满足2abb+=rrr，则a与b的夹角为__________．【答案】2【解析】【分析】利用公式22aa=化简2abb+=rrr【详解】

解：由22aa=知：()222222,22abbaabbb+=++=，因为1ab==rr，所以0ab=，,2ab=urr故答案为：2【点睛】考查向量模的有关计算，基础题.14.若函数()3fxaxx=−的图象在点()()1,1f处的切线过点()1,2，

则a=__________．【答案】5【解析】【分析】由()3fxaxx=−，求得()fx，再求()1f，由点斜式方程求解参数即可【详解】解：()13fa=−，切点()1,3a−()()23,13fxafax=+=+所以切线方程为：()()()

331yaax−−=+−切线过点()1,2，()()()23311aa−−=+−，5a=故答案为：5【点睛】考查曲线在某一点的切线过已知点求其中参数，基础题.15.记nS为等差数列na的前n项和，若11a=，73673SS−=，则5a=___

_______．【答案】13【解析】【分析】由等差数列的前n项和2nSanbn=+（ab、是常数），得nSanbn=+是新的等差数列，写出通项公式，用554aSS=−即可.【详解】解：设2nSanbn=+，则nSanbn=+，

所以nSn是等差数列，设其公差是d，其中111,1aS==由73673SS−=知，346,2dd==所以()33111222nnnnS=+−=−553157,35522SS=−==，4431114,224222SS=

−==554352213aSS=−=−=故答案为：13【点睛】考查等差数列的有关性质，基础题.16.已知函数3()ln(3)xefxaxe=−有且只有一个零点，则实数a的取值范围是__________.【答案】(,0){}e−【解析】【分析】变形33()lnxexfxaaee=

+−，令3(0)extt=，()fx的零点个数等价于直线ya=与函数()(0ln1tpttet=+且1)te的图象的交点个数，利用导数研究函数()(0ln1tpttet=+且1)te的单调性，画出函数图象，利用数形结合可得结果.【详解】由3()ln3x

efxaxe=−，得33()lnxexfxaaee=+−，令3(0)extt=，则()lntgtatae=+−，当1te=时，1110,egetee=−=不是函数()gt的零点：当1te时，令()ln0tgtatae=+−=,分离参数ln1t

eat=+，()fx的零点个数等价于直线ya=与函数()(0ln1tpttet=+且1)te的图象的交点个数，()21ln1'()ln1tttptet+−=+，110,1ttee时，'()0pt，()ln1tpett=+在110,,,1ee

上递减；1t时，'()0pt，()ln1tpett=+在()1,+上递增；极小值(1)pe=，画出()pt的图象如图所示：因为直线ya=与函数()(0ln1tpttet=+且1)te的图象的交点个数为1,由图可知，实数a的取值范围是(,0){}e−，故答案为

(,0){}e−.【点睛】本题主要考查函数的零点以及利用导数研究函数的单调性，属于难题.函数()()yfxgx=−的零点函数()()yfxgx=−在x轴的交点方程()()0fxgx−=的根函数()yfx=与()ygx=的交点.三、解

答题：满分70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17题满分为10分，18-22题满分为12分，每个试题考生都必须作答，考生根据要求作答．17.在等比数列nb中，公比为()01qq，1

3511111,,,,,,50322082bbb.（1）求数列nb的通项公式；（2）设()31nncnb=−，求数列nc的前n项和nT.【答案】（1）12nnb=（2）()15352nnTn=−

+【解析】【分析】（1）由公比01q结合等比数列的性质得出112b=，318b=，5132b=，再确定公比，即可得出数列nb的通项公式；（2）利用错位相减法求解即可.【详解】（1）因为公比为()01qq的等比数列nb中，1351111

1,,,,,,50322082bbb所以由135,,bbb成等比数列得出，当且仅当112b=，318b=，5132b=时成立.此时公比23114bqb==，12q=所以12nnb=.（2）因为()1312nncn=−所以

123...nnTcccc=++++()1231111258...312222nn=++++−∴()()2311111125...34312222

2nnnTnn+=+++−+−∴()123111111123...31222222nnnTn+=++++−−()11111

13131222nnn−+=+−−−5135222nn+=−故数列nc的前n项和()15352nnTn=−+【点睛】本题主要考查

了求等比数列的通项公式以及利用错位相减法求数列的和，属于中档题.18.如图，D是在△ABC边AC上的一点，△BCD面积是△ABD面积的2倍，∠CBD=2∠ABD=2θ．（Ⅰ）若θ=6，求sinsinAC的值；（Ⅱ）若BC=4，AB=22，求边AC的长．【答

