【文档说明】山西省太原市第五中学2022届高三上学期11月月考试题+数学（理）答案.docx，共(5)页，234.334 KB，由小赞的店铺上传

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数学（理）答案考查时间：120分钟满分：150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.）1．C2．C3.C4.C5.D6.D7.D8.B9.A10.D11.D12.C二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分.）13.14．

415.nnmmdc−16.25三、解答题(共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17解：(1)由题得()cos23sin23sin2cos22sin26fxxxxxx=−+=−=−，所以函数()fx的最小正周期为22T==．()()()20

fAfB+=因为，所以2sin22sin2066AB−+−=,因56ABC+=−=，所以56BA=−，所以52sin22sin20666AA−+−−=，

∴32sin22sin2062AA−+−=，∴sin2cos206AA−−=，∴2sin203A−=，∴6A=或23A=．当263AB==时，；当23A=，时6B=．由正弦定理得sin3623sin3ab==

或2sin33sin6ab==．22为18．已知0x，0y，且141xy+=．（1）求xy+的最小值；（2）若26xymm+恒成立，求实数m的取值范围．解：（1）因为0x，0y，所以1444()()5529xyxyxyxyxyyxyx+=++=+

++=…，当且仅当4xyyx=，即3x=，6y=时取等号，所以xy+的最小值为9．（2）因为0x，0y，所以1414412xyxyxy=+=…，所以16xy…．因为26xymm+恒成立，所以2166mm+，解得82m−，所以m的取值范围为(8,2)−．19.在△�

�𝐵𝐶中，𝑎，𝑏，𝑐分别为角𝐴，𝐵，𝐶的对边，已知𝑎=2，𝑏2+𝑐2−𝑏𝑐=4.若以𝐴𝐵，𝐴𝐶为边向△𝐴𝐵𝐶外分别作正△𝑀𝐴𝐵，正△𝑁𝐴𝐶，记△𝑀𝐴𝐵，△𝑁𝐴𝐶的中心分别为𝑃，𝑄，

求𝐵𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐶𝑄⃗⃗⃗⃗⃗的最大值．解：cos𝐴=𝑏2+𝑐2−𝑎22𝑏𝑐=𝑏2+𝑐2−42𝑏𝑐=12，又0<∠BAC<𝜋，所以∠BAC=𝜋3，则，由正△𝑀𝐴𝐵，正△𝑁𝐴𝐶可得𝑀、𝐴、𝑁共线，记△𝑀𝐴𝐵，△𝑁𝐴𝐶的中心分别为𝑃

，𝑄，，因为∠𝑃𝐵𝐴+∠𝐴𝐵𝐶+∠𝐴𝐶𝐵+∠𝐴𝐶𝑄=𝜋，得𝐵𝑃//𝐶𝑄，又|𝐵𝑃|=√33𝑐,|𝐶𝑄|=√33𝑏，所以𝐵𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐶𝑄⃗⃗⃗⃗⃗=√33𝑐·√

33𝑏·cos0=13𝑏𝑐，由𝑏2+𝑐2−𝑏𝑐=4.得𝑏𝑐+4=𝑏2+𝑐2≥2𝑏𝑐，所以𝑏𝑐≤4，当且仅当𝑏=𝑐=2等号成立，所以𝐵𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐶𝑄⃗⃗⃗⃗⃗的最大值为43.20.在①𝑛𝑎𝑛+1−

(𝑛+1)𝑎𝑛=𝑛2+𝑛，②3𝑆𝑛=(𝑛+2)𝑎𝑛，③𝑇𝑛+1=(𝑛+2)𝑎𝑛𝑇𝑛𝑛这三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答下列题目．设首项为2的数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和为𝑆

𝑛，前𝑛项积为𝑇𝑛，且____．(1)求数列{𝑎𝑛}的通项公式；(2)设𝑏𝑛=(−1)𝑛𝑎𝑛，求数列{𝑏𝑛}的前𝑛项和．【答案】解：选①：因为𝑛𝑎𝑛+1−(𝑛+1)𝑎𝑛=𝑛2+𝑛，得𝑎𝑛+1𝑛+1−�

�𝑛𝑛=1，所以数列{𝑎𝑛𝑛}是等差数列，首项为2，公差为1，则𝑎𝑛𝑛=2+(𝑛−1)⋅1=𝑛+1，所以𝑎𝑛=𝑛(𝑛+1)．选②：因为3𝑆𝑛=(𝑛+2)𝑎𝑛，当�

�≥2时，3𝑆𝑛−1=(𝑛+1)𝑎𝑛−1，则3𝑎𝑛=(𝑛+2)𝑎𝑛−(𝑛+1)𝑎𝑛−1，即(𝑛−1)𝑎𝑛=(𝑛+1)𝑎𝑛−1，所以𝑎𝑛𝑎𝑛−1=𝑛+1𝑛−1，所以𝑎𝑛=𝑛+1𝑛−1⋅𝑛𝑛−2⋅⋯⋅42⋅31⋅𝑎1=𝑛(𝑛+1