案】（Ⅰ）sin23sin3AC=；（Ⅱ）210AC=【解析】【分析】（Ⅰ）利用三角形面积公式以及2BCDABDSS=并结合正弦定理sinsinABBCCA=，可得结果.（Ⅱ）根据2BCDABDSS=，可得，然后使用余弦定

理2222sinACABBCABBCABC=+−，可得结果.【详解】（Ⅰ）23CBDABD==，所以11sin2sin2326BCBDABBD=所以2sin223sin333BCAABC===；（Ⅱ）11sin22sin22

BCBDABBD=，所以242sincos222sincos2==，所以4=，334ABC==，所以221682422402AC=+−−=，所以边210AC=．【点睛】本

题考查三角形面积公式，正弦定理以及余弦定理的应用，关键在于识记公式，属中档题.19.某省从2021年开始将全面推行新高考制度，新高考“312++”中的“2”要求考生从政治、化学、生物、地理四门中选两科，按照等级

赋分计入高考成绩，等级赋分规则如下：从2021年夏季高考开始，高考政治、化学、生物、地理四门等级考试科目的考生原始成绩从高到低划分为,,,,ABCDE五个等级，确定各等级人数所占比例分别为15%，35%，35%，13%，2%，等级考

试科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法分别转换到86,100、71,85、56,70、41,55、30,40五个分数区间，得到考生的等级分，等级转换分满分为1

00分.具体转换分数区间如下表：等级ABCDE比例15%35%35%13%2%赋分区间86,10071,8556,7041,5530,40而等比例转换法是通过公式计算：2211YYTTYYTT−−=−−其中1Y，2Y分别表示原始分

区间的最低分和最高分，1T、2T分别表示等级分区间的最低分和最高分，Y表示原始分，T表示转换分，当原始分为1Y，2Y时，等级分分别为1T、2T假设小南的化学考试成绩信息如下表：考生科目考试成绩成绩等级原始分区间等级分区间化学75分B等级69,8471,

85设小南转换后的等级成绩为T，根据公式得：847585756971TT−−=−−，所以76.677T=（四舍五入取整），小南最终化学成绩为77分.已知某年级学生有100人选了化学，以半期考试成绩为原始成绩转换本年级的化学

等级成绩，其中化学成绩获得A等级的学生原始成绩统计如下表：成绩95939190888785人数1232322（1）从化学成绩获得A等级的学生中任取2名，求恰好有1名同学的等级成绩不小于96分的概率；（2）从化学成绩获得A等级的学生中任取5名，设5名学生中等级成绩不小于96分人数为，求的分布列

和期望.【答案】（1）1235P=（2）见解析【解析】【分析】（1）根据成绩换算公式，计算出等级成绩不低于96分时的原始成绩，进而得到等级成绩不低于96分的人数，根据古典概型的概率即可得到所求；（2）列出随机变量的所有可能

的取值，分别求出对应的概率，列出分布列，计算期望即可．【详解】（1）设化学成绩获得A等级的学生原始成绩为x，等级成绩为y，由转换公式得：951008586xyxy−−=−−，即：()148514330861010xxy−

−=+=，所以143309610x−，得：92.1x，显然原始成绩满足92.1x的同学有3人，获得A等级的考生有15人.恰好有1名同学的等级成绩不小于96分的概率为113122151235CCPC==.（2）由题意可得：等级成绩不小于96分人数

为3人，获得A等级的考生有15人，0531251524(0)91CCPC===，1431251545(1)91CCPC===2331251520(2)91CCPC===，323125152(3)91CCPC===则分布列为0123P249145912091291则期望为：45202231

919191E=++=【点睛】本题考查古典概型、计数原理、统计表的应用、超几何分布，考查数据处理能力和运算求解能力，属于中档题．20.如图，在四棱柱1111ABCDABCD−中，底面ABCD是等腰梯形，ABCD∥，4AB=，2BCCD==，

顶点1D在底面ABCD内的射影恰为点C.（1）求证：BC⊥平面ACD1；（2）若直线DD1与底面ABCD所成的角为4，求平面11ABCD与平面ABCD所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）217【解析】【分析】（1）连接1DC，则1

DC⊥平面ABCD，推导出1BCDC⊥，连接AC，过点C作CG⊥AB于点G，推导出BC⊥AC，由此能证明BC⊥平面ACD1;（2）以C为坐标原点，分别以CA，CB，CD1，所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标

系，利用向量法能求出平面11ABCD与平面ABCD所成锐二面角的余弦值．【详解】解：（1）证明：如图，连接1DC，则1DC⊥平面ABCD，BCABCD平面，1BCDC⊥在等腰梯形ABCD中，连接AC，过点C作CGAB⊥于点G，4,2,ABBCCDABCD===∥，则223,1,213A