)．当𝑛=1时，𝑎1=2也满足，所以𝑎𝑛=𝑛(𝑛+1).选③：因为𝑇𝑛+1=(𝑛+2)𝑎𝑛𝑇𝑛𝑛，即𝑎𝑛+1=(𝑛+2)𝑎𝑛𝑛，所以𝑎𝑛+1𝑛+2=𝑎𝑛𝑛，即𝑎𝑛+1(𝑛+2)(𝑛+1)=𝑎𝑛(𝑛+1)𝑛，所以数

列{𝑎𝑛(𝑛+1)𝑛}是常数列，所以𝑎𝑛(𝑛+1)𝑛=𝑎12×1=1，即𝑎𝑛=𝑛(𝑛+1).(2)因为𝑏𝑛=(−1)𝑛𝑎𝑛，当𝑛为偶数时，𝑏1+𝑏2+⋯+𝑏𝑛=−(12+1)+(22+2)−⋯+(

𝑛2+𝑛)=[−12+22−32+42−⋯−(𝑛−1)2+𝑛2]+[−1+2−3+4⋯−(𝑛−1)+𝑛]=[3+7+⋯+2𝑛−1]+𝑛2=(3+2𝑛−1)2⋅𝑛2+𝑛2=𝑛(𝑛+2)2．当𝑛为奇数时，𝑏1+𝑏2+⋯+𝑏𝑛=−(12+1)+(22+2)−⋯+[(

𝑛−1)2+(𝑛−1)]−𝑛2−𝑛=(𝑛−1)(𝑛+1)2−𝑛2−𝑛=−(𝑛+1)22．所以𝑏1+𝑏2+⋯+𝑏𝑛={𝑛(𝑛+2)2,𝑛为偶数,−(𝑛+1)22,𝑛为奇数.21.如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD为

正方形，侧面PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，M是PD的中点.（1）证明：AM⊥平面PCD；（2）求二面角PBCA−−的正弦值.解：（1）证明：在正PAD△中，M为PD的中点，∴AMPD⊥，∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD平

面ABCDAD=，且CDAD⊥∴CD⊥平面PAD又∵AM平面PAD∴CDAM⊥又∵AMPD⊥，且CDPDD=.∴AM⊥平面PCD.（2）如图，取AD的中点为O，连接PO，在正PAD△中，POAD⊥，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD=，∴

PO⊥平面ABCD，以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz−，不妨取2AB=，则有()0,0,0O，()1,0,0A，()1,2,0B，()1,2,0C−，()1,0,0D−，()0,0,3P，∴()2,0,0BC=−，()1,2,3BP=

−−设面PBC的一个法向量为(),,mxyz=，则由20230mBCxmBPxyz=−==−−+=，令2z=，则()0,3,2m=r，又因为OP⊥面ABCD，取()0,0,3OP=作为面ABCD的一个法向量，设二面角PBCA−−为,∴2327cos773mOPmOP===u

uurruuurr，∴21sin7=，因此二面角PBCA−−的正弦值为217.22．设函数，𝑔(𝑥)=𝑎𝑥+𝑎−1𝑥−3(𝑎∈𝑅).(1)求函数𝜑(𝑥)=𝑓(𝑥)+𝑔(𝑥)的单调增区间；(2)当𝑎=1时，记ℎ(

𝑥)=𝑓(𝑥)⋅𝑔(𝑥)，是否存在整数𝜆，使得关于𝑥的不等式2𝜆⩾ℎ(𝑥)有解？若存在，请求出𝜆的最小值；若不存在，请说明理由.(参考数据：，【答案】解：(1)因为，所以𝜑′(𝑥)

=1𝑥+𝑎−𝑎−1𝑥2=𝑎𝑥2+𝑥−(𝑎−1)𝑥2=(𝑎𝑥−(𝑎−1))(𝑥+1)𝑥2(𝑥>0)，①当𝑎=0时，由𝜑′(𝑥)>0，解得𝑥>0；②当𝑎>1时，由𝜑′(𝑥)>0，解得𝑥>𝑎−1𝑎；③当0<𝑎<1时，由𝜑′

(𝑥)>0，解得𝑥>0；④当𝑎=1时，由𝜑′(𝑥)>0，解得𝑥>0；⑤当𝑎<0时，由𝜑′(𝑥)>0，解得0<𝑥<𝑎−1𝑎，综上所述，当𝑎<0时，𝜑(𝑥)的增区间为(0,𝑎

−1𝑎)；当0⩽𝑎⩽1时，𝜑(𝑥)的增区间为；𝑎>1时，𝜑(𝑥)的增区间为；(2)当𝑎=1时，𝑔(𝑥)=𝑥−3，所以，由ℎ(1)=0得，当𝜆=0时，不等式2𝜆⩾ℎ(𝑥)有解，下证：当𝜆⩽−1时，ℎ(𝑥)>2𝜆恒

成立，即证恒成立，显然当时，不等式恒成立，只需证明当𝑥∈(1,3)时，恒成立，即证明，令，所以𝑚′(𝑥)=1𝑥−2(𝑥−3)2=𝑥2−8𝑥+9𝑥(𝑥−3)2，由𝑚′(𝑥)=0，得𝑥=4−√7，当𝑥∈(1,4−√7)，𝑚′(𝑥)>0；当𝑥∈(4−√7,3)，𝑚

′(𝑥)<0；所以，所以当𝜆⩽−1时，ℎ(𝑥)>2𝜆恒成立，综上所述，存在整数𝜆满足题意，且𝜆的最小值为0.