GBGCG===−=22223(3)23ACAGCG=+=+=因此满足22216,ACBCABBCAC+==⊥又1DC，AC面1ADC，1DCACC=BC⊥平面1ADC（2）由（1）知1,,ACBCDC两两垂直，1DC⊥平面11,,24ABCDDDCDCCD=

==以C为坐标原点，分别以1,,CACBCD所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)C，(23,0,0)A，(0,2,0)B，1(0,0,2)D，(23,2,0)AB=−，1(23,0,2)AD=−设平面11ABCD的法向量(,,)nxyz

=，由100ABnADn==，得23202320xyxz−+=−+=，可得平面11ABCD的一个法向量(1,3,3)n=，又1(0,0,2)CD=为平面ABCD的一个法向量，设平面11ABCD与平面ABCD所成锐二面角为θ，则112321

cos727CDnCDn===，因此平面11ABCD与平面ABCD所成锐二面角的余弦值为217．【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21.已知点()1,e，3,2e在椭圆2222

:1(0)xyCabab+=上，其中e为椭圆的离心率．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l经过C的上顶点且l与抛物线2:4Myx=交于P，Q两点，F为椭圆的焦点，直线FP，FQ与M分别交于点D（异于点P），E（异于点Q），证明：直线DE

的斜率为定值．【答案】（1）2212xy+=（2）见解析【解析】【分析】（1）根据条件代入可解（2）用椭圆的焦点(1,0)F−（用右焦点也可以），设l的方程为1ykx=+，联立2:4Myx=和1ykx

=+，设()11,Pxy()22,Qxy，得到124yyk+=，124yyk=，又直线FP的方程为11(1)1yyxx=++，联立11(1)1yyxx=++和24yx=得到D的坐标为21144,yy

，同理E22244,yy，最后得1DEk=.【详解】解：（1）依题意得22222211341eabeab+=+=解得22a=，21b=所以椭圆C的方程为2212xy+=（2）以椭圆的左焦点(1,0)F−为例，则算出来的答案

为定值1证明：由题意知l的斜率存在，故设直线l的方程为1ykx=+，由214ykxyx=+=，得2104kyy−+=．设()11,Pxy，()22,Qxy，则10k=−，即1k且0k，124yyk+=，124yyk=．又直线FP的方程为

11(1)1yyxx=++，由112(1)14yyxxyx=++=，得()1214140xyyy+−+=，所以14Dyy=，所以14Dyy=，从而D的坐标为21144,yy．同理可得E的坐标为22244

,yy，所以121212221244144DEyyyykyyyy−===+−为定值．同理：若F用椭圆的右焦点(1,0)F，计算方法同上．算出来的答案为定值1−【点睛】考查椭圆方程的求法，证明直线的斜率为定值问题，后者通常联立直线方程和抛物线方程，用设而不

求的方法表点的坐标是这类问题常用的方法；考查分析问题和解决问题的能力以及运算求解能力，试题难度大.22.已知函数，f(x)=33x-mx2-m+ln(1-m)，(m<1)．（Ⅰ）当m=12时，求f(x)的极值；（Ⅱ）证明：函数f

(x)有且只有一个零点．【答案】（Ⅰ）函数极大值为1ln22−−，极小值为2ln23−−；（Ⅱ）见解析【解析】【分析】（Ⅰ）利用导数，通过'()fx的符号，判断出函数的单调性，找到极值点，可得结果.（Ⅱ）计算'(())2xfxxm=−，采用分类讨论的方法，0m=，0m以及01m，判

断函数的单调性，可得结果.【详解】（Ⅰ）32111()ln3222xfxx=−−+'2()fxxx=−，则()fx在(,0)−递增，在(0,1)递减，在(1,)+上递增，所以函数极大值为1(0)ln22f=−−，极小值为2(1)ln23f=−−．（Ⅱ）2'

()2(2)xmxxxmfx=−=−①当0m=时，()'20fxx=，3()3xfx=只有一个零点0，符合题意；②当0m时，()fx在(,2)m−单调递增，在(2,0)m单调递减，在(0,)+单调递增，(

0)ln(1)fmm=−+−，令()ln(1)gmmm=−+−，(0)m，显然()gm单调递减，有()(0)0gmg=，即(0)0f，则()fx只有一个零点，符合题意；③当01m时，()fx

在(,0)−单调递增，在(0,2)m单调递减，在(2,)m+单调递增，(0)ln(1)fmm=−+−，(01)m，由②构造的函数知，(0)ln(1)0fmm=−+−，则()fx只有一个零点，符合题意．综上所述，1m时，函数()fx有且只有一

个零点．【点睛】本题考查导数的应用，关键在于对含参数的函数单调性的判断，熟练使用分类讨论的思想以及学会构造函数，使问题化繁为简，属难题.